直角三角形、等腰三角形、等边三角形【考点讲义】（解析版）

专题14直角三角形、等腰三角形、等边三角形

尊知识导航

C知识整理

1.等腰三角形

(1)定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)性质:①等腰三角形的两腰相等；

②等腰三角形的两底角相等，即“等边对等角”；

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;

④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线.

(3)判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.

2.等边三角形

(1)定义:三边相等的三角形是等边三角形.

(2)性质：

①等边三角形的三边相等，三角相等，且都等于60。；

②“三线合一”；

③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.

(3)判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

3.直角三角形

（1）性质：

①直角三角形的两锐角互余；

②直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半；

③直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半.

（2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.

（3）勾股定理及其逆定理

①勾股定理:直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；

②勾股定理的逆定理:若一个二角形中有两边的平方和等于第二边的平方，则这个二角形是直角二角形.

Q考点讲解

考点1：等腰三角形的性质与判定

【例1】（2022•江苏宿迁・中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3。"和5c%,则这个等腰三角形的周长

是（）

A.8cmB.13cmC.8c“z或13c»?D.11cm13cm

【答案】D

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要

应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【详解】解：当3是腰时，：3+3>5,，3,3,5能组成三角形，

此时等腰三角形的周长为3+3+5=11（cm）,

当5是腰时，：3+5>5,5,5,3能够组成二角形，

此时等腰三角形的周长为5+5+3=13（cm）,

则三角形的周长为11c%或13cm.故选：D

【例2】（2022•浙江台州•中考真题）如图，点。在，至C的边3c上，点p在射线AD上（不与点A,。重

合），连接收，PC,下列命题中，假命题是（）

A

A.若AB=AC,ADA.BC,贝l]PJ5=PCB.若PB=PC,AD±BC,则AB=AC

C.若AB=AC,Z1=Z2,贝!]P3=PCD.若PB=PC,Z1=Z2,则A3=AC

【答案】D

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明尸D是否是3c的垂直平分线，判断即可.

【详解】因为A2=AC,且得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC,则A是真命题；

因为PB=PC,且AOLBC,得AP是8C的垂直平分线，所以AB=AC,则B是真命题；

因为A2=AC,且N1=N2,得AP是BC的垂直平分线，所以尸2=PC,则C是真命题；

因为PB=PC,ABCP是等腰三角形，Z1=Z2,不能判断"是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相

等，则D是假命题.故选：D.

【例3】（2021.江苏扬州市）如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB,在网格中再找一

个格点C,使得.A5c是等暧真为三角形，满足条件的格点C的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角AABC底边；②为等腰直角△ABC

其中的一条腰.

【详解】解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有。个；

②A3为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.

故共有3个点,

故选：B.

1.（2020•福建）如图，AD是等腰三角形A3C的顶角平分线，BD=5,则CD等于（）

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解.

【详解】••ND是等腰三角形A2C的顶角平分线，BD=5,

：.CD=5.

故选：B.

2.（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是.

【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可.

【详解】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4,

••.此时能组成三角形，

.•.周长=3+3+4=10；

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4,此时能组成三角形，

所以周长=3+4+4=11.

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11.

故答案为：10或11.

3.如图，点尸是射线ON上一动点，ZAON=30°,当△AO尸为等腰三角形时，/A的度数一定不可能是

()

o

A.120°B.75°C.60°D.30°

【分析】分三种情形讨论即可：当点O为等腰三角形顶点.b、当点A为等腰三角形顶点.C、当点尸

为顶点.

【解答】解：当点。为等腰三角形顶点时，ZA=75°,

当点A为等腰三角形顶点时，ZA=120°,

当点P为顶点时，ZA=30°,

综上，ZA的度数为30。或75。或120°,一定不可能等于60°,

故选：C.

4.（2022.云南・中考真题）已知△ABC是等腰三角形.若NA=40。，则△ABC的顶角度数是.

【答案】40。或100°

【分析】分/A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解.

【详解】解：当NA为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40。；

当NA为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180。-40。-40。=100。；

故答案为：40。或100。.

5.（2022•山东滨州•中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,立柱ACBC,且顶角

ZBAC=120°,则NC的大小为.

【答案】30。##30度

【分析】先由等边对等角得到4=NC,再根据三角形的内角和进行求解即可.

【详解】AB^AC,

:.NB=NC,

ABAC=120°,ZBAC+ZB+ZC=180°,

，zc=180°-120°=3QO；

2

故答案为：30°.

6.如图，直线尸。上有一点。点A为直线外一点，连接OA,在直线PQ上找一点B,使得AAOB是等腰

三角形，这样的点B最多有个.

【分析】分别以A、。为圆心A0长为半径画弧，作A。的垂直平分线，即可在直线尸。上找一点3,使得

△AOB是等腰三角形.

【详解】解：如图所示，分别以A、。为圆心，A0长为半径画弧，与直线P。的交点81，历，肉符合题意;

作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点国符合题意，若&，B3,&不重合，则最多有4个.

7.（2022•江苏苏州・中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三

角形若等腰△ABC是“倍长三角形"，底边3c的长为3,则腰的长为.

【答案】6

【分析】分类讨论：AB=AC=22C或5c=2A2=2AC,然后根据三角形三边关系即可得出结果.

【详解】解：:△ABC是等腰三角形，底边2C=3；.AB=AC

当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；

BC=2AB=2ACm,AB+AC=BC,根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；

所以当等腰AABC是“倍长三角形"，底边BC的长为3,则腰的长为6.

故答案为6.

考点2：等边三角形的性质与判定

【例4】如图，等边三角形纸片ABC的周长为6,E,尸是边BC上的三等分点.分别过点E,尸沿着平行于

BA,CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEE的周长是（）

A

C.3D.4

【答案】B

【分析】根据边三角形纸片ABC的周长为6可求BC=2,根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三

角形的判定与性质即可求解.

【详解】解：：等边三角形纸片ABC的周长为6,...3C=2

2

■:E,尸是边BC上的三等分点，尸=屋•..△ABC是等边三角形，...NB=/C=60。，

y.\"DE//AB,DF//AC,：.ZDEF=ZB=60°,ZDFE=ZC=60°,

2

...△OEF是等边三角形，.•.剪下的AOEF的周长是§x3=2.故选：B.

【例5】（2022・浙江嘉兴・中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上—

【答案】NA=60。（答案不唯一）

【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解.

【详解】解：添加NA=60。，理由如下:

为等腰三角形,

NB=NC==6。。,

2

ABC为等边三角形，

故答案为：ZA=60°（答案不唯一）.

—糖&产

（1）等边三角形与全等三角形的结合运用；

（2）等边三角形与含30。角的直角三角形的结合运用.

•蹑蹋浏!蚓

1.如图，ABC是等边三角形，3。是中线，延长BC至E,使CE=CD,则下列结论塔堡的是（）

A.ZCED=30°B.NBDE=120。C.DE=BDD.DE=AB

【答案】D

［分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有/ADB=/CDB=90。,且/ABD=ZCBD

=30°,ZACB=ZCDE+ZDEC=60°,又CD=CE,可得/CDE=/CED=30。，所以就有/CBD=/DEC,

即DE=BD,/BDE=NCDB+NCDE=120。.由此得出答案解决问题.

【详解】解：：AABC是等边三角形，，ZABC=ZACB=60°,

：BD是AC上的中线，.\ZADB=ZCDB=90°,ZABD=ZCBD=30°,

,?ZACB=ZCDE+ZDEC=60°,又CD=CE,AZCDE=ZCED=30°,

.\ZCBD=ZDEC,；.DE=BD,ZBDE=ZCDB+ZCDE=120°,故ABC均正确.故选：D.

2.如图，A,B,E三点在同一直线上，ABC,△CDE都是等边三角形，连接AD,BE,OC■.下列结

论中正确的是（）

①AACD咨ABCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分NAOE；④△BPO9AEDO.

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可.

【详解】AABC,△CDE都是等边三角形，：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZECD=6Q°,

：.ZACB+ZPCQ=ZECD+ZPCQ,ZPCD=60°,：.ZACD=ZBCE,

.,.△ACD^ABCE,①的说法是正确的；

AACO^ABCE,；.ZPDC=ZQEC,

ZPCD=ZQCE=60°,CD=CE,/.APCD^AgCE,

.•.PC=QC,.♦.△CP。是等边三角形；②的说法是正确的；

VAPCD^AQCE,：.PD=QE,SAPCD=SAQCE,

过点C作CGLPO,垂足为G,CHLQE,垂足为H,

：.^PD»CG=^QE»CE,:.CG=CH,OC平分NAOE,...③的说法是正确的；

无法证明△3P。丝△EDO.••.④的说法是错误的；故答案为①②③，故选8.

3.下列条件不能得到等边三角形的是（）

A.有两个内角是60的三角形B.有一个角是60的等腰三角形

C.腰和底相等的等腰三角形D.有两个角相等的等腰三角形

【答案】D

【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一个角为60。且两边相等、有两个内角为60。这三

个条件中的任意一个条件即为等边三角形，根据这个定义进行逐项分析即可得到答案.

【详解】A、有两个内角是60。，因为三角形内角和是180。，可知另一个角也是60。，故该三角形为等边三

角形，故本选项不合题意；

B、有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；

C、腰和底相等的等腰三角形，即三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；

D、等腰三角形中两个底角是相等的，故不能判定该三角形是等边三角形，故本选项符合题意；

故答案为D.

4.（2021.广东）如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°,点£是AC的中点，^AC=AD

（1）尺规作图：作NGW的平分线AR交CD于点、F,连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若/胡£>=45。，S.ZCAD=2ZBAC,证明：3EF为等边三角形.

【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据基本作图一角平分线作法，作出NGW的平分线AF即可解答；

（2）根据直角三角形斜边中线性质得到BE=』AC并求出N3EC=/a4C+NABE=30。，再根据等腰三角形

2

三线合一性质得出CF=）\从而得到EF为中位线，进而可证BE=£F,NBEF=60。,从而由有一个角

是60。的等腰三角形是等边三角形得出结论.

【详解】

解：（1）如图，AF平分NC4D,

(2)VZBAD=45°,S.ZCAD=2ZBAC,

：.ZCAD=30°,ZBAC^15°,

VAE=EC,NABC=90。，

BE=AE=-AC,

2

ZABE=ZBAC^15°,

ZBEC=ABAC+ZABE=30°,

又「AE平分NC4D,AC^AD,

：.CF=DF,

又；AE=EC,

：.EF=-AD^-AC,EF//AD,

22

二ZCEF=ZCAD=30°,

：.ZBEF=ZBEC+ZCEF=60°

又；BE=EF=-AC

2

.5£F为等边三角形.

5.（2021•江苏连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

（1）A6c是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1,小亮以班为边作等边三角形

BEF,如图1,求的长；

（2）A5c是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以3E为边作等边三角形5所，

如图2,在点E从点C到点A的运动过程中，求点尸所经过的路径长；

（3）一ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以所为边作等边三角形

如图3,在点M从点C到点。的运动过程中，求点N所经过的路径长；

图4

(4)正方形ABCD的边长为3,E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点8的运动过程中，小亮以B

为顶点作正方形BFGH,其中点RG都在直线AE上，如图4,当点E到达点3时，点、F、G、H与点B

重合.则点〃所经过的路径长为，点G所经过的路径长为

【答案】(1)1；(2)3；(3):6；(4)3%；坟"

244

【分析】

(1)由AABC、石尸是等边三角形，BA=BC,BE=BF,ZABE=ZCBF,可证△ABEgACaF

即可；

(2)连接。尸，AABC,AB所是等边三角形，可证AABEgACB尸，可得NBCF=NABC,又点E在

C处时，CF=AC,点E在A处时，点歹与C重合.可得点尸运动的路径的长=AC=3；

(3)取中点连接HN,由AABC、ABMN是等边三角形,可证ADfiMgAHBN,可得

NHLBC.又点M在C处时，HN=CZ>=之叵，点四在。处时，点N与H重合.可求点N所经过

2

的路径的长=CD=』G；

2

(4)连接CG,AC,OB,由/CG4=90。，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形

ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x,由勾股定理CCP+BO?=§。2即，可求％=之叵，点G所经过

2

的路径长为长=述"，点H所经过的路径长为将N的长=3万.

44

【详解】

解：(1)VAABC.ABEF是等边三角形，

ABA=BC,BE=BF,NABC=NEBF=60°.

/.ZABE+ZCBE=ZCBF+NCBE,

ZABE=ZCBF,

AABE^CBF,

CF=AE=1；

(2)连接Cb,

VAB所是等边三角形，

ABA=BC,BE=BF,ZABC=/EBF=3。.

ZABE+ZCBE=ZCBF+NCBE,

；•ZABE=ZCBF,

：.AABE^CBF,

.,.CF=AE,ABCF^ZBAE=6Q°,

,/ZABC=60°,

ZBCF=ZABC,

CF//AB,

又点E在C处时，C5=AC,点E在A处时，点尸与C重合.

/.点F运动的路径的长=AC=3；

(3)取中点”，连接HN,

：.BH=-BC,

2

BH=-AB,

2

•••CDLAB,

：.BD=-AB,

2

c

；・BH=BD,

VAABC>ABMV是等边三角形，

:,BM=BN,ZABC=ZMBN=60°,

：.ZDBM+ZMBH=ZHBN+ZMBH9

:・/DBM=ZHBN,

：.ADBM^AHBN,

：.HN=DM,/BHN=/BDM=90。,

・・・NHIBC,

又点〃■在C处时，HN=CD=3a，点M在。处时，点N与H重合,

2

.•.点N所经过的路径的长=CD=-73；

2

(4)连接CG/C,0B,

,?ZCGA=90°,

.••点G在以AC中点为圆心，AC为直径的3C上运动，

•••四边形ABCD为正方形，2c为边长，

ZC(9B=90°,设OC=x,

由勾股定理C(?2+BO?=5c2即无2+%2=32,

.372

••X=----，

2

点G所经过的路径长为BC长=3x2万

点，在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧加上运动,

点H所经过的路径长为珈的长度，

•••点G运动圆周的四分之一，

，点”也运动圆周的四分一，

133

点H所经过的路径长为珈的长=w义2»x5=a»，

故答案为一乃；士旦万.

44

考点3：直角三角形的性质

【例6】（2022.广西贺州）如图，在MAABC中，ZC=90°,ZB=56°,则NA的度数为（）

134°

【答案】A

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出/A的度数.

【详解】解：ABC中，ZC=90°,48=56。，

ZA=90°-ZB=90°-56°=34°；

故选：A.

【例7】（2022•湖南永州）如图，在RtzXABC中，ZABC^90°,ZC=60°,点。为边AC的中点，BD=2,

则BC的长为（）

A.^3B.2上C.2D.4

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理可得N4=30。，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=22D=4,再利用

含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解:ZABC=90°,ZC=60°,

ZA=3Q°,

:点。为边AC的中点，BD=2

：.AC=2BD=4,

：,BC=-AC=2,

2

故选：C.

软固颐II睡图

1.（2022・广西）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如

己知AABC中，ZA=30°,AC=3,乙4所对的边为百，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如

图的AABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）

C

AB

A.2丛B.273-3C.2石或有D.2后或20-3

【答案】C

【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当AASC是一个钝角三角形时，根据含30。的直角

三角形的性质及勾股定理求解即可.

【详解】如图，当AA3C是一个直角三角形时，即NC=90。，

ZA=30°,BC=V3,

AB=2BC=2百；

如图，当△AB/C是一个钝角三角形时,

过点C作CDLABI,

:.NCDA=90°=NCDB,

CB=CB、,

BD=Bp,

ZA=30°,AC=3f

13

:.CD=-AC=-,

22

BC=73,

22

B1D=ylBtC-CD=^-=BD,

BBt=V3,

ABj=AB—BB}=yf3，

综上，满足已知条件的三角形的第三边长为2道或。,

故选：c.

2.如图，在等腰及ABC中，NACB=90°,点P是5c内一点，且CP=1,BP=叵，AP=2,

以CP为直角边,点C为直角顶点,作等腰RtDCP,下列结论:①点A与点D的距离为也您AP工PC；

③AB=20；④SAM=2,其中正确结论有是（）

A.①②③B.②④C.①②D.②③④

【答案】C

【分析】连结AD,由等腰,可得AC=BC,等腰可得CD=CP,由余角性质可

/DCA=/PCB,可证△ADCgZXBPC（SAS）A£）=BP=后可判断①，由勾股定理DP=JcD?+CP?=J5，

再由AD?+DP2=（逝'）？+（应丫=4=AP2,可证△ADP为等腰直角三角形，可判断②，由PB与PD可求

BD=20,由勾股定理AB=JAD2+BD2=标，可判断③，由面积S.=亚=1可

判断④即可

【详解】连结AD,在等腰放一ABC中，NACB=90。，；.AC=BC,

；处_OCP是等腰三角形，；.CD=CP,ZACD+ACP=90°,ZACP+ZPCB=90°,/.ZDCA=ZPCB,

在AADC和ABPC中，AC=BC,ZDCA=ZPCB,DC=PC,

AADC^ABPC（SAS）,AD=BP=42<①点A与点D的距离为后正确，

在R3DCP中，由勾股定理DP=gy+CP?=0，在△ADP中，AD?+Dp2=（应『+（拒『=4=AP?,

二.△ADP为等腰直角三角形，/.ADXDP,②AP_LPC正确；

BD=BP+PD=2&,在RSADB中，由勾股定理，AB=7AD2+BD2=V2+8=A/10-③AB=2也不正确；

SAPB=；PB・AD=；g6=\,④S=2不正确.故选择：C.

A

3.（2021•河南商丘市•八年级期末）如图，在,A3c中，44底=90。,4。=8。,。£，5£,。£与48相

交于点R且CD=BE,则NACD、NCBA、NZMF之间的数量关系是.

A

CB

［答案］ZACD^ZCBA+ZDAF

【分析】先利用同角的余角相等得到NACD=NCBE,再通过证AAC*CBE,得到

NADC=NCEB=900即NADF=NCEB=90°,再利用三角形内角和得

180°-ZAFD-ZADF=180°-ZEFB-ZFEB可得/DAF=ZEBF,最后利用角的和差即可得到答案,

ZACD=/CBE=/CBA+/EFB=ZCBA+ZDAF.

【详解】证明：：NACE=90°,CELBE

：.ZACD+ZECB=90°,NCBE+NECB=90°；.ZACD=ZCBE

又；AC=5C,CD=BE/.=ACD^_CBE；.ZADC=ZCEB^900即ZADF=ZCEB^90°

ZAFD=ZEFB1800-ZAFD-ZADF=1800-ZEFB-ZFEB即ZDAF=ZEBF

；•ZACD=ZCBE=ZCBA+ZEFB=ZCBA+ZDAF故答案为：ZACD=ZCBA+ZDAF.

4.（2020.南通市通州区平潮初级中学初二期中）如图，ZAOE=ZBOE=15°,EF〃OB,EC±OB,若EC=1,

贝!］EF=.

【答案】2.

【解析】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质.

作EG±OA于F,

VEF/7OB,/.ZOEF=ZCOE=15°,VZAOE=15°,/.ZEFG=150+15°=30°.VEG=CE=1,；.EF=2xl=2.

5.（2022・贵州遵义）如图，在等腰直角三角形ABC中，/B4C=90。，点N分别为3C,AC上的动

点，且4V=OW,AB=及.当AM+8N的值最小时，CM的长为.

【答案】2-夜

【分析】过点A作AD〃3C,且AP=AC,证明△取）也可得A〃=DV,当三点共线时,

3N+AM取得最小值，证明=即可求解.

【详解】如图，过点A作AD〃3C,且M=AC,连接@V,如图1所示，

:.ZDAN=ZACM,

又AN=CM,

:.AND'CMA,

.\AM=DN,

:.BN+AM=BN+DN>BD,

当昆N,。三点共线时，BN+40取得最小值，

此时如图2所示，

在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,=0

BC=&AB=2，

v/\AND^：/\CMA,

,\ZADN=ZCAMf

AD=AC=AB,

:.ZADN=ZABNf

AD//BC,

:.ZADN=ZMBN,

:.ZABN=ZMBN,

设NM4C=a,

:.ZBAM=ZBAC-a=90°-a,

:./ABM=/ABN+NNBM=2a=45。,

a=22.5°,

ZAMB=180°-ZBAM-ZABM=180。—90。+a—45°=67.5°,ZBAM=90°-22.5°=67.5°,

:.AB=BM=①,

:.CM=BC-BM=2-6,

即BN+AM取得最小值为2-母,

故答案为：2-立.

<.............................D

/_--W

/

LM------------B

图1图2

考点4：勾股定理及其逆定理

【例8】（2022•湖北武汉•中考真题）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一

边的。处同时施工.取/ABC=150。，BC=1600m,/BCD=105°,则C,。两点的距离是m.

C

【答案】800拒

【分析】如图所示：过点C作于点E,先求出CE=800m,再根据勾股定理即可求出8的长.

【详解】如图所示：过点C作CE_L即于点£,贝i]NBEC=/QEC=90°,

ZABC=150°,.\ZCBD=30°,AZBCE=90°-30o=60°,

又i/BCD=105°,：.«DB=45。,：.ZECD=45°=ZD,：,CE=DE,

BC=1600m,CE=—BC=—xl600=800m,

22

.-.CD1=CE2+DE2=2CE2,即C£>=0CE=800夜m.故答案为：800vL

【例9】在中，NC=90。，AB=10,则2AB°+AC?+BC?=（）.

A.100B.200C.300D.400

【答案】C

【分析】根据题意/C=90。，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：AC2+BC2=AB2,那么原式则为

3AB2,再将AB的值代入即可求出答案.

【详解】解：：在RtaABC中，且/C=90。，

为RtA43C的斜边，

•*.根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

,2AB2+AC2+BC2=3AB-=3xlO2=300,

故选：C.

■■产田产

（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.

（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.

（3）用于证明平方关系的问题.

金蹑摘训蚓

1.（2022.贵州遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的

直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形Q4BC.若AB=BC=1,ZAO8=30。，则点8到OC的距

离为（）

【答案】B

【分析】根据题意求得03=2,进而求得OC=6,进而等面积法即可求解.

【详解】解：在Rt_ABO,RtB0C中,

ZAOB=30°,AB=BC=1,

;.OB=2,

:.OC=y/OB2+BC2=y/5，

设B到0C的距离为

:.-OCh^-BCBO,

22

百

n,1=x—2—=-2-

出5

故选B.

2.已知ASC中，AB=AC=10,BD是AC边上的高线，DC=2,那么2D等于（

【答案】C

【分析】由题意根据已知可求得A。的长，再根据勾股定理即可求得8。的长.

【详解】解："：AB=AC=W,DC=2,

：.AD=AC-DC=8,

BD=y/AB2-AD2=V102-82=6.

故选：C