2025年中考数学几何辅助线解题方法：平行四边形常连对角线

第6招平行四边形，常连对角线

平行四边形是平面几何中最常见的中心对称图形,它具有两组对边分别平行且相等,对角对应相等的特征.当题

设中有平行四边形的条件时，往往要主动连接其对角线，由此获得全等三角形，如图6-1所示.对于只有一组对边平

行的四边形，常要设法构建平行四边形进行分析，如图6-2所示.灵活运用平行四边形的性质，可解决许多角的相

等、线段的相等、面积的相等问题.这招辅助线我们可将它表述为：

平行四边形，常连对角线.

为了方便，我们将平行四边形的性质归纳为：

对角线，互平分，对边平行且相等.

正方形、菱形、矩形都是特殊的平行四边形，因此，平行四边形的这些性质在正方形、菱形、矩形等特殊的四

边形中也是适用的.

例1如图6-3所示，在平行四边形ABCD中，已知AC与BD交于点0,E为AD延长线上的一点,0E交CD

解析证明延长CB与EG,设其交点为H,过点H作HP〃AB,且HP=AB,连接AP,如图6-4所示，则四边形ABH

P为平行四边形.(对边平行且相等)

在中，：DFHP,,

4EHP•DFED

A人⑶EP

Pr»Hrr=ABr»,.・一=—.

•DFED

U-r-ABADEPADEP-ADED+AP.,AP.,AP

从而-D-F----DE=-E-D---E-D-=--E-D--=---E-D-=14---E--D-=1-1---E--D

在^OED与工OBH中,OD=OB,

ZDOE=ZBOH,ZOED=ZOHB,

△OED之△OHB(AAS).

从而DE=BH=AP,一=1.

ED

ABADr

・・

•-D-F------D-E-=2.

点评本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质的理解，考查平行四边形的性质的运用.题设条件虽简洁，

但求证式中的各线段又过于“分散”，因此，解题的关键是利用平行四边形的性质，延长CB与EG交于点H,添加

BA的平行线HP的辅助线，构造平行四边形APHB,将有关线段转移，“集中”到一个三角形4EHP中来探究，

充分体现了构建平行线给解题带来的活力.

例2如图6-5所示，在口ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,AE=CF,M,N分别是DE,BF的中点.

(1)求证:四边形ENFM是平行四边形.

(2)若2NABC=NA,求NA的度数.

解析⑴证法1连接AC,BD,设AC,BD交于点O,如图6-6所示.(平行四边形，常连对角线)

连接ON,MO,OF,OE,AF,CE.

四边形ABCD是平行四边形,，OC=OA,O为中心.

；AE=CF,AE〃CF,

..•四边形AECF是平行四边形.

由此可得点O也是平行四边形AECF的中心.

.^.E,O,F三点共线,O是EF的中点.①

又M是DE的中点，

；.MN是AEDF的中位线.

1

・•.MODF,MO=-DF.

2

同理可得ONEB,ON=

又EB=DF,ON〃EB〃OM,故M,O,N三点共线，点O是MN的中点.②

由①②，得点O是四边形MFNE的对称中心.

.♦•四边形MFNE是平行四边形.

证法211,四边形ABCD是平行四边形，如图6-6所示.

；.AD=BC,/A=/C.(对边平行且相等)

又AE=CF,

/.AADE^ACBF(SAS).

ZAED=ZCFB,DE=BF.

又四边形ABCD是平行四边形，

；.DC〃AB.；.ZCFB=ZABF.

，ME〃FN.

又M,N分别是DE,BF的中点且DE=BF,

；.ME=FN.

四边形ENFM是平行四边形.

（2）.••四边形ABCD是平行四边形，

ZA+ZABC=180°.

又2ZABC=ZA,.\3ZABC=180°.

ZABC=60°,ZA=120°.

点评本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位

线性质，考查逻辑推理能力.第⑴问，证法1通过连接对角线AC,BD,构建平行四边形ABCD的中心0,进而挖

掘O也是EF的中点，再利用三角形中位线分析，又挖掘O也是MN的中点，由此得出四边形ENFM是平行四边

形，体现了“对角线，互平分，对边平行且相等”的基本思想.解法2

是从全等三角形的角度来分析的，也是常见的思路.第⑵问，充分利用平行四边形两邻角互补的性质分析，是

解题的常规思路.思维清晰、自然.

例3背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图6-7所示的位置摆放（点E,A,D在同一条直线上）,

发现BE=DG且BEXDG.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

⑴将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图6-8所示）,还能得到BE=DG,DG±BE吗？若能，请给出

证明；若不能，请说明理由.

（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图6-

9所示）试问当NEAG与/BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由.

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD,且案=AB=/AE=4,AB=8,将矩形AEFG绕点

A按顺时针方向旋转（如图6-10所示）,连接DE,BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG?的值是定值，请求出

这个定值.

图6-8图6-9图6-10

解析（1）能得至UBE=DG.DG±BE.

证明延长DG,设DG与BE交于点M,如图6-11所示,

:四边形AEFG为正方形，

/.AE=AG,ZEAG=90°.

又四边形ABCD为正方形，

.,.AB=AD,ZBAD=90°.

ZEAB=ZGAD.

由①②③彳导△AEB0△AGD(SAS).

/.BE=DG,ZABM=ZMDA.④

又由④，得A,M,B,D四点共圆.

ZDMB=ZDAB=90°,gPDG±BE.

(2)当/EAG=/BAD时,BE=DG.

理由如下：

NEAG=/BAD,如图6-12所示，

ZEAB=ZGAD.困6-12

又四边形AEFG和四边形ABCD为菱形,

/.AE=AG,AB=AD.

AAEB^AAGD（SAS）.

；.BE=DG.

⑶解法1如图6-13所示，设BE与DG交于点Q,BE与AG交于点P,连接BD,EG.（平行四边形，常连对角线）

AEAB厂ACC

—=—=-2A4E=4x,AB

AGAD3f=8,

.\AG=6,AD=12.

•/四边形AEFG和四边形ABCD为矩形.

：.ZEAG=ZBAD.ZEAB=ZGAD.

—=—=AEBAGD.

AGAD3

JNAEB=NAGD.

；.A,E,G,Q四点共圆.

ZGQP=ZPAE=90°,GD±EB.

ED2+GB2=EQ2+QD2+GQ2+QB2

=EG2+BD2.

EG2+BD2=42+62+82+122=260.

解法2如图6-14所示.过点E作EMLDA,交DA的延长线于点M,过点G作GN，AB,垂足为N.

由题意知,AE=4,AB=8.

AEAB2A-—Ac

—=—=-,•••AG=6,AD

AGAD3=12.

Z.EMA=Z.ANG,^MAE=90°-^MAG=乙GAN,

AAAME^AANG.

设EM=2a,AM=2b,gf((2a)2+(,2b)2=4?彳导a2+b2=4.

贝！IGN=3a,AN=3b,从而BN=8-3b.

ED2=(2a)2+(12+2b)2=4a2+144+48b+462,

22

GB=(3a)+(8-36)2=9a2+64_48b+翊

ED2+GB2=13(a2+b2)+208

=13x4+208=260.

解法3如图6-15所示.记NGAB=/3,/DAB=/l=/EAG=/2=90。，

连接BD,EG,(平行四边形，常连对角线)

则NEAB=N2+N3=/3+/l=/GAD.

...也=再=2(*)

AGAD3'।)

.,.△ABE^AADG.

设BE与DG交于点H,则NADH=NABH,

故A,H,B,D四点可构成一个圆.

ZDAB=ZDHB=90°.

由题意知,AE=4,AB=8,

结合(*)碧AG=6,AD=12.

ED2+GB2={EH2+DH2)+(GW2+SW2)

=EG2+BD2=260.

点评本题主要考查正方形、菱形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股

定理等知识，综合性强，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键.不难发现，在第⑶问中.也有BE:DG=2:3,

读者不妨试试.

跟踪训练

1.如图所示，已知M为口ABCD的边AB的中点，DM交AC于点E,则图中阴影部分的面积与口ABCD面积

的比值是（）.

B.-B

4

D'

第1即困

1

D.-

612

2.已知，如图所示，在nABCD中,AELBC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,G为CD上的一点，连接DF,EG,

AG,且Nl=/2.

⑴若CF=2,AE=3,求BE的长.

⑵求证：乙CEG=*GE.

第2题图

3.如图所示，E是平行四边形ABCD中AB延长线上的一点，ED交BC于点F,求证:SAABF=SACEF.

第3题图

4.如图所示，在四边形ABCD中,AD〃BC,/ABC=9（T,AB=BC=24D,,E,F分别是AB,BC边的中点，连接AF,

CE交于点M,连接BM并延长交CD于点N,连接DE交AF于点P,下列结论:

®ZABN=ZCBN;②DE〃:BN;

③△CDE是等腰三角形；©EM-.BE=V5：3;

⑤S.EPMM/S梯形拉3CD.

其中，正确的有（）.

A.5个B.4个

C.3个D.2个

第4题图

答案

1-A依题后知，SDAE+SMEC-2SDMA—2SEMA.

易知△EMAs/^EDC,过点E作EH_LAM,垂足为H,交CD于点G,如图所示.

则点E到MA,CD的距离分别为：/i!=EH,h2=EG.

又设点D至IJAB的距离为h,

则携翳，•守弓由此可得：

第1题答图

SDAE+=2xIxgTIB./I)-2xixg-I/I)

=-1-AB・h(1—=gScD.

乙Oo

所以图中阴影部分的面积与口ABCD面积的比值是|

故选A.

2.(1)：CE=CD,点F为CE的中点,CF=2,

；.DC=CE=2CF=4.

:四边形ABCD为平行四边形,；.AB=CD=4.

VAE±BC,.,.ZAEB=90°.

在RtAABE中，由勾股定理，得BE=V42-32=V7.

⑵证明过点G作GMLAE,垂足为M.

AE±BE,GM±AE,GM〃BC〃AD.

21=Z2,

在4DCF和4ECG中.zc=zc,

.CD=CE,

第2题答图

：.ADCF^AECG(AAS).

：CE=2CF,；.CD=2CG,即G为CD的中点.

"?AD〃GM〃BC,，M为AE中点，AM=EM.

•-•GM±AE,AG=EG,

/AGM=NEGM,从而/AGE=2/MGE.

•••GMBC,•••乙EGM=ACEG..-.乙CEG=-/.AGE.

2

3.证法1连接BD(平行四边形，常连对角线),过点D作DHLBC,垂足为H,如图1所示.

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以点A，点D到BC的距离都等于DH.

由图易得SABF=SBOF,(同底等局))I

第3即答图1

同理可得SBDE=SBCE•(同底等高)•

」•SBDE-^BFE=^BCE-^BFE-

SBDF=SFCF・

^ABF=^ECF-

证法2分别过点D,E作DH，BC,EG，BC,垂足为G,H,如图2所示.

•/四边形ABCD为平行四边形,，BE〃CD.

:.ABEF^ACDF.

RFFG

・♦・丝=巴.；,BF•DH=CF•EG.

CFDH

-：S=\1BF-DH,S=lICF-EG,

ABFBCF第3题答国2

^ABF=^ECF-

证法3：四边形ABCD是平行四边形，；.AE〃CD.

过点E作EQLCD,垂足为Q,如图3所示.

SBCD=^CD-EQ=＞乎行四边形ABCD。

SFC+SFDC—|s平行四边形ABCD.

•••SABF+SFDC=巳S平行四边形ABCD,

^ABF=SEFC，

4.B连接DF,AC,EF,如图所示

(平行四边形，常连对角线)

,?AD//BC,AB=BC=2AD,F为CB的中点，

；.AD=FC,且AD〃FC.

四边形ADCF为平行四边形.

第4期答国

•••E,F分别为AB,BC的中点，且AB=BC,

/.AE=EB=BF=FC.

-AB=CB,

又寸①:在△ABF^[]ACBE中\AABF=乙CBE,

.BF=BE,

：.AABF^ACBE(SAS).

ZBAF=ZBCE,AF=CE.

Z.EAM=ZF