2025版高中数学课时作业19几何概型新人教A版必修3

PAGE1-[课时作业19]几何概型[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本领件都要具有等可能性B．几何概型中事务发生的概率与它的形态或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型．答案：A2．已知函数f(x)＝2x，若从区间[－2,2]上任取一个实数x，则使不等式f(x)＞2成立的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：基本领件的总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f(x)＞2可得x＞1，所以满意题设的基本领件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f(x)＞2成立的概率为eq\f(1,4).答案：A3．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|>1的概率为()A.eq\f(7,8)B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,2)解析：问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，所以P＝eq\f(\f(4,3)π×23－\f(4,3)π×13,\f(4,3)π×23)＝eq\f(7,8).答案：A4．已知事务“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(7),4)解析：如图，在矩形ABCD中，以B，A为圆心，以AB为半径作圆交CD分别于E，F，当点P在线段EF上运动时满意题设要求，所以E，F为CD的四等分点，设AB＝4，则DF＝3，AF＝AB＝4，在直角三角形ADF中，AD＝eq\r(AF2－DF2)＝eq\r(7)，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).答案：D5．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是eq\f(1,3)，则阴影区域的面积是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D．无法计算解析：在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事务A，则事务A构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝eq\f(S,22)＝eq\f(S,4)＝eq\f(1,3)，解得S＝eq\f(4,3).答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．解析：令6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，即D＝[－2,3]，在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P＝eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)7．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的肯定值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．解析：如图，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝eq\f(π×12,4×4)＝eq\f(π,16).答案：eq\f(π,16)8．一个球形容器的半径为3cm，里面装有纯净水，因不当心混入了1个感冒病毒，从中任取1mL水(体积为1cm3)，含有感冒病毒的概率为________．解析：水的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·33＝36π(cm3)＝36π(mL)，则含感冒病毒的概率为P＝eq\f(1,36π).答案：eq\f(1,36π)三、解答题(每小题10分，共20分)9．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，望见下列三种状况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P＝eq\f(红灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(30,30＋40＋5)＝eq\f(2,5)；(2)P＝eq\f(黄灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15)；(3)P＝eq\f(不是红灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(黄灯亮或绿灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5).10．(1)在区间[0,4]上随机取两个整数m，n，求关于x的一元二次方程x2－eq\r(n)x＋m＝0有实数根的概率P(A)；(2)在区间[0,4]上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2－eq\r(n)x＋m＝0有实数根的概率P(B)．解析：方程x2－eq\r(n)x＋m＝0有实数根，则Δ＝n－4m(1)由于m，n∈[0,4]，且m，n是整数，因此m，n可能的取值共有25组．又满意n－4m≥0的m，neq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝2，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝3，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝4，))共6组．因此，原方程有实数根的概率P(A)＝eq\f(6,25).(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤m≤4，,0≤n≤4))对应的区域如图中正方形区域，面积为16，而n－4m≥0(m，n∈[0,4])表示的区域如图中阴影部分所示，面积为eq\f(1,2)×1×4＝2.因此，原方程有实数根的概率P(B)＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(1,8).[实力提升](20分钟，40分)11．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为()A.eq\f(8,27)B.eq\f(1,27)C.eq\f(26,27)D.eq\f(15,27)解析：依据题意：平安飞行的区域为棱长为1的正方体，∴P＝eq\f(构成事务A的区域体积,试验的全部结果所构成的区域体积)＝eq\f(1,27).故选B.答案：B12．在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．解析：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,－2p＜0，,3p－2＞0，,0≤p≤5，))解得eq\f(2,3)＜p≤1或2≤p≤5，所以p＝eq\f(1－\f(2,3)＋5－2,5)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)13．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．解析：如图所示：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的等价条件是|x－y|≤15.在平面直角坐标系内，(x，y)的全部可能结果是边长为60的正方形，而事务A“两人能够见面”的可能结果是阴影部分所表示的平面区域，由几何概型的概率公式得：P(A)＝eq\f(SA,S)＝eq\f(602－452,602)＝eq\f(3600－2025,3600)＝eq\f(7,16).所以两人能会面的概率是eq\f(7,16).14．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个点．(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8eq\r(2)的概率．解析：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP3个，所以组成直角三角形的概率为eq\f(3,10).(2)易知半圆的面积为8π.连接MP，OM，OP，取线段MP的中点D，连接ON，则OD⊥MP，易求得OD＝2eq\r(2)，当S点在线段