数学分析III教学大纲

《数学分析III》课程教学大纲一、课程基本信息MathematicalAnalys004〇通识教育课课〇教师教育课〇综合实践课必修课〇选修课考试〇考查数学分析III是数学与应用数学专业最主要的专业基础课,是学习数学分析Ⅳ、复变函数、实变函数与泛函分析等后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生必考基础课之一。课程内容:级数理论、多元函数极限与连续、多元函数微分学及应用。它与先导课程《数学分析I》和《数学分析II》和后续课程《数学分析III》一起，构成完整的数学分析课程。用极限的思想与方法研究级数、多元函数的连续性、可微性。通过本课程的教学，要求学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、基本思想与方法；增强学生的抽象思维、逻辑推理与运算能力，提高学生的数学修养与素质，为学生今后学习其它专业课程打下良好的基础；同时增强学生克服困难的勇气与自信，学会利用马克思主义哲学原理分析问题，坚持辩证的唯物主义体验知识的连贯性。1.理解（函）数项级数、幂级数、傅里叶级数、多元函数的微分学的基本性质、基本理论、基本思想方法。2.用数学分析课程知识解决问题的能力：会级数中简单定理的证明、会判别级数的收敛、一致收敛、会求级数的收敛区间、收敛域、会求解幂级数展开式；会求多元函数的极限、会判别一致连续；能理解多元函数可微与可导的关系，会求多元函数的复合函数的偏导数与全微分，掌握方向导数和梯度的概念和求法，会用导数作为工具解决多元函数极值问题。提升学生严谨的逻辑思维与推理论证能力。3.提升终身学习的意识，了解国内外数学发展，并能够根据时代发展需求，结合自身实际，通过各种渠道进行自主学习。二、课程目标与毕业要求的对应关系3.1【专业知识】了解数学学科知识体系的内在联系，了解数学学科发展的历史、现状和趋势，掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能。H13.2【专业能力】具有良好的数学抽象、逻辑推理、空间想象、数学建模等数学学科专业能力，初步具备数学研究或运用数学知识分析和解决实际问题的能力。H27.1【终身学习】具有终身学习和数学专业发展意识，了解国内外数学基础教育改革发展动态，并能根据时代和数学教育教学的发展需求，结合自身实际，通过各种渠道进行学习，做好职业发展规划。M3（注：数学分析Ⅰ至Ⅳ支撑毕业要求指标点3.1，3.2，4.1，7.1，根据内容特点，数学分析Ⅲ支撑其中的3.1，3.2，7.1）三、课程教学安排：教学目标、教学内容、重难点与学时分配章节项目内容学时分配支撑课程目标第十二章数项级数教学目标1.理解级数的收敛、发散等概念及其收敛级数的基本性质；2.熟练掌握正项级数敛散性的判别法；3.掌握交错级数与莱布尼兹判别法；4.熟悉几何级数与P级数的敛散性，会用在比较判别法；5.熟悉绝对收敛与条件收敛的概念及相关定理，会判定级数的绝对收敛与条件收敛；6.了解积分判别法、阿贝耳判别法与狄利克雷判别。121、2教学内容1.级数的收敛性2.正项级数3.一般项级数教学重、难点重点：级数收敛定义以及级数收敛判别法。难点：用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性；绝对收敛与条件收敛的判别。第十三章函数列与函数项级数教学目标1.熟悉函数列与函数项级数收敛与一致收敛的概念、函数列一致收敛的充要条件定理；2.掌握函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯优级数判别法；3.熟悉函数项级数和函数的分析性质及其证明，了解一致收敛柯西准则、阿贝耳判别法与狄利克雷判别法；4.会利用一致收敛函数项级数的逐项可微性和可积性求级数的和。教学内容1.一致收敛性2.一致收敛函数列与函数项级数的性质教学重、难点重点：函数项级数和函数列一致收敛的概念及其判别方法。难点：函数项级数和函数列一致收敛的概念，判别法及其应用。第十四章幂级数教学目标1.掌握幂级数收敛半径和收敛区间的求法；2.了解幂级数在收敛区间内的分析性质及运算；3.会用直接和间接法将初等函数展开成幂级数；4.会利用幂级数性质求简单的和函数。8教学内容1.幂级数2.函数的幂级数展开*3.复变量的指数函数、欧拉公式教学重、难点重点：求幂级数得收敛域、幂级数求和，将函数展成为幂级数。难点：函数的幂级数展开，利用幂级数的性质求和。第十五章傅里叶级数教学目标1.了解傅里叶级数收敛定理的条件与结论及证明；2.能熟练地将函数展开为傅里叶级数。3教学内容1.傅里叶级数2.以2l为周期的函数的展开式*3.收敛定理的证明教学重、难点重点：将函数展开为傅里叶级数。难点：傅里叶级数收敛定理。第十六章多元函数的极限与连续教学目标1.掌握平面点集和多元函数的有关概念，了解R²上的完备性定理；2.弄清二重极限与累次极限之间的区别和联系，会求二元函数的极限；3.理解二元函数的连续性，熟悉有界闭域上连续函数性质。教学内容1.平面点集与多元函数2.二元函数的极限3.二元函数的连续性教学重、难点重点：二元函数极限、有界闭域上连续函数性质。难点：有界闭域上连续函数性质。第十七章多元函数微分学教学目标1.理解并掌握偏导数、全微分、方向导数和梯度等概念；2.能熟练地计算多元函数偏导数和全微分；3.弄清多元函数的偏导数存在、可微、连续三者之间的关系；4.记住混合偏导数与求导顺序无关的条件；5.会求二元函数极值。3教学内容1.可微性2.复合函数微分法3.方向导数与梯度*4.泰勒公式与极值问题教学重、难点重点：偏导数、全微分、方向导数和梯度的概念和计算，求多元函数的极值。难点：复合函数的偏导数计算，可微的相关定理、泰勒公式与极值。四、课程实践（实验）教学安排五、课程思政教学要点思政内容目标要求关联的主要内容或环节乐于奉献掌握量变与质变的辩证关系，倡导乐于奉献的人文情怀，提升集体主义荣誉感；倡导社会主义核心价值观之和谐。级数前n项和与级数的和的关系科学精神、学习信念教育运用特殊与一般关系的规律，培养发现问题与解决问题的科学精神，养成善于思考与总结的学习习惯。函数项级数与数项级数对比劳动观念运用整体与部分的关系，培养勤于动手，热爱劳动的劳动观念。幂级数与函数项级数之间的关系终身学习观念引导学生自主探究一些级数，如傅里叶级数的内涵，提升运用网络资源自主学习的能力。数项级数（奇偶函数的）傅里叶级数六、课程实施建议数学分析是数学与应用数学专业最主要的专业基础课之一,是学习复变函手段；利用网络资源（如bilibiliAPP、中国大学慕课网络等）进行自学；在七、课程考核内容、考核方式与成绩评定方式（一）考核内容、考核方式与课程目标的关系课程目标考核内容考核方式课程目标11.理解（函）数项级数、幂级数、傅里叶级数、多元函数的微分学的基本性质、基本理论、基本思想方法。课堂参与课后作业课后讨论期末考试课程目标22.用数学分析课程知识解决问题的能力：会级数中简单定理的证明、会判别级数的收敛、一致收敛、会求级数的收敛区间、收敛域、会求解幂级数展开式；会求多元函数的极限、会判别一致连续；能理解多元函数可微与可导的关系，会求多元函数的复合函数的偏导数与全微分，掌握方向导数和梯度的概念和求法，会用导数作为工具解决多元函数极值问题。课堂参与课后作业课后讨论期末考试课程目标33.一致收敛函数列与函数项级数的性质，幂级数、傅里叶级数的展开。课堂参与课后作业课后讨论期末考试（二）成绩评定方式考核方式比例评分依据（百分制）过核依据课堂表现、实践环节的主动性和准确性评分。包括：纪律、回答问题及讨论发言的主动性和准确性等表现评分。(共100分)1.课堂上积极发言探讨问题，回答老师提问，正确性高，记90-100分；2.老师提问时能够回答，回答问题较准确，记70-89分；3.参与课堂活动不积极，记60-69分；4.拒绝回答老师提问，记30-59分。满分值100分，依平时作业（6次）平均分计。满分值100分，依讨论（2次）次数平均分计。卷面分值100分，依期末闭卷考试试题参考答案及评分标准进行评分。课堂参与15%+课后作业20%+课外讨论5%+期末考核60%八、课程目标达成情况定量评价方式课程目标及权重课堂参与课后作业课后讨论期末考核目标权重分值权重分值权重分值权重分值权重12320九、课程评分标准课程目标评分标准优（90-100）良（80-89）中/及格（60-79）不及格（0-59）1.全面掌握级数、多元函数的微分学的基本性质、基本理论、基本思想方法。2.课堂参与度高，能够很及时完成课前预习和课后作业、课后讨论任务，并且作业正确率很高。1.较好掌握级数、多元函数的微分学的基本性质、基本理论、基本思想方法。2.课堂参与度较高，能够及时完成课前预习和课后作业、课后讨论任务，并且作业正确率高。1.基本掌握级数、多元函数的微分学的基本性质、基本理论、基本思想方法。2.课堂参与度一般，能够比较及时完成课前预习和课后作业、课后讨论任务，并且作业正确率一般。1.基本没掌握级数、多元函数的微分学的基本性质、基本理论、基本思想方法。2.基本不参与课堂活动，不能及时完成课前预习和课后作业、课后讨论任务，并且作业正确率较低。1.用数学分析课程知识解决问题的能力相当强：完全掌握级数中简单定理的证明、会判别级数的收敛、一致收敛、会求级数的收敛区间、收敛域、会求解幂级数展开式；会求多元函数的极限、会判别一致连续；能很好理解多元函数可微与可导的关系，会求多元函数的复合函数的偏导数与全微分，掌握方向导数和梯度的概念和求法，会用导数作为工具解决多元函数极值问题。2.课堂参与度高，能够很及时完成课后作业、课后讨论任务，并且作业正确率很高。1.用数学分析课程知识解决问题的能力很强：能很好的掌握级数中简单定理的证明、会判别级数的收敛、一致收敛、会求级数的收敛区间、收敛域、会求解幂级数展开式；会求多元函数的极限、会判别一致连续；能很好理解多元函数可微与可导的关系，会求多元函数的复合函数的偏导数与全微分，掌握方向导数和梯度的概念和求法，会用导数作为工具解决多元函数极值问题。2.课堂参与度较高，能够及时完成课后作业、课后讨论任务，并且作业正确率较高。1.用数学分析课程知识解决问题的能力较强：能较好的掌握级数中简单定理的证明、判别级数的收敛、一致收敛、会求级数的收敛区间、收敛域、会求解幂级数展开式；会求多元函数的极限、会判别一致连续；能很好理解多元函数可微与可导的关系，会求多元函数的复合函数的偏导数与全微分，掌握方向导数和梯度的概念和求法，会用导数作为工具解决多元函数极值问题。2.课堂参与度一般，能够比较及时完成课后作业、课后讨论任务，并且作业正确率一般。1.用数学分析课程知识解决问题的能力较弱：对如下级数中简单定理的证明、会判别级数的收敛、一致收敛、会求级数的收敛区间、收敛域、会求解幂级数展开式；会求多元函数的极限、会判别一致连续；能很好理解多元函数可微与可导的关系，会求多元函数的复合函数的偏导数与全微分，掌握方向导数和梯度的概念和求法，会用导数作为工具解决多元函数极值问题都掌握的不好。2.基本不参与课堂活动，不能及时完成课后作业、课后讨论任务，并且作业正确率较低。1.具有很强的终身学习意识，非常了解国内外数学发展，并能够根据时代发展需求，结合自身实际，通过各种渠道进行自主学习。2.课程参与度很高，能够很及时完成课后作业、课后讨论任务任务，并且作业正确率很高。3.课堂笔记质量很高，发言主动积极，思路很清晰。1.具有较强的终身学习意识，比较了解国内外数学发展，可以根据时代发展需求，结合自身实际，通过一些常用渠道进行自主学习。2.课程参与度较高，能够及时完成课后作业、课后讨论任务，并且作业正确率较高。3.课堂笔记质量较高，发言较主动积极，思路较清晰。1.具有基本的终身学习意识，了解基本的国内外数