集合与常用逻辑用语、不等式-2025届高三数学复习专项训练

集合与常用逻辑用语、不等式

（时间：120分钟满分:150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.[2024・武昌模拟]若集合A={x©N*|x是4与10的公倍数},3={x©1000},

则An§=（）

A.0B.{-20,20}C.{20}D.{20,30）

2.[2024•浙江名校联考]设命题?：V〃GN,n2<3n+4,则p的否定为（）

A.V〃GN,〃2>3〃+4B.V〃©N,«2^3n+4

C.BnEN,*三3九+4D.BHEN,/>3"+4

3.[2024.成都诊断]设集合A={2,3,a2-2a-3},B={Q,3},C={2,a}.若BUA,

Anc={2},则a=（）

A.13B.i1C.lD.3

4.[2024•广州调研]已知p：Q+2）（x—3）V0,q：|x—1|<2,则尸是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.[2024.济南质检]“x>y”的一个充分条件可以是（）

]X

A.2x~y>2B.f>VC.->1D.xP>"

6.[2023・无锡模拟]已知实数a,6满足如下两个条件：（1）关于x的方程3必一2x—

21

溺=0有两个异号的实根；（2匕+石=1.若对于上述的一切实数a,b,不等式。+

2。>川+2加恒成立，则实数机的取值范围是（）

A.（—4,2）B.（-2,4）

C.（—8,-4]U[2,+8）D.（—8,-2]U[4,+8）

7.[2024.泰安模拟]在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平称取药品.实验

一：小明将5克的祛码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实

验二：小芳将20克的祛码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡,

则在这两个实验中小明和小芳共称得的药品（）

A.大于20克B.小于20克

C.大于等于20克D.小于等于20克

8J2024.武汉质检］阅读下面文字：“已知吸为无理数，若（也）于为有理数，则存

在无理数。=0=陋，使得次为有理数；若（6）小为无理数，则存在无理数。=

（也#，b=\［2,此时或=［（6十］/=（业日/=（小卜=2,为有理数依据

这段文字可以证明的结论是（）

A.（陋）d是有理数

B.（也）十是无理数

C.存在无理数a,。，使得小为有理数

D.对任意无理数a,b,都有力为无理数

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

2

9.［2023•南京质检］设p=a+,，aGR,则下列说法正确的是（）

A.pN2/

B.“a>l”是“p>2g”的充分不必要条件

C.“p>3”是“a>2”的必要不充分条件

D.3tzG（3,+8）,使得2<3

10.［2024•太原质检］已知x,y均为正实数，且x+2y=4,则下列结论正确的是

（）

21

A.孙三2B-+-^2C.2x+4v28D.x2+4y2<8

11.［2023・武昌模拟］早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何

中项以及调和中项.毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类

中项,其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称审为正数a,

b的算术平均数，幅为正数a,b的几何平均数，并把这两者结合的不等式M

6>0）叫做基本不等式.已知实数a,6满足a>0,b>0,a+b=2,

则下列结论正确的有（）

的最小值是21芋B.3/+02的最小值为3

C.2g+也的最大值为3D„的最小值是2

题号1~~2~~3~~4~~5~~6~~7~~8~~9I10I11

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

［Ivl---Z7

12/2024•上海闵行质检］已知集合4={》4<1},3=H<0,若“xGA”是

“xdB”的充分不必要条件，则实数。的取值范围是..

13.［2024.浙江镇海中学模拟］能够说明“若0<a<6<c,则a<6c”是假命题的一

组实数a,b,。的值依次为.

.b

14J2023•福州模拟］若。克不饱和糖水中含有6克糖，则糖的质量分数为/这个

质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖,生活经验告诉我们糖

水会变甜，从而可抽象出不等式F->?(a>6>0,机>0),数学中常称其为糖水

不等式.依据糖水不等式可得出log32logl510(用或“>”填空)，并

写出上述结论所对应的一个糖水不等式.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.（13分）［2024•天一大联考］已知关于x的不等式『一ax—x+b<0.

（1）若此不等式的解集为{x|—求a,5的值；

（2）若。=。，求不等式的解集.

16.（15分）［2023•青岛质检］已知集合A={x£—x—12W0},B={X\JC-2X+1-

m^WO,m>0}.

（1）若机=2,求An（［RB）；

（2）x©A是xdB的条件，若实数机的值存在，求出机的取值范围；若不

存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任选一个，补充

到空白处）

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

17.（15分）［2024达州诊断］设函数人功=2广

⑴若火防力（x+附的解集为{x|x＜0},求实数m的值;

（2）若0＜。＜5,且人0=火。），求2+占的最小值.

aD1

18.（17分）［2024.南通质检］为了控制某种病毒的传播，某单位购入了一种新型的空

气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中

释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当

0W无W4时，产占一1;当4VxW10时，y=5—%.若多次喷洒，则某一时刻空

气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，

当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒

的作用.

（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？

（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂,6小时后再喷洒a（lWaW4）个单位的消毒剂，

要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求。的最小值.（精确到0.1,参考数

据：也心1.4）

19.(17分)[2023•长沙质检]已知函数人功=正=1+产G—3的定义域为集合D,

最大值为机，记g(a,b,c)=7^~+-；/,其中a,b,c是正实数.

b+cc+aa+b

⑴求m；

(2)VXF£),求证：“x)Wg(a,b,c).

集合与常用逻辑用语、不等式

1.C［因为A={xCN*IX是4与10的公倍数}={x£N*|x=2Qk,MN*}={20,40,

60,…},Q{xWR|Zl000},202=400—1000,402=1600>1000,所以4

n6={20},故选c.］

2.C［由题意可得，命题P：VZ7GN,4<3〃+4的否定为：3z?GN,z72^3z?+4.

故选C.］

3.B［因为医4所以才一23-3=0,

解得a=-1或a=3.

若a=-l,贝!|4=⑵3,0},C={2,一1},此时4n—{2},符合题意；若a

=3,则4={2,3,0},C={2,3},此时40仁{2,3},不符合题意.故选B.］

4.B［由题意知0：—2<T<3,(7：—1<JT<3.

因为(-1,3)(-2,3),所以p是q的必要不充分条件.故选B.］

5.D［由2r><=2，

得X—y>—l,

3

若x=l,y=~,则xVy成立,

所以由不能推出x>y；

由可得|x|>|引，不一定能推出x>y,例如当£=—3,y=2时，x>y

成立，但x>y不成立；

x

若亍>1,当yVO时，可得xVy-

因此，选项A,B,C均不符合题意；

因为由可得x>y,但由不一定能推出所以那是*

的充分条件，所以选项D符合题意.

故选D.]

ab

6.A[设方程3x—2x—ab=Q的两个异号的实根分别为豆,用,则xx=—r<0,

12O

/.ab>0.

21

又一+7=1，/.a>0,b>0,

ab

则a+26=（石+2力化+鼻=4+?+”24+2、=8（当且仅当a=4,b=2

\abjba\lba

时取“=”），由不等式a+28>/+2"恒成立，得瞽+2Z8,解得一4V/ZT<2.

•••实数"的取值范围是（一4,2）.故选A.]

7.C[设天平左、右两边臂长分别为a,儿小明、小芳放入的药品的克数分别为

5a2065a

x,y,则由杠杆原理得：5a=bx,ay=20b,于是y=---，故x+尸

baKb+

—^2y隹二迹=20,当且仅当a=2b时取等号.故选C.]

aba

8.C[题中文字并没有明确说明（娘）4是有理数还是无理数，故A,B错误；由

题意可知，无论（镜）V是无理数，还是有理数，总存在无理数a,b,使得才为

有理数，故C正确，D错误.故选C.]

9.BC[对于A项，当aVO时，显然有p小于0,A错误；

对于B项，a>l时，p=a+2,2\/a•2=2蛆时取等号），故充分性成

a\[a

立，

而022铺只需a>0即可，故B正确；

2

对于C项，2=〃+->3可得0<a<l或a>2,当a>2时,>3成立，故C正确;

a

22

对于D项，由Q3有a+/3+§>3,

故D错误.故选BC.]

10.BC[A选项：4=x+2y>2d拓,

所以xjW2,当且仅当x=2y,

即x=2,尸1时取等号，故A错误;

2卜1x+2y4

B选项:

xyxyxy

21

由A知xjW2,贝!|一十-22,故B正确;

xy

C选项：2*+4'22次口=2卷筋=

2卷=8,当且仅当x=2%即x=2,尸1时取等号，故C正确；

D选项：由x+2y=4,得16=:+44+2•x•2陋上+4卜+2><'+

即x+4y^8,当且仅当x=2y,

即x=2,尸1时取等号，故D错误.]

11.ABD

7+4福

(a+b)==2—

当且仅当当=当,

aD

即a=4小一6,6=8—4福时取“="，A正确;

对于B,3,+方2=3，+(2—/=4(才-a+1)=4，-9+3,当己=/6=^时，

3，+4取得最小值3,B正确；

对于C,由己+，=2,己>0,b>09

可令a=2sin2T,Z?=2COS2A[O<^<—j,

则2y[2+\ll)=2gsinx+镜cosx

=gibsin(x+O),其中锐角O由

sinT2

sinx—

1JIJIVs

确定,显然6Vx+(i><—+O,则当x+6=3,即“]时,

COS4>=~~j=cos

V5

__o9__

(2«+y[i),因此，当a=~,人=工时，2寸^+,取最大值C不正

UU

确；

flfn6、M(2—a)2(2—2?)24—4己+4।4—46+8f44^,

对于D,-+-=------------+(——~——=-------------+——7——=-+v(-8+(az

ababab短b)

+力=(^+^1-6=2^+^・

\ab)\ab)

(&+近一6=2e+，+2)—622义(2+2)—6=2,当且仅当a=6=l时取“=”，D

正确.故选ABD.]

12.{a\a>l}[由T<1,解得一1VxVL所以A={x\x<l}={x\—l<x<l}.

因为f+222,所以不等式听手VO等价于Ix\-a<0.因为“xWZ”是“xGB”

的充分不必要条件，

所以ZB,所以院。，则a>0,

所以不等式|x|一aVO,

即|x|Va,解得一aVxVa,所以8=工学<。,={R一aVxVa,a>0),又

AB,所以a>l,即{a|a>l}.]

13.pI，答案不唯一)[由“若0<a<b<c,则a<bcn是假命题可得，存

在a,b,c满足条件OVaVAVc,但a26c,

由此可得6>6c,故cVl,

若取c=J,a=；,贝心V6V),故可取故a,b,c的值依次为1)(答

乙qq乙oqj乙

案不唯一).]

14Y黑由14H(答案不唯一)[因为°Vlog32VL所以可得：1密2

log2log2+llog2log10

-5<5，55

log53log53+l即log53V嬴商—l°g由10

因log32VlogudO,

In2In10In2+ln5

故有17百(11115=ln3+ln5'

即IHSH>黑，答案不唯一」

15.解⑴由不等式的解集为3—1VxVl},可知方程^-ax-x+b=o的两根

a+l=—1+1=0,

为-1和1,则<

力=一1，

解得a=—1,b=—l.

(2)由6=a,原不等式可化为(a+l)x+aV0,因此(x—a)(^s■—1)<0.

当aVl时，原不等式等价于aVxVl,

即不等式的解集为{xlaVxVl}；

当a=l时，原不等式等价于(x—l)2V0,不等式的解集为。；

当a>l时，原不等式等价于IVxVa,

即不等式的解集为{x|1VxVa}.

综上，当aVl时，不等式的解集为

{x\a<x<l}；

当a=l时，不等式的解集为。；

当a>l时，不等式的解集为{xllVxVa}.

16.解(1)由不等式/一又一12=(工一4)(x+3)W0,解得一3〈尽4,

可得Z={x|-34后4},

当〃=2时，不等式

2x—3=(x—3)(x+l)W0,

解得一尽3,

即B={x[,

可得{x|xV—L或x>3},

所以Ad([R③={x|-3WxV-L

或3VW4}.

⑵由不等式x-2x-\-\—m=(£一.一1)(x+7一1)40(卬>0),

解得

所以夕={x|1—777^^1+加，227>0}.

若选择条件①，则集合力是6的真子集，

"1—/Z7^—3,

得</ZT+1^4,解得R24.

当勿=4时，3={x|-3WW5},AB,符合题意.

所以存在满足条件①的实数加，此时加的取值范围为[4,+8).

若选择条件②，则集合8是4的真子集，

’1—加2—3,

得<2Z7+1W4,解得0V辰3.

jn>0,

当勿=3时，3={x|-2W后4},则6A,符合题意.

所在存在满足条件②的实数如此时力的取值范围为(0,3].

若选择条件③，则集合4=8,

,1—/27=—3,

得《始卜1=4,无解，

jn>0,

所以不存在满足条件③的实数m.

17.解⑴不等式可化为>2声—，

故|X—11>|x+m—11,

两边同时平方可得：2mx<2m—而.

•••原不等式的解集为{x|xV0},故勿>0,

即xVl一5故1—3=0,0=2.

(2)Tf(a)=fC6),

•QIa_11__r)\b-l\

即|a—11=|b—11.

'：a<b,：.(a-l)+(Z?-l)=O,即a+b=2,

%£=€+占)匕+(~D]=5+,+片5+2心=9,

4(b—1)a

当且仅当

ab—19

即a=l，4

力=3时取“=”

oo

4,_1

的最小值为9.

ab~\

18.(1)解因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为

64

寸4,54,

f{x)=4y=<

〔20—2石4<J<10,

64

当0WW4时，由=一424,解得x20,此时0W后4；

OX

当4VW10时，由20—2x24,解得痣8,此时4VW8,

综上0WW8,所以若一次喷洒4个单位的消毒剂,则有效杀灭时间可达8小时;

(2)设从第一次喷洒起，经x(6WM10)小时后，其浓度为

g()(2)a(8—(x—6)0

16a

=10—^'14-xa

16a

=14-xa—4,

14—x

因为1