人教版八年级数学常见题型专练：三角形的高、中线、角平分线与稳定性（6种题型）（原卷版）

第02讲三角形的高、中线、角平分线与稳定性（6

种题型）

O【知识梳理】

一、三角形的三条重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角

的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不

同的角度弄清这三条线段，列表如下:

线段

三角形的高三角形的中线三角形的角平分线

名称

三角形一个内角的平分线

从三角形的一个顶点向它的三角形中，连接一个顶

文字与它的对边相交，这个角

对边所在的直线作垂线，顶点和它对边中点的线

语言的顶点与交点之间的线

点和垂足之间的线段.段.

段.

AAA

图形\cB2c

语言2

DDD

作图过点A作ADJ_BC于点D.取BC边的中点D,连接作NBAC的平分线AD,交

语言AD.BC于点D.

AAA

标本Lc

图形\C

DDD

1.AD是z^ABC的高.1.AD是△ABC的中线.

1.AD是4ABC的角平分

2.AD是4ABC中BC边上的2.AD>AABC中BC边

线.

|R1.上的中线.

符号2.AD平分/BAC,交BC于

3.ADXBC于点D.1

语言3.BD=DC=-BC点D.

4.ZADC=90°,ZADB=2

1

90°.4.点D是BC边的中点.3.N1=N2=-/BAC.

2

(或NADC=NADB=90°)

推理因为AD是4ABC的高，所因为AD是4ABC的中因为AD平分/BAC,所以

语言以ADXBC.

(或NADB=/ADC=90°)线，所以BD=DC=L1

Z1=Z2=-ZBAC.

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BC.

用途1.线段垂直.1.线段相等.

角度相等.

举例2.角度相等.2.面积相等.

注意1.与边的垂线不同.

——与角的平分线不同.

事项2.不一定在三角形内.

三角形的三条高（或它们的一个三角形有三条中一个三角形有三条角平分

重要

延长线）交于一点.线，它们交于三角形内线，它们交于三角形内一

特征

一点.点.

二、三角形的稳定性

三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳

定性.

要点诠释：

（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变.

（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用.例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它

就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不

变形.大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理.

（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的

各个角的大小可以改变.四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺.有时我们

又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变

形.

i【考点剖析】

题型一、三角形的高

例1.如图，△ABC中AB边上的高是（

A.线段ADB.线段ACC.线段CDD.线段BC

【变式1】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4,9,12,如何求这个三

角形的面积？”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解小华根据小明的提示作出的图

形正确的是（

【变式2】如图，过回ABC的顶点A,作BC边上的图，以下作法正确的是（）

例2.如图，在△ABC中，AC=8,BC=4,高BD=3,试作出BC边上的高AE,并求AE的

例3.如图，△ABC的三条高A。、BE、CF相交于点0.

（1）在△BOC中，0B边上的高是,0C边上的高是,BC边上的高是.

（2）在△AOC中，。4边上的高是,0C边上的高是,AC边上的高是.

（3）在中，0A边上的高是,0B边上的高是,边上的高是.

题型二、三角形的中线

例4.B。是△ABC的中线，4B=5,BC=3,△ABO和△BC。的周长的差是.

【变式1]已知B。是△ABC的一条中线，△A8D与△BC。的周长分别为21,12,贝l]AB-BC

的长是—.

例5.如图所示，CD为£\ABC的AB边上的中线，4BCD的周长比4ACD的周长大3cm,BC

=8cm,求边AC的长.

例6.SAABC中，AB=AC,AC边上的中线BD把4ABC的周长分为12cm和15cm两部分,

求三角形的各边长.

题型三、三角形的三条重要线段

例7.已知△A8C,如图，过点A画△ABC的角平分线4。、中线和高线AF.

例8.在△ABC中，线段4P,AQ,AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（）

A.APWAQB.AQWARC.AP>ARD.AP>AQ

【变式】如图，在△ABC中，ZBAC=90°,A。是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD

于点G,交BE于点H,下面说法正确的是（）

①八ABE的面积=4BCE的面积；

②4FG=NAGF；

③/FAG=2/ACF；

④AF=FB.

C.①②③D.③④

题型四：三角形面积

例9.若△ABC中，/ACB是钝角，是BC边上的高，若40=2,BD=3,C0=l,则△ABC

的面积等于

【变式1】如图所示，在^ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且=4,贝IS阴影为

【变式2】如图，AD为I3ABC的中线，BE为I3ABD的中线.

(1)猜想：回ABD与回ADC的面积有何关系？并简要说明理由；

(2)在EIBED中作BD边上的高；

(3)若IBABC的面积为40,BD=5,则EIBDE中BD边上的高为多少？

题型五：重心

例10.(2022秋•湖北恩施•八年级校考阶段练习)71BC在正方形网格中的位置如图所示,

点A,B,C,P均在格点上，则点P是,ABC的()

I--T一--1--「一T-1

A.三条内角角平分线的交点B.三条中线的交点

C.三条高的交点D.无法确定

【变式】（2022秋•八年级单元测试）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点

AB、C、D、E、尸、G在小正方形的顶点上，贝U的重心是点.（从

D、E、F、G中选择）

例11.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木

板条（即AB、CD）,这样做的数学道理是什么？

【变式1】如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四

条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能

收缩的原因和固定方法吗？

【变式2】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条.那么要使五边形木

架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变

形.又至少要钉多少根木条？

【过关检测】

一、单选题

1.（2023秋•八年级课时练习）下列说法中错误的是（）

A.三角形的高、中线、角平分线都是线段B.三角形的三条中线都在三角形内部

C.锐角三角形的三条中线一定交于同一点D.三角形的三条高交于同一点

2.（2023秋•广东汕头,八年级统考期末）如图，若CD是，ABC的中线，AB=2Q,则3D=

（）

3.（2023秋•河北保定,八年级统考期末）如图，CD,CE,C尸分别是AABC的高、角平

分线、中线，则下列各式中错误的是（）

A.AB=2BFB.ZACE^-ZACBC.AE=BED.CDLBE

2

4.（2023春•广东东莞•八年级校联考期中）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相

等的两部分的是（）

A.三角形的中线B.三角形的角平分线C.三角形的高D.以上答案均正确

5.（2023秋•辽宁葫芦岛•八年级统考期末）下列四个图形中，线段BE是AABC的高的是

（）

6.（2022秋,内蒙古通辽•八年级校考期中）三角形三条（）的交点叫做三角形的重心

A.高B.角平分线C.外角角平分线D.中线

7.（2023秋•浙江湖州•八年级统考期末）如图，是「A5C的中线，E是AD的中点，连

结BE,CE.若ABC的面积是8,则图中阴影部分的面积为（）

A.4B.5C.5.5D.6

二、填空题

8.（2023秋•湖南株洲•八年级校考期末）如图，AO是‘ABC的中线，已知△ABD的周长

为16cm,AB比AC长3cm,则ACD的周长为

9.（2023秋•八年级课时练习）如图，A3是△ACE的边上的高；在△AEC中,

CD是上的高，8还是，的高；EF是的边上

10.（2023秋•八年级课时练习）如图，AD,AE分别是J1BC的高和中线，已知

A£>=5cm,CE=6cm,贝/ABC的面积为.

11.（2023春•浙江•八年级专题练习）如图，在.ABC中，已知点。，E,歹分别为边

BC,AD,CE的中点，且ABC面积等于8cm2,则△麻户的面积等于cm2.

12.（2023秋•浙江台州•八年级统考期末）如图，BD是ABC的中线，G是上的一点,

且3G=2G£>,连接AG,若的面积为6,则图中阴影部分的面积是.

13.（2023秋•四川眉山•八年级统考期末）如图，AO是的中线，已知的周长为

30cm,AB比AC长4cm,则ACD的周长为.

A

14.（2023秋•湖南郴州•八年级校联考期末）如图，在ABC中，已知点£＞、E、尸分别为

BC、AD.CE的中点，若ABC的面积为4m2,则阴影部分的面积为cm2

15.（2023春・江西萍乡•八年级统考期中）如图，在RZEIABC中，fflC=90°,平分13cA8,

CD=3,AB=12,则EAB。的面积为.

c

三、解答题

16.（2023秋•安徽宣城•八年级统考期末）如图，一ABC的两条中线AM、8N相交于点

O,已知...ABC的面积为14,8OM的面积为3,求四边形MOVO的面积.

BC

17.（2023秋•八年级课时练习）在锐角；ABC中，AB=U,AC=10,BE、CO分别是

_ABC的边AC、AB上的高，RBE=6,求CD的长.

18.（2023春•黑龙江绥化•八年级校考阶段练习）如图，已知AD,/店