集合和常用逻辑用语（讲义）-2025年北京高考数学二轮复习（解析版）

专题01集合和常用逻辑用语

目录

01考情透视•目标导航............................................................1

07军nt口旦囱.田姓己I白吉q

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................6

05核心精讲•题型突破............................................................8

题型一：集合间的基本关系8

题型二：集合的运算11

题型三：充分条件与必要条件13

题型四：全称量词与存在量词18

重难点突破：以集合为载体的创新题21

考情透视•目标导航

有关集合的北京高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主,

分值5分.近年来试题以集合的运算为主，多与解不等式等内容交汇，新定义运算也有较小的可能出现，属于基

础性题目，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的

训练.而常用逻辑用语主要考查充分条件与必要条件,容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何内

容交汇，基础性和综合性题目居多.主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年北京卷第1题，5分

2023年北京卷第1题，5分

熟练掌握集合的预测2025年高考，集

2022年北京卷第1题，5分

集合的运算并'交'补集运算合与逻辑用语主要以小题

2021年北京卷第1题，5分

方法形式出现，也有可能会将

2020年北京卷第1题，5分其渗透在解答题的表达之

2018年北京理科第1题，5分中，相对独立.具体评估

为：

(1)以选择题或填空

2023年北京卷第8题，5分题形式出现，考查学生的

2022年北京卷第6题，5分综合推理能力.

理解充分必要，掌

2021年北京卷第3题，5分(2)热点是集合用于

充分条件与必要条件握逻辑判断，熟练

2020年北京卷第9题，5分创新题中，加强学生的逻

应用题解

2019年北京理科第7题，5分辑推理思维能力。

2018年北京理科第6题，5分

以集合为载体的创新题

知迫捺―・方法怙g

1、集合的运算性质

(1)AA=A,A\0=0,A।B=B\A.

(2)AA=A,Al,0=A,A.B=BIA.

(3)A(C")=0,A.(C^A)=U,Q(G7A)=A.

2、集合的常用结论及细节

(1)若有限集A中有"个元素，则A的子集有2'个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1个，非空真子

集有2〃—2个.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

(3)A=BOAB=B=BOCJJBCCUA.

(4)CV(AB)=(QA)l(gB),Cu(AB)=0A)'(C®.

3、集合中涉及的工具

工具1：一元二次不等式

一元二次不等式由？+6x+c〉0(。w0),其中A=Z^-4ac,是方程ar?+6x+c〉0(。w0)的

两个根，且为<%

(1)当a>0时，二次函数图象开口向上.(2)①若A>0,解集为｛x|x>w或

②若A=0,解集为且xw—③若A<0,解集为R.

(2)当a<0时，二次函数图象开口向下.①若A>0,解集为｛尤|玉<]<9｝②若△《()，解集为0

工具2：分式不等式

⑴，)〉0o/(x)・g(x)〉0(2)，<0o/(x)・g(x)<0

gwgw

⑺f(x)[f(x).g(x)>0/(x)：(x)・g(x)W0

g(x)〔g(X)H0g(x)[g(x)Ho

工具3：绝对值不等式

(I)|/(x)|>|g(x)|o"(x)F>[g(x)]2

(2)](刈>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)或f(x)<—g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o—g(x)</(x)<g(x);

工具4：解指对不等式

①简单指数不等式的解法

(1)形如。小)>:g(x)的不等式，可借助y=ax的单调性求解；

(2)形如/⑴〉b的不等式，可将人化为。为底数的指数幕的形式，再借助y=a*的单调性求解；

(3)形如优〉"的不等式，可借助两函数y=优，y="的图象求解.

②简单指数不等式的解法：利用对数函数的单调性求解

4、充分条件、必要条件与充要条件的判断

①从逻辑推理关系看

命题“若?，则4"，其条件p与结论q之间的逻辑关系

①若夕nq,但q小〃，则p是q的充分不必要条件，“是"的必要不充分条件；

②若p今q,但qnp,则p是q的必要不充分条件，q是2的充分不必要条件；

③若p=>q,且qnp,即夕=q,则p、q互为充要条件；

④若豆q书p,则p是q的既不充分也不必要条件.

②从集合与集合间的关系看

若p：xGA,q-.x^B,

①若则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若A是8的真子集，则p是4的充分不必要条件；

③若A=B,则p、4互为充要条件；

④若A不是8的子集且8不是A的子集，则p是“的既不充分也不必要条件.

5、全称量词与存在量词

大前提：全称量词命题“V尤”的否定是存在量词命题：.

存在量词命题“3%eMq(x)”的否定是全称量词命题：VxeM,—.

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

★★会处理参数问题上的技巧

①在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补

级即可.

②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

1.(2024年北京第1题)已知集合M={%|-3<%<1},N={制—1<%V4},则MUN=()

A.{x|-1<x<1}B.{x\x>—3}

C.{x|-3<x<4}D.{x\x<4}

【答案】C

【详解】由题意得MU/V={x|-3<x<4}.

故选：C.

2.(2023年北京第1题)已知集合M={%|%+2之0},N={%|%-1V0},则M八N=()

A.{%|-2<%<1]B.[%|-2<%<1]

C.(x\x>—2}D.[x\x<1]

【答案】A

【详解】由题意，M={x|x+2>0]=(x\x>—2},N={x\x-1<0]=[x\x<1},

根据交集的运算可知，MCN={x|-2<%<1].

故选：A

3.(2023年北京第8题)若xyHO,贝『a+y=0”是"9+j=-2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

因为xy#0,且：+?=-2,

y4

所以％2+y2=-2xy,即％2+y2+2xy=0,即(％+y)2=0,所以％+y=0.

所以"％+y=0"是5+?=-2”的充要条件.

yA

4.(2022年北京第1题)已知全集U={%|-3<x<3},集合4={x|-2<x<1},则Q4=()

A.(-2,1]B.(一3,—2)U[1,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

【答案】D

【详解】由补集定义可知：ZuA^{x\-3<x<一2或1<x<3},即C〃1=(一3,-2]U(1,3),

故选：D.

5.(2022年北京第6题)设{an}是公差不为。的无穷等差数列，贝|"{an}为递增数列”是“存在正整数N。，当打

>No时，an>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】设等差数列{aj的公差为d,则d丰0,记［划为不超过x的最大整数.

若{&J为单调递增数列，则d〉0,

若a120,则当nN2时，a”>a［20；若a1<0,贝!+S-l)d，

由an=%+(n-l)d>0可得n>1-与，取心=［1一1+1,则当n>N()时，an>0,

所以,“{aj是递增数列”今“存在正整数叫)，当n>No时，an>07

若存在正整数M),当n>No时，即>0,取keN*且k>No，ak>0,

假设d<0,令%1=以+令—=d<0可得71>：-华,且

当n>卜-与］+1时，an<0,与题设矛盾，假设不成立，贝鱼>0,即数列{加}是递增数列.

所以,“{an}是递增数列”u“存在正整数No，当n>No时，an>0'\

所以,“{aj是递增数列”是“存在正整数M，当践>M时，an>0”的充分必要条件.

故选：C.

6.(2021年北京第1题)已知集合4={x|-1<%<1］,B={x|0<xW2},则AUB=()

A.{x|-1<%<2］B.{%|-1<%<2］

C.{%|0<%<1}D.{%|0<%<2］

【答案】B

【详解】由题意可得：A\JB-(x\-1<x<2］.

故选：B.

7.(2021年北京第3题)已知/(久)是定义在上［0,1］的函数，那么“函数〃久)在［0,1］上单调递增”是“函数/(“)

在［0,1］上的最大值为/(I)”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若函数/(%)在［0,1］上单调递增，则f(x)在［0,1］上的最大值为f(l),

若f(x)在［0,1］上的最大值为/(I),

比如/'(%)=(%一1)，

但/⑴=1_§2在［。司为减函数，在思1］为增函数，

故f(x)在［0,1］上的最大值为/(I)推不出/(%)在［0,1］上单调递增，

故“函数/(x)在［0,1］上单调递增”是“/(x)在［0,1］上的最大值为八1)”的充分不必要条件，

故选：A.

题型一：集合间的基本关系

【典例1-1】已知集合&={-L0,l,2},B={x|a4x<3}.若4=8,贝匹的最大值为（）

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】C

【详解】由于所以aW—1,

故。的最大值为-1，

故选：C

【典例1-2】已知集合4=同工2。},3={1,2,3,4,5},则（）

A.AcBB.BeA

C.AlB=BD.Af\B=0

【答案】B

【详解】A=[x\x>0],B={l,2,3,4,5},:.B^A,A^B=A,Ar>B=B={i,2,3,4,5}.

故选：B.

求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时

还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示

涉及“AU3”或”些5,且3用”的问题，一定要分4=。和4用两种情况进行讨论，其中4=。的情况容易

被忽略，应引起足够的重视

【变式1-1】已知集合4={-1』},B^[x+y\x&A,y&A\,C={元一A,yeA},则（）

A.B=CB.BCC.BC=0D.BC=A

【答案】A

【详解】对于x+y可得：

xy-11

-1-20

102

可得集合3={-2,0,2}；

对于x-y可得：

盯-11

-102

1-20

可得集合。={-2,0,2},所以3=C={-2,0,2},

则B=C成立，BC不成立，BIC={-2,0,2},BUC={-2,0,2},

所以A正确，B、C、D错误.

故选：A.

【变式1-2】已知集合4=口6用-1<%<5},8={0,1,2,3,4,5},贝U()

A.A基8B.A=BC.BEAD.B=A

【答案】A

【详解】A={xeN|-l<x<5}={0,l,2,3,4},8={0,1,2,3,4,5},则A呈反

故选：A.

【变式1-3】己知集合4={川-1〈尤<2},B={0,l},则()

A.ABB.BAC.A=BD.AfB=0

【答案】B

【详解】因为A={x1-l<x<2},B={0,l},

所以BA,AB={0,l}=B.

故选：B

【变式1-4]若全集。=R,A=[x\x<l},B={x|x>-l}JIJ()

A.AcBB.BeAC.BqgAD.B

【答案】D

【详解】因为A={H无＜1},8={无I无＞-l}.

所以aA={x|xNl},所以aAQB

故选：D

命题预测

1.集合人={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为4,％,以(〃€").记4为集合与(，=1,2,3,.,”)中的最

大元素，则4+%+&++么=()

A.10B.40C.45D.50

【答案】C

【详解】由题知:4={1,2,3}e=3,为={1,2,4}也=4,4={1,2,5}也=5,

4={2,3,4},%=4,及={2,3,5},4=5,线={2,4,5},4=5,5={3,4,5},伪=5,

B8={1,4,5},Z?8=5,用={1,3,5},4=5,B10={1,3,4},Z?1O=4,

贝/?]+%++A。=3+4x3+5x6=45

故选：C

2.已知集合4={%|尤—2<0},B^[x\x<a],若AB=A,则实数。的取值范围是()

A.(f,-2]B.[-2,+oo)C.(-oo,2]D.[2,+oo)

【答案】D

【详解】可知A={x|x-2<0}={x|x<2},

QAIB=A,/.AoB,

:.a>2.

故选：D.

3.3知集合M={l,2,3,4},N={0=2,3},则有()

A.MqNB.NjMC.MW={1,2,3}D.MN={1,2,3}

【答案】C

【详解】集合M={l,2,3,4},N={0,L2,3},则MN={1,2,3},

故选：C.

4.已知集合「二卜他门公},且河屋尸，则A1可以是

A.{1,2}B.{2,4}C.{-1,2}D.{0,5}

【答案】A

【详解】{尤|0<尤<4},2e{x[0<x<4}

{l,2}u{x[0<x<4},即故选A.

题型二：集合的运算

【典例2-1】已知集合M={x|(x+3/x-l)WO},N={x|W<2},则()

A.(-2,1]B.[-3,2)C.(-2,3]D.[-1,2)

【答案】B

【详解】因为“={x|-34x41}=[—3,1],N={x|-2<x<2}=(-2,2),

所以MuN=[—3,2).

故选：B

【典例2-2】设集合A={x|x+l<0},B={x\-2<x<2},则集合AB=()

A.(—co,2]B.[—2,—1)C.(—1,2]D.(—℃,+℃)

【答案】A

【详解】由x+l<0得至®A={x|x<-l},

XB={%|-2<x<2},所以43=(F,2].

故选：A.

求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”,

在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而

用集合语言表达，增强数形结合的思想方法

【变式2-1】已知集合”={0,1,2},'={尤,一3“<。},贝!)加N=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{x|0Vx<3}D.{x[0<x<3}

【答案】B

【详解】不等式x2-3x<0的解集为{x|0<x<3},

所以N={H0<X<3},又〃={0,1,2},

所以MN={1,2},

故选：B.

【变式2-2]已知A={Hlog2(x-l)Vl},2={刈尤一3|>2},贝I]AB=()

A.空集B.{x|xV3或乂>5}

C.{x|x<3或x>5且xwl}D.以上都不对

【答案】A

【详解】A={x|log2(x-l)<log22}={x|0<x-l<2}={x|l<x<3},

8={巾-3>2或x-3<-2}={x|无<1或x>5},

所以Ac3=0.

故选：A

【变式2-31已知U为整数集，A={xeZ,|x2>4},则gA=()

A.{—1,0,1}B.{—1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】A

【详解】因为A={xeZ,|/24},所以6A={xeZ|x2<4}={xeZ|-2Vx<2}={-1,0,1},

故选：A.

【变式2-4】已知集合4={巾里<”,若。eA,则。可能是()

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【详解】由lnx<l,得0<x<e,则A={x[0<x<e},々A={x|xV。或2e},

由aeA,得ae'A,显然选项ABC不满足，D满足.

故选：D

【变式2-5][新考法]已知集合4={3,凹，集合8={九〃},若AcB={l},则a+〃=()

A.4B.2C.0D.1

【答案】D

【详解】因为4={3,叫，8={九>且4cB={1},

则leA,所以e"'=l,解得%=0,

又1W5,所以〃=1,

所以根+〃=1.

故选：D

命题预测

1.已知集合。={-1,0,1,2,3},A={1,2},B={0,2,3},则&A)cB=()

A.{3}B.{0,3}C.{1,2,3}D.{0,l,2,3}

【答案】B

【详解】由题意知，84={-1,0,3},则@A)cB={0,3}.

故选：B.

2.已知集合4=卜€卬％2<10},3={2,3,4,5}则4门3=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【详解】由题意知，A={xeR|x2<10}={xGR|-^<x<V10},

又8={2,3,4,5},

所以4B={2,3}.

故选：B

3.已知集合4={-1,0,1},B={x|x>c}.若A3={0,1},贝"的最小值是()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】C

【详解】45={0,1},A={-1,0,1},J3=1X|X>C},.-.-1<C<0,

即c的最小值为-1.

故选：C.

题型三：充分条件与必要条件

【典例3-1】设aeR,则是工<1”的（）

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由可得。>1或。<。，

a

又{4“>1}{叩>1或a<0}

所以“a>1”是“工<1”的充分不必要条件.

a

故选:A

【典例3-2】已知直线/：H一>+1-左=0和圆c。:炉+V=/”>°）,则“7=应”是“存在唯一k使得直线I

与。。相切”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】时，/：丘-y+1-左=0至U0：/+丁=2的距离为去｝=应,

故1一2左+左2=2+2左2,解得左=-1,

满足存在唯一女使得直线/与。。相切”，充分性成立,

/:履_〉+1_左=0经过定点”(1,1),

若r=1,eO:x2+y2=l,若左=0,此时直线/：y=1,

直线/：y=l与相切，另一条切线斜率不存在,

故满足存在唯一人使得直线/与。相切”，

当在。:犬+y=产0>0)上，满足存在唯一々使得直线/与一。相切,

故产=1+1=2，

又厂>0,解得r=0，必要性不成立，

故“r=0”是“存在唯一k使得直线/与C。相切”的充分不必要条件.

故选：A

(1)判断充分条件、必要条件的注意点.

①明确条件与结论②判断若P，则q是否成立时注意利用等价命题③可以用反例说明由P推不出q,但

不能用特例说明由P可以推出4

(2)充分条件、必要条件的两种判断方法

定义法：①确定谁是条件，谁是结论②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，

否则就不是充分条件③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件

命题判断法：①如果命题：“若P，则g”为真命题，那么p是g的充分条件，同时g是0的必要条件②

如果命题：“若p,则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件

【变式3-1］若｛叫是无穷数列，则“｛%｝为等比数歹/’是"｛叫满足分。〃+3=,。〃+2£N)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若｛%｝为等比数列，〃+("+3)=(w+D+(〃+2),

则运用等比数列性质知道%+3=an+l-an+2eN*)；

若an-an+3=an+l-an+2eN*),则｛4｝可以为全部为0的常数列，不能说它是等比数歹U.

故"｛«„｝为等比数歹是“｛凡｝满足%•an+3=an+l-an+2eN*)”的充分不必要条件.

故选：A.

【变式3-2】设々〉0,。〉0,则“lg(〃+b)>0”是，1g(而)>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】因为lg(a+b)>Oolg(a+Z?)>lgloa+Z?>l,又a>0,Z?>。，

所以a+b2>1,当且仅当。=b时取等号，即ab〉；,

又1g(次?)>0olg(曲)>lglo次?>1,

所以油>；不能推出而>1,所以lg(a+6)>0是lg(")>0的不充分条件；

又。,所以lg(a+6)>。是lg(")>0的必要条件，

所以想(〃+与>0是lg(")>0的必要不充分条件.

故选：B.

【变式3-3】若°,匕为非零向量，贝「。是7,b共线”的()

b

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

a入

【详解】若°=丁,则a，6共线，所以充分性成立；

b

a，b共线可能同向共线、也可能反向共线，

所以，共线得不出所以必要性不成立.

a6a=b

故选：A.

【变式3-4】设。，尸是三个不同平面，且。一/二/,2\y=m,则“///优是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若&//，a\\y=l,/37=根，则由平面平行的性质定理：得/〃加；

但当/〃〃?，ay=l，B7=m时，可能有a//，也可能有6相交，

如/,根是三棱柱的两条侧棱所在直线，/是/,加确定的平面，

另两个侧面所在平面分别为d尸，此时符合条件，而名尸相交，

所以“IIIm”是“a〃夕的必要不充分条件.

故选：B

【变式3-5]对于无穷数列｛%｝,定义（”=1,2,3,…），则”｛a,J为递增数列”是“｛4｝为递增数列”

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】｛%｝为递增数列时，有42=。用-%>0,不能得到｛”,｝为递增数列，充分性不成立；

｛4｝为递增数列时，不一定有〃>0,即不能得到｛七｝为递增数列，必要性不成立.

所以“｛%｝为递增数列''是"｛4｝为递增数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

I命题预测71

1.已知a>0,b>0,贝/'6+/>2”是“。+/?>2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】不妨设4=156=0.4,止匕时满足/+〃=2.25+0.16>2,

但不满足。+6>2,充分性不成立，

a+b>2两边平方得/+2他+〃>4,由基本不等式得2浦4片+尸，

当且仅当。=匕时，等号成立，

^a2+b2>4-2ab>4-[a2+b2）,解得"+廿>2,必要性成立，

故'"+廿>2”是“a+b>2”的必要不充分条件.

故选：B

2.“VABC为锐角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,sinC>cosA”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】充分性：

因为VA2C为锐角三角形，

所以A+2>火，即工〉A>C-2>0,所以sinA>sin(四-B]=COSB,

222V2)

同理可得sin8>cosC,sinC>cosA,故充分性得证；

必要性：

因为sinA>cos8,所以sinA>sin但-3],因为。<3<兀，所以」〈巴一8<四，

【2J222

若A>P,则A+8>工，若AW=，则A>殳一8,所以A+8>&,综上，A+B>-,

222222

ITJT

同理B+C>5，A+C>5,所以VABC为锐角三角形，必要性得证，

综上所述，为充分必要条件.

故选：C.

3.已知等差数列｛%｝的前”项和为5“，贝广邑-2%<0”是“3用>(〃+1)5.”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】设等差数列｛4,｝的公差为d,

由S2—2%<0得：%+%-2%=ax-a2=-d<0,/.J>0,

/、/\n(n+l)1/、(n(n—l)]

nSn+l~^n+l)Sn=n++—-------d-(〃+l)nax+-------d

:.nSn+l>(n+\)Sn,即邑-2%<0=畤,+|>(”+1)$“，充分性成立;

由〃S"+1+得：邑>251,S2-S]>S],即

S?—2%=q+生—2a2=%—a?<c0,

即nSn+l>M+1)S“=S2-四<0,必要性成立；

，“邑-2%<0"是"S0+1>的充分必要条件

故选：C.

题型四：全称量词与存在量词

【典例4-1】已知命题P：3%>1,尤2_1>0,那么力是()

A.Vx>l,尤2-1>0B.Vx>l,尤2-140

C.3^>1,尤2—140D.3x<l,-l<0

【答案】B

【详解】解：己知命题P：3x>l,x2—1>0,

则力为：Vx>l,尤2-140.

故选：B.

【典例4-2】设命题P：Vxe(0,+co),则刃为()

A.Vjce(0,+oo),］nx>x-lB.3.r0G(0,+OO),In%,%一1

C.Vx走(0,+8),lnx>x-lD.3x0e(0,+>»),Inx0>xQ-1

【答案】D

【详解】原命题是全称命题，其否定为特称命题，B.D选项是特称命题，注意到要否定结论，故D选项符

合.所以本小题选D.

(1)要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素X,验证p(x)成立;

要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x=x0,使p(x0)不成立即可.

(2)要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个％=%,使p(x0)

成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题

【变式4-1］下列选项中，说法正确的是()

u

A.3x0eR,X；-/W0”的否定是"王°wR,x；-x>0”

B.若向量°,6满足。心<0，则。与人的夹角为钝角

C.若am2<bnr，贝！］。〈人

D."x«AU3)”是“xe(A3)”的必要条件

【答案】D

【详解】选项A根据命题的否定可得：xM-xoSO”的否定是x2-x>0,\因此A不正确;

选项3若向量〃乃满足£./?<（）,则。与〃的夹角为钝角或平角，因此不正确.

选项C当m=0时，满足am2<bm2,但是a<b不一定成立，因此不正确；

选项。若“无£（人可“，则且兀£人所以一定可以推出“X£（AU5）1因止匕“X£（AU5）”是B）”

的必要条件，故正确.

故选：D.

【变式4・2】设命题P：VQBER|〃一4<同+同，贝iJiP为

A.Pa,beR,>|a|+|/?|B.3a,b^R,<|a|+|Z?|

C.3tz,Z?eR,|tz-&|>|a|+|&|D.3a,b^R,|«-Z?|>|«|+|/?|

【答案】D

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以,命题/：VQ,Z?ER4<同十例，贝！为：3a,Z?e/?,

故本题答案为D.

【变式4・31已知avb,则下列结论中正确的是

A.Vc(O,a)b+cB.Vc<0,〃<6+c

C.3c>0,a>b+cD.3c>0,a<b+c

【答案】D

【详解】解：A不一定成立，如〃=1,b=10,c=-1,〃>Z?+c不成立;

B也不一定成立，如a=9.5,b=10,c=—l,不成立；

C不成立，因为。<b,c>0,所以，+c恒成立，因此D必正确

故选D

命题预测

1.设数列也｝的前〃项和S"=4"-:l,则氏=；使得命题"V”>No，〃eN*,都有%+「。”>1。0

为真命题的一个盛的值为3

Q,n=l

【答案】£N*

3x4n-2,n>2

【详解】数列｛4｝的前〃项和S"=4"i-1,当〃=1时，q=H=4°-1=0,

当2时，？=S〃—S〃_]=(4i—1)—(4〃一2—1)=3*4"2,显然％=0不满足上式，

所以“"=[f30,xn4=『l心*

当〃=1时，％-%=3<100,不等式。九+1->1。。不成立，

当〃N2时，2M—%=3x4“T—3x4"—2=9x4^2,

不等式。用一%>100o4"-2>g,而〃eN*,解得〃24,

因此对V">3,〃£N*,不等式^n+l~an>100恒成立，

所以“V〃〉No，〃N*,都有4+「为〉100”为真命题的N023,取N°的一个值为3.

故答案为：1,HGN；

[3x4n-2,n>2

2.若命题p：*cR,炉+2以+QWO是假命题，则实数〃的一个值为.

【答案】:((0,1)上任一数均可)

【详解】由题意忆^£民/+2必+。>0是真命题，

所以44—4av0,解得0vav1.

故答案为：1((0,1)上任一数均可).

2

重难点突破：以集合为载体的创新题

【典例5-11有限集合M中元素的个数记作card(M),若A台都为有限集合，则“A8=A”是

“card(A)<card(8)”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为AB=A,所以A=又因为AB都为有限集合，

所以card(A)Wcard(3),则正向可以推出，

若card(A)Mcard(B),举例A={1,2},3={3,4,5},但AB^A,则反向无法推出，

贝厂AB=A”是“card(A)<card(5)”的充分不必要条件.

故选：A.

【典例5・2】已知平面内点集4=｛斗5，…，匕｝A中任意两个不同点之间的距离都不相等.设集合

B=(^.|V/ne(l,2,,n｝(m#z),0<|^.|<|^„|,/=1,2,，,，M=｛与忸与e2"=1,2,,〃｝.给出以下四个

结论：

①若〃=2,则4=河；

②若〃为奇数，贝UAwM；

③若“为偶数，则4=加；

④若依，”,，础口,贝”45.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【详解】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有攻>个向量月两两不相等.

这表明对任意的e,与eAC),优当且仅当加€｛1,2,7｝(〃?")，有。<|%|牛闱.

将其转换为更通俗的语言就是：对于点£,与e)),月与当且仅当与是集合A里除了耳以外的点中

到E的距离最短的点.

因为A中任意两个不同点之间的距离都不相等，设的］是最小的距离，则

若朋|或日闾为第二小的距离，则余下的“-3个点至多只能对应〜3个元素，

则B至多”-1个元素，A^M；

当画g丰l,iW2,"1"2)是第二小的距离时，则4,4eM,

若"为奇数时，与上面推导相同，至少会存在一个点不属于M所以AwM;

所以①②正确，③错误；

对于④，假设｛片序々%=k>6.

由于｛弓弓，々弓，，"弓｝=2，

故A，"，…，"，月两两不同，且对每个加=1,2,…水，点弓都是A中除纥外到纥距离最短的点.

特别地，尸,都是到片，"，…，”各自的距离最短(不包括其本身)的点.

不妨设(%,J04心%)=(123,4,5,6),并记弓为点。,

则。是到耳，…，4各自的距离最短(不包括其本身)的点.

对两个不同点M,N,记直线MN的倾斜角为侬ve[0,兀).

假设存在1VM,vV6(“片v)使得%=夕夕，不妨设\OPU|<\OP],

则比司=|O©T°£|<|0用，这与。是到尸“的距离最短(不包括尸,本身)的点矛盾.

所以外耳，生乌，…，夕虢两两不相等，不妨设So/;<<POP2<•••<%%.

由于|0用<|耳闾,|网(出闾,故N"耳</耳。一,N。叫<4蜴,

11JT

所以ZPiOP2=-(/qog+ZP{OP2+ZJ\OP2)>-(NOBR+ZOP{P2+NROg)=J.

TTIT

故40鸟>§‘同理辱/单笔'"g

71

而对/=L2,3,4,5,有夕叫—(Popt~Nq0B+i或一%片=2兀—/月0勺+1——,

故为%।_%勺>]•

所以做一%4=X(0叫一夕。4)>*这意味着此。£<3，矛盾.

1=1J3

这表明假设不成立，所以左<5,④正确.

故答案为：①②④

【典例5-3】记集合。={(4,%,,a„)|a,.e{0,l},?=l,2,,,〃}(〃>2).对任意4=a.)eQ

,=(4也，.也)W。，记〃(<7,6)=(|4-4|,a-仇1,，U-〃』)，对于非空集合人口。，定义集合

D(A)={d(a,/?)|aGA,GA].

(1)当〃=2时，写出集合O；对于A={(0,0),(0,l),(l,0)},写出。(A)；

⑵当〃=3时，如果D(A)=Q,求card(A)的最小值；

⑶求证：card(D(A))^card(A).

(注：本题中，card(A)表示有限集合A中的元素的个数.)

【详解】(1)Q={(O,O),(O,l),(l,O),(l,l)}；

若A={(0,0),(0,1),(1,0)},则£>(A)={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)).

(2)card(A)的最小值为5.

证明如下：

设card(A)=m.

因为card(O)=23=8,除(0,0,0)=d(e,£)外，其它7个元素需由两个不同的a,夕计算得到，

所以C»7,解得〃亚5.

当A={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,O,O),(L1,1)}时，有A(A)=C,符合题意.

(3)证明：设A中的所有元素为由,a2,am,其中=card(A).

记&=dQ，G)(z=),则这些a；互不相等.

证明如下：如果存在d(6,%)=[(%,4),

则(/(«,.,«1),4(%,%)的每一位都相等，

所以%,%的每一位都相等，

从而%=%,与集合A中元素的互异性矛盾.

定义集合D(A)={%必,…,或},则card。"))=m=card(A).

又Z)(A)卫。(A),

所以card(D(A))Ncard(£)'(A))=card(A).

1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅

读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的.

2、遇到新定义问题，应耐心