2023-2024学年湖南省岳阳市高二上学期期末教学质量监测数学试卷

2023—2024学年湖南省岳阳市高二上学期期末教学质量监测数学试卷

一、单选题(★)1.已知集合，则

A．B．C．D．(★)2.复数的虚部为（）

A．B．2iC．D．2(★)3.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“”是“且”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★)4.，则（）

A．B．C．D．(★★)5.若，则事件与事件的关系是（）

A．事件与事件互斥B．事件与事件对立C．事件与事件相互独立D．事件与事件互斥又独立(★★★)6.为抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，则为（）

A．B．C．D．(★★★)7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A．3B．4C．5D．6(★★★)8.如图，正四面体的长为，，则（）

A．B．C．D．二、多选题(★★★)9.已知向量，则下列结论正确的是（）

A．B．C．向量与的夹角为D．若在上的投影向量为(★★★)10.已知圆，点是上的动点，则下列结论正确的是（）

A．圆关于直线对称B．直线与圆相交所得弦长为C．若，则距离的最大值为D．的最小值为(★★)11.已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点是双曲线上的点（异于、），则下列结论正确的是（）

A．该双曲线的离心率为B．该双曲线的渐近线方程为C．若，则的面积为D．点到、两点的连线斜率乘积为(★★★)12.在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是：（）

A．点到平面的距离为B．三棱锥体积是定值，定值为1C．存在点，使得平面D．存在点，使得且三、填空题(★)13.在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则________________.(★★)14.若直线与圆相切，则________________.(★★)15.若，且，则的最小值等于________________.(★★)16.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为________________.四、解答题(★★)17.记为等差数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)求，并求的最大值.(★★★)18.2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节.现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a，b的值；(2)估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；(3)在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．(★★)19.记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，且的面积为，求．(★★★)20.如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.(★★★)21.已知数列的前项和为，且.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.(★★★)2