2025年江苏数学理科试题及答案

江苏数学理科试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，其图像的对称轴为：

A.x=2

B.x=-2

C.y=2

D.y=-2

2.若a>b，则下列不等式中正确的是：

A.a^2>b^2

B.a^3>b^3

C.a^2<b^2

D.a^3<b^3

3.在直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴的对称点为：

A.(-2,3)

B.(2,-3)

C.(-2,-3)

D.(2,3)

4.若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an可以表示为：

A.a1+(n-1)d

B.a1-(n-1)d

C.a1+nd

D.a1-nd

5.下列函数中，定义域为全体实数的是：

A.f(x)=1/x

B.f(x)=√x

C.f(x)=|x|

D.f(x)=x^2

二、填空题（每题5分，共20分）

6.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则第n项an可以表示为______。

7.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a______。

8.在直角坐标系中，点P(1,2)到直线y=3x-2的距离为______。

9.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=______。

10.若函数f(x)=log2(x+1)的图像过点(1,0)，则a______。

三、解答题（每题20分，共60分）

11.已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-6，求f(x)的极值。

12.已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求前10项的和。

13.已知函数f(x)=2x^2-4x+3，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

四、证明题（每题20分，共40分）

14.证明：若函数f(x)=x^3-3x+2在区间[0,2]上是增函数，则f(x)在该区间上的最小值为f(0)。

15.证明：对于任意实数a和b，都有(a+b)^2≥4ab。

五、应用题（每题20分，共40分）

16.某工厂生产一批产品，计划每天生产x个，已知生产一个产品需要t小时，且生产时间为t=0.5x小时。若要生产100个产品，求每天需要生产多少个产品才能在5天内完成。

17.已知某商品的成本为每件200元，售价为每件300元。若要使利润达到最大，每天至少需要卖出多少件商品？

六、综合题（每题20分，共40分）

18.已知函数f(x)=x^2-4x+5，求函数f(x)的图像与x轴的交点。

19.已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，求前n项和为100的n值。

试卷答案如下：

一、选择题答案：

1.A.x=2

解析思路：根据二次函数的顶点公式，对称轴为x=-b/(2a)。将函数f(x)=x^2-4x+3的系数代入，得到对称轴为x=2。

2.B.a^3>b^3

解析思路：由于a>b，根据不等式的性质，当两边同时乘以正数时，不等号的方向不变。因此，a^3>b^3。

3.A.(-2,3)

解析思路：点A(2,3)关于y轴的对称点，横坐标取相反数，纵坐标保持不变。

4.A.a1+(n-1)d

解析思路：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

5.C.|x|

解析思路：绝对值函数的定义域为全体实数，即所有实数x的集合。

二、填空题答案：

6.a1q^(n-1)

解析思路：等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

7.a>0

解析思路：二次函数的图像开口向上，当且仅当二次项系数a大于0。

8.1

解析思路：点到直线的距离公式为d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)，其中点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离。将点P和直线方程代入公式计算得到距离为1。

9.n(a1+an)/2

解析思路：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中a1为首项，an为第n项。

10.a=1

解析思路：由于函数f(x)=log2(x+1)的图像过点(1,0)，将点(1,0)代入函数得到0=log2(1+1)，解得a=1。

三、解答题答案：

11.极大值f(1)=-2，极小值f(2)=1

解析思路：求导数f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1或x=2。由于f''(x)=6x-6，当x=1时，f''(1)<0，为极大值；当x=2时，f''(2)>0，为极小值。计算得到极大值f(1)=-2，极小值f(2)=1。

12.前10项和S10=170

解析思路：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中a1为首项，an为第n项。将a1=3，d=2，n=10代入公式计算得到S10=170。

13.最大值f(3)=2，最小值f(2)=3

解析思路：由于函数f(x)=2x^2-4x+3在区间[1,3]上，可以求导数f'(x)=4x-4，令f'(x)=0，解得x=1。由于f''(x)=4，当x=1时，f''(1)>0，为最小值。计算得到最大值f(3)=2，最小值f(2)=3。

四、证明题答案：

14.证明：由f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1。由于f''(x)=6x-6，当x=1时，f''(1)<0，为极大值。因此，f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(0)=5。

15.证明：由平方差公式(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，得到(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，即(a+b)^2≥4ab。

五、应用题答案：

16.每天需要生产20个产品

解析思路：根据题意，生产100个产品需要5天，每天生产的产品数为100/5=20个。

17.每天至少需要卖出50件商品

解析思路：利润为售价减去成本，即利润=(300-200)*x=100x。要使利润最大，需要求x的最大值，即x=50。

六、综合题答案：

18.交点为(2,0)和(1,0)

解析思路：令f(x)=0，解得x^2-4x+5=0，由于判别式Δ=(-4)^2-4*1*