2023-2024学年七年级数学上册专题31 平方根【八大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

专题3.1平方根【八大题型】

【浙教版】

♦题型梳理

【题型1平方根的性质与数轴的综合】............................................................1

【题型2根据平方根的性质求字母的值】..........................................................3

【题型3根据非负性的性质求值】................................................................5

【题型4利用平方根的概念解方程】..............................................................7

【题型5根据平方根和算术平方根的概念求值】....................................................9

【题型6估算算术平方根的取值范围】...........................................................11

【题型7求算术平方根的整数部分和小数部分】...................................................12

【题型8有关算术平方根的探究规律题】..........................................................15

►举一反三

【知识点1平方根和算术平方根】

平方根：

①定义：如果x2=a(aZ0),那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.

②表示方法：正数a的正的平方根记作正，负的平方根记作-正数a的两个平方根记作士读作正、

负根号a,其中a叫做被开方数.

③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

算术平方根：

(1)定义：正数a有两个平方根土我们把正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.

⑵性质：①正数的算术平方根是一个正数：0的算术平方根是0：

②负数没有算术平方根.当a工0时，V?=a；

③算术平方根具有双重非负性：a>0：GO

【题型1平方根的性质与数轴的综合】

【例1】(2023春•七年级单元测试)已知a,b在数轴上的位置如图所示，试化简：/+VP+J(ai)2+

7(^17-V(a-l)2.

~h-10aiA

【答案J3a—3b

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【分析】a,b在数轴上对应点的位置判断a,b的符号，进而判断Q-从b-1,的符号，再由算术平方

根化简方法进行计算即可.

【详解】解：由a,b在数轴上对应点的位置可知b<-1<0<a<1,

•,»ci—b>0»匕-1V0,cz—1<0»

:.原式=|a|+|b|+|a—b|+|b—1|—\u—11

=a—b+a—b+1—b—1+a

=3a—3b.

【点睛】本题考查算术平方根的性质与化简，数轴表示数，掌握数轴表示数的定义，算术平方根化简的方法

是正确解答的前提.

【变式1-1](2023春・湖北武汉•七年级校联考期中)如图，已知f=3,那么在数轴上与x对应的点可能是

()

%P2尸3匕

4~~-2-10,1~2~3~4

A.P.B.P&

C.尸2或D.P1或24

【答案】D

【详解】解：:xM,

.*..r=±V3,

，对应的点为Pi或P4.

故选：D.

【变式1-2](2023春•七年级单元测试)已知小》在数轴上位置如图，化简RT讨-m=.

ab

【答案】b

【分析】据数。、力在数轴上的位置确定Q-力，〃的符号，再根据算术平方根的性质进行开方运算，再合并

同类项.

【详解】解：从数轴上可以得出：Q<0,b>0,\a\>\b\t

・\a-bV0,

1•《(a-6)2—=\a—b\—|a|=—(a—b)—(—a)=—a+b+a=b.

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故答案为：b.

【点睛】本题考查的是利用数轴比较的大小，算术平方根，掌握算.术平方根的概念是解题的关键.

【变式1-3】（2023春・辽宁辽阳•七年级校考阶段练习）如图，正方形/BCD的面积为7,顶点A在数轴上表示

的数为I，若点E在数轴上（点E在点4的左侧），且40=4E,则点E所表示的数为（）

【答案】C

【分析】因为面积为7的正方形A3CD边长为上，所以4。=夕，而得力E=上，力点的坐标为

1,故E点的坐标为1一行.

【详解】解：•・•面积为7的正方形ABCZ）为7,

*.AD-y[7,

*：AD=AE,

：.AE=夕，

•.•只点表示的数为1.

・•・£点表示的数为1一夕，

故选:C.

【点睛】本题考查了数轴与、平方根的应用，关键是结合题意求出==

【题型2根据平方根的性质求字母的值】

【例2】（2023春・广东云浮•七年级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别为m+3和2机-15.

⑴这个正数是多少？

（2）m+21的算术平方根是多少？

【答案】（I）这个正数是49

（2）加+21的算术平方根是5

【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数''可得（m+3）+（2m-15）=0,即可求解；

（2）由（1）可求m+21=25,即可求解.

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要使V2023—九是正整数,

即当n=2022时，V2023-n=l.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键.

【变式2-3]（2023春・福建泉州•七年级福建省泉州第一中学校考期中）已知％=1-20y=3a-4.

（1）已知x的算术平方根为3,求。的值；

⑵如果x,y都是同一个数的平方根，求这个数.

【答案】（1"=-4

（2）这个数为1或25

【分析】（1）由工的算术平方根为3得到1-2a=9,解方程即可得到答案；

（2）分％=y和x+y=0两种情况分别进行求解即可.

【详解】（1）解；•・”的算术平方根为3,

1-2a=9,解得Q=-4；

（2）①当％=、时，即1-2a=3。-4,解得Q=1,

.*.x=1—2a=—1,y=3a—4=—1,

・••这个数为（—1）2=1；

②当x+y=0时，即1—2Q+3Q—4=0,解得a=3,

:.x=1-2a=-5,y=3a-4=5,

，这个数为52=25,

综上所述，这个数为1或25.

【点睛】此题考查了平方根和算术平方根，读懂题意并正确计算是解题的关键.

【题型3根据非负性的性质求值】

【例3】（2023春•河南驻马店•七年级统考期中）已知|3工-y—l|和g+y-4互为相反数，求x+4y的

平方根.

【答案】±3.

【分析】根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组得出x、y的值，代入可求.

【详解】由题意得：\3x-y-l\+J2x+y-4=0,所以｛瓷二二一

解得％=l,y=2

Ax+4y的平方根=_^/>+4y=_LV1+4x2=J_3

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考点：非负数的性质、平方根.

【变式3-1］（2023春•四川达州•七年级统考期末）已知%、y,满足石=！+|y+2|=0,则好一4y的平方

根为.

【答案】±3

【分析】利用算术平方根及绝对值的非负性求出x、y的值，即可代入求出/-你的平方根.

【详解】WF^I+|y+2|=0,

Ax-1=0,y+2=0,

/.x=1>y=-2,

:./-4y=1+8=9,

，无2-4y的平方根为±3,

故答案为：±3.

【点睛】此题考查算术平方根及绝对值的非负性，求一个数的平方根，能根据题意求出x、y的值足解题关

键.

【变式3-21（2023春・四川内江•七年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知y=G7+标F+9,

则y+x的平方根是（）

A.3B.±3C.4D.±4

【答案】D

【分析】直接利用算术平方根有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，再利用平方根的定义得出答案.

【详解】解：由题意可得：-］之°八，

114-2%>0

解得：x=7,

故y=9,

则y+x=9+7=16,

故y+x的平方根是：±4.

故选：D.

【点睛】本题考查算术平方根有意义的条件，解不等式组.能根据算:术平方根有意义被开方数大于等于0得出

不等式组是解决此题的关键.

【变式3-3］（2023春・江苏苏州•七年级统考期中）己知（3-x）2-5与J彳+5互为相反数，则言的值是

（）

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A.6B.5C.D.2

【答案】A

【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程，再根据非负数的性质列方程求出X、），，然后代入代

数式进行计算即可得解.

【详解】解:团（3—幻2一5与炉方+5互为相反数，

团（％—3产—5+yfy^2+5=0„

即"-3）2+百2=0，

所以％-3=0,y-2=0,

解得％=3,y=2,

「厂[.]X+33+3,

所以方=a=6・

故选A.

【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为。时，这几个非负数都为0.

【题型4利用平方根的概念解方程】

【例4】（2023春・河南鹤壁•七年级校考期中）若/一。2=（%+2）（工一2）,则a的值为（）

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】C

【分析】先由整式乘法运算公式-平方差公式化简、移项、合并同类项、直接开平方解方程即可得到答案.

【详解】解：x2-a2=（x+2）（%-2）,

x2-a2=x2-4,

移项、合并同类项得小=4,

直接开平方得a=±2,

故选：C.

【点睛】小题考查解方程，涉及整式乘法运算公式-平方差公式，掌握解方程步骤移项、合并同类项、直接开

平方等是解决问题的关键.

【变式4-1]（2023春・湖南长沙••七年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）如果（无-1）2=4,那么x

的值是（）

A.4B.3或一1C.-1D.3

【答案】B

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【分析】根据平方根的定义解方程即可.

【详解】（工-1）2=4,

开平方得％-1=±2,

解得％=3或一1,

故选：B.

【点睛】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键.

【变式4-2】（2023春・广西梧州•七年级统考期中）在公式y=（—1）2—8中，当y=l时，x的值为.

【答案】4或-2

【分析】将y=l代入，用开平方法，解关于x的方程即可.

【详解】解：把y=1代入y=（x-I）2-8得：（％-1）2-8=1,

移顶得：（％-=9,

开平方得：x-1=±3,

:.X-4或x=-2.

故答案为：4或-2.

【点睛】本题主要考查了开平方运算，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，一个正数的平方根有两个，且

这两个数互为相反数.

【变式4-3］（2023春.江西萍乡•七年级校考期中）求下列各式中工的值：

（1）9x2-25=0；

（2）4（2x-I）2=36

【答案】（1）%=：,或％=-<

JJ

（2）x=2或久=-1

【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可.

（2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可.

【详解】（1）9x2-25=0

移顶得，9/=25,

两边都除以9得，％2=g,

由平方根的定义得，x=±|;

即X=或％=--

3

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(2)4(2x-I)2=36

两边都除以4得，(2x-l)2=9,

由平方根的定义得，2x-1=±3,

即x=2或工=-1；

【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提.

【题型5根据平方根和算术平方根的概念求值】

【例5】(2023春•四川资阳•七年级校考期中)已知2b+l的平方根为±3,3a+2b-1的算术平方根为4,求2b+3a

的平方根.

【答案】±g.

【分析】分别根据2b+l的平方根是±3,3a+2b-l的算术平方根是4,求出a、b的值，再求出2b+3a的值,求

出其平方根即可.

【详解】解：由题意可知：

2b+l=(±3)2=9,

b=4,

3a+2b-l=42=16,

.\3a+8-l=16,

:.a=3，

:.2b+3a=8+9=17,

，2b+3a的平方根士旧.

【点睛】本题考查的是平方根和算术平方根的定义，根据题意求出a、b的值是解答此题的关键.

【变式5-1】(2023春・广东江门•七年级校考期中)已知7^巧=2,则a的值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据4的算术平方根是2可解答.

【详解】解：•••后斗=2,

二a+3=4,

Aa—1.

故选：B.

【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键.

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【变式5・2］（2023春•福建莆田•七年级统考期末）已知x=l-a,y=2a-5.

（1）已知x的值4,求a的值及x+y+16的平方根；

（2）如果一个数的平方根是x和y,求这个数.

【答案】（1）a=-3,±3；（2）9.

【分析】（1）根据％=4,求解方程可得a的值；再通过解方程计算得y的值，从而得到x+y+16的平方根;

（2）一个数的平方根是x和v，可得x=-y,通过解方程得a的值，再经计算得x和v，从而完成求解.

【详解】（1）13%=4

团1-a=4

回a=-3

0y=2a—5=2x（—3）—5=-11

取:+y+16=4+（-11）+16=9

以十y+16的平方根为：±3.

（2）如果一个数的平方根是x和y

即这个数=",且％=-y

01—a=—（2a—5）

回a=4

（x=-3

01Q

ly=3

团这个数="2=9.

【点睛】本题考查了平方根等知识：解题的关键是熟练掌握平方根的性质，从而完成求解.

【变式5-3］（2023春・陕西西安•七年级校考期中）已知正数X的平方根是〃［和儿

⑴当71=6时,求〃?的值；

⑵若mZx+im+nyxnSZ,求x-1的值.

【答案】⑴m=-3

（2）x=4

【分析】（1）利用正数平方根互为相反数即可求出机的值；

（2）利用平方根的定义得到（血+"）2=，/=%，代入式子血2》+（瓶+九）2%=32即可求出x值.

【详解】（1）•・•正数X的平方根是用和7九+九，

.*.7n+7n+n=O,

Vn=6,

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，2m+6=0,

3：

（2）,正数x的平方根是加和m+n,

（m+n）2=x,m2=x,

Vm2x+（m+n）2x=32,

.\X2+X2=32,

.\X2=16,

Vx>0,

:.j=4.

%-1=3.

【点睛】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键.

【题型6估算算术平方根的取值范围】

【例6】（2023春•七年级课时练习）估计质的大小应在（）

A.7.1〜7.3之间B.7.3〜7,5之间C.7.5〜7.7之间D.7.7〜7.9之间

【答案】B

【分析】先把回平方，再把选项中的数分别平方，即可解答.

【详解】解：•；7.32=53.29,7.52=56.25,

二回在7.5〜7.7之间，

故选:B.

【点睛】本题考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的

方法.

【变式6-1】（2023春・贵州贵阳•七年级校考阶段练习）如图，在数轴上表示数g的点可能是（）

ABCD

IIIII.l.l.l,I.

-3-2-1012345

A.点4B.点、BC.点、CD.点。

【答案】D

【分析】估算出g的范围即可得出答案.

【详解】解：：16V17<25,

V17<V25,

・工4</17<5.

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故选：D.

【点睛】本题考查算术平方根的大小比较.

【变式6-2】（2023春・贵州六盘水七年级统考期末）数轴上表示下列各数的点，能落在A,8两个点之间的

是（）

AB

-।--1।।->

-101234

A.-V3B.V7

C.VilD.>/13

【答案】B

【分析】首先确定A,B对应的数，再分别估算四个选项的数值进行判断即可.

【详解】解:由数轴得，A点对应的数是1,B点对应的数是3,

A.-2<-V3<-l,不符合题意；

B.2<V7<3,符合题意；

C、3<VTT<4,不符合题意；

D.3<713<4,不符合题意；

故选：B

【变式6-3】（2023春・北京东城•七年级北京一七一中校考期中）请写出&与VT5间的一个整数.

【答案】2（答案不唯一）

【分析】估算出企与45的取值范围，即可求解.

【详解】解：<企<2,3Vm<4,

・•・鱼与同间的一个整数为2或3,

故答案为：2（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了算术平方根的估算，估算出a与g的取值范围是解题的关健.

【题型7求算术平方根的整数部分和小数部分】

【例7】（2023•重庆九龙坡•重庆实验外国语学校校考三模）若一个正方形的面积是20,则它的边长最接近

的整数是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】通过算数平方根的算法，计算山正方形边长，再根据估算得出结果.

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【详解】解：•・•正方形的面积是20,

•••正方形的边长为两，

V16<20<20.25,

故4<际<4.5,则际更接近J

故选A.

【点睛】本题考兖了求算数平方根、以及估算算数平方根，其中准确算出算数平方根是关键.

【变式7-1]（2023春・全国•七年级专题练习）近!的整数部分是.小数部分是.

【答案】3JII-3

【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可.

【详解】解：・・・9VII<16,

/.3<A/1T<4,

・・.E■的整数部分为3,

••・VH■的小数部分为E-3；

故答案为3,V1I-3.

【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键.

【变式7-2]（2023・浙江•七年级假期作业）己知2a-1的算术平方根是3,匕-1的平方根是±4,c是g的整

数部分，求a+26-c的平方根.

【答案】±6

【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出%b、c的值；进而得出Q+2b-c的值，求出它的平方根

即可；

【详解】解：的算术平方根是3；6-1的平方根是±4,

A2a-1=9,6-1=16，

工。=5,b=17.

・・・c是的整数部分，3Vg<4,

c=3.

:・a+2b—c=5+17x2—3=36.

•:36的平方根是±6.

，a+2b-c的平方根为±6.

【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方艰与算术平方根的定义是解题的关键.

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【变式7-3]（2023春・浙江•七年级专题练习）（1）采用夹逼法，利用企的一系列不足近似值和过剩近似值

来估计它的大小的过程如下：

因为产=1,2?=4,

所以1<企<2,

因为1.42=1.96,1.52=2.25,

所以1.4<yf2<1.5,

因为1.4M=1.9881,1.422=2.0164,

所以1.41<V2<1.42

因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,

所以1.414<V2<1.415,

因此加«1.41（精确到百分位），

使用夹逼法，求出力的近似值（精确到百分位）.

（2）我们规定用符号因表示数》的整数部分，例如用=0,[2.4]=2,

①按此规定[依+2]=_；

②如果苗的整数部分是a,正的小数部分是瓦求⑷-⑸的值.

【答案】（1）2.24：（2）①5,②3-花

【分析】（1）仿照使用夹逼法求应近似值的方法解答即可：

（2）①先使用夹逼法确定g的范围，然后即可确定国+2的范围，再根据规定解答即可；

②先确定代的整数部分。与6的小数部分b的值，再代入所求式子化简计算即可.

【详解】解：（1）因为2?=4,3?=9,

所以2c遍<3,

因为2.22=4.84,2.32=5295

所以2.2<\/5<2.3,

因为2.232=4.9729,2.242=5.0176,

所以2.23<V5<2.24,

因为2.2362=4.999696,2.2372=5.004169,

所以2.236<«<2.237,

因此迷«2.24.

（2）①因为3.12=9.61,3.22=10.24,

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所以3.1<au<3.2,

所以5.1vJIU+2V5.2,

所以[JIU+2]=5；

故答案为:5：

②因为1<<2,2〈的V3,

所以Q=l,b=V5—2,

所以原式=|1|一|遍-2|

=1-(V5-2)

=1-V5+2

=3—Vs.

【点睛】本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数的

简单计算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识足解题关键.

【题型8有关算术平方根的探究规律题】

【例8】(2023春・四川达州•七年级四川省渠县中学校考阶段练习)探索与应用.先填写下表，通过观察后

再回答问题：

a・・.0.00010.01110010000•.•

•••0.01X1y100••♦

(1)表格中x=_；>,=_；

(2)从表格中探究〃与论数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题:

规律：

①已知«3.16,则

②已知J5^=1.8,若低=180,Ma=_.

【答案】(1)0.1,10

(2)规律见解析,①31.6；②32400

【分析】(1)观察表格确定出“与y的值即可:

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（2）根据表格中的规律“算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍”，据此分别计算①②可

得答案.

【详解】（1）解：x=0.1,y=10；

故答案为：0.1,10；

（2）根据表中数据可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍；

①向丽=lOVlOx31.6：

②a=3.24x10000=32400.

故答案为:①31.6；②32400.

【点睛】本题考杳了算术平方根的知识，根据表格的数据发现规律是解题的关键.

【变式8-1]（2023春・河南郑州•七年级郑州市第八中学校考期中）观察下列有规律的一组等式：

月=&庠=2$即后=2/4=册=舟=3舟即4=3岛

（1）猜想：/-：------'后盘=-------

（2）你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含n（ri为正整数）的式子表示这一规律.

【答案】⑴靖,5在

（2）被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加I,小二高=九总5

【分析】（1）根据给定的等式，进行猜想即可；

（2）根据给定的等式可以看出，被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1,进行

表示即可.

【详解】（1）解：由给定的等式猜想得：J4一标出,6^=5标

故答案为:出,5层

（2）由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1,

用一个含九（n为正整数）的式子可表示为：Jn-^=n后;

【点睛】本题考查算术平方根的性质和数字的规律性探究.熟练掌握算术平方根的概念，从给出的式子中正

确的找出规律，是解题的关键.

【变式8-2]（2023春•安徽亳州七年级统考阶段练习）一组实数按下列规律排列：

1：V2；V3；2；A/5；A/6：yfl第1行

瓜3；710；7TT；\/12；\/13；/14第2行

第16页共18页

715；4：717；/18；回;V20；V21第3行

根据这个规律解答以下问题：

（1）直接写出第4行第1列