中考数学专项复习：勾股定理中的最短路径模型（原卷版+解析）

专题15勾股定理中的最短路径模型

勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活

实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两

大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先

画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，

然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。

模型1.圆柱中的最短路径模型

【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：

B

展开

圆柱

计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定

理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周

长的一半进行计算。

注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算；

2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

【最值原理】两点之间线段最短。

例L（2023春•湖北武汉•八年级统考期中）如图，圆柱的底面周长为32cm,高为24cm,从圆柱底部A处

沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（）

例2.（2023・重庆•八年级期末）如图，圆柱形玻璃杯高14cm,底面周长为18cm,在外侧距下底处1cm有一

只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处1cm的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长

是cm.

s

例3.（2023春•河南新乡•八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好

从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m,高为16m,则所需彩带最短是（）m.

A.8B.5C.20D.10

模型2.长方体中的最短路径模型

【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下:

长方体

计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理

进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。

注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；

2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2023・四川乐山•八年级统考期末）如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为4cm.如果从

点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点5,那么所用细线最短需要cm.

例2.（2023•浙江・八年级假期作业）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两

个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点2的最短路径为米.

例3.（2023春•广东八年级课时练习）棱长分别为5cm,3cm两个正方体如图放置，点尸在耳耳上，且

小女£,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P,需要爬行的最短距离是.

aG

例4.（2023春•山西大同•八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没

有缝腺），一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角G处.若钻=3,BC=4,CC1=5,则蚂蚁爬行的

最短路程是（）

C.789D.12

模型3.阶梯中的最短路径模型

【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下:

阶梯问题

注意：展开一定点一连线一勾股定理

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2023秋•山东枣庄•八年级校考开学考试）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm,3cm

和icm,A和5是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿

着台阶面爬到点8的最短路程长为（）

A.10B.11C.12D.13

例2.（2023春•四川成都,九年级校考阶段练习）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m,宽

AT）=10m.中间竖有一堵砖墙高MN=2m.一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走

的路程s取值范围是.

例3.（2023春•重庆八年级课时练习）在一个长为5米，宽为3米的长方形草地ABCD上，如图堆放着

一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD,木块的主视图是边长为1米的正三角形，一只

蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米.

AB

模型4.将军饮马与最短路径模型

【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下:

将军饮马问题

解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。

注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定

理求解。

【最值原理】两点之间线段最短。

例L（2023•四川广安•统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离

杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点8

处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

例2.（2023•浙江・八年级假期作业）如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6,在罐内点E处有一

小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处,蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（：

A.7145B.^/205C.7277D.17

例3.（2023春•黑龙江齐齐哈尔•八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他

正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所

走的最短路程是多少？

_______

I二匕

牧童/1

--A东

I

h-........小屋

课后专项训练

1.（2023春•山东德州•八年级统考期末）现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长

为16cm,高为15cm,在杯子内壁离容器底部4.5cm的点8处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好

在杯子外壁，离容器上沿4.5cm的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（）

----------

，一一1B

A.17cmB.10cmC.2^/75cmD.16cm

2.（2022秋•福建宁德•八年级校考阶段练习）如图，正方体的棱长为4cm,A是正方体的一个顶点，8是

侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点2的最短路径是（）

3.（2023•江西景德镇•八年级统考期中）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2,A

和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬

到B点最短路程是（）

A.20B.15C.25D.27

4.（2023秋•四川成都•八年级统考期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm,10cm,20cm,点、B

离点C的距离是5cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点3,蚂蚁爬行的最短路程是（）

15cm

A.lO&cmB.25cmC.5\/29cmD.5A/37CHI

5.（2023春•山东德州•八年级统考期中）如图，圆柱形玻璃容器高18cm,底面圆的周长为48cm,在外侧

底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点8处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所

走的最短路线长度（）

u------

s-------------

,

A.52cmB.30cmC.6A/73cmD.60cm

6.（2022秋•河南鹤壁•八年级统考期末）如图，在长为3,宽为2,高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A

出发沿着长方体的表面爬行到顶点B,那么它爬行的最短路程是.

-------------------

7.（2023春,四川绵阳•八年级统考期末）如图，圆柱的底面半径为9cm,高为8cm,蚂蚁在圆柱侧面爬行,

71

从点A爬到点B的最短路程是cm.

8.（2023春・山东德州•八年级统考期中）如图，圆柱的底面直径为一m,高AB=8m,按如图所示的方式

71

缠绕细线，缠绕一周（不记接头）至少需要长的细线.

9.（2022秋•黑龙江大庆•七年级大庆市第三十六中学校考期末）在底面直径为2cm,高为3cm的圆柱体侧

面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为（%取3）

10.（2023•四川成都•八年级校考阶段练习）如图一只蚂蚁从长为4cm,宽为3cm,高为2cm的长方体纸箱

A点沿纸箱爬到B点,那么它爬行的最短路线的长是cm

11.（2023・四川成都•八年级校考阶段练习）一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm,8cm,12cm,一

只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的8点，蚂蚁要爬行的最短行程是cm.

12.（2023•四川成都・八年级校联考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为8c机，底面周长为24c〃z,在杯内

壁离底2cm的点8处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁

从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）.

13.（2023春・山东青岛•八年级统考开学考试）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可

以看作是一个长方体去掉一个"半圆柱"而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘

AB=CD=20m,点E在8上，CE=2m,一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E,则他滑行的最短

距离约为m.（"取3）

14.（2023春•湖南邵阳•八年级统考期末）如图，在圆柱的截面ABCD中，AB=—,BC=32,动点P从

71

A点出发，沿着圆柱的侧面移动到3C的中点S的最短距离为.

15.（2023春•福建福州•九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，点尸，Q的坐标分别为（5,0）,2）,

（“+2,2）,则V2PQ周长的最小值为

16.（2023春・湖南永州•八年级校考阶段练习）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到8处搬运食物，则它爬行的最

短距离为

17.（2023春•安徽六安•八年级校考期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm,8cm,30cm,在A3的

中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.

18.（2023秋・浙江•八年级专题练习）如图1,一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点8处，求

它爬行的最短距离.已知圆柱底面半径为R,高度为.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的

方案，方案1：沿爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段爬行，如图2.（万取3）

（1）当R=l,/i=4时，哪种方式的爬行距离更近？（2）当R=l,为=1时，哪种方式的爬行距离更近？

⑶当R与。满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？

图1图2

19.（2023春•安徽蚌埠•八年级校考期中）如图，A,2两个村庄在河的同侧，两村庄的距离为。千米，

"=13,它们到河的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河

CD边上修建一水厂向48两村输送水.（1）在图上作出向A,8两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置

M.（只需作图，不需要证明）；⑵经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万

元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.

20.（2023春・山东德州•八年级统考期末）如图1,C为线段30上一动点，分别过点8、。作钻_L3D,即_L及）,

连接AC、EC.已知AB=2,DE=1,BD=8,设C£>=x.

A

2

⑴用含x的代数式表示AC+CE的长为.,；（2）求AC+CE的最小值

⑶根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式行1+J（3-尤>+4的最小值.

专题15勾股定理中的最短路径模型

勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活

实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两

大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先

画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，

然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。

模型1.圆柱中的最短路径模型

【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：

圆柱

计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定

理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周

长的一半进行计算。

注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算；

2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2023春•湖北武汉•八年级统考期中）如图，圆柱的底面周长为32cm,高为24cm,从圆柱底部A处

沿侧面缠绕一圈丝线到顶部8处做装饰（点8在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（）

B

A

A.30cmB.40cmC.50cmD.60cm

【答案】B

【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据"两点之间线段最短"得出结果，在求线段长时，借

助于勾股定理.

【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形AC9,则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部2

处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长.

,•,圆柱的底面周长是32cm,高是24cm,;.筋2=322+242=1024+576=1600,••.AB=40（cm）.故选B.

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面

周长，宽等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，"化曲面为平面”，用勾股定理解决.

例2.（2023・重庆•八年级期末）如图，圆柱形玻璃杯高14cm,底面周长为18cm,在外侧距下底处1cm有一

只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处1cm的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长

【答案】15

【分析】展开后连接M，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SELCD于E,求出SE、

EF,根据勾股定理求出SF即可.

【详解】解：如图展开后连接求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，

过S作SE_LC£>于£,贝IISEnBCn/xlgug(cm),£^=14-1-1=12(cm),

在Rt^FES中，由勾股定理得：SF=\)SE2+EF2=792+122=15(cm),故答案为15.

【点睛】本题考查勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中.

例3.（2023春・河南新乡•八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好

从A点绕到正上方的8点，已知知圆柱底面周长是3m,高为16m,则所需彩带最短是（）m.

A.8B.5C.20D.10

【答案】C

【分析】把曲面展开变为平面，利用两点间线段最短，再根据勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，线段即为所需彩带最短，由图可知AC=3x4=12,5c=16,

团由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=A/122+162=20>故选C.

【点睛】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用.将曲面问题变为平面问题是解答本题关键.

模型2.长方体中的最短路径模型

【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下:

长方体

计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理

进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。

注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；

2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。

【最值原理】两点之间线段最短。

例L（2023・四川乐山,八年级统考期末）如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为4cm.如果从

点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.

【答案】475

【分析】根据从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,则展开后AC=lx8=8cm,BC=4cm,由勾股

定理计算出A3的长，即可得到答案.

由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=782+42=780=475cm>故答案为：4下.

【点睛】本题考查了平面展开一最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是此题的关键.

例2.（2023•浙江•八年级假期作业）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两

个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点8的最短路径为米.

【答案】80

【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可.

【详解】解：平面展开图为：

AB=7(5+3)2+82=872(米)，故答案为80.

【点睛】本题考查立体图形中两点间最短路径问题，通用办法是展开为平面图形，两点间最短路径为两点

线段长度，利用水平距离和竖直距离得到直角三角形，勾股定理求出两点线段长度.熟悉立体图形中两点

间最短路径问题的计算方法是解题的关键.

例3.（2023春•广东八年级课时练习）棱长分别为5cm,3cm两个正方体如图放置，点尸在月月上，且

月尸=；耳居，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点尸，需要爬行的最短距离是

【答案】475cm.

【分析】求出两种展开图F4的值，比较即可判断;

【详解】解：如图，有两种展开方法:

方法一国PA="(5+3)2+(3+iy=4&cm，方法二团PA=7(5+3+1)2+32=3JTUcm.

故需要爬行的最短距离是4指cm.故答案为：4^5cm.

【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

例4.（2023春・山西大同•八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没

有缝腺），一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.若AB=3,BC=4,CG=5,则蚂蚁爬行的

最短路程是（）

D.12

【答案】A

【分析】求出蚂蚁沿着木柜表面经线段A片到G，以及蚂蚁沿着木柜表面经线段B瓦到G的距离，再进行

比较即可.

【详解】解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到C一爬过的路径的长是4=/2+（4+5『=胸,

蚂蚁沿着木柜表面经线段B片到G,爬过的路径的长是12="3+4）2+5」=774.

k>l2,最短路径的长是4=故选A.

【点睛】此题考查了长方体展开图的对角线长度求法，这种题型经常在中考中出现，也是易错题型，希望

能引起同学们的注意.

模型3.阶梯中的最短路径模型

【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下:

阶梯问题

注意：展开一定点一连线一勾股定理

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2023秋•山东枣庄•八年级校考开学考试）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm,3cm

和lcm,A和8是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿

着台阶面爬到点6的最短路程长为（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

【详解】解：如图所示,

团三级台阶平面展开图为长方形，宽为5,长为（3+l）x3=12,

国蚂蚁沿台阶面爬行到3点最短路程是此长方形的对角线长，由勾股定理得.=后1运=13，

则蚂蚁沿着台阶面爬到5点最短路程是13.故选：D.

【点睛】本题考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键.

例2.（2023春•四川成都・九年级校考阶段练习）如图所示，是长方形地面，长AB=20m,宽

AD=10m.中间竖有一堵砖墙高MN=2m.一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走

的路程s取值范围是

【答案】s226m

【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度

不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围.

【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m,

原图长度增加4m,则AB=20+4=24m,连接AC,

・•,四边形ABC。是长方形，AB=24m,宽A£）=10m,AC=^AB2+BC2=7242+102=26m»

蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s226m.故答案为：s16m.

【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键.

例3.（2023春・重庆八年级课时练习）在一个长为5米，宽为3米的长方形草地ABCD上，如图堆放着

一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD,木块的主视图是边长为1米的正三角形，一只

蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米.

【答案】375

【分析】如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为5+1=6米，

因为长方形的宽为3米,一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC,利用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，

，长方形的长为5+1=6米，

长方形的宽为3米，，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC,

AC=VAB2+BC2=[G+3?=34米,故答案为3君-

【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键.

模型4.将军饮马与最短路径模型

【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下:

将军饮马问题

解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。

注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定

理求解。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2023•四川广安,统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离

杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点8

处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

/---------、

X

、

、

A

【答案】10

【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于所的对称点根据两点之间线段最短可知A9

的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得.

【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作8关于防的对称点？，作交AE延长线于点£）,

连接A8）

由题意得：DE=^BB'=lcm,AE=9-4=5（cm）,AD=AE+DE=6cm,

回底面周长为16cm,，8'£>=；xl6=8（cm）,-1^B'=yjAD2+B'D~=10cm>

由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁8处到内壁A处所走的最短路程为AB'=10cm,故答案为：10.

【点睛】本题考查了平面展开一一最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解

题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

例2.（2023•浙江•八年级假期作业）如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6,在罐内点E处有一

小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABC。的中心H处,蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（）

C.V277D.17

【答案】C

【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即

可计算.

【详解】解：①若蚂蚁从平面A3CD和平面CDFE经过,

蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：H'E=J(8+6)2+(6+3)2=伤y,

图1图2

②若蚂蚁从平面ABCD和下底面平面经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：HE=782+(3+6+6)2=17

团17＞厉7回蚂蚁到达饼干的最短距离是后7,故选：C.

【点睛】考查了平面展开-最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的

长方体放到一个平面内，求出最短的线段.

例3.(2023春•黑龙江齐齐哈尔•八年级校考阶段练习)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他

正位于他的小屋2的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所

走的最短路程是多少？

小河

二匕

牧童八A

----A东

U----------小屋

【答案】17km

【分析】如图(见详解)，将小河看成直线MN,由题意先作A关于的对称点A，，连接A3,构建直角

三角形，则A'8就是最短路线；在RtZ\AZ>8中，ZA,Z)B=90°,BD=8km,AD=AD+AA,利用勾股定理

即可求出A3.

【详解】如图，做出点A关于小河的对称点A,连接A'B交MN于点P,则AB就是牧童要完成这件事

情所走的最短路程长度.

A'

k

由题意知：A7)=4+4+7=15km,BD=8km,?D90?,

在RtZkA£>3中，由勾股定理求得4:8=，4万+3/)2=17km，

则他要完成这件事情所走的最短路程是17km.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键.

课后专项训练

1.（2023春•山东德州•八年级统考期末）现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长

为16cm,高为15cm,在杯子内壁离容器底部4.5cm的点8处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好

在杯子外壁，离容器上沿4.5cm的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（）

<--------X

A.17cmB.10cmC.2^/75cmD.16cm

【答案】A

【分析】将圆柱体水晶杯侧面展开，作A关于EG的对称点A,根据两点之间线段最短可知A'B的长度即为

所求.

【详解】解：如图是柱体水晶杯侧面展开图的一半，

作A关于EG的对称点A,连接43,交EG于点尸，连接AF,则AE=AE=4.5cm,A^F=AF.

作A'DJ_BG交BG的延长线于点£),则四边形A'EGD是矩形，回DG=AE=4.5cm,AD=EG.

SAF+BF=AF+BF=AB,团A3即为最短距离，13底面周长为16cm,团AO=EG=^xl6=8(cm)

2

团高为15cm,在容器内壁离容器底部4.5cm的点2处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿

4.5cm与一滴蜂蜜相对的点A处，0BD=15-4.5+4.5=15（cm）,

0AB=yjA'D2+BD2=A/82+152=17（cm）.故选：A.

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题

的关键.

2.（2022秋•福建宁德•八年级校考阶段练习）如图，正方体的棱长为4cm,A是正方体的一个顶点，B是

侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）

【答案】A

【分析】根据题意画出相邻的两个展开图，过8作于C,根据勾股定理即可得到结论.

在Rt^ABC中，BC=2cm,AC=4+2=6cm,二AB=JBC?+AC」=6+6〉=2M（cm）,

从点A爬到点B的最短路径是2Mcm,故选：A.

【点睛】本题考查了最短路线问题，勾股定理，将平面展开，构造直角三角形是解题的关键.

3.（2023•江西景德镇•八年级统考期中）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2,A

和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬

到B点最短路程是（）

B

A.20B.15C.25D.27

【答案】C

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

【详解】解：如图所示，

团三级台阶平面展开图为长方形，长为20,宽为（2+3）x3=15,

团蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，

由勾股定理得：AB=7152+202=25-则蚂蚁沿着台阶面爬到8点最短路程是25.故选：C.

【点睛】本题考查了平面展开中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键.

4.（2023秋•四川成都・八年级统考期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm,10cm,20cm,点、B

离点C的距离是5cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点5,蚂蚁爬行的最短路程是（）

A.10&cmB.25cmC.5A/29CHID.5A/37CHI

【答案】B

【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案.

【详解】解：①只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成个长方形，如图1：

BSCD

Si

长方体的宽为10cm,高为20cm点8离点C的距离是5cm,

:.BD=CD+BC=10+5=15cm,AD=20cm,

，在直角三角形抽。中，根据勾股定理得：AB=+AD。=J15?+202=25;

②只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2:

长方体的宽为10cm,高为20cm点3离点C的距离是5cm,/.BD=CD+BC=20+5=25cm,A£）=10cm,

在直角三角形抽£）中，根据勾股定理得：AB=^BDr+AD2=7252+102=5后cm；

③只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：

长方体的宽为10cm,高为20cm点B离点C的距离是5cm,AC=CD+AD=20+10=30cm,

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得:AB=VAC2+BC2=73O2+52=5历cm，

;25<5后<5j方.，蚂蚁爬行的最短距离是25cm.故选：B.

【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，解答时要进行分类讨

论，利用勾股定理是解题的关键.

5.（2023春•山东德州•八年级统考期中）如图，圆柱形玻璃容器高18cm,底面圆的周长为48cm,在外侧

底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点2处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所

走的最短路线长度（）

A.52cmB.30cmC.6773cmD.60cm

【答案】B

【分析】先把圆柱沿过8点的母线剪开，然后展开如图，N点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段

最短得到最短路线长度为的长度，然后根据勾股定理计算N3的长即可.

【详解】解：把圆柱沿过2点的母线剪开，然后展开如图，N点为点A展开后的对应点，

<——、BM

------N

BM=1x48=24(cm),MN=18cm,[3BN=^BM2+MN2=A/242+182=30(cm),

El蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为30cm,故选：B.

【点睛】此题考查了平面展开中的最短路径问题，画出正确的平面展开图，在直角三角形中利用勾股定理

求解是解题的关键.

6.(2022秋•河南鹤壁•八年级统考期末)如图，在长为3,宽为2,高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A

出发沿着长方体的表面爬行到顶点B,那么它爬行的最短路程是.

【答案】3亚

【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和8点间的线段长，即可得到蚂蚁

爬行的最短距离.应该是前面和上面展开，利用勾股定理可求得.

【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的

路线.(1)展开前面上面，由勾股定理得A5?=(2+1)2+3?=18；

(2)展开前面右面，由勾股定理得AB?=(2+3)2+F=26；

(3)展开前面和左面，由勾股定理得AB?=(3+iy+22=20.

所以最短路径的长为A2==故答案为：3后.

【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理应用."化曲面为平面"是解决"怎样爬行最近"这类

问题的关键.

7.（2023春•四川绵阳•八年级统考期末）如图，圆柱的底面半径为9cm,高为8c〃z,蚂蚁在圆柱侧面爬行,

71

从点A爬到点B的最短路程是cm.

【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点8的最短路程即为A3的长，再

由勾股定理求出.

【详解】解：根据圆柱侧面展开图，

圆柱的底面半径为9cm,高为8cm，，底面圆的周长为2><9x%=12cm,.,.BCn8cm,AC=—xl2=6cm,

Tt712

由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点8的最短路程即为AB的长，AB=VAC2+BC2=10cm，

故答案为：10.

【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键.

19

8.（2023春・山东德州•八年级统考期中）如图，圆柱的底面直径为一m,高AB=8m,按如图所示的方式

71

缠绕细线，缠绕一周（不记接头）至少需要长的细线.

【分析】将圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出AC=AC=&2+8?=10（m）,即可得出答案.

团圆柱的底面直径为一m,团35'予x—=12（m）,^\BC=B'C=6m,

71p

0ZB=ZB,=9O°,AB=A3'=8m,ElAC=AC=762+82=10（m）,

团按如图所示的方式缠绕细线，缠绕一周（不记接头）至少需要绳子长度为10+10=20（m）.故答案为：20m.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将圆柱体的侧面展开，找出最短距离.

9.（2022秋•黑龙江大庆•七年级大庆市第三十六中学校考期末）在底面直径为2cm,高为3cm的圆柱体侧

面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为（支取3）

【答案】3A/10cm

【分析】将圆柱体侧面展开后利用两点之间线段最短得到最短长度时的线段，最后利用勾股定理求解即可.

【详解】解：由题意得，丝带绕圆柱一圈半，侧面展开后如图所示：

得到的矩形的长为圆柱底面周长的L5倍，即A瓦=1.5义2万=L5x2x3=9

22

BtC=3AC=JAB；+BQ=V9+3=3回回丝带的最短长度为3Mcm.

4Bi

【点睛】本题主要考查两点间最短距离的计算，熟练掌握勾股定理及两点之间最短距离的判断是解决本题

的关键.

10.(2023•四川成都•八年级校考阶段练习)如图一只蚂蚁从长为4cm,宽为3cm,高为2cm的长方体纸箱

A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是cm

【答案】屈

【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可.

【详解】解：当如图1所示时，AB=^/(3+4)2+22=753(cm),

当如图2所示时，AB=^(2+3)2+42=741(cm),

当如图3所示时，AB=^(2+4)2+32=745(cm),团屈＜后(屈，

回它所行走的最短路径的长是GTcm.故答案为：741-

【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再

确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题是解

题的关键.

11.(2023•四川成都•八年级校考阶段练习)一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm,8cm,12cm,一

只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的8点，蚂蚁要爬行的最短行程是cm.

【答案】20

【分析】如图所示，将长方体各个顶点标上字母，然后可分①情况一：经过前侧和右侧，②情况二：经过

前侧和上侧，然后根据长方体展开图及勾股定理可求解路线长，最后进行比较即可.

【详解】解：如图所示,将长方体各个顶点标上字母,

①情况一：经过前侧和右侧，如图所示，0A5=V122+162=20cm：

②情况二：经过前侧和上侧，如图所示，0AB=V82+2O2=4729cm，020<4729,

故蚂蚁爬行的最短路程为20cm；故答案为20.

【点睛】本题主要考查立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理，熟练掌握立体几何展开图、实数的

大小比较及勾股定理是解题的关键.

12.（2023,四川成都•八年级校联考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为8cm,底面周长为24c〃z,在杯内

壁离底2aw的点8处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁

从外壁A处到内壁5处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）.

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A，，根据两点之间线段最短可知A，B的长度即为所求.

【详解】解：由题意得，如图为圆柱体展开图，

A'

a

4\、

E---------

则作A关于CO的对称点A,则蚂蚁爬行最短路程为A3的长度，A'C=AC=3cm,

过B作BELAC于E点，在RAA'BE中由勾股定理得：A'B=y/BE2+A'E2>

t.tBE=—x24=12cm,AE=8-2+3=9cm,AB=\5cm,即蚂蚁爬行最短距离为15c〃?.

2

【点睛】本题考查了平面展开一最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题

的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

13.（2023春•山东青岛•八年级统考开学考试）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可

以看作是一个长方体去掉一个"半圆柱"而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘

AB=CD=20m,点E在。。上，CE=2m,一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E