刚体的定轴转动课件

刚体的定轴转动TranslationandRotationofaRigidBody第1节刚体的平动和转动1.刚体大小和形状都保持不变的物体。是一种理想化的模型，但有重要的实际意义。刚体可看成是各质点间相对位置保持不变的特殊的质点系。关于质点系的力学规律都可用于刚体。1质心ABA'B'A"B"选哪个点来代表？2.刚体的平动质心

连接刚体内任意两点的一条直线在运动的各个时刻的位置都彼此平行。刚体的这种运动称为平动。

刚体作平动时，其上各个质点的运动状态完全相同，故可用任意一点的运动代表刚体整体的运动。

通常用质心的运动来代表整体的运动。2设N个质点m1,m2,

,mN，对应的位矢定义：质心的位矢质心

几何对称中心质量均匀分布体：3质心运动定理质心的速度质心的加速度设mi受力则对所有质点求和0——质心运动定理43.刚体的转动刚体定轴转动的描述转轴刚体转轴上各点都保持静止转动：刚体各点都绕同一直线

(转轴)

作圆周运动。最简单的情况是转轴的位置和方向都固定不变的转动，称为刚体的定轴转动。在同一时间内,各点对轴的转角相等，但线速度不同。用角量来描述转动规律较为方便。5(1)

角位置定轴转动的运动方程(3)

角速度(4)

角加速度单位：

弧度(rad)(2)

角位移描述刚体的定轴转动的物理量22dtddtdqwb==6转轴刚体q参考方向xp注意:

这里的角量单位都用弧度(rad)定轴转动中角量与线量的基本关系类似一维运动,各角量的方向由“+”,“–”号表示。矢量式71.力矩（1）在垂直o

o

的平面内（2）不在垂直o

o

的平面内o

o

.P对刚体绕o

o

轴的转动无贡献

总可分解成两个分量：

计算时,只需考虑的力矩,即Mz.第2节刚体定轴转动定律PrincipleofRotationofaRigidBodyAboutaFixedAxis(参考点在转轴上)o

o

.P8在轴上任选参考点O,则任一质元A对O的角动量为:质点系的角动量定理:2.定轴转动定律

只有力矩的z向分量对定轴转动有作用!故求此分量Mz的表达式:

9(Z轴)转轴刚体——转动惯量将Mz改写为M，则——定轴转动定律将Lz改写为L,则——对定轴的角动量10(Z轴)转轴刚体——刚体对定轴(z轴)的转动惯量

由刚体上各质元相对于固定转轴的分布决定，与外力无关，是表征刚体转动惯性的特征量。与牛顿第二定律比较：Jmm——反映质点的平动惯性定轴转动定律:J——反映刚体的转动惯性113.转动惯量的计算（1）分立的质量元构成的系统（2）质量连续分布的系统(如:刚体)Mrdm单位：kgm2质量元dm

的计算方法如下：质量为线分布质量为面分布质量为体分布线密度面密度体密度12例1.

求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动

惯量。轴与圆环平面垂直并通过环心。解：若是半径为R的薄圆筒（不计厚度）结果如何？OdmOR在圆环上取质量元dm

结果形式不变！13例2.

求质量为m,

半径为R,厚为l

的均匀圆盘的

转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：lr取半径为r宽为dr的薄圆环,其质量为显然：转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其

轴的转动惯量也是mR2/2。14例3.如图所示,一个均匀半圆薄板的质量为m,半径为R.以其直径边为转轴,它的转动惯量多大？解:取窄条状面元dS.设面密度为.dShdhd

对应的弧长为Rd

?15X例4.求长为L、质量为m的均匀细棒

对图中不同轴的转动惯量。ABLo解：取如图坐标dm=

dx绕过质心的转轴的J可见：同一物体绕不同的转轴的转动惯量不同。ABL/2L/2CXo16（3）平行轴定理

JC是通过质心的轴的转动惯量，

JA是通过棒端的轴的转动惯量

两轴平行，相距L/2。上述结论可以推广：——平行轴定理

若有任一轴与过质心的轴平行,相距为d,刚体对其转动惯量为J，则有：ABLC231mLJA=2121mLJC=17LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22J=mR123J=mL1转轴通过端点与棒垂直两个常用的结果184.刚体定轴转动定律的应用19例5.一根长为L、质量为m的均匀细直棒,其一端

有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平

面内转动。

最初棒静止在水平位置，

求它由此下摆

角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O

的力矩。

XOgdmdmxmmmgC合力矩棒上取质元dm,当棒处在下摆

角时,重力矩为：20重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。

XOgdmdmxmgC21又即mgC

XOxc22例6.质量为m、长为L的匀质细杆水平放置,一端为铰链，另一端用绳悬挂。求剪断绳子瞬时,杆的角加速度以及铰链的支撑力。.解：剪断时细杆绕O点的力矩为o根据定轴转动定律质心平动问：若杆从上方转下来到水平位置时此时23..o水平位置时力矩仍为此时质心的加速度为此时24例7.

在半径为R,质量为m，J=mR2的圆轮上挂一细绳细绳两端各挂两物m1>m2。求:两物的加速度

a及轮子的角加速度

.m2m1解：m1、m2作为质点处理轮子作刚体处理,m1gT1m2gT2T1T2根据牛顿定律y由定轴转动定律：解得25.Ro解：因摩擦力产生的力矩是恒定的，故角速度均匀减小。考虑面元dS对轴的摩擦力矩dM

：例8.一质量均匀分布的薄圆盘,半径为R,盘面与粗糙

的水平桌面紧密接触,圆盘与桌面间摩擦系数为

0。圆盘绕通过其中心的竖直轴线转动,开始时角速度为

0,经过多少时间后圆盘静止不动?26r此力矩与面元在环上的位置无关,故环的力矩:

力矩的方向与环的位置无关,故圆盘受到的摩擦力矩为:代入(1)式得27Ror例9.一飞轮其轴成水平方向,轴之半径r=2.00cm，其上绕有一根细长的绳。在其自由端先系以一质量m=20.0g的轻物，此物恰能匀速下降,然后改系以一质量M＝5.00kg的重物,则此物从静止开始,

经过t＝10.0s时间,共下降了h＝40.0cm。忽略绳的质量和空气阻力,并设重力加速度g＝980cm／s2。求:(1)飞轮主轴与轴承之间的摩擦力矩的大小；(2)飞轮转动惯量的大小；(3)绳上张力的大小。解：(1)挂轻物时，物匀速下降，即力矩28解:(1)挂轻物时,物匀速下降,即(2)

(3)挂重物M

时:其中r=2.00cm,m=20gM=5kgh=40cmt=10s29第3节刚体转动的功和能WorkandEnergyofaRotatingRigidBody1.刚体的转动动能多个质点组成的质点系的动能定义为所以，转动的刚体的动能为:302.力矩的功力在这段元位移中所做的功是即:力对转动刚体所做的功用力矩的功来计算!所以313.刚体绕固定轴转动的动能定理在刚体的转动过程中,合外力矩M对刚体所做的功为:即

合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量——刚体绕固定轴转动的动能定理324.刚体的重力势能yhihcxOMC

mi质元

mi的势能整个刚体的势能刚体的重力势能

5.机械能守恒定律

对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力做功,则此系统的机械能守恒。它的全部质量都集中

在质心时所具有的势能33

xOmgC例10.一根长为L,质量为m的均匀细直棒,一端有一

固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转

动。

最初棒静止在水平位置，求它由此下摆

角时的角加速度和角速度。解：（用机械能守恒定律重解例5.)在棒摆动过程中系统的机械能守恒。设棒在水平位置时重力势能为零，由机械能守恒知:与前面解得的结果一致!341.刚体的角动量刚体上的任一质元绕固定轴做圆周运动时相对于转轴上任意一点O的角动量在轴上的分量的大小均为故刚体对此轴的角动量为即：刚体对定轴的角动量L,

等于它对该轴的转动

惯量J和角速度

的乘积。

简写为第4节刚体的角动量定理和角动量守恒定律PrincipleofAngularMomentum&LawofConservationofAngularMomentumofaRigidBodyRotatingAboutaFixedAxis35质点的角动量定理为对质点系任意一质点定轴方向0对质点系由上可得定轴转动定律——刚体绕定轴的角动量定理2.

刚体绕定轴的角动量定理内外Jz不变Jz变化36合外力矩M

对刚体绕定轴的冲量矩为与动量定理比较即:对某一定轴的外力矩的作用在某段时间内

的累积效果为刚体对同一转动轴的角动量

的增量。(微分形式)刚体绕定轴的角动量定理(积分形式)简写为37当合外力矩则——角动量守恒（1）当L=常量，若J=常量，则

=常量。即：刚体保持恒定的角速度

转动。当L=常量，若J

常量，J

=常量，则

常量。或J（2）此定律可推广到含多个质点、多个刚体的系统3.

角动量守恒定律38讨论

0r解：外力矩为零,系统对轴的角动量守恒,则角速度减到

0/2时例11.转台绕中心铅直轴原来以

0角速度匀速转动，转台对该轴的转动惯量为J0=510-5kgm2。今有沙粒以1g/s速度落入转台,沙粒粘附在转台面上并形成一圆形,且沙粒距轴的半径r=0.1m，当沙粒落到转台时,转台的角速度要变慢。试求当角速度减到

0/2时所需的时间。39oouvm

m

碰前碰后例12.匀质细棒质量为m,长为2L,可在铅直平面内绕通过其中心的水平轴O自由转动.开始时棒静止于水平位置,一质量为m'的小球,以速度u垂直落到棒的端点,且与棒作弹性碰撞.

求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.解:

以棒和小球为系统.在碰撞过程中,对轴O的外力矩只有小球的重力矩m

gL.因碰撞时间极短,此重力矩对时间的累积可忽略不计.

于是,系统对转轴o的角动量守恒:40以顺时针转动时的角动量方向为正,则因作弹性碰撞,故在碰撞过程中机械能守恒

于是,系统对转轴o的角动量守恒由(1)(2)解得41oouvm

m

碰前碰后例13.如图所示,一质量为m的子弹以水平速度v0

射入一静止悬于顶端的长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度

。

(已知棒长为L,质量为M。)v0vmM解:碰撞过程中系统对转轴的总角动量守恒,L所以42m(黏土块)yxhPθOM光滑轴匀质圆盘（水平）R例14.如图示，已知：h，R，M=2m，

=60.求:碰撞的瞬间盘的

P