集合和常用逻辑用语（练习）-2025年北京高考数学二轮复习（解析版）

专题01集合和常用逻辑用语

目录

01模拟基础练.......................................................2

题型一：集合的基本概念..............................................2

题型二：集合间的基本关系............................................4

题型三：集合的运算..................................................7

题型四：充分条件与必要条件..........................................9

题型五：全称量词与存在量词.........................................12

题型六：以集合为载体的创新题.......................................14

02重难创新练......................................................22

题型一：集合的基本概念

1.下列五个关系式中正确的个数为（）

①{a,6}={6,a}；②如耳废也⑷；③{。}=0；©0c{O};⑤0e{0}.

A.3B.5C.4D.2

【答案】C

【详解】因为集合中的元素具有无序性，所以{。力}=伽。},故①正确；

因为ae{仇a}且{瓦a},所以{a,8}={/?,a},故②正确;

因为空集是不含任何元素的集合，所以{0}工0,故③错误；

因为空集是任意非空集合的真子集，所以0?{。},故④正确；

因为集合{0}中有一个元素0,所以0e{0},故⑤正确；

故选：C.

2.已知集合4={0-2,储+4d12},且—3eA,贝匹等于（）

A.-3或一1B.-1C.-3D.3

【答案】C

【详解】当。-2=-3时，得a=-l.此时4+4。=1-4=-3.止匕时集合4={-3,-3,12}.

因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.

当a2+4a=-3时，解方程/+4a+3=0,即（a+l）（a+3）=0,可得a=—1或a=—3.

若a=—1,则a-2=-3,此时集合A={-3,—3,12}.

不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.

若。=-3,则”-2=-5,此时集合4={-5,-3,12}.符合集合元素的互异性.

故选：C.

3.已知全集。={了€邪46}且4={尤2V5},则集合物中的元素有（）

A.2个B.4个C.5个D.7个

【答案】B

【详解】依题意，U={0,123,4,5,6},解不等式像45,得-#4x4下,则4={0,1,2},

所以e4={3,4,5,6},集合年A中的元素有4个.

故选：B

4.设集合A={(羽y)|尤一yNl,/x+y>3,x-ayV2},贝5|()

A.对任意实数a,(2,1)eAB.对任意实数a,(2,1)eA

C.当且仅当。>1时，(2,l)eAD.当且仅当a<0时，(2,1)eA

【答案】C

【详解】对A,若。=一2,则A={(尤,y)|x-yNl,4x+y>3,无+2y42},

将(2,1)代入不全部满足，此时可知(2,1)eA,故A错误；

对B,当a=2时，则A={(无,y)|x-yNl,4x+y>3,龙-2yW2},

将(21)代入全部满足，此时可知(2,l)eA,故B错误；

2-2

对C,若(2,1)EA,2/+1>3,解之可得a>l,所以C正确；

2-1>1

对D,当a=g,则A=1(x,y)|x-yNl,：+y>3/-^W2),将(2,1)代入不全满足，

所以(2,1)e4,故D错误.

故选：C

5.已知集合4=卜€2卜14%<2},则下列说法正确的是()

A.0=AB.0gAC.3eAD.-IeA

【答案】D

【详解】由于元素与集合的关系是属于或不属于，不是包含关系，故A错误；

因为A={XWZ|-IVX<2}={_1,0」},

所以BC错误，D正确.

故选:D

6.下列表示正确的个数是()

2x+y=10

(1)020；(2)0c{1,2}；(3)(x,y)={3,4}；(4)若A=3,则=(5){0}e{0,1,2}.

3x-y=5

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】空集中不含任何元素，故（1）正确；空集是任何集合的子集，故（2）正确;

2x+y=10，.x=3所以卜E2x+y=10

由y=4,={(3,4)},故⑶错误;

3x-y=5倚3x-y=5

若4=3,即集合A是集合B的子集，则An2=A，故（4）正确;

两个集合间的关系不能用e符号，故（5）错误.

故选：C.

7.已知集合4=x\mx2-2x+3=0,meR^,若A中恰有2个元素，则机的取值范围是（）

A.y,o)5。1)B.{0}

c.(-®,o)u(o,1]D.(-oo,；)

【答案】A

【详解】由集合A中恰有2个元素，得方程皿2一2x+3=0有两个不相等的实数根,

mwO1

因此A=4-12m>0-解得〃有且〃件°，

所以加的取值范围是（-8,。）口（。,；）.

故选：A

题型二：集合间的基本关系

8.设集合A={《a2=1,则不正确的是（）

A.—IGAB.{1}=AC.0GAD.{-1,1}cA

【答案】B

【详解】r=a\a2=1}={1,-1},显然A正确；B不正确;

因为0是任何集合的子集；任何集合都是它本身的子集，故c、D正确;

故选：B.

9.设集合A=2-8X+15=0},集合8={可依-1=0},若BIA=B,则实数。取值集合的真子集的个数

为（）

A.2B.3C.7D.8

【答案】C

【详解】A={X|X2-8X+15=0}={3,5},

因为3G4,

当3=0时，<2=0,

当3/0时，即时，令依-1=0,解得了=—,

a

1111

则一=3或一=5,则对应实数。的值为不工，

aa35

则实数a组成的集合的元素有3个，

所以实数a组成的集合的真子集个数有筋-1=7,

故选：C.

10.已知集合A={小2,B=|x|-l<x<l},则（）

A.ABB.BAC.A=BD.4八5=0

【答案】B

【详解】因为4=卜,2_彳_2<0}=卜卜1<尤<2},B={x|-l<x<l）,

所以3A.

故选：B.

11.若全集U={1,2,3,4,5}且2A={2,3},则集合A的真子集的个数为（）

A.3B.6C.7D.8

【答案】C

【详解】:全集。=口，2,3,4,5}且64={2,3},

/.A={1,4,5）,

由于集合A中有3个元素，故集合A的真子集共有23-1=7个.

故选：C.

12.已知集合M=|『尤=〃2+，,7〃€Z1,N=\x\x=---,n&Z>,P=<x\x=—+—,p&

Z》,则M、N、P

的关系满足（）

A.M=N=PB.M^N=PC.MqNqPD.NJPJM

【答案】B

［详解】N={#="|_g,"ez1^N=bk=\^,〃cZ

故尸=(x卜=SyL/eZ

由于尸=>XX=­H---,〃WZ

II26".

由于〃，。为任意整数，故加二=3（〃-1）+1=空1,因此N=P,

666

M—\j(\x=m+—3-(2m)+l

meZ>=<xx=mGZ>,

\I66

故MP,所以MN=P,故选：B.

13.已知a版/R,若集合卜。=一"o},贝卜的十产4的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

b

【详解】根据题意。力0,故2=0,则b=0,

a

故{a,0,1}={4。4,0},贝1]。2=1,即。=±1,

当。=1时，与集合的互异性相矛盾，故舍去，

当a=-L,>=0时，{一1,0,1}={1,-1,0},符合题意，

所以产+产=1,

故选：C.

14.设集合M={x|x=g,Aez],N=[x\x=k7i+^,k&7^,贝I]〃、N的关系是（）

A.M=NB.M=NC.McN=0D.M

【答案】D

.、、，，f（kit1f5兀c3兀兀八兀371c5兀i

[详解]因为=k=,…,,-7i,--,0,—,7i,--,2K,->,

（乙।।乙乙乙乙乙乙।

f..兀77]f5兀3兀兀兀3兀5兀7兀]

[2J[2222222J

所以MqN,McN=N.

故选：D

题型三：集合的运算

15.已知集合4={-2,TO},B={-1,1,2},则AU3=()

A.{—1}B.{-2,2}C.{-2,—1,0,2}D.{-2,—1,0,1,2}

【答案】D

【详解】AUB=(-1,-2,0,1,2}

故选：D

16.设集合M={x|-l<x<l},N={x[04a<3},则()

A.{x|-l<x<3}B.{x|O<x<l}C.{x[O<x<l}D.{x|-l<x<0}

【答案】B

【详解】根据交集的概念和运算可得A/nN={x[O<x<l},

故选：B.

17.已知集合4=卜|彳一2<0},8={吊必+2彳一3<0},则集合AU^=()

A.(-1,2]B.(—3,1)

C.(-oo,2]D.~,3]

【答案】C

【详解】由x-2W0=>尤V2,所以A=(YO,2].

由Y+2X-3<0=>(-^+3)(X-1)<0=>-3<x<l,所以8=(-3,1).

所以AU3=(YO,2].

故选：C

18.已知集合/={xeN|l〈xW18},集合A,B,C满足：①每个集合恰有6个元素②AU8UC=A/,集合

P中元素最大值与最小值之和称为P的特征数，记作X(P).则X(A)+X(8)+X(C)的最大值与最小值之和

().

A.116B.132C.126D.114

【答案】D

【详解】因为A,氏C满足:①每个集合都恰有6个元素；②AUBUC=M,

所以A,民C一定各包含6个不同数值，

集合A,民C中元素的最小值分别是1,2,3,最大值是18,13,8,

特征数的和X(A)+X(8)+X(C)最小，如：A={1,14,15,16,17,18},特征数为X(A)=19；

3={2,9,10,11,12,13},特征数为X(3)=15；

C={3,4,5,6,7,8},特征数为X(C)=H；

则X(A)+X(B)+X(C)最小，最小值为19+15+11=45；

当集合A,民C中元素的最小值分别是1,6,11,最大值是18,17,16时，

特征数的和X(A)+X(B)+X(C)最大，

如：4={1,2,3,4,5,18},特征数为X(A)=19；

B={6,7,8,9,10,17},特征数为X(3)=23；

C={11,12,13,14,15,16},特征数为X(C)=27；

则X(A)+X(3)+X(C)最大，最大值为19+23+27=69,

故X(A)+X(8)+X(C)的最大值与最小值的和为45+69=114.

故选：D.

19.已知集合尸={小+220},e={x|x-l<0},则尸CQ=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<xVl}

C.{x\x>-2}D.R

【答案】A

【详解】由已知可得尸={小12},e={x|x<l},

所以PcQ={R-2<尤<1}.

故选：A.

20.已知全集。=此4={%|—2W%W3},B={X[%<—1或%>4},则集合4口&3=()

A.{x|—2W%<—“B.[x\-l<x<3}C.{xlx<3^x>4}

D.{x\-2<x<4}

【答案】B

【详解】因为全集。=艮4=口|一24》43},8={幻》<-1或》>4},

则63={x|-14x44},所以an@3）={x|-1VXM3}.

故选：B.

21.已知集合A={0,L2},B={-2,-1,1,2},则AUB=（）

A.{-2-1,0,1,2}B.{-2,-1,1,2}

C.{-2,-1,0,1}D.{-2,0,1,2}

【答案】A

【详解】由于集合&={0,1,2},B={-2,-1,1,2},

所以Au8={-2,-1,0,1,2},

故选：A.

题型四：充分条件与必要条件

22.“彳-1=0”是i=o”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由彳-1=。解得x=l；

由--1=o解得x=±1；

所以“x-1=0”是“x2-l=0”的充分不必要条件.

故选：A

23.已知/（力=/一3彳，贝『飞+马=0”是“/（石）+/（9）=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为〃x）=x3—3x,所以〃一%）=一/+3彳，

故-〃X）=〃T），即“X）是奇函数，

若玉+马=0,可得玉=一马，故/（再）=/（一尤2）=-/（X），

可得〃药)+/(%)=°，故充分性成立，

令石=0,%=石，此时满足/(%)+/(々)=0,

但不满足%+工2=。，故必要性不成立，故A正确.

故选：A

24.已知直线相，”，平面口,〃?//〃，相仁打,那么“"〃直‘是"zn〃以"的()

A.充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】当〃//a时，由于根〃〃，加仁可以得到〃〃/6z,充分性成立，

但加//«不能推出〃//a,因为可能在a内，必要性不成立.

故选：C

25.设。，6是实数，则“口>621”是+；的()

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

［详解］当Q>621时，++=〃_匕+［_(］=(〃

则a—Z?>0,1——>0,故(a—|>0,^fla+—>b+—.

ab\abJab

i^a>b>l”是“a+->b+^的充分条件；

ab

当〃+!>/?+1时有［a=〉0,

ab\a)\b)\abJ

故当时，>0,即ab<0或

ab

当avZ?时，——-<0,即0vaZ?v1.

ab

故七>"N1”不是的必要条件；

ab

综上有“。>处1”是“。!。的充分不必要条件.

ab

故选：A

26.设集合A的最大元素为M,最小元素为加，记A的特征值为XA="-/〃，若集合中只有一个元素，规

定其特征值为o.己知A，4，A，4是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且

XA+X4+X&+…+X4=6。，则〃的最大值为（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【详解】由题设4，4，4,4中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，

要使〃最大，则各集合中-相（77eN*）尽量小，

所以集合4，4，4的元素个数尽量少且数值尽可能连续，

所以，不妨设有X&+XJXJ…+x「铝’

当〃=11时，X&+Xa+X&+…+X%=55<60,

当〃=12时，X&+X&+X&+…+X4=66>6°,

只需在〃=11时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故〃的最大值为11.

故选：B

27.已知直线/：x+2y+t=0,曲线C：丫=而"，则"/与C相切”是“r=2君”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】易知曲线C：丁=4二7可化为f+y2=4（yN0）,表示圆心为（0,0）,半径厂=2的上半圆；

易知直线x+2y+/=0可化为y—，

当t=2若时，圆心（0,0）至I］直线x+2y+275=0的距离为d=J^L=2=r,

71+4

此时/与下半圆相切，如下图所示，不合题意，即必要性不成立；

Idl、

若/与C相切，可知"=工^=，=2，解得/=2q或，=-2有；

检验可知只有当"-2百时，直线/与C相切，即可得七一2百，所以充分性不成立;

所以“/与C相切”是“t=2百”的既不充分也不必要条件.

故选：D

X+]

28.已知xeR,贝l]“一lWx42”是“---40”的()

x-2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】立解得：_1—<2,

x-2-2w0

集合同一1«%<2}同一1<x<2},

Y-U1

所以“-14xW2”是“^-<0”的必要不充分条件.

x-2

故选：B

题型五：全称量词与存在量词

29.命题“心€2,|回>0”的否定是()

A.Vx^Z,|x|>0B.VXGZ,|X|<0

C.3x^Z,|x|>0D.3XGZ,|X|<0

【答案】D

【详解】命题“VxeZ,|’|>0"的否定为：^eZ,|%|<0.

故选：D

2x

30.记命题P：3x<l,X<2,贝!）力为（）

A.3%>1,X2>2XB.Vx>l,X2>2X

C.Vx<l,X2>2XD.3x<l,X2>2X

【答案】C

【详解】由命题P：玉<1,%2<2%,

可知M：Vx<l,x2>2S

故选：C.

31.命题“VXER,/+IK0"的否定是()

A.,x3-x2+1>0B.BXGR,x3-x2+l>0

C.3XGR,%3-%2+l>0D.VXER,X3-X2+1>0

【答案】B

【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为3XER,%3-X2+1>0.

故选：B

32.已知命题P：3x0GR,%；+2元0+。W。是假命题，则实数〃的取值范围是()

A.(-co,l]B.[l,+oo)C.(-oo,l)D.(l,+oo)

【答案】D

【详解】由于“玉：O£R,%；+2%o+。《。”为假命题，

故其否定为“VXER,炉+2%+〃>o”为真命题，

则△=4—4a<0,得a〉1,

故选：D

33.已知命题P：*eR,(m+l)(x2+1)<0,命题/-inx+l>0恒成立.若P和4至多有一个为

真命题，则实数机的取值范围为()

A.[2,+00)B.(-1,2]

C.(―oo,—2]U2+co)D.(—°0,—2](—1,+oo)

【答案】D

【详解】当命题P为真命题，即玉eR,使(祖+D(尤2+1)40成立，得到加+1<0,即机WT,

当命题4为真命题，即对Vx^R,—加；+1>O恒成立，得到A二病—4<0,

即一2<加<2,

人fm<—1

所以当命题P和命题4同时为真命题时，有1,即-2<机4-1,

[一2<m<2

又命题P和命题至多有一个为真命题，所以机<-2或相>-1,

故选：D.

34.若命题“天£艮％2+如+1<0”为假命题，则实数小的取值范围是()

A.(-°°,-2]U[2,+oo)B.(-2,2)

C.（-。,-2）。（2,+8）D.[-2,2]

【答案】D

【详解】由命题“3xGR,x2+mx+l<0”为假命题，则命题“V%cR,Y+如+1>o”为真命题,

即不等式f+如+1之。在xcR上恒成立，

则满足A=冽2—4<0,解得一2〈帆<2,即实数机的取值范围是[-2,2].

故选：D.

35.命题“V%G[1,2],X2-OX+1<0”为假命题的一个充分不必要条件是.

【答案】«<|（答案不唯•）

【详解】由题设，Vxe[l,2],a>x+L为假命题，故改41,2],。Vx+1为真命题,

XX

又丫=*+L在XC[1,2]上递增，则只需即可，

所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是a<|.

故答案为：«<（（答案不唯一）

2

题型六：以集合为载体的创新题

36.设集合S,T,SqN*,TqN*,S,T中至少有两个元素，且S,T满足：①对于任意x,yeS,若xwy,

都有孙eT；②对于任意若无<y,则^eS；则集合S可以是（）

X

(1)5={1,2,3}(2)5={1,2,4}(3)S={1,2,4,8}(4)5={2,4,8,16}

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)

【答案】C

【详解】对于(1),易知2,3eT,所以应有：eS,矛盾，即(1)错误；

AQQ

对于(2),易知2,4,8eT,>-=-=2eS,-=4eS,

242

则可取T={2,4,8}满足题意，即(2)正确；

对于（3）,易知2,32GT,所以应有]~=16£S,矛盾，即（3）错误;

对于(4),易知8,16,32,64,128GT,且

12864_323=2小反金%=47，三?-S笆=16小

32-168321681688

则可取T={8,16,32,64,128}满足题意,即（4）正确；

故选：C.

37.设集合S={4，A，4},在S上定义运算㊉：4㊉ALA.,其中％为i+j被3除的余数，i,je{o,l,2},

则使关系式（4㊉A）㊉A=4成立的有序数对亿））共有（）

A.0对B.2对C.3对D.4对

【答案】C

【详解】由定义可知满足（A㊉A,）㊉A=4成立的有序数对（盯）应保证0+J）除以3的余数加i后除以3等

于0,

i=O,）=0,（0+0）除以3的余数是0,（0+0）除以3的余数是0；

i=0,J=1,（0+1）除以3的余数是1,。+0）除以3的余数是1；

1=0"=2,（0+2）除以3的余数是2,（2+0）除以3的余数是2；

i=l,/=0,（l+0）除以3的余数是1,（1+1）除以3的余数是2；

力=1"=1,。+1）除以3的余数是2,（2+1）除以3的余数是0；

，=1,/=2,（1+2）除以3的余数是0,（0+1）除以3的余数是1；

，=2,）=0,（2+0）除以3的余数是2,（2+2）除以3的余数是1；

i=2J=l,（2+l）除以3的余数是0,（0+2）除以3的余数是2；

i=2,/=2,（2+2）除以3的余数是1,（1+2）除以3的余数是0；

所以满足条件的数对有（0,0）,（U）,（2,2）,共3对，

故选：C.

38.用Card（A）表示非空集合A中的元素的个数，定义A*3=|Card（A）-Card（B）,若4={-1/},

3=卜］（依2+3x）（/+ax+2）=0},若4*3=1,设实数°的所有可能取值构成集合S.则Card（S）=（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

［详解］Card（A）=2,要使A*B=|Card（A）_Card（3）|=|2_Card（3）|=1,

则Card（B）=1或Card（B）=3.

当a=0时，B={X|3X（X2+2）=0}={0},满足Card（B）=L

当〃。0时，首先办之+3x=x（依+3）=0有两个不同的解X=0或兀=一一,

其次，对于％2+分+2=0,A=/一8,

当A=。时，a—2A/2或a=—2\/2，

当a-2,\/2日寸，x?+ax+2—+2*\/2x+2=（x+y［^2.）—0,x——yf2,,

此时B=［,,满足Card（_B）=3.

当々=—2A/^时，/+QX+2=%?—+2=（九一=0,%,

此时B=［后,0,-东卜］逝,0,-竽］,满足Card（B）=3.

当△<（）,即一20<Q<2后时，f+分+2=0无角轧Card（B）=2不符合题意.

当A>0,即〃<-2后或〃〉2夜时，

/+依+2=0的解为了=一"&W或x=

22

%=0不是％2+改+2=0的角轧

当a=3时，B={09-l,-2},满足Card（3）=3,

当Q=—3时，6={0,1,2},满足Card（5）=3,

当4«-8,_3）“_3,-2后卜（20,3）53,+8）时，Card（B）=4,不符合题意.

综上所述，5={0,2A/2,3,-2"-3},Card（S）=5.

故选：B

39.已知集合S={（尤,y<10,xeN,yeN}.若A=S,且对任意（a,6）eA,（c,d）eA,均有

（c-o）（6?-Z7）>0,则集合A中元素个数的最大值为（）

A.20B.19C.11D.10

【答案】B

【详解】

由题知：fto-51={(%,y)|l<x<10,l<y<10,^eN,j；eN|.若A=S,且对任意(a,b)eA,(c,J)eA,均有

(c-o)(c?-Z?)>0,

作如下等价转化：在符合题意的这些点中怎样取，保证趋势不下降的同时取的点最多，

因此集合A中元素个数最大时元素可以为：

(1,。,(1,2),。,3),...(1,8),(1,91(1,10),(2』0),...(8,10),(9,10),(10,10)共19个,

也可以是(1,1),(2,1),(3」),…(8,1),(9,1),(10,1),(10,2),…(10,8),(10,9),(10,10)共19个，(还有其他取法只要保

证这些点的趋势不下降即可).

故选：B.

40.设集合^1={(%,程三,三)|%e{0,l},i=l,2,3,4}.对于集合M的子集A,若任取A中两个不同元素

(*%，/，%)，G，&谄，Z”)，有％+%+%+M=Z1+Zz+Z3+Z4,且％+Z],%+Z2,%+Z3，M+Z4中有且只有一个为

2,则称A是一个“好子集”.下列结论正确的是()

A.一个“好子集”中最多有3个元素B.一个“好子集”中最多有4个元素

C.一个“好子集”中最多有6个元素D.一个“好子集”中最多有8个元素

【答案】A

【详解】％+Z],%+Z2,%+Z3，M+Z4中有且只有一个为2,不妨设X=Z]=1,

则为+Z2,为+Z3，y4+Z4三者为1或0,

若%+22，为+23，刃+24三者均为0,则此时A中只有1个元素，即A={(1,0,0,0)},

不合要求，舍去,

若%+马，%+z3，y4+4三者中有1个0,则4={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0」)},有3个元素，满足要求，

若%+Z2,%+Z3，M+Z4三者中有2个0,或没有0,则此时不满足X+%+%+y4=Z|+Z2+Z3+Z4，

综上，一个“好子集”中最多有3个元素.

故选：A

41.己知集合/a{a|a=(x,y),x,yeR},若对于任意,以及任意实数[0,1],满足力n+(l-2)〃e/,

则称集合/为“封闭集”.下列说法正确的是()

A.集合A=[a\a=(x,y),y>x>]为“封闭集”

B.集合B={《a=(x,y),y41nx}为“封闭集”

C.若4门3是“封闭集”，则A,8都是“封闭集”

D.若A,B都是“封闭集”，则AU8也一定是“封闭集”

【答案】B

【详解】设坑=加，为=两，OD=^m+(l-^n=A,OM+0.-A)ON,/le[0,l]；

贝l|D5-丽=/1而一时,即可得标=4瓯Xe[0,l],则点O在线段MN上，

由题意可得，若对于任意两，诉e/,线段MN上一点。，都有历e/,则集合/为“封闭集”，

3x

对于A,集合A={a|a=(x,y),y>x},若对于任意的尸(%，%),Q(x2,力)满足X之龙;,力^i>则历，诙eA,

函数y=V如下图，显然线段PQ上任意一点。(三,%)，不一定满足％上石，

故集合A={a1a=(x,y),yNX5}不为“封闭集，，，即A错误;

对于B,若8={a|a=(x,y),yWlnx},对于任意的G(三,为)，,y$)满足”<124，为《足三,则诟，两&B,

函数y=lnx如下图，显然线段Gq上任意一点E(%,%),都有为《In%,即次5eB;

故可得集合B={“Ia=(x,y),yWInx}为“封闭集”，即B正确；

对于C,由选项A可知集合4={。1。=(工,丫),〉2/}不是“封闭集”，

根据对称性，如图1可知B={a1a=(x,y),y»-x3}不是“封闭集”，

则AcB表示集合为阴影部分表示的点构成的区域如图2,显然任意的丽丽eAcB,

则线段PQ上任意一点。，都有而eAcB,故AcB是“封闭集”，故C错误，

对于D,若A,3都是“封闭集”，不妨取A={a|o=(x,y),y=x},B={a\a=(x,y)^y=-x］；

对于任意的,(K,,Qi("，%')满足=&'，%'="，J?!JOI\,OQGA,

函数y=x如下图，显然线段AQ上任意一点都有为即西eA；

故A={a|a=(x,y),y=x}为“封闭集”，同理可得3=伍1。=("),>=一灯也为“封闭集”；

而AUB的图象如下：显然西，西eA|jB,但线段R同上任意一点7；不满足y=x,也不满足丁=一%，即

西EA|jB,

即ALJB不一定是“封闭集”，即D错误.

故选:B.

42.定义：若对平面点集A中的任意一点(1,%),总存在正实数『，使得集合

,尤,y)J("Xo)2+(y-yo)2<rjcA,则称A为一个“开集”.给出下列集合：

①{(x，y),+y2=1}；@{(x,y)|x+y+2>o)；

③{(x,y)||x+y|〈6}；@|(x,y)O<x2+(y-V2)<lj.

其中为“开集”的是.

【答案】②④

【详解】①{(%，),+y=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，

则在该圆上任意取点(1,%),以任意正实数r为半径的圆面，

22

均不满足j(x,y)^x-x0)+(y-y0)<r|cA故①不是开集；

②{(x,y)归+y+2>0},在平面点集A中的任取一点(七,％),

设该点到直线的距离为d,取r=d,

则满足［x,y)<rjcA,故该集合是开集；

③{(x，y)卜+y|46},在曲线|x+y|=6任意取点(七,%),以任意正实数r为半径的圆面，

22

均不满足卜x,y)y/(x-x0)+(y-y0)。卜A,故该集合不是开集；

@(x,y)O<x2+(^-V2)2<l!,表示以点(0,3)为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面,

在该平面点集A中的任一点，则该点到圆周上的点的最短距离为d,取r=4,

则满足"y)J(x-X。)+(y_%)2<£A,故该集合是开集.

故答案为：②④.

43.已知集合5={1,2,3,…,1000},设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素

元,y(x>y)，若x—y都不能整除x+y,则称集合A是s的“好子集”.

①集合P={2,4,6,8}与Q={1,4,7}是集合S的“好子集”的是；

②集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为.

【答案】Q334

【详解】①由于4-2-2整除4+2=6,所以集合P不是集合S的“好子集”；

由于4—1=3不能整除4+1=5,7—1=6不能整除7+1=8,7—4=3不能整除7+4=11,所以集合。是集合

S的“好子集”；

②若集合A是集合S的“好子集”，则因为若x-y=l,则会被x+y整除；

因为若x-y=2,则同为奇数或偶数，则x+y为偶数，则x—y能被x+y整除，所以x-yw2；

所以尤-丁23

设集合&={%,。2，。3，“-0,}(%<%</<…<%)是集合S的一个“好子集”，

令a,4]-q=b->3(z=l,2,,

a2—at=,a3—a2=b2,an—=bn_t,

于是累加得4—q=bt+b2+...+bn_l>3(n—1),

从而3(n-l)<(/„-(/1<1000-1=999,所以〃4334,

另一方面，取4={1,4,7,…,997,1000},其中任意两元素差值y)都不能整除x+y,故其是“好子集”，

此时集合A有334个元素，且是集合S的一个“好子集”，

故集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为334.

故答案为：Q；334

㈤2

//

1.（2024•北京朝阳•二模）已知是两个互相垂直的平面，/,"z是两条直线，ac[J=l,则"_U”是，J_a”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由题意知，aL13,a^（3=l,

若加_U,当77ZU/时，有〃?_!_0；当“7Z尸时，加与a可能相交、平行、垂直.

若由/ua,得

故±/"是"租」a”是必要不充分条件.

故选：B

-►-►-►-►-►-►->->-►-►-►-►

2.（2024•北京东城•二模）已知平面向量q,e2,63,e4是单位向量，且qLe2,贝《=e?q”是"9=0”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】因为平面向量m，晟，可是单位向量，且4_L最，

不妨设q=（l,0）,e2=（0,1）,

若泡在W，例如"但当，口健当,

aITITIT/uu

满足q-63=62-64=《-,但63・64=1*0,即充分性不成立;

V2V2血5/2

若可石=0,例如《3=3F3F

一一一ITIT/ITIT/uuuu

满足心・/=。，但,.03=--—,^2-^4=^-＞即G•%•/，即必要性不成立;

综上所述：“％0f4”是“%•/二°”的既不充分也不必要条件•

故选：D.

3.(2024.北京东城.二模)已知集合A={#+1<0},B={x|-2<x<l},则A|JB=()

A.{x|x<l}B.[x\-2<x<l]

C.{x\x>-2^D.{.-24x4-1}

【答案】A

【详解】A={x|x+l<0}={x|x<-l),

所以={x\x<—1}{x|—2<x<1}={%|x<l}_

故选：A.

4.(2024•北京西城・二模)已知aeR,6eR.贝广ab>l”是“/+/>2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当而>1时，则/+从22位>>2,当且仅当。=6时取等，所以充分性成立，

取°=-4,6=1,满足〃+廿>2,但必<1,故必要性不成立，

所以“ab>1”是“a2+b2>2”的充分不必要条件.

故选：A.

5.(2024・北京昌平•二模)设加，〃是两条不同的直线，是两个不同的平面，且%u%c〃力，则

是“"_1_利”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为&//月，当”，，时，e,又相ua,所以〃，加，即〃，〃可以推出〃，机，

如图，在正方体中，取平面ABCD为。平面，平面AAGA为月平面，直线BC为直线加，直线GR为直线

”,

显然有相uar,a〃分，n±m,但“u^,即〃」推不出"_L/?,

所以“〃，/?”是“〃的