9.3 分式方程【十大题型】（举一反三）（沪科版）（学生版）

专题9.3分式方程【十大题型】【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1解分式方程的一般方法】 ④作答【题型1解分式方程的一般方法】【例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1x-2【变式1-1】（2022·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：(1)2xx+2(2)1x+3【变式1-2】（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=________时，分式x-8x【变式1-3】（2022·上海·上外附中七年级期末）解方程：x+5【知识点2换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程：另（x－y）=u，则原方程转换为：方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。【题型2换元法解分式方程】【例2】（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：解方程：x-1x-解：设y=x-1x，则原方程化为：y-4y=0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2∴当y＝2时，x-1x=2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，x-1x=-2经检验：x＝﹣1或x=1∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=1上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：(1)若在方程x-1x+xx-1=52中，设＝y，则原方程可化为(2)模仿上述换元法解方程：x-1x+2-3x-1【变式2-1】（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程x2+1x-x3xA．3y2+3y-1=0C．3y2-y+1=0【变式2-2】（2022·上海·八年级课时练习）如果16x2-8xA．1 B．-1 C．±1 D．4【变式2-3】（2022·上海·九年级专题练习）解方程组：1x+【知识点3分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3裂项法解分式方程】【例3】（2022·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律：11×2=11–12；12×3=12–13；1解答下面的问题：(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将1n(n+1)(2)说明你（1）中式子的正确性；(3)直接写出11×2+12×3+13×4(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：11×3【变式3-1】（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：11×2=1-12,12×3=12-13,13×4=【变式3-2】（2022·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：1(1)由此可推断：142=___(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___；(3)仿照以上方法解方程：3【变式3-3】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式：111……(1)填空：142＝＝(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律：．(3)请用（2）中的规律解方程：1x(x+1)【知识点4根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】（1）方程无解，即方程的根为增根；（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围【题型4根据分式方程的解求值】【例4】（2022·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程2axa-x=83的解为x=1，则A．-1 B．1 C．4 D．8【变式4-1】（2022·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程3x-1=x+axx-1的增根是x=1A．1 B．-1 C．2 D．-2【变式4-2】（2022·北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程2x-mx-3=3的解，则m的值为【变式4-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的方程axx+1+3x+1+3xA．2 B．3 C．4 D．6【题型5已知分式方程有解或无解求参数】【例5】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程1-axx-2+2=12-x有解，则【变式5-1】（2022·湖南·八年级单元测试）若关于x的分式方程1x-2+x+mx2-4A．-6 B．-10 C．0或-6 D．-6或-10【变式5-2】（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程xx-2+2m2-x=3mA．1或13 B．1或3 C．13 D【变式5-3】（2022·重庆·二模）若关于x的不等式组2x-m≥-132(x+23)+12≤9A．7 B．10 C．13 D．21【知识点5增根的讨论】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。【题型6已知分式方程有增根求参数】【例6】（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程5x-42x-4=2x+k3x-6有增根，则【变式6-1】（2022·浙江宁波·七年级期末）用去分母的方法解关于x的分式方程2-xx-3=a3-x-2【变式6-2】（2022·江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x的方程xx-1-A．2 B．1 C．k≠2且k≠-2【变式6-3】（2022·全国·八年级）若关于x的方程mx2-9【题型7已知分式方程有整数解求参数】【例7】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x的不等式组x3-4＜-2x+332x+a-2≥51-2x，有且仅有四个整数解，且使关于yA．−2 B．3 C．5 D．10【变式7-1】（2022·安徽·九年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程8-ax2-x﹣2＝xx-2有整数解，则符合条件的所有A．7 B．11 C．12 D．13【变式7-2】（2022·重庆一中八年级阶段练习）关于x的不等式组a+x3≥x+131-3(x-1)＜14+2x有解且至多有4个整数解，关于yA．4 B．8 C．11 D．15【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组{x-3(x-2)>-2a+x2<x有解，关于y的分式方程ay-14-yA．0 B．1 C．2 D．5【题型8根据分式方程解的取值范围求参数的范围】【例8】（2022·重庆一中九年级阶段练习）若关于x的不等式组x-a2>03x+15≥x-1有解，且关于yA．﹣8 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【变式8-1】（2022·山东·龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程2x+m=3x+3有负数解，则【变式8-2】（2022·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x的方程x-1x-3=2+kx-3的解大于1，则【变式8-3】（2022·山东济南·八年级期中）若关于x的分式方程x+ax-2+2a2-x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1A．18 B．16 C．12 D．6【题型9解分式方程的运用（规律问题）】【例9】（2022·山东聊城·八年级期末）已知：①x+2x＝3可转化为x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x2＝②x+6x＝5可转化为x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x2＝③x+12x＝7可转化为x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x2＝4根据以上规律，关于x的方程x+n2+nx-3＝2n+4【变式9-1】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程①1x+1=2x+1②2x+1=4x+1③3x+1=6x+1④4x+1=8x+1（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解．【变式9-2】（2022·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料：方程1x+1-1方程1x-1方程1x-1-1(1)请直接写出方程1x-4-1(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为-5的分式方程：________；(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________．【变式9-3】（2022·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．通过计算，发现：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14的解为(1)观察猜想：关于x的方程x+1x=n+1n(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程x+1(3)实践运用：对关于x的方程x-1x=m-1m的解，小明观察得“x1=m”是该方程的一个解，则方程的另一个解x【题型10解分式方程的运用（新定义问题）】【例10】（2022·辽宁大连·八年级期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a-b,a>b2bb-a（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；（2）若F(m,2)-F(2,m)=1，求出m的值．【变式10-1】（2022·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕b＝1b-1A．56 B．54 C．32【变式10-2】（2022·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b(其中a≠0)，都有a*b＝1a-a-ba，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2*1(1)求5*4的值；(2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x的值．【变式10-3】（2022·江苏扬州