福建省福州市部分学校教学联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷

第1页/共1页2024~2025学年上学期福州市部分学校教学联盟12月联考高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线的方向向量先求出直线的斜率，再求倾斜角即可【详解】解：因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，即，又倾斜角，所以.故选：D2.已知直线与，则“”是“”的（）条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】利用两直线垂直的充要条件得到，从而得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.【详解】当直线与垂直时，，即，解得或，所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3.在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于基向量、、的表达式【详解】连接，因为为的重心，则，如下图所示：因为为的中点，则，所以，，所以，.故选：D.4.平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题目所给条件的几何意义，结合椭圆的定义直接得出点的轨迹即可.【详解】由两点间距离公式，条件表示的几何意义为点到与的距离之和：，又，根据椭圆的定义，点在以和为焦点的椭圆上，可设标准方程为：,由，，根据,求出,得到轨迹方程为：.故选：B5.已知，若点在线段上，则的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点Px,y和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果.【详解】如图，因为表示点Px,y和点连线的斜率，又，所以，，由图知，的最小值为，故选：C.6.若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到到的距离与到直线的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解.【详解】因为圆的圆心为，半径为，设动圆圆心的坐标为，半径为，则，又动圆与直线相切，即到直线的距离为，所以到直线的距离为，所以到的距离与到直线的距离相等，所以的轨迹为抛物线，其焦点为，所以动圆圆心的轨迹方程为.故选：D．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将问题转化为到定点与定直线的距离相等，从而得解.7.已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，用分别表示，再由得到之间关系，结合余弦定理即可得的关系，可得离心率.【详解】设，如下图所示：由题意可得，；又，由可得，即，解得；所以；因为，所以；即，可得，即，解得.故选：D8.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（）A B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由求目标函数最小值.【详解】由已知表示点到点的距离，表示点到点的距离，所以，过点作，垂足为，因为直线的方程为，，所以，又直线与直线平行，，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又，当且仅当三点共线时等号成立，所以当点为线段与直线的交点时，取最小值，最小值为，因为过点与直线垂直的直线的方程为，联立，可得，所以点的坐标为，所以，所以的最小值为，故选：D.【点睛】本题解决关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法命题正确的是（）A.已知，，则在上的投影向量为B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则D.若向量（，，是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为【答案】ACD【解析】【分析】A选项，利用投影向量计算公式进行求解；B选项，由数量积为0得到，或，B错误；C选项，设，变形得到，结合题目条件得到方程组，求出；D选项，，设，变形后对照系数得到方程组，求出，得到答案.【详解】A选项，在上的投影向量为，A正确；B选项，，故，或，B错误；C选项，点为平面上的一点，设，即，所以，又，故，故，C正确；D选项，由题意得，设，则，解得，则在基底下的坐标为，D正确.故选：ACD10.已知圆与圆交于，两点，则（）A.两圆的公切线有2条B.直线方程为C.D.动点在圆上，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断A，根据两圆方程相减即可判断B，根据弦长公式即可求解C，根据点点距离公式即可判断D.详解】由题意可知，，故，故两圆相交，公切线有2条，A正确，与圆相减可得，故直线方程为，B正确，到直线的距离为，故，故C错误，可看作是圆上的一个点到点的距离的平方，故最大值为，D正确，故选：ABD11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）【答案】ACD【解析】【分析】首先根据已知条件求出曲线方程，再运用曲线的对称性、放缩解决曲线所围图形面积以及整点的概念，分别分析每个选项.【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（），由已知，即.若点在曲线上，则也满足曲线方程，所以曲线关于直线对称，A选项正确.对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误.对于C，，则，所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确.对于D，由于，所以，由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点，则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，，此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意;当整点为时，，此时整点均在曲线上，且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，求出曲线方程，后运用性质，如对称性，整点，面积借助放缩成半圆即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆心在直线上，且经过原点和点的圆的方程为______【答案】【解析】【分析】根据题意设圆心坐标为，根据圆所过的两点可得出关于的等式，求出即求出圆的方程.【详解】因为圆心在直线上，设圆心坐标为，因为圆经过原点和点，则，解得，故圆心坐标为，圆的半径为，故所求圆的方程为.故答案为：.13.若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】利用双曲线方程的特点，可得，解不等式，即可求出实数的取值范围.【详解】因为方程表示双曲线，所以，即或，解得或，所以实数的取值范围是.故答案为：.14.如图，边长为4正方形中，、分别为、中点，将，沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件建立合适空间直角坐标系，设出点坐标，利用直线方向向量夹角的余弦值的计算方法结合点坐标满足的等式，利用三角换元法求解出直线与夹角余弦值的最大值．【详解】取中点，连接，且延长线过点，因为，，所以平面，根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点，以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：因为，所以，所以为等腰直角三角形，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，设，因为，所以，所以，又因为，，所以，不妨设，所以，所以，取等号时，所以直线PM与BF夹角余弦值的最大值为，故答案为：．【点睛】思路点睛：求动点引起的最值问题，建立空间直角坐标系，设出动点坐标，由动点满足的关系得出等式后消元，利用直线的方向向量夹角的余弦值的计算方法得到函数关系，再利用三角换元法解出直线与夹角余弦值的函数关系式，由三角函数的值域得到最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在抛物线上，且.（1）求焦点的坐标；（2）若过点的直线与只有一个交点，求的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据抛物线焦半径公式计算得出，再得出抛物线方程进而得出焦点即可；（2）先设直线方程，再联立方程组，再分和两种情况应用直线与只有一个交点求参即可得出直线方程.【小问1详解】因为抛物线，，所以，所以，可得所以焦点的坐标.【小问2详解】因为点在抛物线上，所以，又位于第一象限，所以，所以，过点的直线与只有一个交点，直线斜率不存在不合题意；设直线与有且只有一个交点，由，得，当时，，即，即，当时，，只有一个根符合题意；所以的方程为或，即或.16.已知△中，顶点，边上的高线所在直线与直线平行，的平分线所在直线的方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求边所在直线的一般式方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设边所在的直线方程为，代入坐标可求的方程，联立方程组可求得交点的坐标；（2）设点关于直线的对称点为，由题意可得，求解可得点的坐标，可求直线的方程.【小问1详解】由题意可设边所在的直线方程为，则将代入，解得，则边所在直线的方程为，，则顶点的坐标为．【小问2详解】设点关于直线的对称点为，则，所以．直线的方程即为直线的方程.因为，所以，即为，则直线的一般式方程为．17.设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．（1）求点轨迹的方程；（2）过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）为定值，且定值为【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解，（2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可．【小问1详解】设Mx,y，到定直线的距离为则，故，平方后化简可得，故点的轨迹的方程为：【小问2详解】由题意，,设直线的方程为，,，,，由，可得，所以，．则，，所以；当直线的斜率不存在时，，此时，综上，为定值．18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由余弦定理可得的值，再由勾股定理逆定理可得，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果；（3）由空间向量的坐标运算以及二面角的公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】证明：在中，因为，，，所以，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】由（1）可得，，又，所以，，两两垂直，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，.设平面的一个法向量，则，即，令，则，，所以，所以点到平面的距离.【小问3详解】假设存在，设，则，所以，设平面DHP的一个法向量，因为，所以，即，令，则，，所以，设平面的一个法向量，因为，，所以，即，令，则，，所以，设平面与平面的夹角为，则，解得或（舍），所以存在点，使得满足要求，此时，即.19.已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.①证明：直线过定点；②设的面积为，求的最大值.【答案】（1）（2）①证明见解析；②.【解析】【分析】（1）应用离心率公式及焦点到椭圆距离的最值列方程组求解，即可求出椭圆方程；（