2025年高考数学二轮复习：指对幂等函数值大小比较的深度剖析（讲义）（原卷版）

专题03指对幕等函数值大小比较的深度剖析

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

U4年与nHt口\%号J|图^M.甲雉=己J1I/白3/才L・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1R

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲•题型突破............................................................6

题型一：直接利用单调性6

题型二：引入媒介值6

题型三：含变量问题7

题型四：构造函数8

题型五：数形结合9

题型六：特殊值法'估算法10

题型七：放缩法11

题型八：同构法12

重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法13

差情;奏汨•日标旦祐

指'对'薄形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以

选择题为主.每年高考题都会出现，难度逐年上升.

考点要求目标要求考题统计考情分析

预测2025年高考趋

2024年北京卷第9题，5分

势，指对幕比较大小或以

2024年天津卷第5题，5分

掌握指对塞大小2022年新高考I卷第7题，5分小题压轴，预计：

指对幕比较大小比较的方法与技2022年天津卷第5题，5分(1)以选择、填空题型呈

巧2022年甲卷第12题，5分现，侧重综合推理。

2021年H卷第7题，5分

(2)构造灵活函数比较大

2021年天津卷第5题，5分

小将成为考查热点。

〃・知识导图•思维引航

//40w

(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定mb,C的大小.

(2)指、对、幕大小比较的常用方法：

①底数相同，指数不同时，如和。犯，利用指数函数y=〃的单调性；

②指数相同，底数不同，如球和城利用幕函数y=-单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如log。/和10ga久2利用指数函数10ga%单调性比较大小；

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小

关系的判定.

(3)转化为两函数图象交点的横坐标

(4)特殊值法

(5)估算法

(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常见函数的麦克劳林展开式：

@ex=1+%+—H---1---+-——-xn+1

72!n!(n+1)!

/y3y.5丫2九+1

②sin%=x---1-------F(—l)n-------Fo(x2n+2>)

J3!5!kJ(271+1)!')

_246丫2n

③cos%=1*v+-v％v…+(-l)n++。(姆)

@ln(l+%)=%—J+?—…+(—1)九2+。(％九+i)

⑤=1+%+%2+-I-%71+o(xn)

(2)(1+x)n=1+nx++0(%2)

0

/八真题研标•摘毓II.\\

1.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知函数/（%）的定义域为R,/（x）>/（x-1）+/（%-2）,且当久<3

时/（%）=x,则下列结论中一定正确的是（）

A./（10）>100B./（20）>1000

C./（10）<1000D./（20）<10000

02

2.（2024年天津高考数学真题）设a=4.2"2,fe=4.2-,c=log420.2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

3.（2024年北京高考数学真题）已知（修,乃），（冷,为）是函数丫=2%的图象上两个不同的点，贝I（）

A.log?.<岩B.1。82炉>詈

C.Iog2也产</+%2D.10g2左卢>%1+刀2

4.（2023年天津高考数学真题）设a=1.01°,5,匕==0.6口5,则a,2c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

07

5.（2022年新高考天津数学高考真题）设a=2。］,b=g）,c=log2p贝b,瓦c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

6.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知97n=10,a=107n-11/=87n-9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

7.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a=卫"=cos'c=4sin±贝!J（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.（2022年新高考全国I卷数学真题）设a=0.1ea1,6=巳，c=-ln0.9,贝l］（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

9.（2021年天津高考数学试题）设a=log20.3,6=log20.4,c=0.4a3,则a,b,c的大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

10.（2021年全国新高考n卷数学试题）已知a=log52,=log83,c=|,则下列判断正确的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

11.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设a=21nl.01,b=lnl.02,c=VL04-1.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：直接利用单调性

【典例1・1】设。=2i?,b=lg3,c=In],则a、b、c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【典例1-2】（2024・高三•黑龙江鸡西•期中）已知函数/（%）=2%+%,5（%）=log2x+x,九（%）=婷+%的零

点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

巧

利用指对骞函数的单调性判断

【变式1-1]已知a=log56,b=logos2,。=e-2,比较〃，b,。的大小为（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【变式1-2］已知a=0.33",b=Q，（e为自然对数的底数）c=tanl,比较a,b,c的大小（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

命题预测J

1.（2024.江西新余.一模）故a=《p,6=（乎c=log3y,则a,b,c的大小顺序是（）

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

2.已知实数〃，b满足短+a=2,b=logi63,则（）

A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b的大小无法判断

题型二：引入媒介值

【典例2-1】（2024.高三.江西.期中）已知a=ln2,b=cos2,c=G],则〃，b）。的大小顺序为（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【典例2-2】三个数a=sinI，b=2"c=ln3一ln2的大小顺序是()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.

2

【变式2.1］已知a=log??,人=（I）=c=cos（-|兀）—sin（—］）,比较a,b,c的大小为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

2

【变式2-2］已知a=ln4,b=lg4,c=,则(

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

\命题预测

1.已知a=logo.48,b=log060.5,c=log23,贝!j()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

2.已知5=当，。=之，贝!］()

ln4ln22

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

3.已知a=logiJ—b=1.407,c=0.714,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

题型三：含变量问题

b2a2a

【典例3-11［新考法］若0<2a<bV1,/=a,x2=(2a)%x3=b,x4=(2b),贝!J()

A.x4<x3<<x2B.<x2<<%4

x

C.冷<<%4V3D.X3<X4<<X2

mn

【典例3-2］（2024•高三•河北邢台•期中）已知1<根<九<2,a=n,b=m,c=10gziTH,则a,b,c的大小

关系是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

对变量取特殊值代入或者构造函数

【变式3-1]（多选题）已知正数a,b满足ea（l—Inb）=1,则（）

A.e<b<e2B.ea+^>2

C.ea>bD.ea—Inb>1

【变式3-2]（2024・陕西西安・统考一模）设Q>b>0,a+b=1且％=-（£）ty=log工a,z=logg+工产上则

居y,z的大小关系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<z

［命题预测

1.（多选题）若0Va<bVc,且Iga+Igb+Ige=0,则下列各式一定成立的是（）

A.2a+2”>4B.ab<1C.a+c2>2D.a2+c>2

2.（多选题）若0<aVbV1,贝I」（）

A.ab<baB.ab+1<a+b

rbra

C.a-<b-D.Ioga（l+6）>log/?（l+a）

题型四：构造函数

【典例4-1】（2024•陕西咸阳・模拟预测）已知a=呼,b=9c=3则a,b,c的大小为（）

262e

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【典例4-2】（2024•全国•模拟预测）若。=审，b=jc="，则a,b,c的大小顺序为（）

ez2e4

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

巧

构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。

“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若

函数g(x)单调递增，则%Og(%)Ng(x2)；若函数/(%)单调递减，%Og(%)Wg(%)”

判断.

“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数.

【变式4-1］［新考法］设函数/(x)=久+Inx,g(x)=xlnx-1,h(x)=1-1+j+■在(0,+8)上的零点分

别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为()

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【变式4-2]已知a=b=ln(V5+1),。=三|,试比较a,b,c的大小()

4

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

命题预测

1.已知a=ln(sinl.O2),b=—:—,c=lnl.02,贝!J()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

2.若a=；,b=cos(^—c=-,则a、b、c满足的大小关系式是().

3327t

A.a>b>cB.a<b<cC.a>c>bD.b>c>a

3.设a=V^—l,b=2,c=l—ln|,则()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

题型五：数形结合

【典例5・1】函数/(%)=2"+%,g(x)=log2x+%,h(%)=F+%的零点分别为a,b,c,则a,b,c,的

大小顺序为()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【典例5-2】实数a,b,ceR满足a—4=ln2<0,b-3=In-<0,c-2=ln-<0,贝!]a,b,c的大小为

432

()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

转化为两函数图象交点的横坐标

【变式5-11［新考法］已知函数/(x)=总.设a+b+c=O,abc<0,贝!J()

A./(a)+f(b)+/(c)<|B./(a)+f(b)+/(c)<j

C.f(a)+f(b)+/(c)>|D./(a)+汽b)+f(c)>|

【变式5-2］已知a=O.80-5+O.80-7+0.809,b=0.608+0.708+0.808,°=eT+e盛+e-t贝卜)

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD,b>c>a

命题预测I

1.若实数〃，。，c满足。2匕=。3。=6,则下列不等关系中不可能成立的是（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

2.已知（%2f2）是函数y=log2%图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（

①詈＜2号；②岩＞2冲③1呜777丫1+。2@Iog277T%+丫2

工1十%22巧十X22,

A.①③B.②③C.①④D.②④

题型六：特殊值法、估算法

【典例6-1］(2024・高三•四川・期中)已知(%2，及2)是函数y=1og2式图象上不同的两点，则()

A.5Vlog2-B.$〉10g2❷

2222

c.yi+y2<log2^^D.yi+y2>log2^^

【典例6-2】已知x,yeR,且久+y>0,贝1］()

11rr

A.-+->0B.x3+y3>0

xy

C.lg(x+y)>0D.sin(x+y)>0

巧

估算要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系。

【变式6-1］设。=3e-0,2,b=2e0,2,c=2.4,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【变式6-2］（多选题）已知正数满足x—y+l=:—/则（）

A.lg（y—%+1）>0B.cosy>cosxC.2025y-x>1D.|y—2|>|x—2|

命题预测7

1.已知a=sinl.01,5=+，c=lnl.04,则a,b,c的大小关系是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.b>c>a

2.已知a=log2（）.05,b=O.51002,c=2005,则下列判断正确的是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

3.已知a=|,b=V3,c=3+i；g§2,贝（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

题型七：放缩法

12

【典例7・1】（2024•高三•四川德阳•开学考试）已知a=log?2,b=log43,c=0.5,比较b,c的大小

为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

【典例7-2］（2024.河南.模拟预测）已知a=如*==1+ln||,贝！Ja,b,c的大小关系是（）

lo35

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

放缩法比较指对幕大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的

形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保

比较结果的准确性。

【变式7-1](2024.浙江杭州•一模)对Vxe[l,+8),不等式((lnax)2-1)。-b)20恒成立,则()

A.若aC（O，E）,则bWeB.若ae（0,J,贝帕,e

C.若ae[F，e）,则a"=eeD.若Qe[：,e）,则b。=ee

【变式7-2】已知。=粕一1,b=sin1,c=ln|,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

\命题预测J

七.................

1.已知a=log??flogg*3。+4a=5%则（）

A.a>b>2B.b>a>2C.a>2>bD.b>2>a

2.已知a=logs7,b=log68,c=log810,则mb,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

3.设。=12110.21,b=lnl.21,c=则下列大小关系正确的是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

题型八：同构法

【典例8-1］［新考法］已知a，Se（0,；）,且ea—2cos2a=e6—sin2£—l=0,则（）

A.a>pB.a=p

C.a<pD.无法确定a,£的大小

【典例8-2】（2024・高三・浙江绍兴•期末）已知0<a<b,loga%+logdy<log”+log/，则下列说法正确的

是（）

A.当log.>0时，x>yB.当log5>0时，x<y

C.当log/<。时，为<yD.当log*<0时，与y大小不确定

同构法比较指对嘉大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利

用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。

【变式8-1】（2024•高三・江西•期中）已知a>0,b>0,£=ab（l+lnb）,则（）

A.Inb>a