人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称（易错与压轴专练）（解析版）

第十三章轴对称（易错与压轴专练）

目录

易错专练..................................................................................1

【易错一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】.........................1

【易错二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】........................3

【易错三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】..............................5

【易错四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】....................7

压轴专练..................................................................................11

【题型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】.............................................11

【题型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】..............................................18

【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】......................................24

【题型四共顶点的等边三角形问题】........................................................29

【题型五共顶点的等腰直角三角形问题】....................................................33

【题型六共顶点的一般等腰三角形问题】....................................................39

易错专练

【易错一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】

例题：已知AABC是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为8cm和女m,则它的周长为cm.

【答案】19

【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为3cm,底边长为8cm时；②当等腰三角形的腰长为8cm,

底边长为3cm时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案.

【详解】解:①当等腰三角形的腰长为3cm,底边长为8cm时，

3+3=6<8,

二不能构成三角形；

②当等腰三角形的腰长为8cm,底边长为3cm时，

•,-3+8=11>8,

•••能构成三角形，

AABC的周长为3+8+8=19cm；

综上所述，AABC的周长为19cm

故答案为：19.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第

三边，任意两边之差小于第三边.

【变式训练】

1.若AABC的三边长分别为10-°,7,6,当为等腰三角形时，则。的值为.

【答案】3或4##4或3

【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当10-。=6时，当10-。=7时，再结合三角形三边关系检验

即可.

【详解】解：：AABC为等腰三角形，

.•.当10—。=6时，

解得。=4,

...三边长为6,6,7

6+6>7,

符合三角形三边的条件，

当10-。=7时，

解得0=3,

.,.三边长为7,7,6

V6+7>7,

符合三角形三边的条件，

二。的值为4和3.

故答案为：4和3.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用所学知识求解

是解决本题的关键.

2.用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的

底边长为cm.

【答案】12或7

【分析】可设一边为*m,则另一边为1.5xcm,然后分x为腰和底两种情况，表示出周长，解出无，再利用

三角形三边关系进行验证即可.

【详解】解：设一边为xcm,则另一边为L5xcm,

①当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、1.5xcm,

由题意可歹！J方程：x+x+L5x=28,

解得x=8,

此时三角形的三边长分别为：8cm、8cm和12cm,满足三角形三边之间的关系，符合题意；

②当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为：xcm、1.SACHI>1.5xcm,

由题意可歹（J方程：%+1.5x+1.5x=28,

解得：x=7,

此时三角形的三边长分别为：7cm、10.5cm、10.5cm,满足三角形的三边之间的关系，符合题意；

•*.这个三角形的底边长为12cm或7cm.

故答案为：12或7.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键.

【易错二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】

例题：等腰三角形的一个角的度数是36。，则它的底角的度数是.

【答案】36。或72°

【分析】分36。的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解.

【详解】解：当36。的角是底角时，则底角为36。，

当36°的角是顶角时，则底角为：（180。-36°）=72°,

故答案为：36。或72。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

【变式训练】

1.等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20。，则这个等腰三角形的顶角度数是.

【答案】44。或80。或140。

【分析】设另一个角是x,表示出一个角是2x-20。，然后分①尤是顶角，2x-20。是底角，②尤是底角，2x-20°

是顶角，③尤与2%-20。都是底角根据三角形的内角和等于180。与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可.

【详解】解：设另一个角是x,表示出一个角是2x-20。，

①1是顶角，2%-20。是底角时，x+2（2x—20°）=180°,

解得x=44。，

所以，顶角是44。；

②了是底角，2%-20。是顶角时，2x+（2x—20°）—180°,

解得x=50。,

所以，顶角是2x50°-20°=80°；

③x与2龙-20°都是底角时，x=2x-20°,

解得x=20°,

所以，顶角是180°-20°x2=140°；

综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44。或80。或140。.

故答案为：44。或80。或140。.

【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是

这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错.

2.在AABC中，AB=AC,的。=100。，点。在边BC上（不与8、C重合），连接AO,若人45£＞是等腰

三角形，则的度数为.

【答案】80。或110。

【分析】在AABC中，^AB=AC,ZS4c=100。，得到NB=NC=（180。-100。）+2=40°,再本艮据AABD

是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案.

【详解】解：如图所示，

在AABC中，

VAB=AC,ZBAC=100°,

O

：.ZJB=ZC=(180-100°)H-2=40°,

若AABD是等腰三角形，

①当=时，

ZB=ZBAD=40°,

ZADC=ZB+ZBAD=80°,

②当BA=BD时，

ZBAD=ZBDA,

ABAD=(180°-40°)+2=70°,

ZADC=ZB+ZBAD=110°,

综上所述80。或110。.

【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系，解题关键是分析出犯的腰.

【易错三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】

例题：已知中，NC=90。，AC=3,BC=4,若AASC沿射线BC方向平移机个单位得到ADEF,

顶点A,B,C分别与顶点D,E,尸对应，若以点A,D,E为顶点的三角形是等腰三角形，则根的值是.

【答案】=25或5或8

8

【分析】%AD=DE,AE=AD=m,/场=DE三种情况进行讨论求解即可.

【详解】解：：NC=90。，AC=3,BC=4,

AB=A/32+42=5>

△ABC沿射线8C方向平移m个单位得到JDEF,

AD=BE=CF=m,DE=AB=5,DF=AC=3,EF=BC=4,

点A,D,E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况

①当的二小时：如图，此时加=5；

②当AE=AD=〃?时：如图,

在RtAACE中，AE2=AC2+CE2,即：=9+(4—

25

解得：m=—；

O

③当时，如图:

止匕时A£=A3,

ZACB=90°,

・•.BC=CE=4,

m=BE=BC+CE=8；

25

综上：m=—,5或8；

o

25

故答案为：9或5或8.

o

【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质.根据题意，准确的画图，利用数形结合和

分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.

【变式训练】

1.在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=12,D、E分别是边BC、AB上的动点•将△班见沿直

线。E翻折，使点6的对应点g恰好落在边AC上•若△AEB'是等腰三角形，则的长是.

【答案】6或6夜-6或。

【分析】分三种情况讨论：当AB'=£B'时，△AEB'是等腰三角形；当=，时，△A£B'是等腰三角形；

当初="£时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到CB'

的值.

【详解】解：•.•NC=90。，ZA=30°,AB=6=n,

:.ZB=60°,BC=6,

分三种情况讨论：

①如图所示，当点。与点C重合时，NB=NCB'E=60°,

vZA=30°,

:.ZAEB'=30°,

:.ZA=ZAEB',

:.AB'=EB',即△?!£笈是等腰三角形,

此时，CB'=BC=6；

②如图所示，当=时，夕是等腰三角形,

:.ZAB'E=75°,

由折叠可得，ZDB'E=ZABC=60°,

:.ZDB'C=45°,

又；“=90°,

:.^DCB'是等腰直角三角形，

^CB'=x=DC,贝|BD=6—x=DB',

•.•RtADCB'中，x2+x2=(6-x)2,

解得与=6^^—6,%=—6j^—6(舍去)，

:.CB'=6s/2-6;

③如图所示，当点8,与点C重合时，ZB=ZDCE=60°,

:.ZEB'A=3Q°=ZA,

:.AE=B'E,即△A£&是等腰三角形，

此时CB'=O,

综上所述，当△•'是等腰三角形时，CB'的值是6或6后-6或0.

故答案为：6或60-6或0.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决

问题的关键是依据△曲'是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用.

【易错四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】

例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形的底边长为（）

A.7B.11C.7或11D.无法确定

【答案】C

【分析】根据题意作出图形，设AD=DC=x,BC=y,然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的

三边关系判断即可求解.

【详解】解：如图所示，

根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：AD=DC=^-AC=^-AB.

22

可设AD=DC=%,BC=y,

AB=2x.

fx+2x=15fx+2x=12

由题意得：或,

[y+x=112O[y+x=1C5

,[x=5n[x=4

解得：7或

[y=7[y=ii

当1r时，即此时等腰三角形的三边为10,10,7,

[y=7

•.•10+7>10,符合三角形的三边关系，

此情况成立；

（尤=4

当「时，即此时等腰三角形的三边为8,8,11,

17=11

•.-8+8>11,符合三角形的三边关系，

此情况成立.

综上可知这个等腰三角形的底边长是7或11.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质.利用分类讨论的思想是解题

关键.

【变式训练】

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45。，那么这个三角形的顶角为（）

A.45°B.90°C.135°D.135°或45°

【答案】D

【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角

形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【详解】如图1，三角形是锐角三角时，

顶角ZA=90°—45°=45°；

,/ZACD=45°,

...顶角ABAC=45°+90°=135°,

综上所述，顶角等于45。或135。.

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观.

2.在AABC中，AB=AC,8是AB边上的高，ZACD=30°,则ZB=.

【答案】60°或30。/30。或60°

【分析】根据三角形的内角和定理，求出-4的度数然后再求出的度数；

【详解】如图，当8在AABC内时

-.•CD1AB

.-.ZA=90°-ZACD=60°

vAB=AC

ZB=ZC=60°

-,-CDLAB

ABAC=90°+ZACD=120°

vAB=AC

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理及推论此题

难度不大，属于中等题；

3.在"RC中，AB=AC,AC上的中线8。把三角形的周长分成24和30两部分，则底边2C的长为.

【答案】22或14

【分析】分两种情况：AB+AD=24；AB+AD=30,可得AB的长，再由另一部周长即可求得底边3c的

长.

【详解】解：由题意得：AD=CD

:.AB=AC^2AD；

当AB+4)=24时，

即2AD+AD=24,

:.AD=8,

BC+CD=30,

.'.BC=30-CD=30-8=22；

当AB+AD=30时，

即2AD+AD=30,

.-.AD=10,

•/BC+CD=24,

.•.BC=24-CD=24-10=14；

综上，底边的长为22或14；

故答案为：22或14.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论.

压轴专练

【题型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】

例题：已知，在AABC中，NACB=90。，AC=BC,点M是A3的中点，作/DME=90。，使得射线“。与

射线ME分别交射线AC,CB于点、D,E.

（1）如图1,当点。在线段AC上时，线段与线段ME1的数量关系是；

（2）如图2,当点。在线段AC的延长线上时，用等式表示线段CD,CE和3c之间的数量关系并加以证明.

【答案】（1）A/D=ME；

Q）CE=CD+BC,理由见解析.

【分析】（1）连接CM,由等腰直角三角形的性质可得。0=MB,/4。/=々，根据/次位=90。可推导

ZCMD=ZBME,进而证明△CMD四△BME,即可得到线段与线段ME的数量关系；

（2）连接CM,利用（1）中的证明思路，再次证明△CMD/证得CD=BE,即可利用等量代换

得到CE=CD+3C.

【详解】（1）解：连接CM,

VZACB=90°fAC=BC,点M是AB的中点

：.CM=AM=MB,且CM平分/ACS,ZA=ZB=45°

ZACM=ZBCM=45°=ZB,NCMB=90。,

XVZZ)ME=90°

:.ZCMB-ZCME=ZDME-ZCME

：.ZCMD=ZBME

；・ACMDmABME(ASA)

：-MD=ME.

(2)CE=CD+BC,理由如下：

连接CM,

由(1)可知：CM=BM,ZACM=ZABC=45°,ZCMD=ZBME

：.ZDCM=ZEBM=135°

在ACMD和^BME中,

ZCMD=ZBME

<CM=BM

ZDCM=ZEBM

：・ACMD沿LBME(ASA)

:.CD=BE

•:CE=BC+BE

：.CE=CD+BC.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问

题的关键.

【变式训练】

1.如图1,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC,点尸是斜边A2的中点，点。，E分别在边AC,3c上,

连接若PD_LPE.

⑴求证：PD=PE-,

（2）若点。，E分别在边AC,CB的延长线上，如图2,其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；

（3）在（1）或（2）的条件下，△P3E是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出NPEB的度数（不用说理）；

若不能，请说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）成立，见解析

（3）能成为等腰三角形，此时ZPEB的度数为22.5。或67.5。或90°或45°

【分析】（1）连接尸C,根据等腰直角三角形的性质可得NDCP=45。=NB,从而得到CP=3P,再由PD，PE,

可得NDPC=NEPB,可证得△DPC/,即可求证；

（2）连接尸C,根据等腰直角三角形的性质可得NECP=45o=N4BC=NA=NACP,从而得到CP=AP,

再由：Pr>_LPE,CP_LAB,可得ZAPD=NCPE,可证得△APD丝△0>£r,即可；

（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解.

【详解】（1）明：连接PC,

,/ZACB=90°,AC=BC,

ZA=ZB=45°,

••,尸为斜边AB的中点,

・•・CPLAB,

：.ZDCP=45°=ZB,

：・CP=BP,

PDLPE,

:./DPC+NCPE=/CPE+/EPB=90°,

・•・ZDPC=ZEPB9

在△。尸。和AEPB中,

/DCP=/B

<PC=PB,

ZDPC=ZEPB

：.ADPC^AEPB(ASA),

:.PD=PE；

(2)解：PD=PE仍成立,理由如下：

连接CP,

•・・ZC=90°,AC=BCf

：.ZA=ZABC=45°,

TP为斜边AB的中点，

CP±AB,

：.ZECP=45°=ZABC=ZA=ZACP,

：.CP=AP,

又•・•PD±PE,CP±AB,

:・NDPE=NCPA=90。,

：.ZDPE+ZCPD=ZCPA+Z.CPD,

ZAPD=ZCPE9

在和△CPE中,

ZPAD=ZPCE

<PC=PA,

ZAPD=/CPE

：.AAPD名Z\C尸£(ASA),

PD=PE；

(3)解：班能成为等腰三角形，

①当班1二成，点E在C6的延长线上时，则N£=NBPE,

又•:NE+NBPE=NABC=45。,

：.NPEB=22.5。；

②当郎=族，点E在CB上时，则NP硬=N5尸石=g（180。—45。）=67.5。；

③当EP=EB时，则N5=N5尸£=45。,

JZPEB=180°-ZB-Z.BPE=90°；

④当中=依，点£和。重合,

：.ZPEB=ZB=45°；

综上所述，△P3E能成为等腰三角形，NPEB的度数为22.5。或67.5。或90。或45。.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全

等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键.

2.在Rt^ABC中，AC=BC,ZACB=90°,点。为A3的中点.

(1)若NEO产=90。，两边分别交AC,BC于E,尸两点.

①如图1,当点E,尸分别在边AC和8C上时，求证：OE=OF-

②如图2,当点E,尸分别在AC和CB的延长线上时，连接收，若。石=6,则凡£。尸=.

(2)如图3,若NEC4=45。，两边分别交边AC于E,交8C的延长线于E连接屈F,若CF=3,EF=5,试

求AE的长.

【答案】(1)①见解析；②18

(2)2

【分析】(1)①由“ASA”可证zMOE四△<%>下,可得OE=O尸；

②由“ASA”可证ACOEgABO尸，可得06=0尸=6,即可求解；

(2)由“ASA”可证ACOB丝AAOH,可得CF=AH=3,OF=OH,由“SAS”可证AEO尸丝AEOH,可得

EF=EH=5,即可求解.

【详解】(1)①证明：如图1,连接OC,

C

F

E

AOB

图1

VAC=BC,ZACB=9Q°,

・・・N=NB=45。.

•・,点。为A5的中点，

・•・ZAOC=ZEOF=90°,

・•・AAOC和EOC是等腰直角三角形,

・•・AO=CO=BO,

：.ZAOE=ZCOF,

：.^AOE^COF(ASA),

OE=OF；

②解：如图2,连接OC,

同理可证：AO=CO=BO,ZABC=ZACO=45°,

：.ZOCE=ZOBF=135°,

•・•ZAOC=ZEOF=9Q°,

：.ZCOE=ZBOF,

：.ACOE、BOF(ASA),

：.OE=OF=6,

S^EOF=18,

故答案为：18；

(2)解：如图3,连接CO,过点。作交C4的延长线于点H,

VAC=BC,NACB=90。，点。为AN的中点，

AO=CO=BO,ZAOC=ZFOH=90°,ABAC=ABCO=45°,

.ACOF=AAOH/OCF=ZOAH=135。，

ACOF^AAOH(ASA),

CF=AH=3,OF=OH,

・.,/EOF=45°,ZFOH=90°,

・•・ZEOF=ZEOH=45。,

又・.・OF=OH,EO=EO,

：.小EOF%EOH(SAS),

：.EF=EH=5,

：..AE=EH-AH=2.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形

是解题的关键.

【题型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】

例题：如图，已知点。、E在△A3C的边5C上，AB=AC,AD=AE.

(1)求证：BD=CE；

(2)若AD=BD=DE=CE,求NA4E的度数.

【答案】(1)见解析；

(2)90°.

【分析】(1)作于点尸，利用等腰三角形三线合一的性质得到3E=CRDF=EF,相减后即可得到

正确的结论.

(2)根据等边三角形的判定得到AAOE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角

的和差关系即可求解.

【详解】(1)证明：如图，过点A作AFLBC于足

BDFEC

"：AB=AC,AD=AE.

:.BF=CF,DF=EF,

：.BD=CE.

(2)解：'JAD^DE^AE,

△ADE是等边三角形，

ZDAE^ZADE^60°.

"：AD=BD,

：.ZDAB^ZDBA.

：.ZDAB=-ZADE^?>00.

2

ZBAE=ZBAD+ZDAE=90°.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质,

等腰三角形的性质是本题的关键.

【变式训练】

1.如图，AADB与△BC4均为等腰三角形，AD=AB^CB,且NABC=90。，E为03延长线上一点，

NDAB=2NEAC.

⑴若ZEAC=20。，求ZCBE的度数；

(2)求证：AEA.EC；

(3)^BE=a,AE=b,CE=c,求AABC的面积(用含。，b,c的式子表小).

【答案】(1)20。

(2)见解析

1,1

(3)—crH—be

22

【分析】(1)先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出ND=NDB4=70。，即可由

/CBE=180°-NDBA—ZABC求解；

(2)过点A作AF1DE于点F,过点C作CGLOE于点G,证明△BAF=△CBG(AAS),得出AF=3G,

BF=CG,进而求得NA£F=NACB=45。，/CEG=ZAEF=45。,即可得出NAEC=90。，从而得出结论;

(3)由(2)可知CG=3尸，AF=EF,从而有CG=BF=EF-BE=AF-BE,再根据

S^ABC=$4谢+S^AELS^BEC，则有5AABC=5BE•AF+—AE-EC--BE-CG

=^BE(AF-CG)+^AEEC=^BEBE+^AEECf即可求角轧

【详解】(1)解：VZJE4C=20°,ZDAB=2/EAC,

：.ZBAD=4Q°,

AD=AB,

：.ZD=/DBA=I(180°-ZBAD)=g(180。—40。)=70°,

又丁ZABC=90°,

：.ZCBE=180°-70°-90°=20°.

(2)证明：过点A作”1庞于点尸，过点。作CGLOE于点G,

JZAFB=ZABC=ZCGB=90°,

又•「AD=AB=CBf

：.ABAC=ZACB=45°,ZFAB=-ZDAB=ZCAE,

2

ZFAB+ZFBA=ZFBA+ZCBG=90°,

:.ZFAB=ZCBG=ZCAE,

ZBAF=ZCBG

：.在/和KBG中，＜NAFB=ZCGB,

AB=BC

：.ABAF学ACBG(AAS),

AAF=BG,BF=CG,

NCBG=NCAE,

设A石、BC交于点O,则NAEF=180。—NCBG—NBQE

ZACB=180。—ZCAE-ZAOC

又/BOE=ZAOC,

：.ZAEF=ZACB=45°,

:・AF=EF=BG,BF=CG,

：・BF=EG=CG,

：.ZCEG=ZAEF=45°f

：.ZAEC=90°,

：.AE.LEC.

(3)解：由(2)可知CG=5尸，AF=EF,

：.CG=BF=EF—BE=AF—BE,

•S/\ABC=SNEB+^AA£C-^^BEC，

:・S^ABC=^BEAF+^AEEC-^BECG.

=-BE(AF-CG]+-AEEC=-BEBE+-AEEC=-a2+-bc.

2v722222

【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质,

全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中.

2.已知在AABC中，AB=AC,且NBAC=a.作△ACD,使得AC=CD.

(1)如图1,若/ACD与/B4C互余，则N0C5=(用含。的代数式表示);

(2)如图2,若/ACD与—BAC互补，过点C作CHJ_AD于点H,求证：CH=；BC；

⑶若由AABC与AACD的面积相等，则/4CD与/BAC满足什么关系？请直接写出你的结论数.

【答案】⑴9；

(2)见解析；

(3)/ACD与NBAC相等或互补

【分析】(1)根据等腰三角形两底角相等得/AC3=90。-ga,根据，ACD与/54C互余得

ZACD=90。—a,由ZBCD=ZACB-ZACD即可求出ZDCB的度数；

(2)作AE_L8C,根据AAS证明△AECZAAHC,则CH=CE,由等腰三角形三线合一可得CE=ggC,因

止匕。/=12C’问题得证；

(3)由^ABC与AACD的面积相等得高相等.情况①：作DE1AC于E,BFJ.AC于F，根据HL可得ADEC0

NBFA,则可得/ACD=-54C；情况②:AACD是钝角三角形，作3GLAC于G,作DN垂直于AC的延

长线于N,根据应可得AABG之△CDN,则可得N54C=NOOV,由于4XW与/ACD互补，因此/R4C

与/4券互补.

【详解】(1)解：:△ABC中，AB=AC,且NBAC=a,

ZACB=ZABC=1(180°-a)=90。一；a

ZACD+ZBAC=90°

ZACD=90°-Z.BAC=90°-a

ZBCD=ZACB-ZACD

=(90°-1a)-(90°-a)

如图，过A点作AE_L8C于E点,

・•,AABC中，AB^AC,AE±BC,

ZAEC=9Q°,EC=-BC,

2

AACD中C4=CD,J_AD,

ZAHC=90°,ZACH=ZDCH=-ZACD,

2

ZAEC=ZAHC,

AB=AC,ZBAC=a,

NACB=ZB=1(180°-ABAC)

=^(180°-(z)

=90°--a

2

ZACD+Z&4C=180°

ZACD=180°-ABAC=180°-«

ZACH=gZACZ)=g(180。-a)=90。-ga

ZACB^ZACH.

在AACE和AACH中，ZAEC=ZAHC,ZACB=ZACH,AC=AC,

：.AACE^AACH(AAS),

：.CH=CE,

：.CH=-BC.

2

①如图，作OE1AC于E,3尸人AC于尸，

,//RC与AACD的面积相等，

，DE=BF,

XVZDEC=ZBFA=9Q°,DC=AB

ADEOBFA(HL)

：.ZDCE=ZBAF

即/AC。=々AC

A

②如图，作BGLAC于G,作。N垂直于AC的延长线于N.

则/3G4="NC=90。.

VAB^AC,AC^CD,

：.AB=CD,

AABC与AACD的面积相等，

BG=DN.

：.AABGgMDN.

：.NBAG=/DCN.

ZACD+ZDCN=180°,

：.ZACD+ABAC=180°,

综上，/ACD与/BAC相等或互补.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等,

综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键.

【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】

方法点拨：如图，AABC中，AD

平分NBAC,ADJ_BC,由“ASA”

易得△ABD里△ACD，从而得

AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平

分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.

例题：如图，在AABC中，AD平分/54C,E是BC的中点，过点E作FG_LAD交AD的延长线于//,交

A3于尸，交AC的延长线于G.

求证：

⑴AF=AG；

⑵BF=CG.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据ASA证明会A4HG,即可得出AF=AG；

（2）过点C作CM〃回交FG于点"，由四可得NAF"=NG,根据平行线的性质得出

ZCMG=ZAFH,可得NQWG=NG,进而得出。0=CG,再根据据ASA证明△班尸也△CEM,得出

BF=CM,等量代换即可得到防=CG.

【详解】（1）证明：TAD平分/BAC,

：.ZFAH=ZGAH,

「FG1AH,

：.ZAHF=ZAHG=90°,

ZFAH=NGAH

在△AHF和△AHG中，\AH=AH,

ZAHF=ZAHG

：.^AHF^AAWG(ASA),

：.AF=AG；

(2)证明：过点C作CM〃回交FG于点M,

,?AAHF"JHG,

・•・ZAFH=ZGf

*：CM//AB,

：.ZCMG=ZAFH,

：.ZCMG=ZG,

:,CM=CG,

•・・E是3C的中点,

BE=CE,

'：CM//AB,

：.ZB=ZECM,

ZB=ZECM

在ABEF和ACEM中，＜BE=CE

ZBEF=NCEM

：.ABEF%CEM(ASA),

BF=CM,

：.BF=CG.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、

性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键.

【变式训练】

1.如图：

图4

(1)【问题情境】

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1,0P平分NMON.点A为上一点，过点A作AC，OP,

垂足为C,延长AC交ON于点8,可根据证明△AOCHBOC,则AO=BO,AC=(即点C为AB

的中点).

⑵【类比解答】

如图2,在AABC中，。平分/ACB,A£，CD于E,若NK4c=63。，4=37。，通过上述构造全等的

办法，可求得NZME=.

(3)【拓展延伸】

如图3,AASC中，AB=AC,ABAC^90°,8平分NACB,BELCD,垂足E在。的延长线上，试探

究班和CD的数量关系，并证明你的结论.

(4)【实际应用】

如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进

行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取NACB的角平分线8；②过点A作ADJLCD于D已知

3c=13,AC=10,URC面积为20,则划出的AACD的面积是多少？请直接写出答案.

【答案】⑴ASA

(2)26°

(3)B£=1C£>,证明见解析

(4)AACD的面积是詈

【分析】(1)ffiAAOC^ABOC(ASA),得AO=BO,AC=BC即可；

(2)延长AE交BC于点R由问题情境可知，AC=FC,再由等腰三角形的性质得=4c=63。，

然后由三角形的外角性质即可得出结论；

(3)拓展延伸延长BE、C4交于点R证人钻尸四△ACD(ASA),得BF=CD,再由问题情境可知，

BE=FE=~BF,即可得出结论；

(4)实际应用延长AD交BC于E,由问题情境可知，AD=ED,EC=AC=1。，则S/8=£ECD，再由三

角形面积关系得S，ACE=TS.C=*，即可得出结论.

【详解】(1)解：平分NMON,

ZAOC=NBOC,

'：AC±OP,

：.ZACO=ZBCO,

*：OC=OC,

：.AAOC^ABOC(ASA),

AAO=BO,AC=BC,

故答案为：ASA；

(2)解：如图2,延长A石交3c于点R

・•・ZEFC=ZEAC=63°,

丁NEFC=NB+NDAE,

：.ZDAE=ZEFC-ZB=63°-37°=26°,

故答案为：26°；

图3

如图3,延长跖、C4交于点死

贝INR4F=180。一NBAC=90。，

■:BELCD,

：.ZBED=90°=ZBAC,

■:ZBDC=ZABF+/BED=ZACD+NBAC,

：.ZABF=ZACD,

XVAB=AC,

AAABF^AACD(ASA),

:.BF=CD,

由问题情境可知，BE=FE=：BF,

：.BE=-CD；

2

(4)解：如图4,延长AD交8C于E,

图4

由问题情境可知，AD=ED,EC=AC=10,

・q―q

,•°AACD一°AECD，

=2°，

,q_10_200

•,、AACE-石-]3，

.Q_lc-122

D

,•DAACD_2AACE-]3，

答：△ACD的面积是詈.

【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性

质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等

是解题的关键，属于中考常考题型.

【题型四共顶点的等边三角形问题】

跑翘窗呼如图，△ABC和ACDE为等边三角形，则:

根据SAS可得△ACD&ABCE,/AOB=60°,△MCN

为等边三角形.

ABACEAcAIc

EJ

例题：如图所示，AABC和AAOE都是等边三角形，且点2、4E在同一直线上，连接交AC于

连接CE交4。于N,连接MN.

D

/^\

BE

A

⑴求证：BD=CE-

(2)求证：bABM^AACN；

(3)求证：AAMN是等边三角形.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)由已知条件等边三角形，可知AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,进一步求证/BAD=NC4E,

从而△A8£>g^ACE(SAS),所以BD=CE.

(2)由(1)知△A3。丝△ACE,得NABM=NCAN,由点8、A、E共线，得/。4"=60。=/氏4。，进一步求证

△ABM^AACN(ASA).

(3)由AABM四△ACN,得AM=AN,而NC/W=60。，所以△AMN是等边三角形.

【详解】⑴:△ABC和△ADE都是等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

：.ZBAD=ZCAE.

AB=AC

在△ABD和△ACE中，ZBAD=ZCAE

AD=AE

AABD^AACE(SAS),

：.BD=CE.

(2)由(1)知△AB。丝△ACE,

ZABM=ZACN.

；点B、A、E在同一直线上，且/B4C=/ZME=60。，

二ZCAN=6Q°=ZBAC.

ZBAM=KAN

在AABM和AACN中，\AB=AC

ZABM=ZACN

：.AABM^AACMASA).

(3)由(2)知△ABM取ZkACN,

：.AM=AN,

ZCAN=60°,

△AMN是等边三角形.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相

等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键.

【变式训练】

1.如图，点C为线段A3上一点，△D4C、AECB都是等边三角形，AE.DC交于点DB、EC交于

点N,DB、AE交于点尸，连接下列说法正确的个数有个.

①)MN〃AB；②/DPM=60°；③ZDAP=NPEC；④AACM9ADCN；⑤若/£)跳：=30°,则NAEB=90。.

【答案】①②③④⑤

【分析】根据等边三角形的性质得到AC=CD,BC=CE,ZACD=ZBCE=60°,得到ZACE=NBCE,

NZXE=60。，根据平行线的判定定理得到AD〃CE,根据平行线的性质得到NZMP=NPEC,故③正确；

根据全等三角形的性质得到=根据三角形的内角和得到皿>M=ZACM=60。，故②正确，推

出△ACM/故④正确；根据全等三角形的性质得到CM=CW,得到ACMN是等边三角形，求得

ZCMN=60°,根据平行线的判定定理得到M7V〃AB,故①正确；根据三角形的内角和得到NAEB=90。.故

⑤正确.

【详解】解：•・・△ZMC、AECB都是等边三角形，

:.AC^CD,BC=CE,ZACD=NBCE=60°,

:.ZADC=ZDCE=GO0,

.-.ZACE=ZBCD,NDCE=60°,

:.AD//CE,

:.ZDAP=ZPEC,故③正确；

在aACE与"CD中，

AC=CD

<NACE=ZBCD,

CE=CB

AACE^ABCD(SAS),

:.NCAE=NCDB,

•;NPMD=ZAMC,

:.ZDPM=ZACM=600,故②正确，

在ZXACM与ADCN中，

ZCAM=NCDN

<ACCD,

ZACM=NDCN=60°

:.AACMMQCN,故④正确；

CM=CN,

.•.△CWN是等边三角形，

:.ZCMN=60°,

:.ZCMN=ZACD,

:.MN//AB,故①正确；

•;NDBE=30°,ZBPE=ZAPD=60°,

:.ZAEB=90°.故⑤正确；

故答案为：①②③④⑤.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形

的判定和性质是解题的关键.

2.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边AABC和等边ACDE,AD与BE

交于点。，AD与BC交于点P,3E与CD交于点。，连结PQ.

（2）ACP。为等边三角形；

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【分析】（1）由等边三角形的性质可知AC=3C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,从而可求出

ZACD=NBCE,即可利用“SAS”证明△ADC丝ABEC,即得出AD=BE；

(2)由等边三角形的性质可知NACB=NDCE=60。，AC=BC,即可求证NAC尸=N3CQ=60。.再根据

△ADC四△班C可得出NC4P=NC3Q,利用“ASA”证明△APC之△BQC,据此即可证明结论成立.

【详解】(1)证明：。和△CD£都是等边三角形，

AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

・・・ZACD=ZACB+/BCD,/BCE=ZDCE+/BCD,

:,NACD=NBCE,

AC=BC

：.<ZACD=NBCE,

CD=CE

AADC之ABEC(SAS),

.,.AD=BE；

(2)证明：•「△ABC和△(%)£是等边三角形，

.\ZACB=ZDCE=60°,AC=BC,

：.ZBCQ=180。—ZACP-ZECD=60°,

・•・ZACP=ZBCQ=60°.

•••△ADC/

.・・ZCAP=ZCBQ.

ZCAP=ZCBQ

:.\AC=BC

ZACP=ZBCQ

：.AAPC丝△BQC(ASA).

/.CP=CQ,

又：ZPCQ=6Q0,

•••ACPQ为等边三角形.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质.熟练掌握全等三角形的判定条件是解题

关键.

【题型五共顶点的等腰直角三角形问题】

方法点拨'如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三

角形，则根据SAS可得

例题：如图，AABC和△£>(?£都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°.

图1图2备用图

(1)【猜想上如图1,点E在BC上，点。在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是

(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接A£),BE,(1)中的结论还成立吗？说明理由；

(3)【拓展】：把ADCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5,CE=26，当A,E,。三点在同一直线上

时，则AE的长是.

【答案】(1)3E=AD,BELAD

(2)成立，理由见解析

(3)>/21+2^>/21-2

【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质得出AC=3C,EC=OC,再作差，得出3E=AD,再用NACB=90。，

即可得出结论;

(2)先由旋转的旋转得出/3CE=NAC£>,进而判断出VBCE丝VACD(SAS),得出郎=AD,

ZCAD=ZCBE,AC与