四边形（解析版）-2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题07四边形

1.（2024•江苏南通•二模）如图，RtABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,P为边AC上

的一动点，以丛，依为边作平行四边形APB。，则线段尸。长的最小值为（）

【答案】D

【分析】根据勾股定理求出AC=5,记AB与PQ的交点为。，由平行四边形的性质可得

PQ=2PO,AO=BO=^AB=3,当尸。最小时，尸。最小；过。作OPUAC,证得

一AOPs&ACB,从而利用相似三角形的性质求出OP的长，即可得到PQ的最小值.

【详解】解：N45C=90。，AB=6,BC=8,,

在RtAABC中，AC=yjAB2+BC2=A/32+42=5，

记AB与PQ的交点为。，

四边形AM。是平行四边形，

PQ=2PO,AO=BO=^AB=3,

・•・当P。最小时，尸。最小，

过。作OP_LAC,

：.ZAP'O=90o=ZABC,

ZP'AO=ZBAC,

AOPs_ACB,

AOOP'nn3OP'

ACCB54

0T

.尸2的最小值为2。尸，=行.

故选：D

【点睛】本题考查了勾股定理的运用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以

及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线，构造相似三角形.

2.（2024•江苏南通•二模）四边形具有不稳定性.对于四条边长确定的四边形，当内角

度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角大小，且其各

边长度不变，得到四边形连接AC,若钻=5,sin则线段AC的长

为（）

A.4A/3B.8C.4A/5D.10

【答案】C

【分析】过点。，作DE，4?于点E,过点C'作CNLA5,交A3延长线于过点。作

,先解RtAG。，求得。G=3,AG=4,再证明ADG丝.DAE(AAS),得AE=OG=3,

D'E=AG=4,再证明四边形是平行四边形，得EF=C'D=5,C'F=D'E=4,贝lj

AF=AE+EF=3+5=8,然后用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，过点。必乍于点E,过点C作交AB延长线于R,

过点。作,

正方形ABCD,

AD=AB=BC=CD=5,ZZMB=90°,

••.改变正方形ABC。的内角大小，且其各边长度不变,

Aiy=AB=BC'=C'iy=5,

四边形是菱形,

AB//CD'

■：sinZDAD^—=-,

AD5

DG=3,

由勾股定理，得AG=JAD、AG2=4,

PG±AD,,D'E±AB,

：.ZAGD=ZAED'=90°,

■：ZDAG'+ZADG=ZDAD1+ZUAE=90°,

ZADG=ZD'AE,

AD=AD'-

一ADG会D'AE（AAS）,

.,.AE=DG=3,D'E=AG=4,

,/D'ELAB,CFLAB,

/.OEZ/CF9

•四边形ERC'。是平行四边形，

EF=C'D'=5,C'F=iyE=4,

：.AF=AE+EF=3+5=8,

•：CFLAB,

：.ZAFC'=90°,

由勾股定理，得AC'=口卢+C'F2=,8?+4、=4后.

故选：C.

【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判

定与性质，勾股定理，本题属四边形综合题，熟练掌握正方形的性质和平行四边形的判

定与性质是解题的关键.

3.（2024•江苏盐城•二模）在菱形ABCD中，AB=1,ZZMB=60°,则3D的长为（）

A.1B.也C.1D.V3

22

【答案】C

【分析】此题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，关键是熟练掌握菱形

的性质.连接与AC交于0.先证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求

出8。的长度即可.

【详解】解：连接曲与AC交于。

四边形ABCD是菱形，

AB=AD,

1.•ZZMB=60°,且AB=M）=1,

.△相£）是等边三角形，

••.BD=AB=1,

故选：C.

4.（2024•江苏泰州•二模）如图，矩形A3CD中，AB=9,BC=12,点R在CD上，且CF=6,

E是BC边上的一动点，M、N分别是AE、E尸上的点，AM=^AE,FN=；EF,则在点

E从3向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质

知识，分情况进行讨论，当E与B或当E与C重合时找到的位置，结合图象即可判

断跖V扫过区域的形状并求出面积，解题的关键是作出正确的图形.

【详解】解：如图所示：连接AF,当点E与5点重合时，AM=|AB,FN=gBF,

FN^-BF,ZABF=ZMBN,

3

:.ABFs2MBN,

2

:.MN//AF//M'N',MN=-AF=M'N',

，四边形为平行四边形，

扫过的区域为平行四边形,

同上理可得，AAMM's4ABC,4FNN'sAFBC,

122

W和AW'的星巨离为jAB-gCR=6-4=2,

，线段MN所扫过的图形面积是4x2=8,

故选：A.

5.（2024•江苏泰州•二模）如图，YABCD中，ZBAD=11O°,E,R分别为AB,8的中

点，将YABCD沿直线所折叠，点C落在边AD上点G处，则/GFD的度数为（）

A.70°B.55°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定以及性质，折叠的性质，根

据平行四边形的性质可得出钻CD,AB=CD,得出/RW+/G。/=180。，求出NGDP,

由题意可得出跖ADBC,再利用平行线的性质得出ZEFC=NGDb=70。，由折叠的性

质可得，最后利用平角的定义即可求出NGFD.

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形,

.ABCD,AB=CD,

.ZBAD+ZGDF=180°

■：ZBAD=110°

：.NGDF=10。，

E,R分别为A3,CD的中点,

EFADCB,

：.ZEFC=ZGDF=10°,

由折叠的性质可得出NEFC=ZGFE=70°,

GFD=1800-ZEFC-ZGFE=40°,

故选：D.

6.（2024•江苏连云港•二模）如图，已知矩形纸片ABCD,其中AB=6,BC=8,现将纸

片进行如下操作：

第一步，如图①将纸片对折，使AB与。C重合，折痕为所，展开后如图②；

第二步，再将图②中的纸片沿对角线3。折叠，展开后如图③；

第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线3。上的点H处，

如图④.

则七发的长为（）

【答案】A

【分析】过点〃作MG,9于点G,根据勾股定理求得即=10,由折叠可知

BE=CE=EH=^BC=4,NC=NEHM=90。,CM=,进而得出3E=E",ZEBH=ZEHB,

利用等角的余角相等可得=则。欣=切欣，于是可得

DM=HM=CM=；CD=3,由等腰三角形的性质可得DH=2DG,易证明.MGDs；灰刀，

利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】如图，过点〃作于点G,

，•,四边形ABC。为矩形，AB=6,BC=8,

：.AB=CD=6,ZC=90°,

在Rt8CQ中，BD=y/BC2^-CD2=782+62=10,

木艮据折叠的t生质可得，BE=CE=^BC=4,NC=/EHM=90。,CE=EH=4,CM=HM,

/.BE=EH=4,

△BEH为等腰三角形，ZEBH=NEHB,

,/NEBH+/HDM=90。,/EHB+ZDHM=9伊,

：.ZHDM=ZDHM,

.・.AOHM为等腰三角形，DM=HM9

：.DM=HM=CM=-CD=3,

2

,/MGLBD,

：.DH=2DG,ZMGD=ZBCD=90°,

,/ZMDG=ZBDC,

：.BCD,

DGDMpDG3

••kF即1n

DG=~,

5

1Q

DH=2DG=—.

故选：A.

【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、

相似三角形的判定与性质，根据矩形和折叠的性质推理论证出。0=胸，以此得出点

“为8的中点是解题关键.

7.(2024•江苏无锡•二模)如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线44，，乙上,

3

这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为“、b、c.若：a+6=l,当。变化时，正方形

ABCD面积的最小值为()

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的

最值，过8作E/F4于点E交乙于点尸，过。作OHM于点//交。于点G,根据正方形的

性质可证明DAH缘ABE(AAS),DAH^CDG(AAS),得。=。，CG=HD=a+b,再由勾

股定理得c»=1+i-1。：+/即可求解；熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】如图，过3作所口于点E交。于点尸，过。作。以从于点H交乙于点G,

•/lx//12//13//1^,

/.EFjGH1%,

：.ZAEB=ZDHA=ZCGD=90°,

/.ZABE+ZBAE=9O°,

・「四边形ABC。是正方形，

/.ZBAD=90°,AB=AD,

./HAD+NBAE=90。,

ZHAD=ZABE,

：.DAH^ABE(AAS),

同理：ZMH与。G(AAS),

/.工DAHAABEACDG,

...a=c,CG=HD=〃+/?,

/.CD2=(6Z+Z?)2+C2,

•.37I

.—Q+Z?=1,

2

CZ)2++〃2,

521

——d—Q+1,

4

744

当CD?有最小值不即当。变化时，正方形钻8面积的最小值为不

故选：A.

8.（2024•江苏宿迁•二模）如图，矩形ABC。中，AB=3巫,3C=12,E为A。中点，F

为上一点，将△用'沿跖折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕E尸的长

是.

【答案】2^/15

【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识；连接CE,由折叠的

性质易得△口?£1经△CGE,则CG=C£>=3#；设AF=FG=x,则M=3#-x,

CF=CG+FG=3&x,由勾股定理建立方程即可求得X,再由勾股定理即可求解.

【详解】解：连接CE,如图，

在矩形ASCD中，ZA=ZD=ZB=9O°,AD=BC=12,CD=AB=3屈；

E为AD中点，

...AE=DE=6；

由折叠的性质得：AE=GE,AF=GF,ZFGE=ZA=90°,

:.DE=GE,NEGC=ZD=90°；

CE=CE,

RtAC£>£^RtACGE,

：.CG=CD=3巫;

设AF=FG=x,则=AB-AB=3"—尤，CF=CG+FG=3^+x,

在RtAEBC中，由勾股定理得：BF2+BC1=CF2,

即(3面-X『+122=(3>/6+X)2,

解得：x=2娓;

在RtAE4F中，由勾股定理得EF='松+亦=,36+24=2后;

故答案为：2幅.

9.（2024•江苏无锡•二模）如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=m,点E在3D上（端点

除外），AE=AB,作CFL3D,垂足为R.当m=4时，所的长是_；当3E+D厂>班>时,

m的取值范围是

7

【答案】—/0.40<m<342

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理.当加=4时，利用勾股定理结合等积法求

得AG=CT=q,BG=|,利用等腰三角形的性质求得BE=2BG=g,据此求解即可;

27

当4?=3,AD=那时，同理求得8石+。尸=的。，根据题意列式计算即可求解.

【详解】解：作AGLBD于点G,

：.AB=3,AD=4,即=6+不=5,

1.•CFYBD,

・•・S^ABD=SACBD=/S矩形MCD=~BDxAG=-BDxCF,

2

19

解得AG=CT=M

BG=^AB--AG1=^=DF,

'：AE=AB,

1Q

/.BE=2BG=——

5

/.EF=BE+DF-BD=-

5

A8=3,AD=m,

,•BD=』¥+M=血+1,

3m

同理求得AG=CF=7^U，BG=染DF,

27

BE+DF=.

79+m2

当防+ER=BD时，贝!］囱¥~^=，9+/，

解得机=3应（负值已舍）,

,/BE+DF>BD,

•••0<m<3A/29

故答案为：g；0＜帆＜3夜.

10.（2024•江苏南京•二模）如图，在YABCD中，AB=6,8c=8,ZABC=120。，点E是AD

上一动点，将..A席沿BE折叠得到当点A恰好落在EC上时，DE的长为_.

【答案】V37-3/-3+V37

【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的

性质是解题的关键.过点C作交AD的延长线于点H,根据平行四边形的性质

以及已知条件得出ZAT）C=Z/WC=120。，/HDC=60。，进而求得DH,HC,根据折叠的

性质得出3C=CE,进而Rt.CE”在中，根据勾股定理求出E3即可求解.

【详解】解：如图所示，过点C作S_LAD交相）的延长线于点H,

AEpH

\/\\：・在YABCD中，AB=6,BC=8,ZAfiC=120°,

Bc

•.ZADC=ZABC=120°,ZHDC=60°,CD=AB=6,AD-=BC=8,

/.DH=CDg:osZHDC=1x6=3,

在Rt_CDH■中，CHZcb1-DH。-寸=3下)，

ABE沿BE折叠得到ABE,当点A恰好落在EC上，

・•.ZAEB=ZCEB,

又AD〃BC,

二.ZEBC=ZAEB,

:.NEBC=NCEB,

/.BC=CE=8,

在RtCE“中，EH=^CE2-CH2=,-(36j=屈,

DE=EH—DH=E—3,

故答案为：V37-3.

11.（2024•江苏泰州•二模）如图，E、F、G、H分别是YABCD各边的中点，YABCD的

【分析】本题考查中点四边形，相似三角形的判定和性质，根据三角形的中位线定理,

结合相似三角形的判定和性质，推出SAEH=SBEF=SCFG=DHG~ZABCD，进而得到四边

O

形EFGH的面积为gsABCD即可.

=

【详解】解：连接AC,8Z),则：SABD=SABC=SADC=SBCD

E.F、G、H分别是YABCD各边的中点，

：.EH//BD//FG,EH=FG^-BD,EF//AC//HG,EF^HG=-AC,

：./\AEH^/\ABD,

•c_J_Q——K

,•0AEH-4-ABD-8©MCD，

同理：S.BEF=S.CFG=DHG=gSABCD，

•四边形EFGH的面积=SABCD-§AEH-SBEF~.CFG~,DHG=万ABCD=6；

故答案为：6.

12.（2024•江苏连云港•二模）如图，正方形的边ABC。长为4,E是的中点，P是DE

上的动点，过点P作尸GLDE,分别交AD,8c于点RG.当OG+£F取最小值时，则

EF的长是.

H

【答案】皆L

【分析】根据正方形的性质求得DA与AE,再由勾股定理求得小；过G作GM,仞于

G,,证明DAEMGMF得DE=GF,再将尸G沿FE方向平移至E",连接G"，当。、G、

“三点共线时，EF+ZX7=GH+DG=7汨的值最小，此时△£>£//为等腰直角三角形，得

NH=NGFE=45。,进而得△尸正是等腰直角三角形，再证」MEs-OPp得出

PF=PE，DE=还,进而即可得解.

33

【详解】过G作GM_LAD于"，贝！==ZDAE=ZGMF=90°,

正方形ABC。的边长为4,

/.AB=DA=4,ZDAB=9Q°,

,「£是A5的中点，

/.AE=—AB=2,

2

;DE=^AD2+AE2=742+22=2A/5，

,/FG1DE,

：.ZADE+/DFP=ZDFP+/FGM=90。,

：.ZADE=ZFGM,

/.DA®,GMF(ASA),

/.DE=GF,

将FG沿庄方向平移至石"，连接GH,则/G=E",/DEH=90。,FE=GH,

D

当。、G、H三点共线时，"+Z）G=G"+DG=。"的值最小,

此时MDEH为等腰直角三角形，

/.NH=NGFE=45。，

庄是等腰直角三角形,

/.FP=PE,

,：ZFDP=ZEDA,ZDPF=ZDAE,

・...DAEs&DPF,

.DP_FP

一~DA~~\E"

.DPFP

•■一,

42

/.DP=2FP=2PE9

...pp=PE=-DE==^~,

33

22

•1.FE=GH=y/FP+PE

3

故答案为：巫.

3

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定

和性质，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定

EF+DG取最小值的位置.

13.（2024・江苏宿迁•二模）如图，在矩形A3CD中，AB=8,BC=1,M、N分别是边

A3上的点，将四边形沿。W翻折至四边形E7MV,点E落在BC边上，且BE=4,

则八施的长为

【答案】I

【分析】本题主要考查矩形与折叠的问题、勾股定理、解直角三角形，设EP与。交于

点G,由折叠可知£>"=刊1公4£>=收=7,AN=EN,ZA=ZNEF=90°,ZD=ZF=90°,再

根据同角的余角相等以及等角的余角相等可得NCEG=ZFMG=ZBNE,再设AN=EN=x,

则BN=8-x,在RtBEN中,根据勾股定理列出方程，求出NE=5,则

43

sinZCEG=sinZFMG=sinZBNE=-,cosZCEG=cosZFMG=cos/BNE=-,

55

CE

在RtZ\C£G中，GE=------------=5,因止匕/G=£F—GE=7—5=2,在Rt.A/FG中，

cosZCEG

FG

MG=.PM=MG-cosNPMG,以此计算即可求解・

smZFMG

【详解】解：如图，设石尸与交于点G.

・「四边形ABC。为矩形，AB=8,BC=7,

AD=BC=y9AB=CD=8,ZA=ZB=ZC=ZD=90°,

将四边形4加W沿的V翻折至四边形ETMV,

/.DM=FM,AD=EF=J,AN=ENZA=NNEF=90。ND=NF=90。

ZBNE+ZBEN=ZBEN+ZCEG,ZCEG+ZCGE=90°,NFMG+NFGM=90。

：.ZBNE=ZCEG,

'：ZCGE=ZFGM,

...ZCEG=ZFMG=ZBNE,

,/BE=4,

CE=BC—BE=7-4=3,

AN=EN=x,则_BN=AB_4V=8_x,

在RtABEN中，BN?+BE2=EN2，

/.（8-X）2+42=X2,

解得：x=5,

/.NE=5,

在硒中，sinZBNE=-=-,cosZBNE=-=-,

EN5NE5

43

sinZCEG=sinZFMG=sinZBNE=一,cosZCEG=cosZFMG=cosZBNE=-,

55

在RtZ\C£G中，

CE3V

GE=-----------=—=5

cosZCEG3,

5

.\FG=EF-GE=l-5=2,

在RtMEG中，

“FG25

sinZFMG42，

5

533

FM=MGcos/FMG=

252

3

故答案为：y.

14.（2024•江苏连云港•二模）如图，矩形A£B。的对角线AB、OE交于点、F,延长4。到

点C,使OC=CM,延长3。到点。，使。£>=08,连接AD、DC、BC.

⑴求证：四边形ABC。是菱形.

⑵若OE=20,ZBCD=60。,则菱形A8CD的面积为

【答案】⑴见解析

（2）2006

【分析】(1)先证明四边形钻。是平行四边形，再证明四边形ABC。是菱形即可；

(2)根据矩形性质得出得出AB=OE=20,根据菱形性质得出得出45=8。=。。=">=20,

AC1BD,证明△BCD为等边三角形，得出血=BC=20,根据勾股定理得出

COABC—BO?=，求出AC=2CO=20&,根据菱形的面积求出结果即可.

【详解】（1）证明：：OC=OA,DO=BO,

四边形ABC。是平行四边形，

四边形岫。是矩形，

.,.ZAOB=90°,

：.BD±AC9

••・四边形ABC。是菱形；

（2）解：四边形极。是矩形，

AB=OE=20,

四边形ABC。是菱形，

/.AB=BC=CD=AD=20,AC1BD,

,/ZBC»=60°,

ABCD为等边三角形，

/.BD=BC=2G,

,/AC1BD,

：.BO=-BD=1Q,

2

•e•CO=JBC2-BO2=104，

AC=2CO=20y5,

S菱3=；ACxBO=200反

【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判

定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质.

15.（2024•江苏苏州•二模）如图，将矩形ABCD沿着所折叠，使得点A落在8边上的

点M处（点"不与C、。重合），点3对应点为点N,AB=2,AD=4.

⑴当=1时，求E尸的长；

⑵设求四边形至FE的面积S与/的函数表达式.（不要求写出自变量/的取值范

围）

【答案】⑴跖=乎；

1291

（2）S=-t--t+4.

【分析】（1）设DE=x,BF=y,根据矩形性质、勾股定理、轴对称性质，得。E=¥；

O

17

根据相似三角形性质，通过证明△DEMSACMG,得GM=话;再通过证明

ADEMsANFG,得NG=萼；求得＞=抹，即*=?,作EHJLBC于H,根据勾股定理

计算即可得到答案；

（2）设。E=x,BF=y,根据矩形性质、勾股定理、轴对称性质，得天=字；根据

O

相似三角形性质，通过证明得GM=（产+16）（2-）；再通过证明

16-/

ADEMsANFG,得NG=£］；求得y,一甘巴根据梯形面积公式计算，即可得到

Io—8

答案.

【详解】（1）解：：AB=2,DM=1,

CM=2-1^1,

^DE=x,BF=y,

根据题意，得AE=EM,BF=FN=y,

'：AD=4,

：.AE=EM=4-x9

•・•矩形纸片ABC。，

/.ZC=ZD=ZEMN=90°,

222

DEDM=EM,即12+/=（4一同2,

x=—,BPDE=—,

88

17

EM=AE=4-x=—,

8

,/NDME+NCMG=90。，/DME+/DEM=90。，

Z.CMG=ZDEM,

/.ADEM^ACMG,

GM_1

GMCM即互飞,

~EM~~DE

GM*

,/ZNGF=ZCGM,

ZNGF+ZBMG=9Q0,

/.ZNGF=ZDME,

/.ADEM^ANFG,

NG_FN

~DM~~DE即1一”，

T

.NG喂

,/GM+NG=MN=AB=2,

聂*2

13

13即BF飞，

…y=¥=

作EH，BC于H,

矩形纸片ABC。,

/.ZA=ZB=90°,

••・四边形ABHE是矩形,

...BH=AE=—17

89

FH=BH-BF=~,

2

.1.EF=^FH2+EH2=—;

2

(2)解：：AB=2,DM=t,

.CM=2—t,

设=BF=y,

根据题意，得AE=EM,BF=FN=y,

'.1AD=4,

AE=EM=4—xf

矩形纸片ABCD,

NC=ND=NEMN=90°,

•DE-+DM2=EM2,即/+产=(4一力二

••X-

NDME+/CMG=900,/DME+NDEM=90。，

/CMG=ZDEM,

...ADEM^ACMG,

GM2-t

GMCM

BP?+16-Ie-?,

~EM~~DE

88

(产+16)(2-.)

GM=

16—产

ZNGF=ZCGM,

ZNGF+ZBMG=90°9

/.ZNGF=ZDME,

/.ADEM^/\NFG,

NGy

NGFN即丁一4F,

~DM~~DE

8

8yt

NG=

16—产

1.1GM+NG=MN=AB=2,

...(d+16)(2-f),8"

―16-216-产-，

,t2-4r+16

.7=---,

2

.o1/、t—4z+16r+16121A

••S——(BF+AE)xAB----------1------——t—/+4,

2'78842

故答案为：S=：/_；f+4.

【点睛】本题考查了矩形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、轴对称、梯形的知识;

解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、相似三角形、轴对称的性质，从而完成求解.

16.（2024•江苏盐城二模）如图，已知.ABCD（AD>AB）,连接AC.

⑴请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）

作AC的垂直平分线MN,分别交AD,3cAe于点般，N,O,连接CM和AV；

⑵在（1）的条件下，若四边形AMCN的周长为16,求的长.

【答案】⑴详见解析

（2）4

【分析】此题考查了菱形的性质和判定，线段垂直平分线的作图和性质，全等三角形的

判定和性质，证明四边形AWCN是菱形是解题的关键.

（1）按照垂直平分线的作图方法作图即可；

（2）证明AOM^tCON（AAS）,则AM=QV.又由AM〃OV即可证明四边形AMOV是平

行四边形.由垂直平分线段AC得到AM=CM,即可证明四边形AMCN是菱形，根

据菱形的周长即可求出AM的长.

【详解】（1）如图所示：

(2)四边形ABCD是平行四边形,

ADCB,AO=OC.

：.ZAMO=NCNO.

又；ZAOM=ZCON,

AOM^CON(AAS),

：.AM=CN.

又AM//CN,

-四边形AMGV是平行四边形.

1•1上W垂直平分线段AC,

AM=CM.

■■■四边形AMCN是菱形，

四边形AMGV的周长=4AM=16.

.1.AM=4.

17.（2024・江苏宿迁•二模）如图，在四边形ABCD中，ZB^ZD,E为BC上一点,AE,DC

的延长线交于点RZDAE=ZBEA.

⑴求证：ZBAF=NF；

CF1

⑵若《=巳直接写出AC即和△ZMF的周长之比•

ADJ

【答案】⑴见解析

⑵L

'14

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判

定与性质，掌握这些判定与性质是解题的关键.

（1）由㈤4E=ZBE4得位）〃3C,由平行线的性质结合ZB=ZD,得AB〃DF,再由平

行线的性质即可得结论；

（2）由（1）知，四边形ABCD是平行四边形，则有CD=AB；易得.CEFsaDAF,由相

似三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：ZDAE=ZBEA,

.-.AD//BC,

:.ZD=ZBCF；

NB=ZD,

:.NB=NBCF,

:.AB//DF,

:.ZBAF=ZF；

(2)解：由(1)知，AD//BC,AB//DF,

四边形ABCD是平行四边形,

:.CD=AB；

CF1

AB-3?

CF1

CD3

从而好:

AD//BC,

:ACEFsADAF,

CF1

FD4

「CEF和3的周长之比为;.

18.（2024•江苏徐州•二模）如图,已知YABCD,请用无刻度的直尺和圆规作图（保留

作图痕迹，不写作法）.

图1图2

⑴在图1的BC边上作点P,使44P=®4；

(2)在图2的3C边上作点P,使PC+PD=AD.

【答案】⑴画图见解析

⑵画图见解析

【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角

形的性质.

(1)在BC上截取线段3P,使得BP=AB,连接转即可；

(2)连接班)，作线段3D的垂直平分线交3C于点P,点尸即为所求.

【详解】(1)解：如图，点尸即为所求；

NBAP=NBPA；

证明：,•・线段8。的垂直平分线交BC于点P,

；.BP=PD,

：.PD+PC=BP+PC=BC,

■：YABCD,

AD=BC,

：.PC+PD=AD.

19.(2024•江苏扬州•二模)如图，已知CE、CF分别是平行四边形ABCD的边A3、AD上

的高，对角线AC、8。相交于点。，且CE=C尸.

F

⑴求证：四边形ABC。是菱形；

⑵当tan/CAE=；,CE=4时，求菱形ABC。的边长.

【答案】（1）见解析

⑵菱形的边长为三

【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握

这些知识是解题的关键.

（1）根据平行四边形ABCD的面积公式，结合CE=CF,即可证明=根据一组邻

边相等的平行四边形是菱形即可证明；

CF1

（2）设CB为x,根据tanNCAE=F=q,CE=4,即可算出AE=12,在Rf3CE中，根据

AE3

勾股定理列方程即可求出冗=2三0，即可求解；

【详解】（1）CE、C方分别是平行四边形ABC。的边AB、相＞上的高，

••SABCD=•CRSABCD=，CE,

ADCF=ABCE,

,/CF=CE,

AD=AB,

YABCD是菱形.

(2)设CB为x,则BEnAE-ABuAE'-CSud-x,

CE1

...tanNCA.E==—,CE=4,

AE3

/.AE=n,

在RMCE中，BC2=EC2+BE1,

BPX2=(12-X)2+42,

解得：X言20,

故菱形ABCD的边长为手.

20.（2024•江苏盐城•二模）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且隹=AD.

/D

BEC

⑴尺规作图：在BC的延长线上找一点尸，使"平分/ZME；（不直接作的角平

分线，保留作图痕迹，不写作法）；

⑵连接试判断四边形A£7刃的形状，并说明理由.

【答案】⑴见解析；

⑵四边形但D是菱形，理由见解析.

【分析】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题.

（1）以E为圆心，E4为半径作交BC的延长线于点尸，连接。尸即可；

（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

【详解】（1）解：图形如图所示：

(2)结论：四边形AEFD是菱形.

理由：四边形ABCD是矩形，

AD//BF,

:.ZDAF=ZAFC,

AF平分—ZME,

・•.NDAF=NFAE,

:.ZFAE=ZAFC.

,\EA=EF,

AE=AD,

.\AD=EF9

二.四边形AEFD是平行四边形,

AE=AD,

，四边形A£FD是平行四边形.

21.（2024•江苏无锡•二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E、R分别在AD、BC

上，将四边形ABFE沿着直线所翻折，使得点3落在0c边上（不与端点重合），落点

记作夕，点A的落点记作A.。是政的中点，连接夕。并延长，与AE的延长线交于点

G,连接3'E,B'F,GF,BG.

、A'

D

⑴求证：OG=OB'；

（2）若tan/GR4=x,设四边形GFBE的面积为S,请求出S关于x的函数表达式.

【答案】⑴见解析

（2）S=12/+12

【分析】（1）根据矩形ABCD和折叠，得到ZA=ZA，=90o,ZABC=NF®4=90。，继而得到

AGB'F,结合OE=OF,证明」GOE丝右？。尸，得证OG=O3'；

（2）连接。6班'，根据折叠的性质，得到QB=O3',q=q'结合仪?=0£得至1」

OB=OG=OB',得至I」ZGBB'=90°,根据矩形的性质，得至UNGBA=ZB'BC,结合tanZGBA=x,

Hr

则tanNGBA=tan287^="=无，得到EC=6x,设=利用勾股定理，平行四

nC

边形的面积公式计算即可.

【详解】（1）根据折叠性质和矩形ABCD,

ZA=ZA=90°,ZABC=ZFB'A'=90°,

ZA+ZFB'A=180°,

：.A'GB'F,

/.NEGO=NFB'O,

ZEGO=ZFB'O

,：*NEOG=NFOB',

OE=OF

：.GOE玛B，OF(AAS),

OG=OB'；

(2)连接08,83',

根据折叠的性质，得到03=03',FB=FB,

■：GOE^B'OF(AAS),

：.OG=OB'•

：.OB=OG=OB',

ZOGB=ZOBG,NOB'B=ZOBB',

1--Z.OGB+ZOBG+NOB'B+NO3B'=180。，

ZGBB'=90°,

在矩形ABCD中，ZABC=90°,

：.ZGBA=ZB'BC

tanZ.GBA=tanABrBC

tanZGBA=x,BC=6,

Hr

：.tanNG8A=tanN8'BC=——=无，

BC

：.B'C=6x,

设FB=FB'=m,

则FT=BC—EB=6―相，

•BF2=FC2+B'C2,

.1.m2=(6x)2+(6-7M)~,

解得m=3x2+3，

OE=OF,OG=OB',

■■■四边形EGEB，是平行四边形，

EGFB',

r

■：ZA=ZA=90°,AB=5^=4,

.平行四边形GF?E的高为4,

•1.四边形GFBE的面积为S=B'F.A'B'=12/+12.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形的判定，矩形的性质，折叠

的性质，正切函数的应用，熟练掌握折叠的性质，正切函数的应用，矩形的性质是解题

的关键.

22.（2024•江苏宿迁•二模）如图，在菱形A3co中，对角线AC与3D相交于点。，过点。

作交BC的延长线于点E.

⑴求证：四边形AC即是平行四边形；

⑵若比）=8,AC=6,求tan/CDE的值.

【答案】⑴见解析

（2）1

【分析】此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，锐角三角函数；

（1）根据菱形的性质得4）〃3C,AC1BD,OA=OC,OB=OD,再根据DEL叨得

DE//AC,由此即可得出结论；

（2）根据DE〃AC得NCDEnZAC。，再根据菱形的性质得（M=OC=3,OB=OD=4,在

Rt_OCD中得XanZACD=器=g，由此可得tan/CDE的直

【详解】(1)证明：四边形ABC。是菱形，

AD//BC,ACLBD,OA=OC,OB=OD,

DELBD,

■.DE//AC,

又AD//BC,AD//CE,

，四边形ACE。是平行四边形；

(2)解：DE//AC,

:.ZCDE=ZACD,

BD=8,AC=69

：.OA=OC=-AC=3,OB=OD=-BD=4,

22

在RtOCD中，tanZACD=^=g,

4

/.tanZCDE=tanZACZ)=—.

23.（2024•江苏连云港•二模）如图，ABC中，AB=AC=10,AD13C交BC于。点，E

点是的中点，分别过。，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G,R两点.

⑴求DE的长；

⑵求证：四边形。及6为矩形.

【答案】⑴5

⑵见解析

【分析】（1）根据题意可得DE是三角形中线，即可求解；

（2）欲证明四边形。屏6为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直

角即可.

【详解】（1）AB=AC=10,ADIBC

，。点是BC的中点，

E点是AB的中点，

DE=-AC=5

2

（2）证明：AB=AC=10,AD1BC

，。点是BC的中点，

E点是的中点，

DE//AC

■：DG±AC,EF.LAC

：.EF//DG

■.四边形。班G为平行四边形

1.•ZEFG=90°

四边形DENG为矩形

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形中位线的性

质，灵活运用所学知识是关键.

24.（2024•江苏扬州•二模）如图，中，。是边上一点，E是AD的中点，过点A

作8C的平行线交BE的延长线于尸，且AF=C£>,连接CF.

⑴求证：7AEF4DEB；

⑵若N&LC=90。，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

【答案】⑴见解析

⑵四边形是菱形，证明见解析

【分析】（1）由AF〃BC得ZAFE=ZEBD,继而结合ZE4F=ZEDB、AE=D£即可判定全

等;

（2）根据/BAC=90。，且AD是边上的中线可得AD=CD,结合四边形ADCV是平行

四边形可得答案.

【详解】（1）解：.E是AD的中点,

.\AE=DE,

AF^BC9

,\ZAFE=ZDBE,ZEAF=ZEDB,

AAEF^AZ)EB(AAS)；

(2)四边形4XT是菱形.

AF//CD,AF=CD,

，四边形4XT是平行四边形，

AEF^DEB

:.AF=BD

AF=CD

:.BD=CD

ABAC=9Q°,A。是3C边上的中线,

DC=AD,

，四边形ADCV是菱形.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定、

直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键.

25.（2024•江苏南通•二模）小明正在思考一道几何证明题：如图1,在正方形旗CD中，

点E,E在对角线AC上，连接DE,DF,BE,BF,且DE=D尸.求证：四边形3FDE是菱

形.

小明是这样想的：

第一步：由DE=DF,DA=DC,ZDAE=ZDCF^45°,可证明△£>&!丝△»《，得AE=CF；

第二步：连接(如图2),交AC于点。，可证得Ofi=OD,OE=OF,进而可得四边形

加DE是平行四边形；

第三步：由DE=DF,四边形3FDE是平行四边形，可得四边形3FDE是菱形.

请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明.

【答案】小明的第一步有错，正确证明见解析

【分析】由DE=DF,可得NDEF=NDFE,则NAED=/。尸C.如图2,连接B。，交AC于

点。，由正方形ABC。，可得05=8,OA=OC,ZDAE=ZDCF,证明DEA^^DFC(AAS),

则AE=CF,OE=。尸.进而可证四边形97圮是平行四边形，由DE=D尸，可证四边形即DE

是菱形.

【详解】解：小明的第一步有错，用"SSA"不能证明△£»£<也

证明：DE=DF,

ZDEF=/DFE,

：.ZAED=ZDFC.

如图2,连接交AC于点。，

正方形ABCD,

OB=OD,OA=OC,ZDAE=-ZDAB=45°,^DCF=-^DCB=45°,

22

/DAE=/DCF.

在△AED和△CFD中，