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文档简介
PAGE1-[课时作业19]几何概型[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列关于几何概型的说法错误的是()A.几何概型是古典概型的一种,基本领件都要具有等可能性B.几何概型中事务发生的概率与它的形态或位置无关C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析:几何概型和古典概型是两种不同的概率模型.答案:A2.已知函数f(x)=2x,若从区间[-2,2]上任取一个实数x,则使不等式f(x)>2成立的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析:基本领件的总数构成的区域对应的长度是2-(-2)=4,由f(x)>2可得x>1,所以满意题设的基本领件构成的区域对应的长度是2-1=1,则使不等式f(x)>2成立的概率为eq\f(1,4).答案:A3.在半径为2的球O内任取一点P,则|OP|>1的概率为()A.eq\f(7,8)B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,2)解析:问题相当于在以O为球心,1为半径的球外,且在以O为球心,2为半径的球内任取一点,所以P=eq\f(\f(4,3)π×23-\f(4,3)π×13,\f(4,3)π×23)=eq\f(7,8).答案:A4.已知事务“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2),则eq\f(AD,AB)=()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(7),4)解析:如图,在矩形ABCD中,以B,A为圆心,以AB为半径作圆交CD分别于E,F,当点P在线段EF上运动时满意题设要求,所以E,F为CD的四等分点,设AB=4,则DF=3,AF=AB=4,在直角三角形ADF中,AD=eq\r(AF2-DF2)=eq\r(7),所以eq\f(AD,AB)=eq\f(\r(7),4).答案:D5.如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是eq\f(1,3),则阴影区域的面积是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D.无法计算解析:在正方形中随机撒一粒豆子,其结果有无限个,属于几何概型.设“落在阴影区域内”为事务A,则事务A构成的区域是阴影部分.设阴影区域的面积为S,全部结果构成的区域面积是正方形的面积,则有P(A)=eq\f(S,22)=eq\f(S,4)=eq\f(1,3),解得S=eq\f(4,3).答案:C二、填空题(每小题5分,共15分)6.记函数f(x)=eq\r(6+x-x2)的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是________.解析:令6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,即D=[-2,3],在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率P=eq\f(3--2,5--4)=eq\f(5,9).答案:eq\f(5,9)7.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的肯定值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率为________.解析:如图,区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P=eq\f(π×12,4×4)=eq\f(π,16).答案:eq\f(π,16)8.一个球形容器的半径为3cm,里面装有纯净水,因不当心混入了1个感冒病毒,从中任取1mL水(体积为1cm3),含有感冒病毒的概率为________.解析:水的体积为eq\f(4,3)πR3=eq\f(4,3)π·33=36π(cm3)=36π(mL),则含感冒病毒的概率为P=eq\f(1,36π).答案:eq\f(1,36π)三、解答题(每小题10分,共20分)9.一个路口的红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒,当你到达路口时,望见下列三种状况的概率各是多少?(1)红灯亮;(2)黄灯亮;(3)不是红灯亮.解析:在75秒内,每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的,属于几何概型.(1)P=eq\f(红灯亮的时间,全部时间)=eq\f(30,30+40+5)=eq\f(2,5);(2)P=eq\f(黄灯亮的时间,全部时间)=eq\f(5,75)=eq\f(1,15);(3)P=eq\f(不是红灯亮的时间,全部时间)=eq\f(黄灯亮或绿灯亮的时间,全部时间)=eq\f(45,75)=eq\f(3,5).10.(1)在区间[0,4]上随机取两个整数m,n,求关于x的一元二次方程x2-eq\r(n)x+m=0有实数根的概率P(A);(2)在区间[0,4]上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程x2-eq\r(n)x+m=0有实数根的概率P(B).解析:方程x2-eq\r(n)x+m=0有实数根,则Δ=n-4m(1)由于m,n∈[0,4],且m,n是整数,因此m,n可能的取值共有25组.又满意n-4m≥0的m,neq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=0,,n=0,))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=0,,n=1,))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=0,,n=2,))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=0,,n=3,))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=0,,n=4,))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=1,,n=4,))共6组.因此,原方程有实数根的概率P(A)=eq\f(6,25).(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤m≤4,,0≤n≤4))对应的区域如图中正方形区域,面积为16,而n-4m≥0(m,n∈[0,4])表示的区域如图中阴影部分所示,面积为eq\f(1,2)×1×4=2.因此,原方程有实数根的概率P(B)=eq\f(S阴影,S正方形)=eq\f(1,8).[实力提升](20分钟,40分)11.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“平安飞行”,则蜜蜂“平安飞行”的概率为()A.eq\f(8,27)B.eq\f(1,27)C.eq\f(26,27)D.eq\f(15,27)解析:依据题意:平安飞行的区域为棱长为1的正方体,∴P=eq\f(构成事务A的区域体积,试验的全部结果所构成的区域体积)=eq\f(1,27).故选B.答案:B12.在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为________.解析:由题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ=4p2-43p-2≥0,,-2p<0,,3p-2>0,,0≤p≤5,))解得eq\f(2,3)<p≤1或2≤p≤5,所以p=eq\f(1-\f(2,3)+5-2,5)=eq\f(2,3).答案:eq\f(2,3)13.甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面,并约定先到者要等候另一人一刻钟,过时即可离开.求甲、乙能见面的概率.解析:如图所示:以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的等价条件是|x-y|≤15.在平面直角坐标系内,(x,y)的全部可能结果是边长为60的正方形,而事务A“两人能够见面”的可能结果是阴影部分所表示的平面区域,由几何概型的概率公式得:P(A)=eq\f(SA,S)=eq\f(602-452,602)=eq\f(3600-2025,3600)=eq\f(7,16).所以两人能会面的概率是eq\f(7,16).14.如图,已知AB是半圆O的直径,AB=8,M,N,P是将半圆圆周四等分的三个点.(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,求这3个点组成直角三角形的概率;(2)在半圆内任取一点S,求△SAB的面积大于8eq\r(2)的概率.解析:(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,一共可以组成10个三角形:△ABM,△ABN,△ABP,△AMN,△AMP,△ANP,△BMN,△BMP,△BNP,△MNP,其中是直角三角形的只有△ABM,△ABN,△ABP3个,所以组成直角三角形的概率为eq\f(3,10).(2)易知半圆的面积为8π.连接MP,OM,OP,取线段MP的中点D,连接ON,则OD⊥MP,易求得OD=2eq\r(2),当S点在线段
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