2023版大一轮数学人教A版 第6节 双曲线

第6节双曲线

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1,乃的距离差的绝对值等于非零常数(小于尸声2|)的点的轨

迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其

数学表达式：集合尸11一|M尸2||=2a},|尸1尸2|=2C,其中a,c为常数且

a>0,c〉0.

(1)若屿，则集合P为双曲线；

(2)若。=°,则集合P为两条射线;

(3)若红，则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

以—

屋1

标准方程

(。>0,/?>0)(。〉0,/?>0)

图形一

VIB.X

续表

范围或y£Rx£R,yW一〃或

对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点

顶点4（一。，0）,A2（a,0）Ai（0,—a）,A2（0,a）

ba

渐近线y=±-x

性7a

质

离心率e=：ee（l,4-0°）

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|AiA2|=2a；线段3出2

实虚轴叫做双曲线的虚轴，它的长度旧及|=26。叫做双曲线的

实半轴长，人叫做双曲线的虚半轴长

a,b,C的关系c2=a2+b2

常用结论与微点提醒

2

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2丝b■.

_c

离心率

2.ea■

3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于啦.

4.若渐近线方程为)=±3，则双曲线方程可设为「一W=%GWO).

5.双曲线的焦点到渐近线的距离为。

6.若尸是双曲线右支上一点，F1,尸2分别为双曲线的左、右焦点，则|PFl|min=

c+“，|/>/72|min=C—fl.

7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，P,f2为双曲线的两个焦点，且NBPB

庐

=仇则△BPf'2的面积为一

C7

tanT

诊断自测

►•思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“x”)

(1)平面内到点为(0,4),尸2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲

线・()

⑵平面内到点Fi(O,4),尸2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()

⑶方哈

n=1(加〃〉0)表示焦点在x轴上的双曲线.)

29

(4)双曲线”一土=2("?>0，〃>。，2#0)的渐近线方程是5±5=0.()

9222

(5)若双曲线系一$=l(a〉0,。〉0)与方一，=1(。〉0，匕〉0)的离心率分别是e\,ei,

则=+A()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V(5)V

解析⑴因为||MA|一附网|=8=尸产2],表示的轨迹为两条射线.

(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.

(3)当机>0,〃>0时表示焦点在x轴上的双曲线，而/”V0,〃<0时则表示焦点

在y轴上的双曲线.

〉教材衍化

2.经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为

答案f-8=1

解析设双曲线方程为/一产=〃2#0),把点A(3,-1)代入，得2=8,故所求

双曲线方程为《一5=1.

OO

3.已知双曲线f—^=l上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到

另一个焦点的距离等于

答案6

解析设双曲线的焦点为Fi,Fi,|PFi|=4,则||PFI|-|PF2||=2,故|尸网=6或2,

又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为c-a=，万一1,故|PB|=6.

►■考题体验

4.(2020•全国I卷)设四，B是双曲线。：/一(=1的两个焦点，。为坐标原点,

点P在。上且|OP|=2,则△PBF2的面积为()

7C.|D.2

A，2B.3

答案B

解析法一

由题知a=l,h=y/3,c=2,Fi（-2,0）,F2（2,0）,

如图，因为|OFi|=|OB|=eP|=2,所以点尸在以F1F2为直径的圆上，故

则|PFl|2+|Pf2|2=（2c）2=16.

由双曲线的定义知||PR|一伊敢||=2。=2,所以|尸尸||2+|尸尸2|2一2|「后||尸尸2|=4,所

以|PR||PR|=6,

所以△PFF2的面积为夕PFI||PF2|=3.故选B.

法二由双曲线的方程可知，双曲线的焦点仍在x轴上，且尸归2|=2/两

.W_Q_193

=4.设点P的坐标为Qo,yo）,贝13解得伙）|=].

〔..+.=2,

113

所以△PF1E2的面积为引为尸2卜仅0|=5*4*3=3.故选B.

5.（多选题）（2021.济南模拟）已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且

经过点（3,啦），（6,VTI）,则下列结论中正确的是（）

A.E的标准方程为专一尸=1

B.E的离心率等于小

1232

C.E与双曲线与V一Y抵=1的渐近线相同

2O

D.直线x—啦y—1=0与£有且仅有一个公共点

答案ACD

9m+2n—1,

解析设双曲线方程为g2+〃y=i（如zVO）,由已知得解得

36m+lln=l,

1

m=q,y2

3故双曲线的标准方程为尸=1,故A选项正确；

n=—l,

由离心率6="*=乎，故B选项错误；

因为曲线E的渐近线方程为＞=/=串，又由双曲线T一看=1的渐近线方

程为了=±春=4?x,故c选项正确；

,一啦y-]=0,

联立整理得产-2色y+2=0,由/=（一2啦）2—4X2=0,所以

白一产1,

直线x—6y—1=0与E有且仅有一个公共点，故选项D正确.

6.（2020•北京卷）已知双曲线C：=一（=1,则C的右焦点的坐标为;

C的焦点到其渐近线的距离是.

答案（3,0）小

解析由卷一七=1,得＜?=/+。2=9,解得c=3,又焦点在x轴上，所以双曲

线C的右焦点坐标为（3,0）.

双曲线的一条渐近线方程为,即x—y[2y=0,

3

所以焦点（3,0）到渐近线的距离为d=

业2+（一6）2小.

考点分层突破考点聚焦-题型剖析

考点一双曲线的标准方程自主演练

1.已知双曲线C：$一%=1（。＞0,人＞0）的渐近线方程为y=±+，且其右焦点为

（5,0）,则双曲线C的标准方程为（）

答案B

解析由题意得£=*。2=/+庐=25,所以a=4,b=3,所以所求双曲线的标

准方程为专一会=1.

10y

2.与椭圆Y+V=l共焦点且过点尸（2，1）的双曲线标准方程是（

A.^-y2=1B.y-/=1

C.y-^-=1D.x2—^-=1

答案B

解析法一椭圆Y+V=i的焦点坐标是（土小，。）・

设双曲线标准方程为，一*=1（。＞0,方＞0）,

因为双曲线过点P（2,1）,

41

所以不一筐=1，又/+序=3,

解得。2=2,序=1,所以所求双曲线的标准方程是怖一户］.

法二设所求双曲线标准方程为广一+卢1=1（1«4）,

4-z1一4

将点尸（2,1）的坐标代入可得4±+±1=1,

H-Z1X

解得2=2（4=—2舍去），

Y2

所以所求双曲线标准方程为5一y2=l.

3.经过点P（3,2巾），。（一66，7）的双曲线的标准方程为

答案^—―=1

口水25751

解析设双曲线方程为m~+〃_/=1（〃?〃＜0）,

因为所求双曲线经过点P（3,2巾），2（-6A/2,7）,

1

9加+28〃=1,m=~T5f

所以解得＜

72/n+49〃=l,1

〃二正

故所求双曲线标准方程为寻一卷=1.

4.焦点在x轴上，焦距为10,且与双曲线?一/=1有相同渐近线的双曲线的标

准方程是.

案——■,^~=1

口木5201

解析设所求双曲线的标准方程为9一/=—心0),即U1，则有42+A

=25,解得45,所以所求双曲线的标准方程为"一天=1.

感悟升华1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上,

设出标准方程，再由条件确定层，从的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的

22

位置不好确定，可将双曲线的方程设为布一，="2W0)或〃状2—〃y2=i(机〃>0),

再根据条件求解.

92

£=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为£一£=42#()).

2.与双曲b1

考点二双曲线的定义及应用师生共研

【例1】(1)(多选题)(2021.重庆诊断)在平面直角坐标系中，有两个圆Ci：(x+2)2

+9=齐和C2：(%—2)2+y2=d»其中常数r\,废为正数且满足n+r2V4,一个

动圆尸与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()

A.两个椭圆

B.两个双曲线

C.一个双曲线和一条直线

D.一个椭圆和一个双曲线

(2)已知为，五2为双曲线C：_?-y2=2的左、右焦点，点P在c上，NFIPF2=

60°,则△EiPB的面积为.

(3)已知F是双曲线，一为=1的左焦点，A(l,4),P是双曲线右支上的一动点，

则|PF|+|阳的最小值为.

答案(1)BC(2)2事(3)9

解析(1)由题意得，圆Ci的圆心为C(—2,0),半径为n,圆C2的圆心为C2(2,

0),半径为卷，所以|GC2|=4,设动圆P的半径为匚

因为ri+r2<4,所以两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切

一个内切.

①若均内切，则|PC|=r—ri,|PC2|=r——2,此时||PC|一|「。明=仍一废|,

当打工底时，点P的轨迹是以C,C2为焦点的双曲线，

当n=元时，点P在线段C1C2的垂直平分线上.

②若均外切，则|PG|=r+n,|PC2|=r+r2,

此时IIPCil一方。2||=忻一闻,则点尸的轨迹与①相同.

③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则

\PC\\-r-r\,\PC2\=r+n,IPC2I-\PC\|=n+r2.

同理，当与圆C2内切，与圆。外切时，

\PCi\~\PC2\=n+r2.

此时点p的轨迹是以a,C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.

(2)不妨设点尸在双曲线的右支上，

则|PFi|一|尸丘2|=2a=2/，

在△RPB中，由余弦定理，得

22

\PFI\+\PF2^-\FXF2\1

COSZF1PF2-2\PF\\-\PFI\

，|PFIHPF2|=8,

o

.•.SAFiPf2=1|PFi|-|PF2|-sin60=2V3.

(3)因为尸是双曲线:一方=1的左焦点，所以F(—4,0),设其右焦点为4(4,

0),则由双曲线的定义可得|PQ+|网=2a+|P”|+I网22a+|A”|=4+

yl(4-1)2+(0-4)2=4+5=9.

感悟升华1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据

要求可求出曲线方程；

2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PFI|—|PE2||

=2a,运用平方的方法，建立与的联系.

92

【训练11(1)(2020.全国III卷)设双曲线C：，一5=1(。＞0,比＞0)的左、右焦点

分别为Fi,F2,离心率为小.P是C上一点，且RPJ_F2P.若△PBF2的面积为4,

则。=()

A.1B.2C.4D.8

(2)已知△ABC的顶点A(—5,0),8(5,0),△ABC内切圆的圆心在直线x=2上，

则顶点C的轨迹方程是()

一疝=l(x>2)B：_，=l&>2)

jD^--=i

=2i442

答案(1)A(2)A

解析⑴法一设|PR|=a,|P@|=〃，尸为双曲线右支上一点，则SAPFF2=g

机〃=4,m—n=2a,m2+n1=4c1,又e=/=小，所以a=l.

庐

法二由题意得，SaPFi尸2=而诟7=4,得〃=%

9

又呆=5,c2=h2+a2,所以a=l.

(2)

如图，△ABC与内切圆的切点分别为G,E,F.

|AG|=|AE|=7,\BF]=\BG\=3,\CE\=\CF],

所以|CA|-|C3|=HE|—|B/1=|AG|-|8G|=7-3=4.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A,5为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方

程为弥=1(%>2).

考点三双曲线的性质多维探究

角度1求双曲线的渐近线

【例2】(2019・江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线£=1(">0)经过

点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.

答案y=±y12x

解析因为双曲线/—$=13>0)经过点(3,4),所以9—8=13>0),解得。=啦,

即双曲线方程为：=i,其渐近线方程为^=±7^-

感悟升华双曲线,一#=l(a>0,Z?>0)的渐近线是由为一$=0,即得两渐近线

方程衿=0.

角度2求双曲线的离心率

29

[例3](1)(2021・长沙调研)已知双曲线，一$=1(a>0,/?>0)的顶点到渐近线的

距离为米则该双曲线的离心率为()

R,r3口维

A.2小D•zi-x.3

_22

(2)(2020・全国I卷)已知F为双曲线C：：一方=1(。〉0,匕〉0)的右焦点，A为C

的右顶点，B为C上的点，且垂直于x轴.若的斜率为3,则C的离心

率为

答案(1)D(2)2

解析⑴由题意，知点他，0)到直线桁一到=0的距离为会所以彳=\ab\

4所以e

(2)点8为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为(c,与

，点A的坐标为

(a,0),

玫

•.SB的斜率为3,：.—=3

c-a

“心―足c+a

即a(i===6+1=3,…工

感悟升华求双曲线离心率或其取值范围的方法

c2cr+b2h2.

(1)求a,b,c的值，由

a2—a2=1+”直接求e.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于〃=02一“2消去乩然后转

化成关于e的方程(或不等式)求解.

【训练2】（1）（多选题）（2021.青岛模拟）已知双曲线。的方程为*一?=1,则下

107

列说法正确的是（）

A.双曲线C的实轴长为8

B.双曲线C的渐近线方程为^=土本

C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3

D.双曲线。上的点到焦点距离的最小值为；

92

（2）已知双曲线C：，一方=1（。＞0,方＞0）的左、右焦点分别为Fi,Fi,一条渐近

线为/,过点尸2且与/平行的直线交双曲线C于点M,若|MQ|=2|MF2|,则双曲

线C的离心率为（）

A.巾B.小C.小D.A/6

答案（l）ABC（2）C

解析（1）由题意知，a=4,b=3,所以c=da2+82=g42+32=5,对于A,双

曲线C的实轴长为2a=8,故A正确；

对于B,双曲线C的渐近线方程为了=±夕=击，故B正确;

13X51

对于C,双曲线。的焦点为（±5,0）,其到渐近线的距离为=3,故C正

^/42+32

确;

对于D,当双曲线的顶点与焦点位于y轴的同侧时，该顶点到焦点的距离即双曲

线。上的点到焦点距离的最小值，为1,故D错误.

b

⑵法一不妨设渐近线/的方程为y=%,则点M在第四象限，由双曲线的定义

知|MR|—|MB|=2a,又|MQ|=2|M3|,所以|MB|=4a,|MB|=2a.设过点尸2且

与I平行的直线的倾斜角为a,则tana=（,所以cosa=a*所以

cosNFiF2M琮在2M中，由余弦定理cosNFiBM=向正2|2+|MB|2一匹M2

2\FIFI\-\MF2\

（2c）2+（2。）2—（4。）2“E/口ccit,cr-

皆「=--------2-"＞c-2a---------，整理俗C2=5/,即，=小出所以e=/=小.

法二不妨设渐近线/的方程为y=，，则由M&〃/知，直线MB的斜率为今

b+c2

方程为>=如一C），代入双曲线方程得点M的横坐标砌=下［.由双曲线的定

义知|MB|—|MB|=2a,又|MB|=2|MF2|,所以|MB|=4a,|MF2|=2a.

设过点尬且与I平行的直线的倾斜角为a,则tana=，，所以cosa=^==p=p

cr+c2

C

JC=p整理得理=5/，即0=小4,所以e=卜小

所以cosa=—2

考点四双曲线几何性质的综合应用师生共研

2

【例4】（1）已知MS）,yo）是双曲线C：，一尸=1上的一点，F\,F2是。的两

个焦点,若后1.麻12<0,则州的取值范围是（

AT由B(需

CT"明

（2）设尸为双曲线C：£一方=13>0,匕〉0）的右焦点，O为坐标原点，以"为直

径的圆与圆f+y2=/交于P,Q两点.若|PQ|=QF|,则。的离心率为（）

ASB.小C.2D.小

22

（3）（2021.淮南一模）已知双曲线疝x一方=1S〉O）的左、右焦点分别为Ei,Fi,过点

Fi的直线交双曲线右支于A,B两点,若△ABFi是等腰三角形，且/A=120。,

则△ABFi的周长为（）

A呼+8

B.4(^2-1)

C邛+8

D.2（小一2）

答案(1)A(2)A(3)A

7

解析⑴因为Fi（一木,0）,尸2（小，0）,y-yg=l,所以而•标2=（一小一xo,

—yo）•（小—x（）,—yo）="3<0,即3角一1<0,解得一坐<y

⑵

设双曲线C：^2=1(«>0,匕〉0)的右焦点E的坐标为(c,0).则c=\Ja2+b2,

如图所示，由圆的对称性及条件|PQ=|OP|可知,PQ是以0尸为直径的圆的直径，

且PQLOF.设垂足为连接OP,则|OP|=a,|OM=|MP|奇在RCOPM中，

得（）故§=&,

|OMF+|MP[2=|0P|29+6=/,即e=啦.

（3）

士

/TA2

22

由双曲线1•一方=1（。＞0）,可得4=2,

如图所示，设|A尸2尸」,

\BF2\=n.

可得|AFi|=4+m,

|BFi|=4+n.

\AFi\=\AB\,

.'.4-\-m=m+n,解得n=4.

作ADLBFi,垂足为。，则。为线段8R的中点,ZF\AD=60°,

率（4+机）,.•.*（4+a）X2—4+〃,

即-\/§（4+w）=4+几

又〃=4,代入解得〃?=华一4.

-喈.故选A.

.•/XABF\的周长一4+"z+/n+〃+4+〃一8+2（羽+〃）—81

感悟升华1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方

程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面

几何知识的联系.

2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路

（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.

（2）若条件中没有不等关系，栗善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系

来解决.

【训练3】（1）（2020.全国II卷）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：捻一狭=

1（«>0,小>0）的两条渐近线分别交于。，E两点.若△ODE的面积为8,则。的

焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

（2）已知点（1,2）是双曲线，一£=l（a〉0,8>0）上一点，则双曲线离心率的取值范

围是（）

A.（1,小）B.（l,坐）C.（小，+°°）D.（坐,

答案（1）B（2）C

解析（1）不妨设。位于第一象限，双曲线的渐近线方程为'=士3，分别与x=a

联立，可得。（a,b）,E（a,­b）,

则|。£|=24

**•S^ODE=3义。X\DE\=亍1X2b=ab=8,

c2=a2+b2^2ab=16.

当且仅当a=/?=2加时，等号成立.

；.c2的最小值为16,；.c的最小值为4,

的焦距的最小值为2X4=8.

214h1

（2）已知点（1,2）是双曲1/一方v=l（a>0,比>0）上一点,得示一彦=1,即宗=店十

4,

所以e所以e>小.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.已知双曲线了-y2=i（a〉o）的离心率是小，则“=（）

A.#B.4C.2D.g

答案D

解析由双曲线方程\一丁=1,得〃=1,.•.02=&2+1.

C2«2+111

.•.5=e0=丞=二厂=1+庐

结合a>0,解得。=g.

2.（2020•江苏卷改编）在平面直角坐标系宜万中，若双曲线”一上=13>0）的一

条渐近线方程为丫=?，则该双曲线的离心率是（）

A.y/2B.1D.3

答案B

解析由题意，丹等,所以。=2,所以，=后存=3,所以该双曲线的离

心率e=~a=x2.

22

3.（多选题）（2021.武汉质检）已知方程r广三v十七=1表示曲线C,则下列判断正

4-tt—1

确的是（）

A.当1VIV4时，曲线C表示椭圆

B.当r>4或/<1时，曲线。表示双曲线

C.若曲线。表示焦点在x轴上的椭圆，则1</<|

D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则f>4

答案BCD

SY2V2

解析由4一/」一1,得片去此时方程上+/4=1表示圆，故A选项错误.

24—ft~1

由双曲线的定义可知（4一。"一1）VO时，即tVl或，>4时，方程士］+占'=1

表示双曲线，故B选项正确.

由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4—1>0,解得IVtvf，

故C选项正确.

［4-r<0,

当曲线。表示焦点在y轴上的双曲线时，满足，、八解得/>4,故D选项

U-i>o,

正确.

4.己知尸I,尸2为双曲线。：/一尸=2的左、右焦点，点尸在。上，1PBi=2|PB|,

则COSZFIPF2=（）

A-4B-5C4D5

答案C

解析由x2—/=2,知a=Z?=啦,c=2.由双曲线定义知，|PFi|—|PF2|=2a=26，

又|P尸i|=2|尸园,

.,.|PFi1=4^2,|PF2|=2啦，

在△「「］人中，尸声2|=2C=4,由余弦定理，得

|PF.|2+|PF2|2-|FIF2|23

COSZFIPF2-2|PFI|.|PF2|~4-

5.（2020.天津卷）设双曲线C的方程为最一三=1（40,心0）,过抛物线产©

的焦点和点（0,与的直线为/.若。的一条渐近线与/平行，另一条渐近线与/垂

直，则双曲线C的方程为（）

A.Aq=lB./_£=1

v2

C.1一9=1D.x2—y2=1

答案D

解析由题意知抛物线的焦点为F（l,0）,直线/的斜率

卜尸法——b=/解得a?

b

又一份=-1，；北=。=1,

双曲线C的方程为f—尸=1.故选D.

6.（多选题）（2021•长沙调研）已知为，乃分别是双曲线C：9一/=1的上、下焦

点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆经过点P,则（）

A.双曲线。的渐近线方程为y="

B.以厂产2为直径的圆的方程为小+尸=1

C.点P的横坐标为±1

D.△PFiB的面积为吸

答案ACD

解析等轴双曲线C：9一/=1的渐近线方程为故A正确；

由双曲线的方程可知71尸2|=26，

所以以为尸2为直径的圆的方程为心+丁=2,故B错误；

点P（xo,yo）在圆x2+y2=2上，

不妨设点P（xo,泗）在直线y=x上,

x8+W=2,

所以由解得|刈|=1,

yo=xo,

则点尸的横坐标为±1,故C正确;

由上述分析可得△PFF2的面积为3义2啦Xl=色,故D正确.故选ACD.

二'填空题

7.已知a>"）,椭圆G的方程为3+方=1,双曲线C2的方程为%—%=1,Ci

与C2的离心率之积为坐则C2的渐近线方程为.

答案由/方=0

解析椭圆Cl的离心率为“亭口，双曲线C2的离心率为也产，所以

4a72业#=乎,即/=4〃，所以a=@b,所以双曲线C2的渐近线方程

是尸土古x,即x±y/2y=0.

92

8.（2021•北京西城区模拟）能说明“若机（〃+2）W0,则方程今+走=1表示的曲

线为椭圆或双曲线”是错误的一组〃z,〃的值是.

答案当〃z=〃+2>0且加工0,2时，方程表示的曲线为圆，取”=1,则机

=3（答案不唯一，满足要求即可）

9.已知乃，人分别是双曲线C：9一/=1的上、下焦点，P是其一条渐近线上

的一点，且以尸上2为直径的圆经过点P,则△PF1F2的面积为.

答案也

解析设P（X。，yo）,不妨设点尸在双曲线C的过一、三象限的渐近线x-y=o

上，因此可得刈一yo=O.B（O,也），F2（0,—啦），所以尸1人|=2/，以为人为

直径的圆的方程为x2+/=2,又以尸1F2为直径的圆经过点P,所以知+的=2.

xo—yo=O,

得|xo|=l,于是SPFIF2=1|FF|-|XO|=1X2V2X1=72.

由A12

M+W=2

三'解答题

10.（2020•东北三省三校联考）已知双曲线的中心在原点，焦点Q,仍在坐标轴

上，离心率为色，且过点P（4,-V10）.

⑴求双曲线的方程；

（2）若点M（3,加）在双曲线上，求证：必方1.麻'2=0.

⑴解,:e=也

•••可设双曲线的方程为y2=4"W0）.

•.•双曲线过点（4,-V10）,.*.16-10=2,即4=6.

.•.双曲线的方程为/一户6,即A/=L

⑵证明法一由⑴可知，a=b=\[6,

:.c=2小,:出（—24,0）,@（2小，0）,

TH

AW，=3+2V3,kMF2=3^3,

22

mYTT

kM”kMF2

9-123-

•・•点M(3,m)在双曲线上，・・.9一加2=6,加2=3,

故kMF\-kMF2=-1,，MF\1MF2./.MF\-MF2=0.

法二由⑴可知，a=b=#,：.c=24,

:.Fi(~250),B(2小，0),

MF\=(—2小—3,—m),MF2=(2\[3—3,—m),

而桥2=(3+2小)X(3—2小)+/=—3+小，

•.,点M(3,⑼在双曲线上，，9—机2=6,即根2—3=0,

，而桥2=0.

11.(2021・福州模拟)已知双曲线。的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为

过点《当,1)

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)是否存在被点3(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线/的方程；如

果不存在，请说明理由.

解(1)双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y=S，

2

设双曲线方程为f—5=%q#o),

过点樗，1),代入可得丸=1,

所求双曲线方程为％2—f=1.

(2)假设直线/存在.设3(1,1)是弦MN的中点，且M(xi,yi),Ng户)，贝U»

+x2—2,yi+y2—2.

因为M,N在双曲线上，

2x?—y?=2,

所以《

2x^—y^=2,

所以2(%i+%2)(xi—X2)—(yi—y2)(yi+”)=0,所以4(xi—X2)=2(yi—*),

所以％=/三三=2,所以直线/的方程为＞一1=2。-1)，即"一丁一1=0,

[2X2—y2=2,

联立方程组彳得29—4尤+3=0,因为/=16—4X3X2=—8<0,