拓展提升01 三角函数中的参数问题（解析版）

拓展提升01三角函数中的参数问题题型01已知单调性求参数【典例1】（24-25高一上·天津·期末）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为，，可得，函数在上单调递增，得出，，即可求解．【详解】，，，则，，当时，由，解得，又，故；当时，由，得无解，同理当时，无解．故选：B．【变式1】（24-25高一上·重庆·期末）若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得，即可求出，再由的取值范围求出的取值范围，从而确定左端点的取值范围，即可得到，解得即可.【详解】函数在区间上单调递增且，所以，解得，由，则，则，所以，解得，即正数的取值范围为.故选：A【变式2】（24-25高一上·湖南常德·期末）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可得，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】由题意可得，当时，.由在区间上单调递增，则，解得，即的最大值为.故选：B.【变式3】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值.【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得，又由函数在区间上单调，则，可得，有，有，可得，.故选：A.【变式4】（24-25高一上·天津·期末）已知点在锐角的终边上，若函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据点在锐角的终边上求出，根据在上进行最值分析，且在上进行单调分析即可.【详解】因为点在锐角的终边上，所以，，所以，所以，当时，因为，则，因为函数在上存在最值，则，解得，当时，，因为函数在上单调，则，所以，所以，解得，又因为，则．当时，；当时，；当时，．又因为，因此的取值范围是．故选：C.【变式5】（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为．【答案】【分析】利用整体法即可结合正弦函数的性质求解.【详解】时，则，由于在区间上不单调，则，故，故答案为：【变式6】（24-25高一上·福建漳州·期末）已知函数的图象过点，且在区间单调递增，则的取值范围为．【答案】【分析】先根据已知点求出的值，再根据单调递增区间列出关于的不等式求解.【详解】因为函数的图象过点，代入函数可得：，即.又因为，所以，则函数.对于余弦函数，其单调递增区间为.那么对于函数，有.解不等式可得：.解不等式可得：.因为在区间单调递增，所以.由可得：.由可得：.因为，所以，解得，所以.故答案为：.【变式7】（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是.【答案】【分析】分类讨论，根据正弦函数性质求单调区间，再根据集合包含关系列不等式，解得的取值范围.【详解】设，，当时，则由已知，且，又，结合，，故，当时，则由已知，，又，结合，，故，当时，，综上可得的范围为故答案为：【变式8】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，与x轴交于点，且平行四边形EDCB的面积为.(1)求函数的解析式(2)若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，由平行四边形的面积为得，由得，由此即可得函数表达式；（2）结合三角函数、复合函数单调性可列不等式组求解.【详解】（1）由图可知，又因为平行四边形的面积为，所以，解得，所以，又的图象过点，所以，所以，又因为，所以，所以.（2）若，则，若函数在区间上单调递增，则由复合函数单调性可知，所以，解得.题型02已知最值、值域求参数【典例2】（24-25高一上·山西·期末）已知函数，若对任意，在区间上的值域均为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合函数在上的值域和题设条件，可知区间长度必须大于一个周期，从而建立不等式，即可求得的范围.【详解】因为，当时，，故．因为，在上的值域均为，故区间长度必须大于一个周期，即，解得．故选：A.【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据，得到，再由，分，，由最大值为求解.【详解】因为函数在区间上的最大值为，所以，解得，因为，所以，当，即时，，令，在同一坐标系中作出图象：令，因为，，所以存在唯一，使得；当，即时，，即，解得.所以实数的取值个数最多为2.故选：B.【变式2】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】根据对称轴，得到解得，再根据在上没有最小值，得到，计算即可.【详解】由的图象关于直线对称可得，，而，故，.若，则，故由可知在上有最小值.所以，.故选：A．【变式3】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由题可得，观察函数图象得出的最大值和最小值即可判断.【详解】的定义域为，值域为，则，则观察函数图象可得，的最大值为，的最小值为，，故可能是.故选：ABC.【变式4】（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是.【答案】【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得.【详解】因，设，当时，，作出在上的图象如图.要使区间上有最大值，无最小值，需使,解得，，即的取值范围为.故答案为：.【变式5】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数在区间上的值域为则实数a的取值范围是．【答案】【分析】由，结合函数在上的值域，列出不等式即可求出实数a的取值范围．【详解】当时，，由，可得，函数在区间上的值域为，根据正弦函数的图象知，，解得，所以实数a的取值范围是．故答案为：．【变式6】（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知函数在区间上的值域为，且，则的值为.【答案】【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.【详解】，故，因为在区间上的值域为，且，故必有，如图所示，则故故答案为：【变式7】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）若函数在上的值域是，则m的取值范围是．【答案】【分析】首先根据函数的定义域求的范围，再根据函数的定义域确定右端点的取值范围.【详解】当，，由函数的值域为，可知，解得：.故答案为：【变式8】（23-24高一下·四川成都·期中）已知函数，且在区间上的最大值为，则的最小值为．【答案】【分析】利用整体法，求解，即可结合正弦函数的性质求解.【详解】由于，则，由于在区间上的最大值为，则在区间上的最大值为1，故，解得，故的最小值为故答案为：【变式9】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为．【答案】【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得.【详解】因，设，当时，，作出在上的图象如图.要使区间上有最大值，无最小值，需使,解得，，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于较难题.解题思路一般是将辐角看成整体角，求出其范围，借助于正弦函数（或余弦函数）的图象，即可求得.题型03已知对称性求参数【典例3】（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦函数的性质求解出对称轴，再结合题意建立不等式组，求解参数范围即可.【详解】令，解得，若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则函数在上由小到大的第1条对称轴为，第2条对称轴为，第3条对称轴为，第4条对称轴为，第5条对称轴为，第6条对称轴为，由题意知，，解得，故D正确.故选：D【变式1】（24-25高一上·天津武清·期末）若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得函数的对称轴为，进而可得，即得.【详解】又可得的对称轴为，当时，，当时，，当时，，因，由题意，可得，故选：B【变式2】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出函数的对称轴方程，根据题意列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由函数（），令，即，因为（）在区间上恰好有3条对称轴，显然当时，为内最左侧的对称轴，故，解得，即的取值范围是，故选：C【变式3】（23-24高一下·安徽·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正弦型函数的性质列出关于的不等式，求解即可．【详解】由，设，则，由图可知直线在线段之间，不含点，所以，得．故选：C.【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断是函数的一条对称轴，再根据的对称轴列式求解.【详解】由题知是函数的一条对称轴，即，解得，又，则当时，取得最小值为．故选：B【变式5】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】利用余弦函数图象的对称性，由对称轴和对称中心方程求得的表达式，即可求得其取值.【详解】根据图象关于直线对称可得，解得;又关于点对称可得，解得；经检验当时，符合题意.故选：C【变式6】已知函数在区间上至少存在两条对称轴，则的最小值为（

）A．6 B．C． D．【答案】C【分析】化简函数，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】因为函数，由，可得，要使得函数在区间上至少存在两条对称轴，根据余弦型函数的性质，则满足，解得，所以实数的最小值为.故选：C.题型04已知零点、最值点个数求参数【典例4】（24-25高一上·北京·期末）函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据得，即可得解出即可.【详解】因为，因为在区间上恰有2个零点，所以，所以的取值范围为，故选：B.【变式1】（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.【详解】因为函数在内恰有两个最小值点，，所以所以，所以.故选：B【变式2】（24-25高一上·广西南宁·期末）设函数在区间恰有三个最值点和两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由题中条件，求出，令，，依次列举其最值点和零点，再由题意，得出，求解即可.【详解】因为，，所以，令，，则函数中大于的最值点与零点依次是：又函数在区间恰有三个最值点和两个零点，所以只需，解得；故选：C【变式3】（23-24高一下·北京·期中）已知函数，若关于x的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，则正整数的取值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】利用换元法求出的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案；【详解】令，∵，∴，设，∵若关于x的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，∴在上有且仅有4个不相等的实数根，∴，∴正整数的取值为.故选：B.【变式4】（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为【答案】【分析】因为根据在区间上只取得一次最大值，得，求的取值范围，函数在区间上单调递增，有，求的取值范围，求出两个范围的交集即可.【详解】当时，，因为函数在区间上只取得一次最大值，所以，解得①，当时，，因为函数在区间上单调递增，结合①有，解得，综上所述，的取值范围为.故答案为：【变式5】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是．【答案】【分析】求出，根据函数恰有两个最大值，得到，得到答案.【详解】因为，，所以，又上恰有两个最大值，所以，解得.故答案为：题型05已知周期求参数【典例5】（23-24高一下·河南驻马店·期末）函数的最小正周期为T，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用周期公式，代入解析式．再已知函数值，求角度即可【详解】，则，即，即，即，则，又，则.故选：B.【变式1】（2025高一上·全国·专题练习）若函数的最小正周期是2，则的值为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据周期公式即可得到答案.【详解】依题意．所以ω的值为，故选：B.【变式2】（24-25高二上·湖南·开学考试）已知函数图象的两个相邻对称中心为，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两相邻对称中心的距离为周期的一半及周期公式求得，再代入正弦函数的中心对称结论列式，根据求解即可.【详解】由图象的两个相邻对称中心为，，可得，所以，故，又，则，结合，得.故选：A.【变式3】（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知的最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据解析式求出得的最小值为可得答案.【详解】因为，所以，由题意得为最小值，为最大值，所以的最小值为，所以的最小值为.故选：A.【变式4】（23-24高一下·广西钦州·期末）已知，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点，若，则（

）A．4 B．8 C．4或8 D．8或16【答案】C【分析】将问题转化为的两个相邻的解之间距离为，由此列式求解，即可得答案.【详解】由题意，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点，且，则的两个相邻的解之间距离为，而或，即或，则，或，解得或，故选：C【变式5】已知函数的周期不大于2，则正整数k的最小值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根据周期的公式求解分析即可.【详解】由题设，,又，正整数k的最小值为13.故选：D题型6根据图像变化求参数【典例6】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出图象平移之后的函数解析式，利用函数图象关于轴对称可求的最小值.【详解】将函数的图象向右平移个单位，所得函数解析式为，即，∵函数的图象关于轴对称，∴函数为偶函数，∴，故，∵，∴当时，.故选：D.【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】由题可知，是该函数的周期的整数倍，根据可得答案.【详解】由题可知，是该函数的周期的整数倍，即，解得，又，故其最小值为．故选：B.【变式2】（24-25高一上·山西·期末）若函数在处取得最大值，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的值，再根据平移变换求出的最小值.【详解】因为时函数取得最大值，则，解得.所以，将函数的图象向左平移个单位长度后得到，，函数为奇函数，则，所以，当时，有最小值.故选：D.【变式3】（24-25高一上·福建福州·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象关于原点对称，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函数的平移变换求出函数的图象，然后利用函数的对称性求得的关系式，即可得出答案.【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因为函数图象关于原点对称，，所以，所以的值可以是.故选：B.【变式4】（24-25高一上·北京大兴·期末）将函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用图象变换得函数的解析式，再根据正切函数的图象和周期公式即可得正数的最小值.【详解】由题意，得，，设函数的最小正周期为，因为，所以，，又，，解得，，所以正数的最小值为6.故选：A.【变式5】（24-25高一上·山东菏泽·期末）已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根据函数图象变换求函数的解析式，结合条件列方程求.【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以，因为与的图象关于原点对称，函数的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为，所以，即，所以，，所以，，又，所以，故选：D.【变式6】（24-25高一上·山西太原·期末）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到的图象，若函数在上没有零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图象变换得到，再根据函数在上没有零点，由或求解.【详解】解：把函数的图象向左平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到，因为函数在上没有零点，所以或，解得或，当时，或，故选：B【变式7】（24-25高一上·福建莆田·期末）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值为．【答案】【分析】利用三角恒等变换得到，利