2025年新高考数学复习突破讲义：常用逻辑用语（含解析）

专题02常用逻辑用语

【知识点梳理】

一、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若。,则为真(记作夕nq),则夕是q的充分条件；同时q是0的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若0且p,则P是q的充分不必要条件；

(2)若04q且夕，则?是q的必要不充分条件；

(3)若夕且则夕是q的的充要条件(也说2和q等价)；

(4)若04q且p,则夕不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pnq,则夕是q的充分条件，同时4是p的

必要条件.所谓“充分”是指只要「成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得?成立，必须要q成立(即如果q

不成立，则?肯定不成立).

二.全称量词与存在童词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有夕(x)成立"可用符号简记

为7xeM,p(x)”,读作“对任意x属于有p(x)成立”.

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“h'

表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个工,使夕(%)成立"可用符号

简记为“*0eM,P(x())”，读作“存在M中元素M,使?(%)成立"(存在量词命题也叫存在性命题).

三.含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题)：VxeM,p(x)的否定力为Hr。eM,-^9(x0).

(2)存在量词命题夕：玉°&M,p(x0)的否定可为VxeM，r?(x).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【方法技巧与总结】

1、从集合与集合之间的关系上看

设/={x"(x)},B={x|q(x)}.

(1)若则P是q的充分条件(0=>q),q是0的必要条件；若ZU1S,则P是q的充分不必要

条件，q是0的必要不充分条件，即O=>q且p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小n大”.

(2)若则0是q的必要条件，q是2的充分条件；

(3)若4=B,则0与q互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合〃中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词

命题为假命题，只要能举出集合"中的一个X。，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合”中能找到一个与使之成立即可，否则这个存在量

词命题就是假命题.

【典型例题】

例1.(2024・陕西西安•西安中学校考一模)已知a,6,ceR,则下列选项中是“a<6”的充分不必要条件的是

()

A.H>HB.ac2<be2C.a2<b2D.3°<36

ab

【答案】B

【解析】对于A,当a=-l,6=l,满足。<6,但目〉目不成立，

ab

当a=l,b=-l,c=l时，满足回>氏但。<b不成立，故A错误；

ab

对于B,当c=0时，a<b入ac2<be2,{1ac2<bc2a<b故B正确；

对于C,〃=-2/=1时，a<b,但不成立，

。=1力=-2时，/<万2,但不成立，故C错误；

对于D,因为指数函数>=3、在R上单调递增，故。<6=3。<36，故D错误.

故选：B

例2.(2024・浙江绍兴•高三统考期末)已知i是虚数单位，aeR,则“力=广，是"(。+丁=2i”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

(a2-1=0

【解析】当(a+i)=2i时，即/—i+2Qi=2i,得

而/=1时，a=±\,推不出一定是Q=1,即推不出(a+i『=2i;

所以=广是”(〃+i)2=2i”的必要不充分条件,

故选：B

例3.（2024•江苏徐州•高一统考期末）若命题“玉eR,/+以+/<0”是假命题，则实数f的最小值为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】因为命题FxeR,/+4工+1<0”是假命题，

所以命题“VxeR,x?+4x+f20”是真命题，

因此有A=42-4fW0ntN4,所以实数/的最小值为4,

故选：C

例4.（2024•湖南邵阳•统考一模）命题“玉:eR,x2-4x+6<0”的否定为（）

A.3xeR,x2-4x+6>0B.eR,x2-4x+6<0

C.VxeR,x2-4x+6<0D.VxeR,x2-4x+6>0

【答案】D

【解析】根据全称命题或者特称命题的否定，

所以HreR,尤2-4x+6<0的否定为VxeR,x2-4x+6>0,

故选：D.

2

例5.（2024•浙江宁波•高三统考期末）命题"五4-2/，x-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.aW—B.aV0C.aN6D.<2>8

4

【答案】D

【解析】若命题咱xe[-2,l],公_》-0>0”为假命题,

则命题的否定“VxX?-尤-aV0”为真命题，

即a2V-x，xe[-2,1]恒成立，

y=x2-x=^x-xe[-2,1],当x=—2,取得最大值y=6,

所以026,选项中只有卜,28｝是26｝的真子集，

所以命题“玉目-2,1],/—x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件为心8.

故选：D

例6.（多选题）（2024•内蒙古呼伦贝尔・高一校考期末）命题“MVxV3,x2-aVO”是真命题的一个充分不必

要条件是（）

A.a>9B.a>\\

C.^>10D.a>12

【答案】BCD

【解析】V1<X<3,X2-«<0，

则“2/对V14xW3都成立，

又x?49,所以。29,

观察选项可得命题"VI<%<3,--aV0”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.

故选：BCD.

例7.（多选题）（2024•黑龙江绥化•高三校考期末）已知。，b,c是实数，则下列命题正确的是（）

A.a>b是/>〃的充分不必要条件B.a>b是/>〃的既不充分也不必要条件

C.是>6<?的充分不必要条件D.。>6是的必要不充分条件

【答案】BD

【解析】取"3,b=-5,得。>b,但/=9<〃=25,充分性不成立；

取a=—1,6=0,得02=］>62=0,但。<6,故A错，B对；

当c=0时，则碇2=耐=0,充分性不成立；若.<?>仪:2,贝!Jo?〉。，所以。>b,

即a>b是℃2>儿2的必要不充分条件，故C错，D对.

故选：BD

例8.（2024・云南昆明•高一期末）已知p：-34x41,q:x£a（°为实数）.若g的一个充分不必要条件是p

则实数。的取值范围是.

【答案】［1,+切

【解析】因为q的一个充分不必要条件是?，

所以［-3,1］是（-»,«］的一个真子集，

则。并，即实数a的取值范围是［1,+8）.

故答案为：［1,+心）.

例9.（2024•上海松江•高三校考期末）已知p:x2-2x-8<0,q-A-a<x<2a-3,且P是的充分不必要条件,

则实数。的取值范围是.

【答案】r+口

【解析】x2-2x-8<0,解得一2<x<4,设2={x|-2<x<4},8={x11<x<2。-3},

若P是q的充分不必要条件，则AB,

［1—〃《—27

则有。且等号不会同时取到，解得。之之，

［2a-3>42

则实数。的取值范围是

故答案为：5+8）.

例10.（2024・陕西西安・高三校考期末）集合A={x|x>2},3={x|区>1},其中6是实数，若/是2的充要

条件，则6=；若/是8的充分不必要条件，则b的取值范围是（答案不唯一，写出一个

即可）

【答案】1/0.5g+H

【解析】因为/是8的充要条件，则48解集相同.3="|法＞1},得3=}苫＞，}伍/0）,因为/=卜卜＞2},

11

则Z=2,解得6=彳；因为/是3的充分不必要条件，即

b2

cb＞0

A晨B,又因为4={%,＞2},且8w0,则3=卜、＞不，需要!＜2,解得6〉；，即1g+sj

'[b

故答案为：y;（于十°°]

【过关测试】

一、单选题

1.（2024・重庆•高三重庆一中校考开学考试）已知直线加：（。-2）尤+分-2=0和直线〃：尤+3到+1=0,则

7

“。=§”是“加//〃”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若直线机：（。-2）》+砂一2=0和直线〃：x+3ay+l=0平行，

\3a（a—2]-a7

则〈人,，解得。=9

丰—6a3

7

所以“。§”是“m//n”的充要条件，

故选：A

2.（2024,河南,高三校联考期末）已知a,beR,直线/：ax+y+2=0,l2：3x+（a—2）y—6=0,则“°=3"

是“〃〃2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由直线4与4不相交，得。（。-2）=3,解得。=一1或a=3,

当a=—1时，直线4：—x+y+2=0与4：3x—3y—6=0电合，

当a=3时，直线4：3x+y+2=0与4：3x+y-6=0平行，

所以“a=3”是“〃/人”的充要条件.

故选：c

3.（2024•江苏南京・高三南京师大附中期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但

使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是

龙城飞将不在的（）

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.充分不必要条件

【答案】D

【解析】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，

因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，

所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件，

故选：D

V

4.（2024•山西运城•高三统考期末）设尤eR,则“0WxW3”是“——《0”的（）

尤一2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

xw0=「(x-2)WO

【解析】解得

x-2]x-2w00Wx<2,

由于04x<2是0<x<3的真子集,

故04x43是工;V0的必要不充分条件.

x-2

故选：B

5.（2024•江苏常州•高三统考期末）对任意实数b,c,在下列命题中，真命题是（）

A."a/>府，，是“0>6”的必要条件B.“℃2=加2”是的必要条件

仁“碇2=儿2”是“0=6”的充分条件D.“碇226c2,,是“a*”的充分条件

【答案】B

【解析】对于A,若c=0,则由ac2>bc2,"a/>反?”不是“a>b”的必要条件，A错.

对于B,a=6=四2=而，；“=耐”是=6’,的必要条件,B对,

对于C,若c=0,则由死2=庆2,推不出a=b,“"2=庆2"不是"的充分条件

对于D,当c=0时，ac2=be2>即ac226c2成立，此时不一定有aNb成立，

故"ac226c2”不是“aNb”的充分条件,D错误，

故选：B.

6.（2024•福建漳州•统考模拟预测）若mae[0,+oo）,cosavm为真命题，则实数加的取值范围为（）

A.m>lB.727>1C.m>-\D.m>-\

【答案】D

【解析】若cosa<“为真命题，则机>（coscL。.

因为馍5（/在[0,+00）上的最小值为-1,所以加>-1,

故选：D.

7.（2024・湖北十堰•高三员邸日中学校考期末）命题“志>1,x>2”的否定是（）

A.3x<l,x>2B.3x<l,x<2

C.Vx>l,x<2D.Vx>l,x>2

【答案】c

【解析】命题“士>l,x>2”的否定是“Vx>l,x<2".

故选：C.

8.（2024•山东淄博・高三山东省淄博实验中学校考开学考试）若命题“叫eR,x；+2加x0+加+2<0”为假命题,

则优的取值范围是（）

A.（-<»,-1]u[2,+co）B.（-oo,-l）U（2,+co）

C.[-1,2]D.（-1,2）

【答案】C

【解析】由题意命题“V/eR,%+2如Q）+机+220”为真命题，

所以当且仅当A=442-4（〃7+2）=4（/2-机一2）40,

解得-IV机V2,即加的取值范围是[-1,2].

故选：C.

9.（2024・湖北武汉•高三统考期末）命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（）

A.所有三角形都是直角三角形

B.所有三角形都不是直角三角形

C.有些三角形不是直角三角形

D.有些三角形不是锐角三角形

【答案】B

【解析】由命题否定的概念可知，命题“有些三角形是直角三角形”的否定为“所有三角形都不是直角三角形”.

故选：B

10.（2024•全国•模拟预测）已知命题P：*ER,x-lgx>2,则「以为（）

A.3XGR,x-lgx<2B.VXGR,x-lgx>2

C.3XGR,x-lgx<2D.VxeR,X-lgX<2

【答案】D

【解析】命题x-Igx22是特称命题，

所以「以为DxwR，X-lgX<2.

故选：D.

11.（2024•天津•高三校联考期末）已知x,yeR,则“x>0”是“忖+3>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由x>0,得国>0,必有|x|+|y|>0,

而当|x|+|y|>0时,x可以是负数，如当1|+|川>0成立,却有-1<0,

所以“x>0”是“Ix|+3>。’的充分不必要条件.

故选：A.

二、多选题

12.（2024•江苏苏州•高三统考期末）已知ER,则是“。>叱的充分不必要条件有（）

11,,,

A.B.>\gb

ab

C.a3>b3D.a3>a2b

【答案】BD

【解析】对于A,1Z-=1>7=1,止匕时有。=1<2=6,故A不符合题意；

ab2

对于B,由对数函数单调性可知lga>lgbna>b>0,故B符合题意；

寸于C,a，〉^/—/=(。—Z?)(a?+ab+ci—Q[a^°—人^a>,C

合题意；

对于D,/>a%=>/(a-6)>0=>a-b>0,aWO=>a>E,故D符合题意.

故选：BD.

13.（2024•江苏扬州•高三统考期末）下列选项中，能说明“Vxe（-叫2）,都有/<4”为假命题的x取值有

().

A.-4B.-2C.0D.3

【答案】AB

【解析】易知-4e（-8,2）,但（一盯=16>4,此时为假命题，即A正确;

同理-2c（2）,但（-2）2=4,此时为假命题，即B正确；

而0€（-8,2）,但（）2=0<4,此时为真命题，即C错误；

显然34一8,2）,可得D错误；

故选：AB

14.（2024•黑龙江•高三统考期末）关于x的不等式/_狈+3>o对任意XGR恒成立的充分不必要条件有（）

A.0<a<2B.-l<a<3

C.-l<a<4D.-4<a<4

【答案】AB

【解析】当不等式/-八+3>0对任意xeR恒成立时，

有A=/_4X3<0，解得-26<。<26，记/=卜26,26）.

当。的取值范围是集合A的非空真子集时，即为不等式/-公+3>0对任意xeR恒成立的充分不必要条件,

AB选项中的范围满足题意.

故选：AB

15.（2024•山东临沂・高三统考期末）下列命题为真命题的是（）

A.VxGR,X>sinxB.Vxe（0,+oo）,>Inx

2X

C.R,3x-e*=0D.3xe（0,+co）,x=3

【答案】BCD

【解析】对于A,当x=-7t时，sinX=0>-it,A是假命题；

y11

对于B,令/（x）=：-lnx,求导得八功=彳—-，当0〈尤<2时，/V）<0,函数/⑸递减，

22x

当x>2时，/'（无）>0,函数A”）递增，/（x）1nto=〃2）=1-ln2>0,即Vxe（0,+8）,|>lnx,B是真命题;

对于C令函数g（x）=3x-e*,显然g（0）=-l<0,g（l）=3-e>0,因此连续函数g（x）在（0,1）上有零点,C

是真命题；

对于D,令函数力（口=--3"显然〃（-1）=]>0,〃（0）=-1<0,因此连续函数〃（x）在（-1,0）上有零点，D是

真命题.

故选：BCD

16.（2024•新疆喀什•统考一模）命题"x22是x>加的必要不充分条件”是假命题，则加不可能的取值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】BCD

【解析】由X22是的必要不充分条件，得机22,

于是命题“x22是x>加的必要不充分条件”是假命题，有加<2,

所以用不可能的取值是2,3,4,即BCD正确，A错误.

故选：BCD

17.（2024•广东揭阳•高三普宁市第二中学校考期末）已知实数xj,则“x>产，的充要条件是（）

A.er>e-vB.Inx>Inv

11

C.x3>y3D.smx>smy

【答案】AC

【解析】对于A,因为函数>=6,是R上的增函数，

所以x>yoex>e\所以e、>e，是">了”的充要条件，故A正确；

对于B,由lnx>lny,得x>y>0,

当x,y40时，lnx』n.v无意义，

所以lnx>lny是的充分不必要条件，故B错误；

对于C,因为函数是R上的增函数，

所以0所以）>j是"X>"'的充要条件,故C正确；

对于D,当x=0,y=7t时，sinx=siny=O,

所以sinx>siny不是“龙〉V”的充要条件，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

18.（2024・云南昆明•高二统考期末）若P是4：国>1的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个P

为.

【答案】（-*-1）（答案不唯一）

【解析】由|尤|>1,解得-1<X或X>1,故《：（-8,-l）U（l,+8）,

因为P是9的一个充分不必要条件，

写出一个范围比q小的即可，

故夕：（-00,-1）.

故答案为：（f,T）（答案不唯一）

19.（2024•天津河西•高三统考期末）命题：“Vx>0,ln（x+l）>0"的否定为.

【答案】3x>0,ln（x+l）<0

【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以命题：“Vx>0,ln（x+l）>0”的否定为五>0,ln（x+l）<0.

故答案为：3x>0,ln（x+l）<0.

2

20.（2024・上海虹口•高一统考期末）已知。：-->1,P'.m<x<2,若。是/?的充分条件，则实数加的取

x+1

值范围是.

【答案】{在加4-1}

【解析】由三>1可得工4>0,贝iJ（l-x）（l+x）>0,解得-

x+lx+1

即。：一1<%<1,

若a是尸的充分条件，贝支尤|-1<尤<1｝是｛x|，〃VxV2｝的子集，

可得加4-1,所以实数加的取值范围是｛"八加4T｝.

故答案为：｛加|加4-1｝.

21.（2024•广东・珠海市第一中学校联考模拟预测）若命题FxeR,加小+25+340”为假命题，则实数加的

取值范围是.

【答案】［0,3）

【解析】命题eR,"!r+2见+340”的否定为：“VxeR/m?+2m;+3>0”

命题“3xeR,mx2+2mx+3<0”为假命题等价于命题“VxeR,mx~+2mx+3>0”为真命题；

当加=0时，3>0,成立；

fm>0

当〃740时，结合一元二次函数的图象可得：2sc，解得0<加<3,

［AA=41m-12m<0

综上，实数机的取值范围是［0,3）.

故答案为：［03.

22.（2024•北京大兴•高三统考期末）能够说明“设是任意实数.若a>6>c,则仍>c?”是假命题的一组

整数a,b,c的值依次为.

【答案】2,-1,-2（答案不唯一）

【解析】当a=2,6=-l,c=—2时，满足a>6>c,但是a6=-2,，=4,ab<c2.

故答案为：2,-1,-2（答案不唯一）

23.（2024•山东荷泽•高三校考期末）命题“*eR,a/+ax+1V0”为假命题，则实数。的取值范围是.

【答案】［0,4）

【解析】命题“*eR,52+“+1<0”是假命题，

则它的否定命题“VxeR,依2+依+1>0”是真命题，

当a=0时，不等式为1>0,显然成立；

fa>0

当awO时，应满足<八2/n>解得0<a<4,

［A=a-4a<0

所以实数。的取值范围是［0,4）.

故答案为：［0,4）.

24.（2024•辽宁沈阳•高三校联考期末）若命题“Vxe［0,3］,/-4x-aW0”为真命题，则实数。的取值范围

是.

【答案】［0,+8）

【解析】由题意,V尤«0,3］户2-4》-r0为真命题，即a4-4x,xe［0同恒成立，

令/卜卜％2-4尤，xe［0,3］,对称轴为x=2,

所以函数在［0,2）上递减，在［2,3］上递增，

结合对称性可得/（X）1mx="0）=0，

即可，实数。的取值范围是［0,+"）.

故答案为：［0,+℃>）.

25.（2024・陕西汉中•高三校联考阶段练习）若“\/》€&机/+〃优+100>0”是真命题，则他的取值范围

是.

【答案】［0,400）

【解析】因为“V尤eR,%尤2+7nx+10。>。”是真命题

当％=0时，100>0恒成立，符合题意，

fm>0,

当机W0时，由<2,nn„解得0〈加<400,

［m'--400m<0,

故加的取值范围是［0,400）.

故答案为：［0,400）.

26.（2024•山东荷泽・高三统考期末）若命题“存在x<2022,使得x>“是假命题，则实数a的取值范围

是.

【答案