苏科版七年级数学下册复习：探索平行线的性质（2大考点+7种题型+强化训练）（原卷版）

第02讲探索平行线的性质（2大考点+7种题型+强化训练）

学习目标

1.认识并掌握平行线的性质；

2.运用平行线的性质进行简单的推理及有条理的表达；

3.理解和掌握平行线的性质定理并灵活运用于求角的关系;

4.能够灵活运用平行线的判定定理和性质定理进行证明.

思维导图

知识清单

知识点1：平行线的性质

1、性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。

2、性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。

3、性质3：两条平行直线被第二条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。

知识点2：平行线的性质和判定的区别与联系

平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相

等，内错角相等或同旁内角互补，推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相

等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。

同位角相等

二者的因果关系如下：内错角相等＞学定两直线平行。

同旁内角互补（性质

题型精讲

题型一：两直线平行同位角相等

【例1】.（2023下•江苏镇江•七年级校考期末）请把下列证明过程补充完整.

己知：如图，3P平分/ABC,点。、E分别在54、BP上,且Z）石〃BC.

求证：Nl=N3.

证明：回3尸平分/ABC（已知），

0Z1=（）.

aDE〃BC（已知），

回/2=（）.

回（）.

【变式1].（2023下•江苏扬州•七年级校考阶段练习）如图，3。平分NABC,尸在A3上，G在AC上,

FC与相交于点"Z3+Z4=180°,试说明N1=N2.（请通过填空完善下列推理过程）

解：0Z3+Z4=18O°(已知)，NFHD=N4().

0Z3+=180°().

SFG//BD().

0Z1=().

平分/ABC(),

0ZABD=().

EIZ1=Z2().

【变式2】.（2023下•江苏扬州•七年级统考期末）如图，直线ab,且直线以b被直线c、d所截.

cd

1

a

⑴求证：Z1=Z2；

⑵若Nl+N3=180。，试判断直线c与直线d的位置关系，并说明理由.

【变式3].（2023•江苏•七年级假期作业）如图，NEDA=a,ZABC=>«）,解答下列问题.

（1）如图①，当。=60。，4=100。时，过点B在ED、3c的内部作8/DE则/阳C=度;

⑵如图②，点G在BC上，过点G作MNDE.

①当a=60。，夕=100。时，求NNGC的度数；

②用含有a和夕的式子表示ZMGB■.

③当a=70。，£=100。时，过点G作GHLBC,直接写出4GM的度数.

题型二：两直线平行内错角相等

【例2】.（2023下•江苏泰州•七年级校考周测）如图，已知A3CD,BC平分NABE,ZC=35°,求

NCE尸的度数.

【变式1】.（2023下•江苏盐城•七年级校考期末）如图：在..A5C中，AD平分外角NE4C,且

AD//BC.求证：ZB=ZC.

【变式2】.（2023下•江苏南京•七年级校考期中）完成下面的推理说明:

已知：如图，BE//CF,BE、CF分别平分，ABC和

求证：AB//CD.

证明：回BE、b分别平分/ABC和/BCD（已知）,

EIZ1=-ZABC,Z2=-ZBC£>(①).

22J---------

^BE//CF(已知)，

0Z1=Z2(②).

ffl-ZABC=-ZBCD(等量代换).

22

SZABC^ZBCD(③).

^AB//CD(④).

【变式3】.（2023下•江苏无锡•七年级校联考期中）如图，AB〃CD,点E在A3上，点G在CO上.

(1)如图1,在A3、8上分别取点M、N,连接MN,点歹在MN上，已知F"平分/MFE,FK平分

ZMFG,若NA砂=30。，NCGF=42°,求/EFG,N/iFK的度数.

(2)如图2,EK平分ZFEB,GH平分NCGF,反向延长G”交EK于K,设NEFG"请通过计算，用

含x的代数式表示NEKG.

⑶如图3,已知NFHG=90。，ZFGH=60°,FK平分NEFH,GK平分NCGH,请直接写出NAEF与

2FKG的数量关系_________________

题型三：两直线平行同旁内角互补

【例3】.(2023下•江苏盐城•七年级统考期中)如图，AD//BC,4=95。，ZC=70°.求N1和—A的

度数.

【变式(2023下•江苏苏州•七年级统考期末)如图，AD//EF,ZAEF+ZGDC=180°.NGDC与

NBA。相等吗？为什么？

EG

【变式2】.（2023下•江苏连云港•七年级校考阶段练习）为了美化夜景，在某段道路两旁安置了两座可旋

转激光灯.如图，灯A射线自A"开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯8射线自顺时针旋转至便

立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是废/秒，灯8转动的速度是6。/秒，且a、b满足

|a-3|+（a+Z>-4）2=0.假定主道路是平行的，即尸。〃MV,且N542V:NABP=1:3.

图2

图1图2（备用图）

⑴填空：a=,b=,ZBAN=°；

（2）若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A射线转动几秒，两灯

的光束互相平行？

⑶如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C,过C作CDLAC交PQ于点

D,则在转动过程中，/54C与/BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，

请求出其取值范围.

【变式3】.（2023下•江苏•七年级专题练习）如图1,已知两条直线AB,8被直线跖所截，分别交于点

E,点、F,E"平分4EF交C£>于点且NFEM=NFME.

⑴判断直线A3与直线8是否平行，并说明理由；

（2）如图2,点G是射线V。上一动点（不与点尸重合），EH平分NFEG交CD于点H,过点〃作

句于点N,设4EHN=a,NEGF=0.

①当点G在点尸的右侧时，若夕=50。，求a的度数；

②当点G在运动过程中，a和B之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.

题型四：根据平行线的性质探究角的关系

【例4】.（2023下,江苏•七年级专题练习）如图，已知AB〃OEZABGNCEZ）的平分线交于点孔探究

NBEE与/BCE之间的数量关系，并证明你的结论.

【变式1].（2023下•江苏南通•七年级统考期末）如图，在中，ZACB=ZBAC.过点A作

MN〃BC.

图1图2备用图

⑴判断AC是否平分/A4N,并说明理由；

（2）如图2,点。是射线CB上一动点（不与点3,C重合），AE平分，54。交射线8C于E,过点E作

EFJ.AC于F.

①当点。在点2左侧时，若NAEF=20。，求上4DB的度数；

②点。在运动过程中，/3和-ADB之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由.

【变式2】.（2023下•江苏南京•七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现

规律，探索问题的解.

⑴如图1,AB//CD,点、E为AB、之间的一点.求证：Zl+ZMEW+Z2=360°.

(2)如图2,AB//CD,点、E、F、G、H为AB、CD之间的四点.则/l+N2+N3+N4+N5+/6=

⑶如图3,AB//CD,贝UN1+/2+N3++Zn=

【变式3】.（2023下・江苏南京•七年级校考阶段练习）如图所示的格线彼此平行（4〃/2〃4〃/4〃/5〃/6）.小

明在格线中作NAC®,并探究角之间的数量关系.

P

A

°;（注：Nl、

N2是角的两边与格线所成的角）

（2）如图2,他又在两条格线之间取一点0,作出NAQB,请探究Nl、N2与—AQB之间的数量关系，并

证明；（注：Nl、N2是角的两边与格线所成的角）

（3）如图3,点A、B、C、。在格线上，点。在格线之间，AO平分/PAO,PB平分N0BC,若

ZPBC=35°,贝I|NAO3+NAP3=

题型五：根据平行线的性质求角的度数

【例5】.（2023下•江苏南通•七年级如东县实验中学校考期中）如图，点C,。在直线A2上，CE//DF,

EF//AB,NDFE的角平分线尸G交A2于点G,过点P作R0_LPG交CE的延长线于点若

ZCMF=55°,求NCD产的度数.

【变式1】.（2023下•江苏盐城•七年级校考阶段练习）如图，在，ABC中，点。，E分别在A3和AC上,

以＞平分/ACB,过点D作DE〃BC.已知/EDC=40。，求—4£E＞的度数是多少？

【变式2】.（2023下•江苏镇江•七年级校联考阶段练习）如图，AB//CD,直线分别交AB、8于点

E、F,EG平分/AEF,/1=40。，求N2的度数.

【变式3】.（2023下•江苏淮安•七年级统考期末）如图，直线尸。〃殉V,一副三角板

（ZABC=NCDE=90。,ZACB=30°,ZBAC=60°,/Z）CE=/Z）EC=45。）按如图①放置，其中点E在

直线PQ上，点8,C均在直线上，且CE平分ZACN.

⑴求NDEQ的度数；

（2）如图②，若将.ABC绕B点以每秒10。的速度按逆时针方向旋转（A,C的对应点分别为EG）.设旋

转时间为f秒（0WY36）；

①在旋转过程中，若边BG〃CD,求f的值；

②若在ABC绕B点旋转的同时，CDE绕E点以每秒5。的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别

为K、T）,请直接写出EK与5G平行时f的值.

题型六：平行线的性质在生活中的应用

【例6】.（2023下•七年级单元测试）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹

角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有回1=回2.

(1)如图2,已知镜子M。与镜子ON的夹角团MON=90。，请判断入射光线AB与反射光线CO的位置关系，

并说明理由；

(2)如图3,有一口井，已知入射光线AO与水平线。C的夹角为50。，当平面镜与水平线OC的夹角

为_。，能使反射光线02正好垂直照射到井底；

⑶如图4,直线E尸上有两点A、C,分别引两条射线A3、CD.120°,0DCF=40°,射线AB、CD

分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为f秒，在射线AB转动一周的时间

内，是否存在某时刻，使得CC与A8平行？若存在，求出所有满足条件的时间九

【变式1】.(2023下•江苏•七年级期中)如图1,某段道路ABCD,两旁安装了两个探照灯M和N.灯

M光束从MB开始旋转至180。便立即回转，灯N光束从NC开始旋转至180。便立即回转.灯M转动的速度

是每秒1度，灯N转动的速度是每秒2度，灯M转动的时间为f秒.

HMHR

⑴如图2,灯M光束先转动30秒后，灯N光束才开始转动.

①直接写出灯M光束和灯N光束，灯先回转；（填/或能

②在灯〃光束回转之前，当两灯的光束平行时，求f的值；

（2）如图3,两灯同时转动，且均不回转.连接MN,旦NBMN=2NMND,若两灯光束交于点E,在转动

过程中，请探究NEWE与ZMEF的数量关系是否发生变化？并说明理由.

【变式2】.（2023下•江苏泰州•七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯.图2、图3是其平面示意图，

支架AB、为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节.已知灯体顶角4DQE=52。，顶角平分线。尸始

终与OC垂直.

⑴如图2,当支架OC旋转至水平位置时，0。恰好与8c平行，求支架与水平方向的夹角N6的度

数；

（2）若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15。到如图3的位置，求此时0。与水平方向的夹角NOQM的度

数.

题型七：根据平行线判定与性质求角度

【例7】.（2023下,江苏•七年级专题练习）如图，在ABC中，CDLAB,垂足为。，点E在BC上,

EF±AB,垂足为F.

A

(1)。与石尸平行吗？请说明理由.

⑵已知4=N2,Z3=64°,求/AC3的度数.

【变式1].(2023下•江苏南通•七年级校联考阶段练习)如图，ABJ_BC于点、B,DC,3c于点C,DE

平分一ADC交BC于点E,点尸为线段8延长线上一点，ZBAF=ZEDF.

⑴求证：DE//AF-,

(2)若/尸=40。，求/ZMF的度数.

【变式2】.(2023下•江苏•七年级专题练习)当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的

角对应相等例如：在图①、图②中，都有N1=N2,Z3=Z4.设镜子A3与8c的夹角NABC=tz.

A

图③

⑴如图①，若。=90。，判断入射光线所与反射光线G”的位置关系，并说明理由.

（2）如图②，若90。<0<180。，入射光线跳'与反射光线G”的夹角=£.探索a与£的数量关系,

并说明理由.

（3）如图③，若。=120。，设镜子8与BC的夹角，/3。。=7（90。<7<180。）入射光线跖与镜面的夹

角4=祖（0。<%<90。），已知入射光线所从镜面开始反射，经过为正整数，且"V3）次反射,

当第n次反射光线与入射光线即平行时，请直接写出V的度数.（可用含有m的代数式表示）

强化训练

一、单选题

1.（2023上•江苏•七年级专题练习）下列结论正确的是（）

A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.平行于同一条直线的两直线平行

C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

D.不相交的两条直线必平行

2.（2023下•江苏泰州•七年级统考期末）如图，N1与N2互为补角，Z3=117°,则N4的度数是（

C.100°D.80°

3.（2023下•江苏扬州•七年级统考期末）如图，ab,将一副三角板按如图方式摆放，则N1的度数是

)

A.55°B.65°C.75°D.85°

4.（2023下•江苏南通•七年级统考期末）如图，直线ABCD,点、E,尸分别是直线A氏CD上的两点，点

尸在直线A3和CO之间，连接和/PED的平分线交于点Q,下列等式正确的是（）

4EB

CFD

A.NP+2/Q=360°B.2NP+NQ=360°C.NQ=2NPD.NP+/Q=180°

5.（2023下•江苏扬州•七年级统考期末）如图，AD是的高，若DE〃AB交AC于点E,则N1与

N2的数量关系是（）

A

A.Z1=Z2B.Zl+Z2<90°C,Zl+Z2=90°D.Zl+Z2>90°

6.（2023下•江苏扬州•七年级校联考期中）如图，给出条件：①/1=/2;②—3=/4；③4）〃成且

ZD=ZB；④AD〃BE且/BAD=NBCD,其中能推出A3〃CD的条件是（）

7.（2023上•江苏淮安•七年级淮安市徐杨中学校考阶段练习）如图，下列推理及所说理由正确的是（）

A.因为所以N1=NC.理由：同位角相等，两直线平行

B.因为/2=/3,所以DE〃BC.理由：同位角相等，两直线平行

C.因为。石〃3C,所以N2=/3.理由：两直线平行，内错角相等

D.因为/1=NC,所以DE〃台C.理由：两直线平行，同位角相等

8.（2023下•江苏无锡•七年级校考阶段练习）如图，给出下列条件：①4=/2；②N3=N4；③

AD成且〃=々；@ADBE且/BAD=/BCD,其中能推出ABDC的条件正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.（2023下•江苏淮安•七年级统考期末）如图，直线。'b,把三角板的直角顶点放在直线b上，若

Z2=33°,则N1的度数为（）

10.（2023下•江苏宿迁•七年级统考期末）如图，直线AB〃防〃CD,3C平分DE平分乙FDC,

ZC=50°,ZBDF=30°,则/FED=（）

cD

A.20°B.25°C.30°D.35°

二、填空题

22

11.（2023下•江苏苏州•七年级统考期末）如图，已知ZEAF=-ZBAF,ZECF=-ZDCF,记

ZAEC=mZAFC,则m的值为.

12.（2023下・江苏泰州•七年级校考阶段练习）如图，有一块含有30。角的直角三角板的两个顶点放在直尺

的对边上，如果22=44。那么N1的度数=

13.（2023下•江苏无锡•七年级校考阶段练习）如图。是长方形纸带，NDEF=23°,将纸带沿跖折叠成

图b,再沿3尸折叠成图c,则图c中的/CPE的度数是度.

EDE

14.（2023下•江苏扬州•七年级校考阶段练习）已知，如图BC//DE,贝

15.（2023下•江苏扬州•七年级校考阶段练习）如图，AB//CD,AEVCE,ZC=44°,则N1的度数等

16.（2023下•江苏南京•七年级校考期中）如图，在四边形A3CD中，过点A的直线/〃CD,若

Z2-Z1=35°,贝i]/B+NC-"=°.

17.（2023下•江苏连云港•七年级统考期中）一条古称在称物时的状态如图所示，已知4=80。，则N2=

18.（2023下•江苏连云港•七年级统考期末）如图，a//b,将直角三角尺的两个锐角顶点分别落在。、b

上.若4=65。，则N2等于°.

三、解答题

19.（2023下•江苏扬州•七年级统考期末）已知：如图，8。平分/ABC,点尸在AB上,点G在AC上,

连接尸G、FC,PC与相交于点H,ZGFH+ZBHC=18Q°.

⑴证明：Z1=Z2；

(2)若4=55。，ZABC=80°,求NFGC.

20.（2023下•江苏扬州•七年级统考期末）如图，在，ABC中，CE〃AB,F、G是A3、上的两点,

Zl+Z2=180°.

⑴求证：FGAC.

（2）若4=110。，CE平分/ACD,求的度数.

21.（2023下•江苏苏州•七年级校考阶段练习）如图，■分别与应＞、CE相交于点G、点、H,

Zl+Z2=180°,ZC=ZD,试说明ZA=NF.

22.（2023下・江苏泰州•七年级校考阶段练习）如图，川分别与3£＞、CE相交于点G、点、H,

/1=52。,/2=128。，ZC=ZD,则AC与。尸平行吗？请说明理由.

23.（2023下,江苏盐城,七年级校考阶段练习）如图，ZABC+ZECB=180°,NP=NQ.

求证：Zl=Z2.

根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程.

证明：0ZABC+ZECB=180°

SAE//ED_.

SZABC^ZBCD_.

又回NP=NQ（已知），

EIZPBC=_.

X0Zl=ZABC-_,N2=NBCD__,

0/1=/2（等量代换）.

24.（2023下•江苏•七年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB/