2025年中考数学二轮复习：等腰三角形的存在性问题 专项练习 （附解析）

等腰三角形的存在性问题

1.如图，直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线

AB垂直，交y轴于点Q,如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标.

2.如图，在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,DE=4动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速

度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止.过点E作EF〃AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA

重合），联结DF,设运动的时间为t秒（仑0）.

（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的值；

（2）在这个运动过程中，NDEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

3如图，已知四边形ABCD是矩形,AB=16,BC=12.点E在射线BC上，点F在线段BD上且/DEF=/ADB.设BE

=x,^ADEF为等腰三角形时，求x的值.

4如图，在等腰直角三角形BCE中，斜边.BC=4Mp是BE延长线上一点，联结PC,以PC为直角边向下

方作等腰直角三角形PCD,CD交线段BE于点F.若PE=x,当^BDF为等腰三角形时，求x的值.

BD

5如图1,已知边长为2的正方形ABCD中，AC为对角线，点E在线段AC上(点E与点A、C不重合)，过点

E作EFJ_BC,垂足为点F,联结ED和DF.

(1)说明△EFD与△EFC的面积相等；

⑵设AE=x,SAEDF=y(SAEDF表示△EDF的面积)，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范

(3)当4EDC为等腰三角形时,求线段AE的长.

BF

6如图1,已知在梯形ABCD中,AD〃BC,P是下底BC上一动点(点P与点B不重合),AB=AD=10,BC=24,NC=4

5°,45°<ZB<90°.igBP=x,四边形APCD的面积为y./\---------\

(1)求y关于x函数解析式，并写出它的定义域；

(2)联结PD,当仆APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积.

7如图1,在平面直角坐标系中，过点.4(-百，0)的两条直线分别交X，轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐

标分别是一元二次方程y2-2y-3=0的两个根.

(1)求直线AC与直线AB的函数解析式；o

(2)求证:直线AC与直线AB互相垂直；/'、、

(3)若点D在直线AC上，且DB=DC,则直线BD上是否存在点P,硬以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三

角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

8如图1,在梯形ABCD中,AD〃BC,AB=CD,BC=10,对角线AC、BD相交于点O,且AC_LBD.设AD=x,AAOB

的面积为y.

(1)求/DBC的度数；

⑵求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)如图2,设点P、点Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP、OQ、PQ.如果△OPQ是等腰三角形，求AD

的长.

9如图L在矩形ABCD中,AB=1,对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF±AC分别交射线AD与射线CB于

点E和点F,联结CE、AF.

(1)如图,求证:四边形AFCE是菱形;

⑵当点E、F分别在边AD和BC上时,如果设AD=x，菱形AFCE的面积是y,求y关于x的函数关系式，并写

出x的取值范围；

⑶如果△ODE是等腰三角形.求AD的长度

图1

10如图1,在边长为2的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点(与A、C不重合)，过点P作PE

±PB,PE交射线DC于点E,过点E作EF垂直直线AC,垂足为点F.

(1)当点E在线段CD上时(如图1),求证:PB=PE;

(2)当点E在线段CD上时，在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，

若变化，试说明理由；

⑶在点P的运动过程中，△PEC是否能成为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由.

ADAD

1.满分解答

由y=2x+2得,A(-1,O),B(0,2).所以OA=1,OB=2.

如图，由△AOBS^QOP得QP：OQ=OB：OA=2:1.

设点Q的坐标为(0,m),那么点P的坐标为(2m,0).

因此Ap2=(2m+I)2,AQ2=m2+1,PQ2=m2+(2m)2=5m2.

①当AP=AQ时,AP2=AQ?,解方程(2m+I)2=m2+L得m=0或m=-(所以符合条件的点P不存在.

②当PA=PQ时,PA2=PQ2,解方程((2巾+I)2=5疗得m=2±0所以.P(4+275-0).

③当QA=QP时,QA2=QP2,解方程m2+l=5出得m=±|.所以P(l,0).

⑴BE=t+4,EF=-(t+4).

(2)ADEF中,/DEF=/C是确定的.

①如图1,当DE=DF时,黑=第即±=誓.解得t=詈.

②如图2,当ED=EF时,4=|(t+4).解得t=f.

5

m('+4)10

③如图3,当FD=FE时,第=裂，即一4——而解得t=0,即D与B重合.

⑶MN是^FDE的中位线,MN〃DE,MN=2,MN扫过的形状是平行四边形.

如图4,运动结束,N在AC的中点,N到BC的距离为3;

如图5,运动开始，D与B重合，M到BC的距离为

所以平行四边形的高为3-=，面积为：x2=9

4442

3满分解答

如图1,在R3ABD中,人8=16,乱=12,所以.BD=12,cosZADB=

所以BD=20.

如图2,由/DEF=NDBE=NADB,NEDF=NBDE4^ADEF^ADBC.

所以当△DEF是等腰三角形时，/DBC也是等腰三角形.

在小DBC中,coszDBC=|,BD=20,BE=x.分三种情况讨论：

①如图3,当BE=BD时,BE=20.

②如图4,当DB=DE时，点D在BE的垂直平分线上，所以BE=2BC=24.

③如图5,当EB=ED时，"。=|BE.所以|x20=|相此时BE=y.

图3图4图5

4满分解答

在等腰直角三角形BCE中，斜边BC=4/,,所以BE=CE=4.

如图1,因为△CBE^ACDP是等腰直角三角形，所以△CBE-ACDP.

所以黑=作

如图2,因为/BCD=/ECP,所以△BCD^AECP.

所以NBDC=NECP,/CBD=NCEP=90。.

所以/FBD=/CBP=45。.所以△BDFs/\BPC(如图3所示).

所以当△BDF是等腰三角形时,△BPC也是等腰三角形.分三种情况讨论：

①如图4,当BP=BC=4或时，x=PE=4V2-4.

②如图5,当CP=CB=4时,△BCP是等腰直角三角形,CE是斜边上的高.此时x=PE=4.

③如图6,当PB=PC时,P、E重合,不符合题意.

5满分解答

(1)如图2,因为四边形ABCD为正方形，所以/BCD=90。.

因EFJ_BC,所以/EFC=90。.所以EF//DC.

由平行线间的距离处处相等，得△EFD与小EFC为同底等高三角形.

所以△EFD与AEFC的面积相等.

(2)如图2,因为四边形ABCD为正方形，所以/ACB=/ACD=45。.

图2

在RtAABC中,AB=BC=2,所以.AC=2^2.

所以EC=AC-AE=2版一x.

在RtAEFC中，N2CB=45°,EC=2鱼-x,设EF=FC=m.

27

由勾股定理，得TH?+血2=9鱼-%).整理，得2m2=(2V2-%).

所以小2=半豆.

所以y=SEDF=SECF=^EF.FC=im2='四丁=i%2-V2x+2.

自变量的取值范围是(0<%<2V2.

(3)分三种情况讨论4EDC为等腰三角形.

①如图3,当CD=CE时,CE=2.所以4E=4C-CE=2&-2.

②如图4,当EC=ED时,/EDC=NECD=45。.所以/ADE=45。.

图5

所以DE为等腰直角三角形ADC的角平分线.

由等腰三角形三线合一，AE=EC=V2.

③如图5,当.DC=DE时，4DEC=乙ECD=45°.

此时点E与点A重合，不符合题意，舍去.

6满分解答

(1)如图2,过点A作AMXBC于M,过点D作DN_LBC于N彳导矩形AMND.

设AM=DN=m.

在RtADNC中,NC=45°,所以NC=DN=m.

在RtAABM中,AB=10,AM=m,BM=24-10-m=14-m.

由勾股定理，得Tn?+(14-m)2=102.

整理，得小？-14m+48=0.

角驯导1711—6,m，28.

因为45°<ZB<90。,所以AM>BM.

所以m=6不符合题意,舍去,m=8.所以DN=8.

如图3，丫=$四边形=^AD+PC)•DN=110+24—x)x8=136—4x.

定义域是0<x<24.

图3

(2)【代数法】如图4,在RtAAMP中,AM=8,MP=|x-6|,所以AP2=82+(x-6产在RtADNP中,DN=8,NP=|24-x

-8|=|16-x|,所以DP2=82+(16-尤)2.当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，分两种情况讨论.

①如图5,当AP=AD时,AP2=AD2,82+(x-6)2=102.

整理，得/一12%=0.

解得Xi=0(不符合题意,舍去),.%2=12.

当x=12时,S四边形APCD=136-4x12=88;

②如图6、7,当DP=DA时,DP2=DA2,82+(16-x)2=102.

整理，得/一32%+220=0.

解得打=10/2=22.

当x=10时,Se,”=136-4x10=96;

四边形APCD'

当x=22时,S=136-4x22=48;

'四边形APCD'

【几何法】①如图5,当AP=AD时,AP=ABAAB尸是等腰三角形.

由等腰三角形“三线合一”，得MP=MB=6.

所以BP=12,此时Sw=136-4x12=88;

②当DP=口4时，四边形ABPD为平行四边形或等腰梯形.

如图6,当四边形ABPD为平行四边形时,BP=10,止匕时:=136-4X10=96;

如图7,当四边形ABPD为等腰梯形时,BP=6+10+6=22,此时S四边形APCD=136-4x22=48.

7满分解答

⑴解方程V—2y—3=0得yi=3,以=—1.所以B(0,3),C(0,-l).

由A(-V3,0)、C(0,-l),得直线AC的解析式为y=-yx-l.

由A(-V3,0),B(0,3)彳导直线AB的解析式为y=百％+3.

⑵如图2,在RtAABO中,OA=W,OB=3,所以AB=2遮.

在RtAACO中,CM=遮,OC=1,所以AC=2.

在小ABC中,AB=2g,AC=2,BC=4,所以,AB2+AC2=BC2./

由勾股定理逆定理彳导仆ABC为直角三角形,/BAC=90。.所以AC±AB.-------

(3)由DB=DC,可知点D在线段BC的垂直平分线上，所以yD=l.

图2

将yD=l代入y=-4久一1,得xD=一2但所以点。(一2四1).

由B(0,3)、D(-2w，1),得直线BD的解析式为y=yx+3.

设P(%，乎％+3)已知A(・旧,0)、B(0,3),所以=(2-)2=12,BP2=%2+(y=^x2,AP2=(%

2

+V3)2+(/尤+3)=|x2+4-\/3x+12.

①如图当时，i2+

3,”2=AB2x473X+12=12.

解得x1=0(与点B重合，舍去),.x2=-3旧,此时点P(-3V3-0).

②如图4,当BP?=B/P时，打2=12.解得久1=3,0=-3.

此时点P(3,3+遮)或(-3,3-V3).

③如图当.PA2时，=紧.解得x

5,=PB?+4A/3X+122=-V3.

此时点P(-旧⑵.

8满分解答

⑴如图3,过点D作DK〃AC交BC延长线于点K,得平行四边形ADKC.

所以AC=DK,AD=CK.

由等腰梯形的对角线相等，得AC=BD所以BD=DK.

又ACJ_BD,所以/BOC=90。.

所以/BDK=90°,NDBC=45°.

K

图3图4

⑵如图4,过点0作EFXBC交AD于点E,交BC于点F.

在等腰直角三角形AEO中，EO=AE=1AD=%所以AO=^x.

在等腰直角三角形OBH中，OH=BH=加=5,所以OB=5V2.

所以y=SAOB=Ra•0B=1•苧x5&=|x启变量的取值范围是x>0且x#10.

(3攻口图4,过点A作AMXBC于M.

由⑵，在RtABND中,DN=BN=3(K+10),所以AC=BD=*x+10).

在RtAABM中,AM=DN=久久+10),BM=CN=曰(10-x),所以AB=DC=?.Vx2+100.

在4ABC中,PQ是4ABC的中位线,PQ=Jc=中(x+10).

在RtAAOB中,OQ是斜边上的中线,OQ=\AB=—■Vx2+100.

在等腰直角三角形BOC中，OP=3BC=5.

如图5,△OPQ是等腰三角形，分三种情况讨论.

①当PQ=PO时,*Q+10)=5,解得%=10V2-10.此时AD=10V2-10.

2

②当OQ=OP时,V-Vx+100=5,解得=-IO/=10（均不符合题意，舍去）.

③当QO=QP时,当.W+io。=10+10）,解得x=0（不符合题意，舍去）.

44

综上所述，如果△OPQ是等腰三角形，AD=10V2-10.

9满分解答

⑴因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC,DA〃CB.

所以/l=/2.

在小AOE和小COF^,Z1=Z2,OA=OC,ZAOE=ZCOF,^TI^AAOE丝△COF.所以OE=OF.

又因为EFLAC,所以四边形AFCE是菱彩

⑵设菱形的边长为m.

在RtADEC中,EC=m,DE=x-m,DC=l,由勾股定理得（（x—m）2+I2=m2.

整理，得—2xm+x2+1=0.解得m=匚口.

2x

所以y=S=AE-AB=m=要.定义域是x>0.

⑶因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD,N5=N6.

当4ODE是等腰三角形时，分两种情况讨论.

①如图4,当点E在线段AD上时，△ODE为钝角三角形，所以只可能存在EO=ED.

此时,N3=/4.

因为NADC=90。,所以N3+N5=90。.

因为/EOC=90。,所以/4+/7=90。.

根据等角的余角相等得/5=/7.所以/5=/6=/7=60。,/3=30。.

在RtAADB中,/3=60。,AB=1,所以BD=2.所以AD=V3.

②如图5,当点E在线段AD的延长线上时，△ODE为钝角三角形，所以只可能存在DO=DE.此时,/8=/4.

因为NEDC=9