2025苏州中考数学二轮复习：圆的综合应用 专项训练【含答案】

2025苏州中考数学二轮专题复习-圆的综合应用-专项训练

—.解答题(共10小题)

1.如图，△ABC中，AB=4\i2>。为A8中点，ZBAC=ZBCD,cosZADC=J^.,。。是△ACD的外

4

接圆.

(1)求的长;

(2)求。。的半径.

2.如图，△ABC是。。的内接三角形，A8是。。的直径，AC=V5>BC=2遥，点/在AB上，连接

C尸并延长，交O。于点。，连接8。，作垂足为E.

(1)求证：△DBES/\ABC；

(2)若4尸=2,求EZ)的长.

E

D

3.如图，A8是。。的直径，AC是弦，。是窟的中点，CD与AB交于点E.尸是延长线上的一点,

且CF=EF.

(1)求证：CF为OO的切线；

(2)连接8£),取2。的中点G,连接AG.若CF=4,BF=2,求AG的长.

4.如图，四边形ABC。内接于Z1=Z2,延长8c到点E,使得CE=4B,连接ED

(1)求证：BD=ED-,

(2)若42=4,BC=6,ZABC^60°,求tan/OCB的值.

5.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，。是弧BC的中点，BC与AD、。。分别交于点E、F.

(1)求证：DO//AC；

(2)求证：DE'DA=DC2；

(3)若tan/CAZ)=上，求sin/CZM的值.

6.如图，48是。。的直径，点C在。。上，垂直于过点C的切线，垂足为。，CE垂直垂足为

E.延长交。。于点R连接FC,BC与AB相交于点G,连接。C.

(1)求证：CD=CE；

(2)若A£=GE,求证：ZiCE。是等腰直角三角形.

7.如图，已知△ABC内接于O。，AB是直径，点。在。。上，OD//BC,过点。作DE_LAB,垂足为E,

连接CO交OE边于点立

(1)求证：△DOES^ABC；

(2)求证：ZODF=ZBDE；

(3)连接。C,设的面积为Si,四边形BC。。的面积为S2,若一1=2,求sinA的值.

s27

8.如图，AB是。。的直径，D、£为。。上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C,使得C£>=BD

连接AC交。。于点F,连接AE、DE、DF.

(1)证明：NE=NC；

(2)若NE=55°,求/的度数;

(3)设。E交A8于点G,若。尸=4,cosB=Z,E是品的中点，求EG・E£)的值.

3

E

9.如图，已知A。是△ABC的角平分线，。0经过A、B、。三点.过点8作交。。于点E,

连接EO.

(1)求证：ED//AC；

⑵若BD=2CD,设的面积为Si,△ADC的面积为S2,且一1652+4=0,求△ABC的面积.

10.如图，已知OO上依次有A、B、C、。四个点，AD=BC.连接48、AD.BD,弦AB不经过圆心O,

延长A3到E,使BE=AB,连接EC,尸是EC的中点，连接8足

(1)若。。的半径为3,120°,求劣弧BD的长;

(2)求证：BF=LBD；

2

(3)设G是2。的中点，探索：在。。上是否存在点尸(不同于点B),使得尸G=PF?并说明PB与

AE的位置关系.

RE

参考答案与试题解析

一.解答题(共10小题)

1.【解答】解：(1)；/BAC=NBCD,/B=/B,

:.△BACsgCD,

.BCBA

"BD"BC，

：AB=4&，。为AB中点，

；.BD=AD=2a，

：.BC2^16,

：.BC=4；

(2)过点A作AELCD于点E,连接CO,并延长交O。于R连接AF,

•.•在Rt^A即中，cos/CDA%g，AD=2V2.

AD4

：.DE=lf

AE=VAD2-DE2=V7)

；ABACSABCD,

:.整旭班,

CDBC

设C£)=尤，则尤，CE—x-1,

在RtAAC£中，AC2=CE2+A£2,

(V2X)2=(X-1)2+(V7)2>即7+2X-8=0,

解得x=2,x=-4(舍去)，

：.CD=2,AC=2>/2，

1/ZAFC与/ADC都是同所对的圆周角，

ZAFC^ZADC,

；CF为。0的直径，

：.ZCAF^90°,

sin/AFC=^=sin/CDA磊

CFAD4

；.CF=^~，即0。的半径为"L

77

c

2.【解答】(1)证明：TAB为直径,

・・・NAC8=90°,

9：BELCD,

：.ZBED=90°,

VBC所对的圆周角为N3QE和N3AC,

:・/BDE=NBAC,

：.△DBES^ABC；

(2)解：如图，过点。作CGLA5,垂足为G,

VZACB=90°,AC=疵,BC=2爬,

AAB=^AC2+BC2=5,

CGLAB,

.\AG=ACcosA=y/5X1,

5

9

：AF=2f

：.FG=AG=1,

・・・CG是Ab的垂直平分线，

：.AC=FC,

：.ZCAF=ZCFA=ZBFD=ZBDF,

；・BD=BF=AB-AF=5-2=3,

•：△DBES^ABC,

ABD=DE?

e*ABAC，

•・•—3=—D_E,

5V5

:.ED=3&•

5

c

3.【解答】(1)证明：如图，连接OC,OD.

9：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

■:FC=FE,

：.ZFCE=NFEC,

•；/OED=/FEC,

；・/OED=NFCE,

〈A3是直径，。是定的中点，

：.ZDOE=90°,

：.ZOED+ZODC=90°,

・・・NFCE+NOCD=90°,即NOb=90°,

,.・0C是半径，

・・・C方是。。的切线.

(2)解：过点G作GHLA8于点

设OA=OD=OC=OB=r,则0尸=什2,

在RtZXCOb中，42+?=(r+2)2,

厂=3,

VGHXAB,

：.ZGHB=90°,

u：ZDOE=90°,

：.ZGHB=ZDOEf

C.GH//DO,

•BH=BG

"BOBD，

：G为8。的中点，

2

：.BH=^BO=^,GH=^OD=1,

2222

：.AH=AB-BH=6-2=9,

VZ1=Z2,

•••AD=DC-

：.AD=DC,

在△A3。和△Z)CE中,

'AB=CE

<ZA=ZDCE-

AD=DC

:.AABD2ACED(SAS),

:.BD=ED；

(2)解：过点D作DMLBE于M,

VAB=4,BC=6,CE=AB,

：.BE=BC+EC=IO,

,;BD=ED,DM±BE,

:.BM=ME=LBE=5,

2

：.CM=BC-BM=1,

VZABC=60°,N1=N2,

.•.Z2=30°,

：.DM=BM,tanN2=5乂近■=登区,

_33

tan/OCB=如=.

5.

所以即NC4B=2N3A。,

而/BOD=2NBAD,

所以/CAB=/8O£),

所以。O〃AC；

(2)vCD=BD>

：.ZCAD=ZDCB,

:.丛DCEs丛DAC,

:.CN=DE・DA；

(3)VtanZCAD=A,连接BZ),则80=CD,

ZDBC=ZCAD,在RtZXBOE中，tan/O8E=m=理=」,

BDCD2

设：DE=a,则CD=2a,

而CD2DE'DA,则AO=4a,

.\AE=3a,

•・•AE=Dof

DE

而△。跖，

即△AEC和△£>£方的相似比为3,

设：EF=k,贝!JCE=3k,BC=8k,

tanZCA£)=-X,

2

：.AC=6k,AB=lQkf

sinZCDA=—.

5

6.【解答】证明：(1)连接AC,

〈CD是。。的切线，

・•・OCXCD,

VAD±CZ),

ZDCO=ZD=9Q°,

：.AD//OC,

：.ZDAC=NACO,

,/OC=OA,

：.ZCAO=ZACO,

：.ZDAC=ZCAO,

•・•CE上AB,

：.ZCEA=90°,

在△CZM和△CEA中，

rZD=ZCEA

工ZDAC=ZEAC，

AC=AC

.'.ACDA^ACEA(AAS)f

：.CD=CE；

(2)证法一：连接8C,

：.ZDCA=ZECA,

VCE±AG,AE=EG,

：.CA=CG,

・・・NECA=/ECG,

TAB是。。的直径，

ZACB=90°,

丁CE_LAB,

：.NACE=NB,

•:NB=/F,

：.ZF=ZACE=ZDCA=NECG,

VZ£)=90°,

：.ZDCF+ZF=90°,

ZF=ZDCA=ZACE=ZECG=22.5°,

ZAOC=2ZF=45°,

・•・ACEO是等腰直角三角形；

证法二：设//=羽则NAOC=2Nb=2x,

9：AD//0C,

：.ZOAF=ZA0C=2x,

：.ZCGA=ZOAF+ZF=3羽

VCE±AGfAE=EG,

：.CA=CG,

：.ZEAC=ZCGA,

VCE±AG,AE=EG,

：.CA=CG,

：.ZEAC=ZCGA,

：.ZDAC=ZEAC=ZCGA=3x,

VZZ)AC+ZEAC+ZOAF=180°,

3x+3x+2x=180°，

x=22.5°,

AZAOC=2x=45°,

・・・△CEO是等腰直角三角形.

7.【解答】(1)证明：TAB是。。的直径,

AZACB=90°,

VDEXAB,

：.ZDEO=90°,

：.ZDEO=ZACB,

・・•OD//BC,

：.ZDOE=ZABC,

：.△DOEsLABC；

(2)证明：•••△DOEs△ABC,

AZODE=NA,

・・・NA和ZBDC是前所对的圆周角，

NA=/BDC,

・・・NODE=NBDC,

：・NODF=NBDE；

D

(3)解：：△OOEs△ABC,

.SADOE/OD、21

.•跖『短)无

即SAABC=4SADOE=4SI,

•：OA=OB,

SABOC即SABOC=2Si,

.・SI2

•同"二尸，$2=S4BOC+^ADOE+^ADBE=2Si+$i+$时理

・1

"SADBE^Sf

・1

••BE-^OE，

即OE-|OB-|-OD-

oO

sinA=sinZODE==—.

OD3

8.【解答】(1)证明：连接4。，

是。。的直径,

AZADB=90°,§PAD±BC,

'：CD=BD,

：.AD垂直平分BC,

：.AB=AC,

:./B=/C,

XVZB=ZE,

:*/E=/C；

(2)解：：四边形AMP是。。的内接四边形,

ZAF£>=180°-ZE,

又•.•/Cf'D=180°-ZAFD,

；./CFD=NE=55°,

又：/E=NC=55°,

；./BDF=NC+NCFD=110°；

(3)解：连接OE,

,：ZCFD=ZE=ZC,

:.FD=CD=BD=4,

在RtZXAB。中，COSB=2,BD=4,

：.AB=6,

是窟的中点，AB是。。的直径,

ZAOE^9Q°,

：AO=OE=3,

:.AE=3®

是总的中点，

/ADE=NEAB,

：.AAEG^^DEA,

•AE=DE

"EGAE'

即EG.£D=AE2=18.

9.【解答】（1）证明：；A。是△ABC的角平分线,

：.ZBAD=ZDAC,

'：ZE=ZBADf

：.ZE=ADAC,

'：BE//AD,

；・/E=NEDA,

：.ZEDA=ZDAC,

：.ED//AC；

(2)解：U：BE//AD,

：.ZEBD=ZADC,

VZE=ADAC,

:•丛EBDS&ADC,且相似比左=坨二力

DC

Si9

—-=lc=4,即S1=4S2,