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文档简介
广西桂林十八中2025届高三4月19日第12周数学试题考试试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数(为虚数单位),则的共轭复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数图象的一个对称中心为()A. B. C. D.3.设,为非零向量,则“存在正数,使得”是“”的()A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.充分不必要条件4.要得到函数的图像,只需把函数的图像()A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位5.已知非零向量,满足,,则与的夹角为()A. B. C. D.6.如图,中,点D在BC上,,将沿AD旋转得到三棱锥,分别记,与平面ADC所成角为,,则,的大小关系是()A. B.C.,两种情况都存在 D.存在某一位置使得7.已知集合,则等于()A. B. C. D.8.已知双曲线的左、右顶点分别为,点是双曲线上与不重合的动点,若,则双曲线的离心率为()A. B. C.4 D.29.已知函数的图像向右平移个单位长度后,得到的图像关于轴对称,,当取得最小值时,函数的解析式为()A. B.C. D.10.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来,“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述错误的是()A.这五年,出口总额之和比进口总额之和大B.这五年,2015年出口额最少C.这五年,2019年进口增速最快D.这五年,出口增速前四年逐年下降11.设为等差数列的前项和,若,,则的最小值为()A. B. C. D.12.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.则下列结论中表述不正确的是()A.从2000年至2016年,该地区环境基础设施投资额逐年增加;B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多;C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番;D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,,且,则的最小值是______.14.若直线与直线交于点,则长度的最大值为____.15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现已日益成为老百姓了解国家动态,紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中,将六大板块依次各完成一次,则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.16.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个点,,,在半径为的圆上,且,分别以各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和构成平面区域,则平面区域的“直径”的最大值是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,已知曲线,曲线(为参数),求曲线交点的直角坐标.18.(12分)如图,已知四棱锥,平面,底面为矩形,,为的中点,.(1)求线段的长.(2)若为线段上一点,且,求二面角的余弦值.19.(12分)数列满足,且.(1)证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知圆C:,椭圆E:()的右顶点A在圆C上,右准线与圆C相切.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点M,与椭圆E相交于另一点N.当时,求直线l的方程.21.(12分)在直角坐标系中,已知点,若以线段为直径的圆与轴相切.(1)求点的轨迹的方程;(2)若上存在两动点(A,B在轴异侧)满足,且的周长为,求的值.22.(10分)已知函数.若在定义域内存在,使得成立,则称为函数的局部对称点.(1)若a,且a≠0,证明:函数有局部对称点;(2)若函数在定义域内有局部对称点,求实数c的取值范围;(3)若函数在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
由复数除法求出,写出共轭复数,写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析:,,对应点为,在第三象限.故选:C.本题考查复数的除法运算,共轭复数的概念,复数的几何意义.掌握复数除法法则是解题关键.2.D【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解:图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,故选:D考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.3.D【解析】
充分性中,由向量数乘的几何意义得,再由数量积运算即可说明成立;必要性中,由数量积运算可得,不一定有正数,使得,所以不成立,即可得答案.【详解】充分性:若存在正数,使得,则,,得证;必要性:若,则,不一定有正数,使得,故不成立;所以是充分不必要条件故选:D本题考查平面向量数量积的运算,向量数乘的几何意义,还考查了充分必要条件的判定,属于简单题.4.A【解析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形,整理后与对比,从而可选出正确答案.【详解】解:.对于A:可得.故选:A.本题考查了三角函数图像平移变换,考查了辅助角公式.本题的易错点有两个,一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时,忘记乘了自变量前的系数.5.B【解析】
由平面向量垂直的数量积关系化简,即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得,,所以,即,由平面向量数量积定义可得,所以,而,即与的夹角为.故选:B本题考查了平面向量数量积的运算,平面向量夹角的求法,属于基础题.6.A【解析】
根据题意作出垂线段,表示出所要求得、角,分别表示出其正弦值进行比较大小,从而判断出角的大小,即可得答案.【详解】由题可得过点作交于点,过作的垂线,垂足为,则易得,.设,则有,,,可得,.,,;,;,,,.综上可得,.故选:.本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系,考查三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.C【解析】
先化简集合A,再与集合B求交集.【详解】因为,,所以.故选:C本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法,属于基础题.8.D【解析】
设,,,根据可得①,再根据又②,由①②可得,化简可得,即可求出离心率.【详解】解:设,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故选:D.本题考查双曲线的方程和性质,考查了斜率的计算,离心率的求法,属于基础题和易错题.9.A【解析】
先求出平移后的函数解析式,结合图像的对称性和得到A和.【详解】因为关于轴对称,所以,所以,的最小值是.,则,所以.本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.10.D【解析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可.【详解】对A项,由统计图可得,2015年出口额和进口额基本相等,而2016年到2019年出口额都大于进口额,则A正确;对B项,由统计图可得,2015年出口额最少,则B正确;对C项,由统计图可得,2019年进口增速都超过其余年份,则C正确;对D项,由统计图可得,2015年到2016年出口增速是上升的,则D错误;故选:D本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题,属于基础题.11.C【解析】
根据已知条件求得等差数列的通项公式,判断出最小时的值,由此求得的最小值.【详解】依题意,解得,所以.由解得,所以前项和中,前项的和最小,且.故选:C本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算,考查等差数列前项和最值的求法,属于基础题.12.D【解析】
根据图像所给的数据,对四个选项逐一进行分析排除,由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项,由图像可知,投资额逐年增加是正确的.对于选项,投资总额为亿元,小于年的亿元,故描述正确.年的投资额为亿,翻两翻得到,故描述正确.对于选项,令代入回归直线方程得亿元,故选项描述不正确.所以本题选D.本小题主要考查图表分析能力,考查利用回归直线方程进行预测的方法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】
先将前两项利用基本不等式去掉,,再处理只含的算式即可.【详解】解:,因为,所以,所以,当且仅当,,时等号成立,故答案为:1.本题主要考查基本不等式的应用,但是由于有3个变量,导致该题不易找到思路,属于中档题.14.【解析】
根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可.【详解】由题可知,直线可化为,所以其过定点,直线可化为,所以其过定点,且满足,所以直线与直线互相垂直,其交点在以为直径的圆上,作图如下:结合图形可知,线段的最大值为,因为为线段的中点,所以由中点坐标公式可得,所以线段的最大值为.故答案为:本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.15.【解析】
先分间隔一个与不间隔分类计数,再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.【详解】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻,则学习方法有种;若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;因此共有种.故答案为:本题考查排列组合实际问题,考查基本分析求解能力,属基础题.16.【解析】
先找到平面区域内任意两点的最大值为,再利用三角恒等变换化简即可得到最大值.【详解】由已知及正弦定理,得,所以,,取AB中点E,AC中点F,BC中点G,如图所示显然平面区域任意两点距离最大值为,而,当且仅当时,等号成立.故答案为:.本题考查正弦定理在平面几何中的应用问题,涉及到距离的最值问题,在处理这类问题时,一定要数形结合,本题属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【解析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为,所以,所以曲线的直角坐标方程为.由,得,所以曲线的普通方程为.由,得,所以(舍),所以,所以曲线的交点坐标为.本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.18.(1)的长为4(2)【解析】
(1)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,根据向量垂直关系计算得到答案.(2)计算平面的法向量为,为平面的一个法向量,再计算向量夹角得到答案.【详解】(1)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,所以.,因为,所以,即,解得,所以的长为4.(2)因为,所以,又,故.设为平面的法向量,则即取,解得,所以为平面的一个法向量.显然,为平面的一个法向量,则,据图可知,二面角的余弦值为.本题考查了立体几何中的线段长度,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.(1)证明见解析,;(2)【解析】
(1)利用,推出,然后利用等差数列的通项公式,即可求解;(2)由(1)知,利用裂项法,即可求解数列的前n项和.【详解】(1)由题意,数列满足且可得,即,所以数列是公差,首项的等差数列,故,所以.(2)由(1)知,所以数列的前n项和:==本题主要考查了等差数列的通项公式,以及“裂项法”求解数列的前n项和,其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式,合理利用“裂项法”求和是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.20.(1)(2)或.【解析】
(1)圆的方程已知,根据条件列出方程组,解方程即得;(2)设,,显然直线l的斜率存在,方法一:设直线l的方程为:,将直线方程和椭圆方程联立,消去,可得,同理直线方程和圆方程联立,可得,再由可解得,即得;方法二:设直线l的方程为:,与椭圆方程联立,可得,将其与圆方程联立,可得,由可解得,即得.【详解】(1)记椭圆E的焦距为().右顶点在圆C上,右准线与圆C:相切.解得,,椭圆方程为:.(2)法1:设,,显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为:.直线方程和椭圆方程联立,由方程组消去y得,整理得.由,解得.直线方程和圆方程联立,由方程组消去y得,由,解得.又,则有.即,解得,故直线l的方程为或.分法2:设,,当直线l与x轴重合时,不符题意.设直线l的方程为:.由方程组消去x得,,解得.由方程组消去x得,,解得.又,则有.即,解得,故直线l的方程为或.本题考查求椭圆的标准方程,以及直线和椭圆的位置关系,考查学生的分析和运算能力.21.(1);(2)【解析】
(1)设,则由题设条件可得,化简后可得轨迹的方程.(2)设直线,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定
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