苏科版七年级数学下册常见几何模型专练：平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（解析版）

专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型

平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟

悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与

锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1:猪蹄模型（M型）与锯齿模型

【模型解读】

图1图2图3

如图1,①已知：AM//BN,结论：ZAPB=ZA+ZB；②已知：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

如图3,已知：AM//BN,结论：ZPI+ZP3+...+ZP2,1+I=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2«.

【模型证明】

（1）这个结论正确，理由如下：如图1,过点尸作

'：PQ//AM,AM//BN,：.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,NB=NBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

(2)根据(1)中结论可得，ZA+ZB+ZP2^ZP1+ZP3,

故答案为：ZA+ZB+ZP2=ZPI+ZP3,

(3)由(2)的规律得，ZA+ZB+ZP2+-+P2n=ZPl+ZP3+ZP5+-+ZP2n+l

故答案为：ZA+ZB+ZP2+-+P2n=ZPl+ZP3+ZP5+---+ZP2n+l

例1.（2023下•江苏盐城•七年级统考期中）如图，已知b,则NACB的度数是（）

A.55°B,65°C.75°D.85°

【答案】B

【分析】如图，过点C作直线。〃a,根据平行线的性质得到/48=20。+45。.

【详解】解：如图，过点C作直线c〃a,则4=20。.

又:.c//b,.•.N2=45°,ZACD=Z1+Z2=20°+45°=65°.故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质.关键是熟悉两直线平行，内错角相等的知识点.

例2.（2023春,安徽蚌埠•九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物

线有关.如图，从点。照射到抛物线上的光线OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中

ZABO=46°,ZOCD=88°,则/30C的度数为（）

A.116°B.124°C.134°D.135°

【答案】C

【分析】由平行线的性质即可得出々。尸=46。，ZCOP=88°,再根据ZBOC=ZBOP+NCOP即可求解.

【详解】由题意知48〃「0〃8回々。？=/4^0=46°,ZCOP=ZOCD=S8°

0ZBOC=ZBOP+Z.COP=134°^^：C.

【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键.

例3.（2023下•湖北黄冈•七年级阶段练习）如图，回38=90。，A3配陀，则。与£一定满足的等式是（）

B.a+8=9U°C.P=3aD.a-。=90°

【答案】D

【分析】过C作根据平行于同一条直线的两条直线平行得到ABaD£HCF,根据平行线的性质得到

Nl=N0,4/=180。一/2,作差即可.

【详解】详：过C作CF^AB,

^AB^DE,EL4BI3£）£EICF,0Zl=Z/7,Za=180°-Z2,

回/。-//=180°-/2-/1=180°-/30）=90°,故选：D.

【点睛】考查平行公理已经平行线的性质，解题的关键是注意辅助线的作法，作出辅助线.

例4.（2023春•河南驻马店•九年级专题练习）已知AB〃CD,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD,若

33

NE=66°,则NF为（）

A.23°B.33°C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得?EAB1ECD?AEC66°,同样的方法

22

可得NF=NFAB+NFCD,再根据角的倍分可得ZFAB=-ZEAB,ZFCD=-ZECD,由此即可得出答案.

【详解】如图，过点E作EG〃AB,则EG〃钻〃CD,

AB

0TAEG彳诬3,CEG二？ECD,\EAB1ECD?AEG?CEG?AEC660,

同理可得：NF=ZFAB+ZFCD,/EAF=-/EAB,ZECF=-/ECD,

33

22

团ZFAB=-/EAB,ZFCD=-/ECD,

2229

\?F?FAB?FCD-?EAB-?ECD-(?EAB?ECD)-?66鞍44,故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

例5.(2023下•江苏南通•七年级校联考阶段练习)如图，已知AD〃CE,0BCF=0BCG,CT与SBAH的平

分线交于点F若0ABe的余角等于20ABe的补角，贝崛548的度数是.

【答案】60。/60度

【分析】首先设NBAF=x。，ZBCF=y°,过点B作过点F作/W〃AD,根据平行线的性质，可

得ZAFC=(x+2y)。，ZABC=(2x+y)°,又由NAFC的余角等于2/4BC的补角，可得方程：

90-(x+2y)=180-2(2x+y),继而求得答案.

【详解】解：如图，设4AF=x。，NBCF=y°,

•;NBCF=NBCG,CF与的平分线交于点尸，

:.ZHAF=ZBAF=x°,ZBCG=ZBCF=y°,ZBAH=2x°,ZGCF=2y°,

过点8作3Af〃AD,过点尸作网〃AD,AD//CE,:.AD//FN//BM//CE,

ZAFN=ZHAF=x。，NCFN=ZGCF=2y°,ZABM=ABAH=2x°,ZCBM=ZGCB=y°,

.-.ZAFC=(x+2yy,ZABC=(2x+y)。，...乙用。的余角等于2ZABC的补角，

.-.90-(x+2y)=180-2(2x+>),解得：x=30):.ZBAH=60°,故答案为：60°.

【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,

注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

例6.(2023下•湖北恩施•七年级统考期中)如图，若/BAP=9(F-a,/APD=90。+,且NSAE=NCPP,

ZE=-a+20°,4=20-10°则a=

2

【答案】20。/20度

【分析】过点E作过点F作FN〃CD,则AB〃腔〃/W〃CD,根据平行线的性质，结合

ZBAE=NCPF可证ZAEM=ZNFP,再根据ME〃月V推出=即可列式求解.

【详解】解：如图，过点£作腔〃AB,过点尸作RV〃CD,

­,-ZBAP=90°-a,XAPD=9Q0+a,■-ZBAP+ZAPD=180°,

CD//AB,AB//ME//FN//CD.

■：AB//ME,FN//CD,AZBAE=ZAEM,ZNFP=ZCPF,

■：ZBAE=NCPF,ZAEM=Z.NFP,vZE=-a+20°,NF=2a-10。，

2

ZMEF=AE-ZAME--a+20°-ZAME,ZNFE=NF—NNFP=2a—10°—ZNFE,

2

•1-ME//FN,ZMEF=ZNFE,■--a+20°-ZAME=2a-100-ZNFE,

2

ZAEM=ZNFP,A-a+20°=2a-10°,解得＜z=20。，故答案为：20。.

2

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键.

例7.（2023下•江苏南通•七年级校考阶段练习）如图，已知AB〃所，NC=4O。，写出x,y,z的关系式

【答案】x+y+z=220。

【分析】过点C作CG〃AB,过点。作DH〃跖，根据平行线的性质求解，即可得到答案.

【详解】解：如图，过点C作CG〃AB,过点、D作DH〃EF,；.x=ZBCG,

NBCD=40°,ZGCD=ZBCD-ZBCG=40°-%,

QAB//EF,:.AB//CG//DH//EF,:.ZCDH=ZGCD=40°-x,

DH//EF,:.z+ZHDE=180°,/.z+(y-ZCDH)=z+y-(400-x)=180°,

.­.x+y+Z=220°,故答案为：x+y+z=220°.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁

内角互补.

例8.（2023下•江西赣州•七年级统考期末）（1）如图1已知：勖=25。，S\BED=80°,0D=55°.探究AB与

CD有怎样的位置关系.（2）如图2已知ABI3ER试猜想回团EIF,EIBCF之间的关系，写出这种关系，并加

以证明.（3）如图3已知ABM®,试猜想阻，02,03,04,回5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证

明.

【答案】（1）详见解析（2）（3）团1+03+05=02+国4

【分析】（1）过点E作EFMB,得EIBEF=25°,得团DEF=55°,从而可证ABI3CD；

（2）作CDEIAB,根据平行线的传递性得CDI3EF,则根据平行线的性质得EIBCD=EIB,EIDCF=EIF,所以

0BCD+0DCF=EB+[aF,故可得结论；（3）方法同（2）

【详解】（1）过点E作

032=25°038斯=回8=25°回团2££)=80°03。石尸=[38瓦)一0BEF=55°

^D=55°SSD=SDEF^\EF^CDEABEICD

(2)过点C作CZ50A2,则CDEIEF,

EIAB0CD,00BCD=0B,0CD0EF,00DCF=0F,

00BCD+0DCF=0B+0F,BP0C=0B+EIF.

(3)01+03+05=02+04,如图，

作MNEIAB,由(2)的结论得到团2=回1+团6,04=05+07,

团团2+团4二团1+回6+回5+团7=团1+羽+团5.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直

线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.作出相关辅助线是解此题的关键.

例9.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级校考期中）已知：直线AB与直线8内部有一个点尸，连接

（1）如图1,当点E在直线CO上，连接PE,若ZB+NPEC=NP,求证：AB//CD■

（2）如图2,当点E在直线A3与直线CD的内部，点H在直线上，连接若

ZABP+ZPEH=ZP+ZJEHD,求证：AB//CD-

⑶如图3,在（2）的条件下，BG、跳'分别是ZABP、NPE"的角平分线，3G和斯相交于点G,EF

和直线AB相交于点尸，当5PJLPE时，若ZBFG=NEHD+10。,NBGE=36。,求NEHO的度数.

【答案】⑴证明见解析；（2）证明见解析；（3）18。.

【分析】（1）过点尸作PF〃45,推出NPEC=/EP7L进而得尸尸〃8,根据平行公理的推论即可得证；

（2）分别过点尸和点E作PF〃他，EM\\CD,推出NPEM=NFPE,进而得尸尸〃EM,根据平行公理

的推论即可得证；

(3)过点E作硒〃A5,同(1)(2)理证明NFEH=NFEN+ZNEH=NBFE+NEHD,设NEHD=a,

NPBG=f3,ZPEG=y,则/BPG=a+10。，结合角平分线得2,+2/=90。+1,用含a的式子代替夕，/,

代入2尸+2/=90。+T即可求解.

【详解】(1)证明：如图，过点P作尸尸〃AB,回？31BPF,

0Z5+APEC=ZBPE=ZBPF+ZEPF,同NPEC=NEPF,SPF//CD,SAB//CD-,

（2）证明：如图，分别过点尸和点E作尸尸〃AB，EM\\CD,0ZABP=ZBPF,ZMEH=ZEHD,

0ZABP+NPEH=ZP+AEHD,即ZABP+ZPEM+ZMEH=ZBPF+ZFPE+ZEHD,

团NPEM=NFPE,SPF//EM,SEM//AB,^AB//CD-,

（3）如图，过点E作EN〃AB,由（2）得AB〃CD,

^EN//CD,NBFE=/FEN,ZNEH=/EHD,

0ZFEH=ZFEN+ZNEH=ZBFE+ZEHD,

设NEHD=a,NPBG=（3,ZPEG=y,则/8RG=a+10°,

回BG、所分别是4BP、/尸EH的角平分线，回乙钻尸=2#，ZPEH=2/

0BP±PE,0ZP=9O°,由（2）WZABP+ZPEH=ZP+ZEHD,回26+2/=90°+々，

0ZFEH=AFEN+ANEH=ZBFE+ZEHD,0/=a+10°+a=2a+10°,

0Z.BGE=36°,NFGB=180°-（ZBFG+NFBG）,NFGB=180。—Z.BGE,

13ZBFG+ZFBG=ZBGE=36°,Ea+10°+/7=36°,0/7=26°-a

|?]2（26o-tt）+2（2«+10o）=90o+«,0a=18°,即NEW。的度数为18°.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和，平角定义等知识，添加辅助

线，灵活运用平行公理的推论是解题的关键.

课后专项训练

1.（2023下•江苏无锡•七年级校联考期中）如图，a〃6,N3=70。，4-/2=10。，则/I的度数是（）

40°c.50°D.60°

【答案】B

【分析】作c〃人根据平行线的判定和性质可得Nl+N2=70。，结合4-/2=10。，两式相加即可求出N1.

Z5=Z2,I3N4+N5=N1+N2=7O°,

0Z1-Z2=1O°,02Z1=8O°,0Z1=4O°,故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出Nl+N2=70。是解题的关键.

2.（2023下•江苏镇江•七年级统考期末）将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与8边互相平行,

C.110°D.105°

【答案】D

【分析】先根据三角板的特点得到ZB=30。，NECD=45。，再由平行线的性质得到N3CD=/3=30。，则

由平角的定义可得Nl=180。—/BCD-ZECD=105°.

【详解】解：由题意得：ZB=30。，NECD=45°,

SAB//CD,0ZBCD=ZB=30°,0Z1=180°-ZBCD-ZECD=105°,故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，灵活运用所学知识是解题的关键.

3.（2023下•安徽马鞍山•七年级校考期末）如图，直线4〃/2，4=30。，贝|/2+/3=（）

A.150°B.210°C.230°D.240°

【答案】B

【分析】根据题意作直线/平行于直线h,再根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：如下图，作直线/〃4，

回/1〃4，/〃4，Sli//l//l2,.-.Zl=Z4=30°,Z3+Z5=180°.

Z2=Z4+Z5,Z2+Z3=Z4+Z5+Z3=30°+180°=210°.故选B.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错

角相等是解题关键.

4.（2022下•广东七年级期中）如图CD,CD//EF,BG±GF,D"是NCDF的平分线，

ZB=50°,G,D,P三点在一条直线上，则NGDH的度数为（）

A.110°B.140°C.80°D.100°

【答案】A

【分析】作GK〃AB,则N3GK=N3=50。，进而求出ZFGK=40。，由平行线的传递性可证

AB//GK//CD//EF,从而NF=NCDG=/FGK=40°,由角平分线的定义求出/F国=70。，进而可求

出NGZJH的度数.

【详解】作GK〃AB,则/3GK=4=50。.

0BG±GF,3ZBGF=90°,0ZFGK=90°-50°=40°.

SAB//CD,CD//EF,^AB//GK//CD//EF,

0ZF=Z.CDG=ZFGK=40°.0ZCDF=180°-ZC7X7=140°.

团D”是ZCDF的平分线，0NCDH=ZFDH=-ZCDF=70°,

2

0ZGDH=180°-ZFGH=110°.故选A.

力----------------zB

G《------K

,-

EHF

【点睛】本题考查了平行线性质的应用一拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，

利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可.

5.(2023・江苏•七年级假期作业)如图，A3〃CD,点E在AC上，ZA=110°,ZD=15°,则下列结论正

确的个数是()

(1)AE=EC；(2)ZAEE>=85°；(3)ZA=Z.CED+ZD-(4)ABED=45°

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】过点E作跖〃9，根据平行线的性质对每一项判断即可解答.

【详解】解：过点E作防

AB

产——F

cL.......—

^AB//CD,0ZA+ZC=180°,E1A45B与ACDE不全等，

又回点E在AC上，回无法判断（1）是否正确；

^AB//CD,AB//EF,SEF//CD,

0ZA=11O°,〃=15°,0ZAEF=7O°,ZDEF=15°,0ZAED=85°,故（2）正确；

^AB//CD,AB//EF,^EF//CD,SZA=ZCEF,

SZA=ZCEF=ZCED+ZDEF,ZDEF=ZD,I3ZA=NCED+ZD,故（3）正确；

^AB//CD,®NB=NBEF,^EF//CD,©ZD=ZFED,0ABED=Z.BEF+Z.DEF,

HZA=110°,ZD=15。，回无法知道的度数，回无法判断（4）是否正确；故答案为：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，添加辅助线是解题的关键.

6.（2023下•辽宁铁岭•七年级校考阶段练习）如图，直线用含夕，户的式子表示/，则/的度数为（）

A.a+/3B.180。一々+£C.180。一々一力D,a+/?-180°

【答案】C

【分析】过角夕的顶点作/3〃4，根据平行线的性质可得/1=//1+/2=180。-£,Z2=Z,即可求解.

【详解】解：如图所示，过角夕的顶点作回/1=%/1+/2=180。-6

回/i〃4，回/3〃4，回/2=,回7=/2=180°—/1一£=180°—戊一£故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键.

7.（2023下•山东德州•七年级校考阶段练习）如图，ABd.BC,AE平分，54。交BC于点E,AEA.DE,

4+N2=90。，M,N分别是BACD延长线上的点，ZEW和/EDN的平分线交于点R下列结论:

①ABHCD；（2）ZAEB+ZADC=180°；③DE■平分—WC；④/尸为定值；

其中结论正确的有（）

A.①④B.①②④C.①②③D.①③④

【答案】D

【分析】由AB13C,AELDE,可知Nl+ZA£B=90°=ZA£B+ZD£C,则Nl=/r)EC,由Zl+N2=90°,

可得N£)EC+N2=90。，则NC=90。，ZB+ZC=180°,可证A3〃CD,可判断①的正误；由AB〃C£>,

可得N&W+/4r)C=180。，由可得NAEB+NAZXV180。，可判断②的正误；由AE平分

NBAD交BC于点、E,~^^ZEAD=Z1=-ZBAD,由/£AD+ZEEH=90。，Nl+N2=90°,可得/EDA=/2,

2

则DE平分NADC,可判定③的正误；由ZE4M和/EDN的平分线交于点R可得

NEAF=NMAF=工NEAM,NEDF=NNDF=工NEDN,由4+N2=90。，Z1+/FAM=1SO°.

22

N2+NEON=180°,可得NE4M+/EDZV=270。，ZEAF+ZEDF=^(ZEAM+ZEDN)=135°,根据

ZF=360°-Z£AF-ZEDF-ZAED=135°,为定值，可判断④的正误.

【详解】解：^AB.LBC,AELDE,

SZ1+ZAEB=90°=ZAEB+ZDEC,EIZ1=ZDEC,

0Z1+Z2=9OO,0ZDEC+Z2=9O°,

0ZC=9O°,0ZB+ZC=180°,^AB//CD,①正确，故符合要求；

@ABUCD,0ZBAZ>+ZADC=18O°,

又EINAEBwNEAD,0ZAEB+ZADC7^180°,②错误，故不符合要求；

I3AE平分254。交BC于点E,0Z£AD=Zl=1ZBAD,

0ZEAD+ZEDA=90°,Zl+Z2=90°,EIZEZM=Z2,

EIDE平分/ADC；③正确，故符合要求；I3ZE4M和NEDN的平分线交于点—

0ZEAF=ZMAF=-ZEAM,ZEDF=ZNDF=-ZEDN,

22

回4+N2=90。，Z1+Z£W=18O°,N2+NEDN=180。，

07FAM+/EDN=270°,0NEAF+NEDF=1（ZEAM+NEDN）=135°,

0ZF=36OO-ZE4F-ZEDF-ZA£D=135°,为定值；④正确，故符合要求；故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，三角形内角和定理.解题的关键在于明确角度之间

的数量关系.

8.（2022下•湖北省直辖县级单位•七年级统考期末）如图，C岛在A岛的北偏东60。方向，在B岛的北偏

西45。方向，则NACB=.

【答案】105。/105度

【分析】过点C作CD〃AE,从而可证明CE>〃3尸，然后由平行线的性质可知"C4=NC4E,

ZDCB=ZCBF,从而可求得NACB的度数.

【详解】解：过点C作CD〃AE.

■.■CD//AE,BF//AE,CD//BF.

■.■CD//AE,ZDCA=ZCAE=60°,同理：ZDCB=NCBF=45。.

ZACB=ZACD+ZBCD=105°,故答案为：105。.

【点睛】本题考查的是方向角的定义和平行线的性质的应用，掌握此类问题辅助线的作法是解题的关键.

9.（2023下•江苏扬州•七年级校考阶段练习）如图，AB//CD,AELCE,NC=44。，则N1的度数等于—

【答案】134。

【分析】先添加辅助线则根据平行线的性质可得跖〃AB〃CD,贝U有NBA£=NAEF,

NDCE=NCEF=44°,再根据垂直的定义可得/AEC=90。，然后求出/54E=46。，根据邻补角的定义即

可得4=134°.

【详解】如图，过E作EFZMB,

SEF//AB//CD,^\ZBAE=ZAEF,ZDCE=ZCEF=44°,

SAE1CE,0ZAEC=9O°,SZAEF=ZBAE=46°,

0Zl+Za4E=18O°,13/1=134°,故答案为：134°.

【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

10.（2023下•江苏连云港•七年级统考期末）如图，。〃6,将直角三角尺的两个锐角顶点分别落在°、6上.若

Zl=65°,则N2等于

【答案】25

【分析】由平行线的性质可得NABC+4MB=180。，由三角形的内角和定理可求得ZABE+Z£L4£=90。，从

而可求得Zl+N2=90。，则可求N2的度数.

【详解】解：如图，

^a//b,^ZABC+ZDAB=l80°,

在AABE中，ZABE+Z.BAE=90°,E|N2+N1=(ZABC-ZABE)+(N3AD—N3AE),

I3Z2+Z1=(ZABC+ADAB)-{ZABE+ZBAE),0Z2+Z1=180°-90°=90°,

回4=65。，0Z2=25°.故答案为：25.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补.

11.(2023下•江苏扬州•九年级阶段练习)如图，已知：AB0CD,01=50°,国2=113。，贝峋3=_度.

【答案】63

【分析】如图，易知回3=回2-m1,计算即可.

【详解】如图所示，

根据平行线的性质易知团3=回2—m1=113。-50。=63。.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.

12.(2023下•江苏镇江•七年级统考期中)探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一

探照灯灯碗的纵剖面，从位于。点的灯泡发出的两束光线08,0c经灯碗反射以后平行射出.若NAfiO=30。,

ZDCO=80°,则ZBOC的度数为.

【答案】110°

【分析】过点。作3〃AB,由AB〃C£＞得OH〃CD,从而得到40"=4450=30。,

ZHOC=ZDCO=80°,最后根据ZBOC=ZBOH+N〃OC计算即可得到答案.

【详解】解：过点。作如图所示，

ZBOC=ZBOH+ZHOC=30°+80°=110°,故答案为：110°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错

角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

13.（2023上•江苏常州•八年级统考期中）如图，直线a,b过等边三角形ABC的顶点A和C,且a〃8，/I=39。,

贝

【分析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质.根据等边三角形的性质可求出ZB4C=60。，再根据

两直线平行内错角相等即可得出答案.

【详解】解：EIAABC是等边三角形，044c=60。，

Ba//b,Zl=39°,0Z2=Z1+ABAC=39°+60°=99°.故答案为：99.

14.（2022下•江苏宿迁•七年级统考期末）如图，直线/〃机，Zl=28°,则N2+N3=.

【分析】根据平行线的性质和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得.

【详解】解：如图

El直线/〃机，0Z3+Z4=18O°,

X0Z2=Z1+Z4,Zl=28°,0Z2+Z3=Z1+Z4+Z3=28°+18O°=2O8°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形外角和定理，解题的关键是做辅助线构造出相对应的角.

22

15.（2023下•江苏苏州•七年级统考期末）如图，已知AB〃CD,ZEAF=-ZBAF,ZECF--ZDCF,记

ZAEC=mZAFC,则m的值为.

--------------------D

【答案】|

【分析】过点尸作FG〃/1B,则GF〃CD,依据平行线的性质可证明NAFG=/54广、NGFC=NFCD,同

理可证明ZAEC=ZBAE+ZDCE,然后结合已知条件可得到问题的答案.

【详解】解：如图所示：过点尸作尸G〃AB.SFG//AB,^\ZAFG=ABAF.

^\FG\\AB,CD\\AB,^\GF//CD,0?GFC1FCD.

BZAFC=ZBAF+ZDCF.同理：ZAEC=ZBAE+ZDCE.

225

团ZAEC=-ZBAF+ZBAF+-/DCF+NDCF=—（/BAF+ZDCF）

333V7

^ZAEC^mZAFC,S\m=-.故答案为：

33

【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.

16.（2023下•江苏淮安•七年级统考期末）在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1,ZB+ZC=ZBEC.求

证：AB〃CD请补充下面证明过程：

却图?

证明：过点E,忤EFUAB,如图2

0ZB=Z_____()

^ZB+Z.C=ZBEC,ZBEF+Z.______=/BEC（已知）

SZB+ZC=ZBEF+ZFEC（）

0z=z

0EFH（）

0EF//ABSAB//CD

【答案】BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行

【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程.

【详解】证明：过点E,作EFIIAB,如图2,

:.ZB=ZBEF（两直线平行内错角相等），

­.ZB+ZC=ZBEC,ZBEF+zLFEC=ZBEC（已知），

:.ZB+NC=NBEF+NFEC（等量代换）,

.-.ZC=ZFEC,EF//DC（内错角相等两直线平行），

•.­EF//AB,AB//CD.

故答案为：BEF,两直线平行内错角相等，FEC,等量代换，C,FEC,DC,内错角相等两直线平行.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用.

17.（2023下•江苏•七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，AB//CD,/1+/2=110。，求NG的

度数.

【答案】110°

【分析】过点6作3〃他，根据GM//AB//CD,进而据平行线的性质即可求/EGP的度数.

【详解】解：过点G作GM〃AB,

EB

QABMCD,^GM//AB//CD,

S^1=^EGM,N2=NFGM,

0NEGF=ZEGM+NFGM=^1+^2=110°,

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线及灵活应用平行线的判定与性质解

决问题.

18.（2023・江苏•九年级专题练习）在图中，AB//CD,/E+NG与ZB+N尸+NO又有何关系？

【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导.

【详解】分别过E,F,G作的平行线，

AB//CD,AB//EM//FN//GH//CD,

贝此1=/3,N2=N3,N4=N5,N6=ZD,

.-.Z1+Z2+Z5+Z6=ZB+Z3+Z4+ZD,

即，ZE+ZG=ZB+ZF+ZD.

【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明.

19.（2023•江苏七年级月考）如图所示，AB//CD,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD.

44

3

求证：ZAFC=-ZAEC

4

【答案】详见解析

【分析】连接AC,设!3EAF=x°,0ECF=y°,0EAB=4x°,0ECD=4y",根据平行线性质得出自BAC+国ACD=180。,求

出EICAE+fflACE=180°-(4x°+4y"),求出团AEC=4(x°+y°),0AFCEI3(x°+y°),即可得出答案.

【详解】证明：连接AC,

0ABECD,fflBAC+0ACD=18O°,fflCAE+4x°+EACE+4y°=180°,

00CAE+0ACE=18O°-(4x°+4y"),EFAC+0FCA=18O°-(3x°+3y°)

EHAEC=180°-(0CAE+EIACE)=180*180°-(4x°+4y°)]=4x°+4y°=4(x°+y°),

0AFC=18OO-(0FAC+0FCA)=180*180°-(3x°+3y°)]=3x°+3y°=3(x°+y°),

3

EHAFC=-EIAEC.

4

【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补.

20.(2022下•江苏连云港•七年级统考期中)已知A5/CD.

［知识应用］(2)如图2,BP、分别平分/ABE、NEDC,利用⑴中的结论，试说明：NBPD=；NBED；

(3)如图2,直接写出，班爰、ABED.NPBE、ZPEE四个角之间的数量关系.

［知识拓展］(4)如图3,若/BEF=145。,NEFD=135。,BP、〃尸分别平分4BE、ZCDF,那么4尸£)=

。；(只要直接填上正确结论即可)

(5)如图4,若ZBEF、NEFG、/FGD三个角的和是"，BP、0P分别平分/4BE、ZCDG,那么N3PD=

.（用含"的式子表示）

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）50；（4）|«-180°

【分析】（1）过点£作£加〃钻，利用猪脚模型进行计算，即可解答；

（2）利用⑴的结论可得得：ZBED=ZABE+ZCDE,ZBPD=ZABP+ZCDP,再利用角平分线的定义可得

ZABP=-ZABE,ZCDP^-ZCDE,然后进行计算即可解答；

22

（3）根据角平分线的定义可得NE8P=g/ABE,NEDP=gzCDE,再利用⑴的结论，从而进行计算可得

11

NPBE+ZPDE=-ABED,再利用⑵的结论可得NBPD=-ABED,然后进行计算即可解答；

（4）过点£作四〃48,过点、F作FN"AB,从而可得A3||E"||RV然后利用平行线的性质可得

ZMEF+ZNFE=180P,从而可得/%M+/DRV=100。，再利用平行线的性质可得=,

ZCDF=ZDFN,从而可得NA3E+/CDF=100。，最后利用角平分线的定义可得=,

NCDP=；NCDE,从而用（1）的结论可得ZBPD=ZABP+ZCDP=1（ZAB£+ZCD£）,进行计算即可解答；

⑸过点E作EM〃AB,过点尸作RV，过点G作GH〃AB,利用（4）的解题思路进行计算即可解答.

【详解】解：（1）过点E作上加〃AB,=

图1

■：AB//CD,:.CD\\EM,：.ZCDE=ZDEM,

ZBED=ZBEM+ZDEM,；.NBED=ZABE+NCDE；

（2）由⑴得：NBED=ZABE+NCDE,ZBPD=ZABP+ZCDP,

BP、DP分别平分NABE、NEDC,ZABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDE,

22

ZBPDZABP+ZCDP=~ZABE+^ZCDE=；（NABE+NCDE）=；NBED,gpZBPD=^ZBED；

（3）ZBPD+NPBE+APDE=ABED,

理由：-.BP,0P分别平分/ABE、NEDC,：.ZEBP=-ZABE,ZEDP=-ZCDE,

22

ZPBE+ZPDE=-ZABE+-ZCDE=-(ZABE+ZCDE}=-ZBED,

222'72

由⑵得：ZBPD=^ZBED,ZBPD+ZPBE+ZPDE=|ABED+ABED=ABED,

即ZBPD+NPBE+ZPDE=ABED；

(4)过点E作过点尸作

■.■AB//CD,:.AB\\EM\\FN\\CD,-,-EMZ/FN,ZMEF+ZNFE=180°,

•.•ZBEF=145°,ZEFD=135°,ZBEM+ZDFN=ZBEF+ZEFD-(ZMEF+ZNFE)=100°,

■.■AB\\EM,FN//CD,:.ZABE=NBEM,NCDF=NDFN,ZABE+ZCDF=100°,

;BP、£>P分别平分ZABE、ZCDF,ZABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDE,

22

ZBPD=ZABP+ZCDP=g/ABE+；NCDE=^(ZABE+ZCDE)=1xl00°=50。，故答案为：50；

(5)过点石作石加〃AB,过苴F悍FN"AB,过点G作G//〃AB,

图4

-.-AB//CD,:.AB\\EM\\FN\\GH\\CD,-.-EM//FN,FN//GH,

:.NMEF+NNFE=180。,ZNFG+ZHGF=180°,•:NBEF+NEFG+NFGD=n,

ZBEM+ZDGH=Z.BEF+NEFG+ZFGD-(ZMEF+ZNFE+ZNFG+NHGF)=n-360°,

■.■BP.DP分别平分ZABE、ZCDG,ZABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDG,

22

:.NBPD=ZABP+NCDP=-ZABE+-ZCDG=-(ZAB£+ZCDG)=-(M-360°)=-n-180°,

22222

故答案为：1«-180°.

2

【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键.

21.（2023下•江苏苏州•七年级校考期中）已知在四边形ABCD中，AD〃BC,点E是线段。。上一点.

图①图②

⑴如图①，求证：NA£B=/D4E+NCSE；（2）如图②，

①请动动你聪明的头脑，你会发现：NABE+NAEB―

②如图③，若—ACD的平分线与54的延长线交于点尸，与AE交于点尸，且/尸=55。，求/。的度数.

【答案】⑴见解析（2）①90；②110。

【分析】⑴过E作EF〃AT>,根据可得出砂〃3C,故可得出NZME=NE4F,NCBE=ZBEF,

由此可得出结论；（2）①根据AD〃可知ZDAC=ZACB再由AE平分ZDAC得出

ZEAC=|ZDAC=1,tgjgZABC=ABAC,/ASC+/54C+NACB=180。即可得出结论；②由①

知ZBAE=90。，故NFAE=90°.再由三角形外角的性质得出ZAPC=90°+55°=145°.根据三角形内角和定理

得出ZPAC+ZACP=35°.由AE平分ZDAC,CF平分ZACD及三角形内角和定理得出ND的度数.

【详解】（1）证明：如图①，过E作EF〃AD,

图①

■.■AD\\BC,:.EF\\BC,：,ZDAE=ZAEF,ZCBE=ZBEF,ZAEB=ZDAE+ZCBE；

(2)①：:.ZDAC=ZACB.

•.♦AE平分NZMC,ZEAC=-ZDAC=-ZACB,

22

ZABC=ABAC,ZABC+ABAC+ZACB=180°,

ABAC+ZEAC=9Q°,ZABE+ZAEB=90°.故答案为：90；

②如图③，由①矢口N8AE=90。，:.ZFAE=90°.

■：ZF=55°,ZAPC=90°+55°=145°.^PAC+^ACP=35°.

•；AE平分/D4C,CF平分，ACD,

Z.DAC+ZACD=2(ZPAC+ZACP)=70°,ZD=180°-70°=110°.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，数形结合是解

答本题的关键.

22.（2023下•江苏镇江•七年级统考期末）如图，MNUGH,点、A、8分别在直线MN、G8上，点。在直

线MN、G”之间，若ZM4O=116。，ZOBH=}44°.（1）ZAOB=°；（2）如图2,点C、£>是ZM4O、

NGBO角平分线上的两点，且NCE®=35。，求/ACD的度数；（3）如图3,点尸是平面上的一点，连结

朋、FB,E是射线网上的一点，若NM4E=nZOAE,ZHBF=nZOBF,且/AFB=60。，求〃的值.

【答案】（1）100；（2）75°；（3）H=3.

【分析】（1）如图：过。作OP〃MN,MN//OP//GH^NAO+^POA=180a,^POB+^OBH=180°,即

SNAO+SAOB+SOBH^60°,即可求出EAO&

（2）如图：分别延长AC、CD交GH于点、E、F,先根据角平分线求得ZM4C=58。，再根据平行线的性质

得至ljNCEF=58。；进一步求得NZ）所