浙教版八年级数学专项复习：全等三角形压轴题（七大压轴母题型归纳）（原卷版）

特训01全等三角形压轴题(七大压轴母题型归纳)

目录：

题型1:垂线模型；

题型2：一线三等角模型；

题型3：手拉手模型；

题型4：旋转模型；

题型5：倍长中线模型；

题型6：截长补短模型；

题型7：作平行线法、作垂线法。

题型1：垂线模型

1.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且于。，BELMN于E.

(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△AD8ACEB；

②DE=AD+BE；

⑵当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5,BE=2,求线段。E的长.

2.已知，A3C中，ZBAC=90°,AB=AC,直线加过点A,且9_Lm于D,CEJ_〃2于E,当直线机

绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=3D+CE.

(1)当直线，"绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；

(2)直线机在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？(直接写出，不必证

明)

3.如图1,ZDAB=90°,CD,于点。，点E是线段上的一点，若DE=AB,DC=AE.

图1图2

⑴判断CE与BE的关系是一

(2)如图2,若点E在线段D4的延长线上，过点。在的另一侧作。_LA。，并保持CD=AE,DE=AB,

连接CB,CE,BE,试说明(1)中结论是否成立，并说明理由.

题型2：一线三等角模型

4.在直线加上依次取互不重合的三个点RAE,在直线加上方有AB=AC,且满足

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

r

(1)如图1,当&=90。时，猜想线段DE,BACK之间的数量关系是;

(2)如图2,当0＜。＜180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由；

(3)应用：如图3,在ABC中，/B4c是钝角，AB=AC,NBAD＜NCAE,NBDA=NAEC=NBAC,直线加

与CB的延长线交于点/，若BC=3FB,ABC的面积是12,求，EBD与ZXACE的面积之和.

5.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线DE上，且/8D4=N&4C=NAEC=90。，

像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型.

⑴如图2,RtZVIBC中，/4方=90°,CB=。，直线ED经过点C,过A作AD_LED于点。，过B作班」ED

于点E.求证：BEC―CDA.

(2)如图3,在.ABC中，。是3C上一点，ACAD=90°,AC=AD,

ADBA=ADAB,AB=2也,求点C到AB边的距离.

(3)如图4,在YABCD中，E为边8C上的一点，尸为边AB上的一点.若

EF

ADEF=4B,AB=10,BE=6,求——的值.

DE

6.通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题:

图1

［模型呈现］如图1,NBAD=90°,AB=AD,过点8作BC，AC于点C,过点。作OE1AC于点E.求

证：BC=AE.

［模型应用］如图2,4£，钻且的=的，3CLCD且3C=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所

围成的图形的面积为.

［深入探究］如图3,ZBAD=ZCAE^90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BCLAF于点F,DE

与直线AF交于点G.若3c=21,AF=12,则aADG的面积为.

题型3：手拉手模型

7.如图，A,B,E三点在同一直线上，ABC,.CDE都是等边三角形，连接AD,BE,OC■.下列结

论中正确的是()

®^ACD^^BCE；

②XCPQ是等边三角形；

③OC平分/49E；

④XBPOWEDO.

C.①②④D.①②③④

8.如图，一ABC是一个锐角三角形，分别以A3、AC为边向外作等边三角形△AB。、AACE,连接班、

8交于点尸，连接AF.

B

(1)求证：ABE^AADC；

⑵求/EFC的度数；

(3)求证：■平分/DFE.

9.在.ABC中，?B90?,。为BC延长线上一点，点E为线段AC,CD的垂直平分线的交点，连接E4,

EC,ED.

E

(1)如图1,当ZBAC=40°Bt,则ZAED=°；

(2)当NS4c=60。时，

①如图2,连接AO,判断△AED的形状，并证明；

②如图3,直线C尸与ED交于点尸，满足NCFD=NC4£.P为直线CF上一动点.当PE-PD的值最大时,

用等式表示PE,PD与之间的数量关系为,并证明.

10.点。为一ABC外一点，ZACB=90°,AC=BC.

E

⑴如图1,ZDCE=90°,CD=CE,求证：/ADC=/BEC；

(2)如图2,若NCDB=45。，AEBD,CELCD,求证：AE=BD；

(3)如图3,若NA£>C=15。，CD坨,BD=n,请直接用含"的式子表示AO的长.

11.(1)如图①，已知；ABC,以AB、AC为边向AABC外分别作等边和等边“。石，连接CD,

8E.试探究CO与BE的数量关系，并说明理由.

问题探究：

(2)如图②，四边形A3CD中，ZABC=45°,ZC4D=90°,AC=AD,AS=2BC=80,求8。的长.

问题解决：

(3)如图③，ABC中，AC=2,BC=3,ZACB是一个变化的角，以A3为边向/ABC外作等边△ABD,

连接8,试探究，随着ZACB的变化，CO的长是否存在最大值？若存在，求出CO长的最大值及此时ZACB

的大小；若不存在，请说明理由.

图①图②

12.如图1,B、C、。三点在一条直线上，与BE交于点。，AABC和△ECD是等边三角形.

A

AE

(1)求证：4ACD咨ABCE；

(2)求/B。。的度数；

(3)如图2,若B、C、。三点不在一条直线上，的度数是否发生改变？(填“改变”或“不改变”)

题型4：旋转模型

13.如图1,在等腰中，ZA=90°,点。、E分别在边AB、AC±,AD=AE,连接，点/、P、

N分别为。石、DC、BC的中点.

图1图2

(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；

⑵探究证明：把VADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,判断PAW的形状，并说明

理由；

(3)拓展延伸：把VADE绕点A在平面内自由旋转，若位＞=4,AS=10,求PMN面积的最大值.

14.在RdABC中，ZACB=90°,CA=CB,点。是直线AB上的一点，连接C。，将线段。绕点C逆时

针旋转90。，得到线段CE,连接E8.

(1)操作发现

如图1,当点。在线段AB上时，请你直接写出A8与8E的位置关系为；线段8Q、AB、的数量关

系为;

(2)猜想论证

当点。在直线AB上运动时，如图2,是点。在射线上，如图3,是点O在射线54上，请你写出这两

种情况下，线段8。、AB、即的数量关系，并对图2的结论进行证明；

(3)拓展延伸

若A8=5,BD=7,请你直接写出△AOE的面积.

15.如图，等边,ABC中，DE/ABA分别交BC、AC于点。、E.

(1)求证：.CDE是等边三角形；

(2)将CDE绕点C顺时针旋转。(0°<6><360°),设直线AE与直线8。相交于点尸.

①如图，当0。<。<180。时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由;

②若AB=7,CD=3,当8,D,E三点共线时，求8。的长.

16.四边形ABCD是由等边A4BC和顶角为120。的等腰AABD排成，将一个60。角顶点放在。处，将60。角

绕。点旋转，该60。交两边分别交直线3C、AC于M、N,交直线于E、尸两点.

(1)当E、尸都在线段AB上时(如图1),请证明：BM+AN=MN；

D

El图2备用图

(2)当点E在边54的延长线上时(如图2),请你写出线段MB,AN和MV之间的数量关系，并证明你

的结论；

(3)在(1)的条件下，若AC=7,AE=2.1,请直接写出MB的长为一.

题型5：倍长中线模型

17.小明遇到这样一个问题，如图1,ABC中，AB=7,AC=5,点。为8C的中点，求AO的取值范围.小

明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便

构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2,延长AD到

E,使连接BE,构造43即三△C4。，经过推理和计算使问题得到解决.请回答：

⑴小明证明ABED=ACAD用到的判定定理是：_(用字母表示)；

(2)AD的取值范围是二

(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.参考小明思考

问题的方法，解决问题：如图3,在ABC中，AO为BC边上的中线，且AD平分NBAC,求证：AB=AC.

18.(1)阅读理解：如图1,在ABC中，若AB=3,AC=5.求边上的中线AD的取值范围，小聪同

学是这样思考的：延长AD至E,使DE=AD,连接8E.利用全等将边AC转化到BE,在.54E中利用三

角形三边关系即可求出中线AZ)的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是

,中线AD的取值范围是；

(2)问题解决：如图2,在ABC中，点。是8C的中点，DMLDN.DN交A2于点ON交AC于

点N.求证：BM+CN>MN；

(3)问题拓展：如图3,在一ABC中，点。是3C的中点，分别以AB,AC为直角边向JLBC外作Rt_

和Rt"CN,其中N54A/=NN4C=90。，AB=AM,AC=AN,连接MN,请你探索AD与MN的数量

与位置关系，并直接写出AT>与儿W的关系.

19.【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图1,ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长AD到点E,使=连接BE.请

根据小明的方法思考：

(1)如图2,由已知和作图能得到AADCdEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

(2)如图2,长的取值范围是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<1D.1<AD<7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求

证的结论转化到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图3,是的中线，BE交AC于点、E,交AD于F,且AE=EF.求证：AC^BF.

20.(1)如图1,在AA8C中，AB=4,AC=6,是8c边上的中线，延长AO到点E使。E=A。，连接

CE,把AB,AC,2A。集中在AACE中，利用三角形三边关系可得AO的取值范围是；

(2)如图2,在AABC中，是BC边上的中线，点E,F分别在AB,AC上，MDELDF,求证：BE+

CF>EF-,

(3)如图3,在四边形A8C7)中，NA为钝角，/C为锐角，ZB+ZA£)C=180°,D4=QC,点E,尸分别

在BC,AB上，且/=gNAZ)C,连接斯，试探索线段AB,EF,CE之间的数量关系，并加以证明.

21.如图，在锐角AABC中，ZA=60。，点。，E分别是边上一动点，连接BE交直线CD于点尺

(2)如图2,若钻=AC,且,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60。得到线段CM,连接板,

点N是M尸的中点，连接CN.在点。，E运动过程中，猜想线段BECGCN之间存在的数量关系，并证明

你的猜想.

题型6：截长补短模型

22.把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形ACBD以。为顶点作N/如N,交边AC、8c于

M、N.

⑴若ZACD=30。，ZMDN=60°,ZMDN两边分别交AC、8C于点M、N,AM,MN、BN三条线段之

间有何种数量关系？证明你的结论；

⑵当NACD+4®N=90。时，AM.MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

(3)如图③，在(2)的条件下，若将/、N改在C4、BC的延长线上，完成图3,其余条件不变，则AM、

MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明)

23.如图1,在等边三角形A3C中，AD4BC于0,CE_L于与CE相交于点。.

图1

(1)求证：04=200；

(2)如图2,若点G是线段AO上一点，CG平分NBCE,ZBGF=60°,GF交CE所在直线于点F.求证:

GB=GF.

(3)如图3,若点G是线段Q4上一点(不与点。重合)，连接BG,在BG下方作NBGF=60。，边GF交CE

所在直线于点E猜想：OGOEOA三条线段之间的数量关系，并证明.

24.课堂上，老师提出了这样一个问题:

A

图

图12

图3图4

如图1,在—ABC中，AO平分/54C交BC于点。，S.AB+BD=AC,求证：ZABC=2ZACB,小明的方

法是：如图2,在AC上截取AE,使AE=AB,连接£>E,构造全等三角形来证明.

(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段A3构造全等三角形进

行证明.辅助线的画法是：延长A5至居使防=,连接。尸请补全小天提出的辅助线的画法，并在

图1中画出相应的辅助线；

(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：

如图3,点。在一ABC的内部，AD,BD,CD分别平分ZBAC,ZABC,ZACB,S.AB+BD=AC.求证：

.请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程)；

(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：

如果在，中，NABC=2NACB,点。在边BC上，AB+BD=AC,那么平分/BAC小东判断这个

命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.

25.(1)如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分别是边8C、CD上的点，且/E4尸

=1ABAD,线段EF、BE、FD之间的关系是「(不需要证明)

(2)如图2,在四边形4BC。中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且NEAF

=^ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关系，并

证明.

(3)如图3,在四边形45CD中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E、尸分别是边8C、延长线上的点，且

ZEAF=^ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关

系，并证明.

图1图2图3

26.(1)阅读理解：问题：如图1,在四边形ABCD中，对角线3D平分/ABC,ZA+ZC=180°.求证：

DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在8c上截取3M=54,连接DM,得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长54到点N,使得3N=BC,连接。N,得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中住施丁种，添加辅助线并完成证明.

(2)问题解决：如图2,在(1)的条件下，连接AC,当ND4C=60。时，探究线段AB,BC,3D之间

的数量关系，并说明理由；

(3)问题拓展：如图3,在四边形ABCD中，ZA+ZC=180°,DA=DC,过点。作垂足为点

E,请直接写出线段A3、CE、BC之间的数量关系.

图1图2图3

题型7：作平行线法、作垂线法

27.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，点E是的中点，点A在。E上，且/BAE=NCDE.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明

的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB=CD,必

须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明.

①如图1,延长QE到点凡使EF=DE,连接BE；

②如图2,分别过点8、C作BFLQE,CG±DE,垂足分别为点凡G.

(2)请你在图3中添加不