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文档简介
拓展提升01三角函数中的参数问题题型01已知单调性求参数【典例1】(24-25高一上·天津·期末)已知,函数在上单调递增,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】因为,,可得,函数在上单调递增,得出,,即可求解.【详解】,,,则,,当时,由,解得,又,故;当时,由,得无解,同理当时,无解.故选:B.【变式1】(24-25高一上·重庆·期末)若函数在区间上单调递增,则正数的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】依题意可得,即可求出,再由的取值范围求出的取值范围,从而确定左端点的取值范围,即可得到,解得即可.【详解】函数在区间上单调递增且,所以,解得,由,则,则,所以,解得,即正数的取值范围为.故选:A【变式2】(24-25高一上·湖南常德·期末)已知函数在区间上单调递增,则的最大值为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据可得,结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】由题意可得,当时,.由在区间上单调递增,则,解得,即的最大值为.故选:B.【变式3】(24-25高一上·河北秦皇岛·期末)已知直线是函数(其中)的图象的一条对称轴,且函数在区间上单调,则的值为(
)A. B. C.2 D.【答案】A【分析】由是函数的一条对称轴,可得,再根据在区间上单调,则,可得,运算可求得的值.【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴,有,可得,又由函数在区间上单调,则,可得,有,有,可得,.故选:A.【变式4】(24-25高一上·天津·期末)已知点在锐角的终边上,若函数在上存在最值,且在上单调,则的取值范围为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根据点在锐角的终边上求出,根据在上进行最值分析,且在上进行单调分析即可.【详解】因为点在锐角的终边上,所以,,所以,所以,当时,因为,则,因为函数在上存在最值,则,解得,当时,,因为函数在上单调,则,所以,所以,解得,又因为,则.当时,;当时,;当时,.又因为,因此的取值范围是.故选:C.【变式5】(24-25高一上·浙江宁波·期末)函数在区间上不单调,则实数m的取值范围为.【答案】【分析】利用整体法即可结合正弦函数的性质求解.【详解】时,则,由于在区间上不单调,则,故,故答案为:【变式6】(24-25高一上·福建漳州·期末)已知函数的图象过点,且在区间单调递增,则的取值范围为.【答案】【分析】先根据已知点求出的值,再根据单调递增区间列出关于的不等式求解.【详解】因为函数的图象过点,代入函数可得:,即.又因为,所以,则函数.对于余弦函数,其单调递增区间为.那么对于函数,有.解不等式可得:.解不等式可得:.因为在区间单调递增,所以.由可得:.由可得:.因为,所以,解得,所以.故答案为:.【变式7】(24-25高一上·浙江杭州·期末)若函数在区间上单调递减,则的取值范围是.【答案】【分析】分类讨论,根据正弦函数性质求单调区间,再根据集合包含关系列不等式,解得的取值范围.【详解】设,,当时,则由已知,且,又,结合,,故,当时,则由已知,,又,结合,,故,当时,,综上可得的范围为故答案为:【变式8】(24-25高一上·新疆喀什·期末)已知函数(,,)的部分图象如图所示,与x轴交于点,且平行四边形EDCB的面积为.(1)求函数的解析式(2)若函数在区间上单调递增,则实数m的取值范围【答案】(1)(2)【分析】(1)由题意得,由平行四边形的面积为得,由得,由此即可得函数表达式;(2)结合三角函数、复合函数单调性可列不等式组求解.【详解】(1)由图可知,又因为平行四边形的面积为,所以,解得,所以,又的图象过点,所以,所以,又因为,所以,所以.(2)若,则,若函数在区间上单调递增,则由复合函数单调性可知,所以,解得.题型02已知最值、值域求参数【典例2】(24-25高一上·山西·期末)已知函数,若对任意,在区间上的值域均为,则的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数,结合函数在上的值域和题设条件,可知区间长度必须大于一个周期,从而建立不等式,即可求得的范围.【详解】因为,当时,,故.因为,在上的值域均为,故区间长度必须大于一个周期,即,解得.故选:A.【变式1】(24-25高一上·浙江杭州·期末)已知函数在区间上的最大值为,则实数的取值个数最多为(
)个A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】根据,得到,再由,分,,由最大值为求解.【详解】因为函数在区间上的最大值为,所以,解得,因为,所以,当,即时,,令,在同一坐标系中作出图象:令,因为,,所以存在唯一,使得;当,即时,,即,解得.所以实数的取值个数最多为2.故选:B.【变式2】(24-25高三上·安徽合肥·阶段练习)已知函数的图象关于直线对称,且在上没有最小值,则的值为(
)A. B.4 C. D.【答案】A【分析】根据对称轴,得到解得,再根据在上没有最小值,得到,计算即可.【详解】由的图象关于直线对称可得,,而,故,.若,则,故由可知在上有最小值.所以,.故选:A.【变式3】(23-24高一下·辽宁大连·阶段练习)已知函数的定义域为,值域为,则的值可能是(
)A. B. C. D.【答案】ABC【分析】由题可得,观察函数图象得出的最大值和最小值即可判断.【详解】的定义域为,值域为,则,则观察函数图象可得,的最大值为,的最小值为,,故可能是.故选:ABC.【变式4】(24-25高一上·河北石家庄·期末)已知函数在上有最大值,无最小值,则的取值范围是.【答案】【分析】设,求出的范围,结合正弦函数的图象,依题意得到不等式组,解之即得.【详解】因,设,当时,,作出在上的图象如图.要使区间上有最大值,无最小值,需使,解得,,即的取值范围为.故答案为:.【变式5】(24-25高一上·江苏无锡·阶段练习)函数在区间上的值域为则实数a的取值范围是.【答案】【分析】由,结合函数在上的值域,列出不等式即可求出实数a的取值范围.【详解】当时,,由,可得,函数在区间上的值域为,根据正弦函数的图象知,,解得,所以实数a的取值范围是.故答案为:.【变式6】(24-25高三上·江苏苏州·期中)已知函数在区间上的值域为,且,则的值为.【答案】【分析】利用整体代入法,结合正弦函数的图像求解即可.【详解】,故,因为在区间上的值域为,且,故必有,如图所示,则故故答案为:【变式7】(23-24高一下·辽宁辽阳·期中)若函数在上的值域是,则m的取值范围是.【答案】【分析】首先根据函数的定义域求的范围,再根据函数的定义域确定右端点的取值范围.【详解】当,,由函数的值域为,可知,解得:.故答案为:【变式8】(23-24高一下·四川成都·期中)已知函数,且在区间上的最大值为,则的最小值为.【答案】【分析】利用整体法,求解,即可结合正弦函数的性质求解.【详解】由于,则,由于在区间上的最大值为,则在区间上的最大值为1,故,解得,故的最小值为故答案为:【变式9】(23-24高一下·湖南邵阳·期末)已知函数在区间上有最大值,无最小值,则的取值范围为.【答案】【分析】设,求出的范围,结合正弦函数的图象,依题意得到不等式组,解之即得.【详解】因,设,当时,,作出在上的图象如图.要使区间上有最大值,无最小值,需使,解得,,即的取值范围为.故答案为:.【点睛】思路点睛:本题主要考查正弦型函数的性质应用,属于较难题.解题思路一般是将辐角看成整体角,求出其范围,借助于正弦函数(或余弦函数)的图象,即可求得.题型03已知对称性求参数【典例3】(24-25高一上·江苏常州·期末)若函数在区间上有且仅有5条对称轴,则取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用正弦函数的性质求解出对称轴,再结合题意建立不等式组,求解参数范围即可.【详解】令,解得,若函数在区间上有且仅有5条对称轴,则函数在上由小到大的第1条对称轴为,第2条对称轴为,第3条对称轴为,第4条对称轴为,第5条对称轴为,第6条对称轴为,由题意知,,解得,故D正确.故选:D【变式1】(24-25高一上·天津武清·期末)若函数在区间上有且仅有2条对称轴,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据题意可得函数的对称轴为,进而可得,即得.【详解】又可得的对称轴为,当时,,当时,,当时,,因,由题意,可得,故选:B【变式2】(24-25高三上·山东德州·阶段练习)设函数()在区间上恰好有3条对称轴,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】首先求出函数的对称轴方程,根据题意列出相应不等式,即可求得答案.【详解】由函数(),令,即,因为()在区间上恰好有3条对称轴,显然当时,为内最左侧的对称轴,故,解得,即的取值范围是,故选:C【变式3】(23-24高一下·安徽·期末)函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心,则的取值范围为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】利用正弦型函数的性质列出关于的不等式,求解即可.【详解】由,设,则,由图可知直线在线段之间,不含点,所以,得.故选:C.【变式4】(24-25高一上·全国·课后作业)已知函数,若,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】先判断是函数的一条对称轴,再根据的对称轴列式求解.【详解】由题知是函数的一条对称轴,即,解得,又,则当时,取得最小值为.故选:B【变式5】(23-24高一下·山东临沂·期中)已知函数图象关于直线对称,且关于点对称,则的值可能是(
)A.7 B.9 C.11 D.13【答案】C【分析】利用余弦函数图象的对称性,由对称轴和对称中心方程求得的表达式,即可求得其取值.【详解】根据图象关于直线对称可得,解得;又关于点对称可得,解得;经检验当时,符合题意.故选:C【变式6】已知函数在区间上至少存在两条对称轴,则的最小值为(
)A.6 B.C. D.【答案】C【分析】化简函数,根据题意,结合余弦型函数的性质,列出不等式,即可求解.【详解】因为函数,由,可得,要使得函数在区间上至少存在两条对称轴,根据余弦型函数的性质,则满足,解得,所以实数的最小值为.故选:C.题型04已知零点、最值点个数求参数【典例4】(24-25高一上·北京·期末)函数在区间上恰有2个零点,则的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据得,即可得解出即可.【详解】因为,因为在区间上恰有2个零点,所以,所以的取值范围为,故选:B.【变式1】(24-25高一上·广东揭阳·期末)函数在内恰有两个最小值点,则的范围是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根据正弦型函数的最小值的性质,结合题意进行求解即可.【详解】因为函数在内恰有两个最小值点,,所以所以,所以.故选:B【变式2】(24-25高一上·广西南宁·期末)设函数在区间恰有三个最值点和两个零点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】先由题中条件,求出,令,,依次列举其最值点和零点,再由题意,得出,求解即可.【详解】因为,,所以,令,,则函数中大于的最值点与零点依次是:又函数在区间恰有三个最值点和两个零点,所以只需,解得;故选:C【变式3】(23-24高一下·北京·期中)已知函数,若关于x的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根,则正整数的取值为(
)A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【分析】利用换元法求出的取值范围,再根据三角函数的图象得到的不等式,即可得答案;【详解】令,∵,∴,设,∵若关于x的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根,∴在上有且仅有4个不相等的实数根,∴,∴正整数的取值为.故选:B.【变式4】(24-25高一上·宁夏银川·期末)已知函数在区间上单调递增,且在区间上只取得一次最大值,则的取值范围为【答案】【分析】因为根据在区间上只取得一次最大值,得,求的取值范围,函数在区间上单调递增,有,求的取值范围,求出两个范围的交集即可.【详解】当时,,因为函数在区间上只取得一次最大值,所以,解得①,当时,,因为函数在区间上单调递增,结合①有,解得,综上所述,的取值范围为.故答案为:【变式5】(23-24高一上·江苏盐城·期末)若函数在区间上恰有两个最大值,则实数的取值范围是.【答案】【分析】求出,根据函数恰有两个最大值,得到,得到答案.【详解】因为,,所以,又上恰有两个最大值,所以,解得.故答案为:题型05已知周期求参数【典例5】(23-24高一下·河南驻马店·期末)函数的最小正周期为T,若,则(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】运用周期公式,代入解析式.再已知函数值,求角度即可【详解】,则,即,即,即,则,又,则.故选:B.【变式1】(2025高一上·全国·专题练习)若函数的最小正周期是2,则的值为()A. B.C. D.【答案】B【分析】根据周期公式即可得到答案.【详解】依题意.所以ω的值为,故选:B.【变式2】(24-25高二上·湖南·开学考试)已知函数图象的两个相邻对称中心为,,则(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据两相邻对称中心的距离为周期的一半及周期公式求得,再代入正弦函数的中心对称结论列式,根据求解即可.【详解】由图象的两个相邻对称中心为,,可得,所以,故,又,则,结合,得.故选:A.【变式3】(23-24高一下·辽宁沈阳·期末)已知的最大值为,若存在不同的实数,使得对任意实数总有成立,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据解析式求出得的最小值为可得答案.【详解】因为,所以,由题意得为最小值,为最大值,所以的最小值为,所以的最小值为.故选:A.【变式4】(23-24高一下·广西钦州·期末)已知,是函数()图象与轴的两个相邻的交点,若,则(
)A.4 B.8 C.4或8 D.8或16【答案】C【分析】将问题转化为的两个相邻的解之间距离为,由此列式求解,即可得答案.【详解】由题意,是函数()图象与轴的两个相邻的交点,且,则的两个相邻的解之间距离为,而或,即或,则,或,解得或,故选:C【变式5】已知函数的周期不大于2,则正整数k的最小值为(
)A.10 B.11 C.12 D.13【答案】D【分析】根据周期的公式求解分析即可.【详解】由题设,,又,正整数k的最小值为13.故选:D题型6根据图像变化求参数【典例6】(24-25高一上·湖南衡阳·期末)将函数的图象向右平移个单位,所得函数图象关于轴对称,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】求出图象平移之后的函数解析式,利用函数图象关于轴对称可求的最小值.【详解】将函数的图象向右平移个单位,所得函数解析式为,即,∵函数的图象关于轴对称,∴函数为偶函数,∴,故,∵,∴当时,.故选:D.【变式1】(24-25高一下·全国·课后作业)已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合,则实数的最小值是(
)A. B. C. D.8【答案】B【分析】由题可知,是该函数的周期的整数倍,根据可得答案.【详解】由题可知,是该函数的周期的整数倍,即,解得,又,故其最小值为.故选:B.【变式2】(24-25高一上·山西·期末)若函数在处取得最大值,将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数是奇函数,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出的值,再根据平移变换求出的最小值.【详解】因为时函数取得最大值,则,解得.所以,将函数的图象向左平移个单位长度后得到,,函数为奇函数,则,所以,当时,有最小值.故选:D.【变式3】(24-25高一上·福建福州·期末)将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象关于原点对称,则的值可以是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由三角函数的平移变换求出函数的图象,然后利用函数的对称性求得的关系式,即可得出答案.【详解】函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,所以,因为函数图象关于原点对称,,所以,所以的值可以是.故选:B.【变式4】(24-25高一上·北京大兴·期末)将函数图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的()倍,得到函数的图象,若,则正数的最小值为(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】利用图象变换得函数的解析式,再根据正切函数的图象和周期公式即可得正数的最小值.【详解】由题意,得,,设函数的最小正周期为,因为,所以,,又,,解得,,所以正数的最小值为6.故选:A.【变式5】(24-25高一上·山东菏泽·期末)已知函数,将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,若与的图象关于原点对称,则的值为(
)A.1 B. C.2 D.【答案】D【分析】根据函数图象变换求函数的解析式,结合条件列方程求.【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,所以,因为与的图象关于原点对称,函数的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为,所以,即,所以,,所以,,又,所以,故选:D.【变式6】(24-25高一上·山西太原·期末)把函数的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的()倍,纵坐标不变得到的图象,若函数在上没有零点,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由图象变换得到,再根据函数在上没有零点,由或求解.【详解】解:把函数的图象向左平移个单位长度得到,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的()倍,纵坐标不变得到,因为函数在上没有零点,所以或,解得或,当时,或,故选:B【变式7】(24-25高一上·福建莆田·期末)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,得到函数的图象.若函数为偶函数,则的最小值为.【答案】【分析】利用三角恒等变换得到,利
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