2024-2025学年甘肃省平凉市华亭市高三上册第三次月考联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年甘肃省平凉市华亭市高三上学期第三次月考联考数学检测试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．若，则（

）A． B．C． D．3．已知为第二象限角，则（

）A． B．C． D．4．在中，D是边BC上一点，且，E是AD的中点，若，则（

）A． B． C． D．5．已知函数，则的图象在处的切线方程为（

）A． B．C． D．6．中，内角、所对的边分别为、，若，则角等于（

）A． B． C． D．7．设函数是函数的导函数，，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．8．已知函数的图象是由（）的图象向右平移个单位得到的，若在上仅有一个零点，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量，下列结论正确的是（

）A．若与垂直，则为定值B．若与互为相反向量，则m与n互为倒数C．若与垂直，则为定值D．若与互为相反向量，则m与n互为相反数10．已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A． B．C． D．11．在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（

）A．若，则 B．若，则该三角形有两解C．周长有最大值12 D．面积有最小值12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（

）A．是奇函数B．在上是减函数C．的值域是D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设等差数列的公差为，前项和为，若，则的最小值．14．已知数列满足，，则的通项公式为．15．已知，且，若恒成立，则的取值范围．16．德国著名数学家狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，他定义了一个函数有如下四个结论：①；②函数是偶函数；③函数具有单调性；④已知点，则四边形为平行四边形.其中所有正确结论的序号是.四、解答题：本题共6小题，共70分（17题10分，其余各题各12分）．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤．17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)证明：是等腰三角形；(2)若的面积为，且，求的周长．18．已知等差数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式(2)求的前项和19．已知．若的最小正周期为．(1)求的表达式和的递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值．20．已知内角所对的边长分别为.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.21．已知（1）求的单调区间；（2）求证曲线在上不存在斜率为-2的切线．22．已知函数．(1)若，求的极小值．(2)讨论函数的单调性；(3)当时，证明：有且只有个零点．1．C【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为或，所以.故选：C2．D【分析】根据复数运算法则可求得，由共轭复数定义可得，作差即可求得结果.【详解】由得：，，.故选：D.3．C【分析】根据第二象限角的三角函数值的正负分别判断各选项.【详解】因为为第二象限角，所以，，，则，，，而的取值不确定.故选：C.4．A【分析】用基底表示，再结合的关系，即可求得和.【详解】根据题意，作图如下：因为D是边BC上一点，且，所以；又E是AD的中点，所以，则.故选：A.5．B【分析】对函数进行求导，求出在处的切线的斜率，代入，求出，利用点斜式方程求出切线方程.【详解】因为，所以，则，所以的图象在处的切线方程为，即.故选：B.6．C【分析】根据正弦定理边角互化思想求出的值，再结合的范围可求出角的值.【详解】，由正弦定理得，，，则，可得.又，因此，.故选：C.本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，在计算时要结合角的取值范围来得出角的值，考查运算求解能力，属于基础题.7．A【分析】利用题设中的不等式中的信息构造函数，再用函数单调性求解而得.【详解】依题意，令函数，则，且，所以是上的增函数，，解得．故选：A由条件构造函数的常用两类问题：已知，可构造函数；已知，可构造函数.8．C【分析】将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得.【详解】由题知，函数在上仅有一个零点，所以，所以，令，得，即.若第一个正零点，则（矛盾），因为函数在上仅有一个零点，所以，解得.故选：C.

9．AD【分析】根据向量垂直的坐标关系可判断AC，利用相反向量的概念结合条件可判断BD.【详解】若与垂直，则，则，A正确，C错误；若与互为相反向量，则，则，，B错误，D正确．故选：AD.10．ABC【分析】根据等差数列前项和公式和通项的性质，推出，结合选项可得答案.【详解】因为是等差数列，所以.根据题意，又，所以，从而，，故选项A，B正确；又，即，故选项C正确；对于选项D，，根据题意无法判断是否为零，故选项D错误.故选：ABC11．ABC【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可.【详解】对于A，，，由正弦定理得，所以，故A正确；对于B，由正弦定理得得，所以，因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；对于C，由，得，所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大，周长为12，故C正确；对于D，由得,故由于，无最小值，所以面积无最小值，有最大值为，故D错误.故选：ABC.12．ACD【分析】利用奇偶性的定义判断A，利用函数单调性的结论判断B，由单调性求出的取值范围，结合定义判断C，利用对数函数的值域结合定义判断D.【详解】因为，所以，所以是奇函数，选项A正确；因为在上是增函数，所以在上是增函数，在上是增函数，选项B错误；因为，所以，所以的值域是，选项C正确；令，，由高斯函数定义可得当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；所以，选项D正确；故选：ACD13．【分析】求出等差数列的和与通项公式，然后化简表达式，利用基本不等式求解即可．【详解】解：等差数列的公差为，前项和为，若，，，．当且仅当时取等号．故答案为．本题考查数列与不等式的应用，等差数列的通项公式以及求和是的应用，考查转化思想以及计算能力．14．【分析】利用累加法计算可得.【详解】因为，，所以，即，，，，，所以，即，则，当时也成立，所以，故．15．【分析】依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到在上恒成立，参变分离可得，则，利用导数求出，的最大值即可.【详解】因为，且时恒成立，则恒成立，当时，，显然恒成立，则当时，恒成立，则当时，恒成立，令，，则，所以在上单调递增，则由，即，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.故关键点点睛：本题根据是将不等式同构成，结合的单调性得到，再参变分离.16．②④【分析】根据函数表达式求，，，结合函数的单调性和奇偶性的定义判断①，②，③，再结合点的位置判断④.【详解】当为有理数时，为有理数，，，，当为无理数时，为无理数，，，，所以①错误；因为对任意的，，所以函数是偶函数；②正确，因为，所以函数具有单调性；③错误；因为，，即点，，，的坐标分别为，，，，所以，，结合图象可得，，所以四边形为平行四边形，④正确，故②④.17．(1)证明见解析；(2).【分析】(1)根据给定条件利用三角形射影定理化简即可得解.(2)根据给定条件求出，再利用三角形面积定理及(1)的结论求出a，b，然后借助余弦定理求出c即可计算作答.【详解】（1）在中，，由射影定理得，，所以是等腰三角形．（2）在中，因且，则，又，即，由(1)知，则有，在中，由余弦定理得：，解得，又，则a，b，c能构成三角形，符合题意，，所以的周长为.18．(1)(2)【分析】（1）根据等差数列前项和公式，结合等差数列的下标性质、通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】（1）设的公差是，则，∵，，∴，，∴，，∴，∴，∴；（2）由（1）可得，∴，∵，所以是等差数列，首项是，公差是，所以.19．(1)；的单调递增区间为．(2)在区间上的最大值和最小值分别为1和．【分析】（1）化简函数解析式，利用周期公式求，可得其函数解析式，再由正弦函数单调性求函数的递增区间；（2）利用不等式性质及正弦函数性质求函数在区间上的最大值和最小值．【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因为的最小正周期为，，所以，所以，所以，令，，可得，，所以函数的单调递增区间为，（2）因为，所以，所以，即，所以当时，函数取最大值，最大值为，当时，函数取最小值，最小值为.20．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；（2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.【详解】（1）由余弦定理得，即，所以，又，则.（2）法一：为锐角三角形，，则，所以，可得，又，则，故由，即而，所以，故面积的取值范围为.法二：由，画出如图所示三角形，为锐角三角形，点落在线段（端点除外）上，当时，，当时，，.21．（1）单调递增区间是：；单调递减区间是：；（2）证明见解析．【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.（2）原命题等价于在上无解，令，利用导数可求其在上的最大值，从而可证明前者无解.【详解】解：（1），令，则，得，令，则，得，所以的单调递增区间是：；单调递减区间是：．（2）原命题等价于：在区间上方程即无解，令，则；当时，，所以在上递增；当时，，所以在上递减.因为的最大值是，所以不存在斜率为-2的切线.方法点睛：导数背景下方程的解存在性问题，可构建新函数，通过导数求出新函数的值域（或最值等），从而可判断原方程的解的情况.22．(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）先求导，判断函数单调性，找到极小值点，求出极小值.（2）求出，再求导，根据分类讨