江苏省南京市六校2024-2025学年高一年级上册12月联合调研数学试题

江苏省南京市六校2024-2025学年高一上学期12月联合调研数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.函数/口”也^+冷+^/!^7的定义域为()

A.[-3,0]B.[-3,0)C.(-3,0]D.(-3,0)

4

2.已知。是第二象限的角，PQ,8)为其终边上的一点，且sina=y,则、=()

,「八3232

A.—6B.±6C.土—D.-----

33

3.若扇形面积为Icn?,圆心角为2rad,那么该扇形的弧长为()

A.1cmB.V2cmC.2cmD.20cm

A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

6.函数〃无）=1°8式-1-云+2）的单调递减区间为（）

（；℃）（

A.（-00,--）B.（-2,--）C.-,+D.-pl

7.已知函数小）=0眇一工<3,

且/⑷=1,则“3-°）的值为（）

A.0B.1C.-3D.0或1

试卷第1页，共4页

8.已知幕函数y=xQ2»3(加eZ)的图象关于N轴对称，且在(。,讨)上单调递减，则满足

(“+1)<>(3一20学的实数0的取值范围为()

232

A.(-oo,-l)u(j,-)B.(-00,-)

C.(-1,-|)U(1,+oo)D.(0,-|)

二、多选题

9.下列说法正确的有()

A.命题p:t:氏/+3》+4<0,贝！|命题。的否定是VxeR,x2+3x+4>0

B.〃x)=x-2与g(x)=M：2)不是同一个函数

C.定义在R上的函数>=〃x)为奇函数的充要条件是〃0)=0

D.“a>1且6>1”是“。6>1”的充分不必要条件

12

10.若a>0,b>0,且一+-=1,则下列说法正确的有()

ab

A.的最小值是8

B.6的最大值是3+2a

c1.白4的最小值是1:

a2b-2

D.的最小值是3+2收

11.若定义在(-M)上不恒为0的/(x),对于Vx,ye(-l,l)都满足+

且当xe(-l,0)时，/(x)>0,则下列说法正确的有()

A./(0)=0B."X)为奇函数

C.〃；)+/(}>/(》D.“X)在(0,1)上单调递减

三、填空题

12.已知cost/<0,且tana>0,则角2是第象限角.

13.若函数了二小/工+加升"(a>0,且awD的图象恒过定点(5,2),贝!］加+〃=.

试卷第2页，共4页

|log2(x-l)|,l<x<3

14.已知函数〃X)=12io。，，若关于x的方程/(》)=机有4个不同的实根x/、

—x---x+o,x>3

[33

X

马、尤3、4>且X］<%<%<工4，则I*f)''的取值范围为______.

XxX2

四、解答题

15.已知集合"={』3<31<81道},5={x|a-2<x<2a-3}.

(1)当a=3时，求NcB与4U(48)；

(2)若NU8=/,求实数。的取值范围.

16.已知函数/(xhlog。尤(a>0,且分1),若函数“X)在区间［1,4］上的最大值与最小值之和

为2.

(1)求函数〃x)解析式，并求出关于x的不等式〃二)<1的解集；

⑵求函数g(x)=/(；)•/(2x),xe［l,4］的值域，并求出取得最值时对应的X的值.

17.为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核

评分制度，建立一个每天得分y(单位：分)与当天阅读时间x(单位：分钟)的函数关系,

要求如下：

(i)函数的部分图象接近图示；

(ii)每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分；

Gii)每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分；

(iiii)每天最多得分不超过100分.

现有以下三个函数模型供选择：

@y=kx+m(k>0)；

®y=k-2ls+m(k>0);

=左log?+21+加(左>0).

试卷第3页，共4页

(1)请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；

(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式；

(3)已知学校要求每天的得分不少于75分，求每天至少阅读多少分钟？

18.已知定义在R上的函数/(x)=g天是奇函数.

⑴求函数/(尤)的解析式；

(2)判断/'(x)的单调性，并用单调性定义证明；

(3)若存在x>0,使得关于x的不等式小2+福)+(*-1>0能成立，求实数上的取值

范围.

19.对于两个定义域相同的函数/(x)和g(x),若存在实数加，n,使〃3=〃/3+/陪a),

则称函数方⑺是由“基函数/(可和g(x)”生成的.

4114

(1)若%(x)=9x+—是由“基函数/(x)=2x——+Q和g(x)=jX+——2”生成的，求Q的值；

(2)试利用“基函数/(X)=log2(4,+1)和8⑴=g无+1”生成一个函数/心)，满足〃(x)为偶函

数，且"0)=-1.

①求函数/(x)的解析式；

②已知=-l,x„=1,对于(一口)上的任意值X],%,…，尤“一(不<当-1)，

〃n

记M=求M的最大值.(注:£=xl+x2-\---\-xn.)

z=lz=l

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CACBCBBCBDACD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】求使式子有意义的实数的集合即可.

[3+x>0

【详解】要是函数式子有意义，贝懦要解之可得一3。40,

函数/（x）=ln（3+x）+Jl—e"的定义域为（一3,0].

故选：C

2.A

【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得.

【详解】依题意，x<0,r=\OP\=A/X2+64（。为坐标原点）,

84一

则仙"际ZM，所以x=—6.

故选：A

3.C

【分析】由扇形的面积公式计算出半径，再由弧长公式求出即可.

【详解】由扇形的面积公式5=1/1可得i=：/x2,解得厂=1,

所以弧长为/=>6=1X2=2.

故选：C.

4.B

【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除A,D，再根据0<x<1,对应了<0,排除C,进而选

出正确答案B.

【详解】由函数>=口，可得尤片士1,

x2-l

故函数的定义域为（-双,

答案第1页，共12页

又"ThF=*=/(@,所以是偶函数，

(一町-1XTX2-1

其图象关于〉轴对称，因此A,D错误；

当0<x<l时，Y-l<0,)=[^<0,所以C错误.

x2-l

故选：B

5.C

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.

2504

【详解】依题意,0<0.4<0.4°^1,Z>=log250.4<log25l=0,c=2.5>2.5°=1,

所以0、b、c的大小关系为b<a<c.

故选：C

6.B

【分析】先求定义域，然后由一元二次函数和对数函数性质即可求解.

【详解】由-尤+2>0,即/+工-2<0，解得一2cx<1,

所以函数f(x)的定义域为(-2,1),

令f(x)=f2-x+2,则f(x)在上单调递增，在上单调递减，

因为V=l°g|x为减函数，所以/(x)在1-2,-：上单调递减.

故选：B

7.B

【分析】分a<3,a23两种情况讨论求解即可.

【详解】当a<3时，/(a)=log2|a-l|=l,解得°=3(舍去)或a=-l,

此时〃3-°)=〃4)=23-7=1；

当时，/(a)=2a-1-7=l,解得。=4,

此时/(3-。)=/(-1)=log?1-=

综上所述，/(3-«)=1.

故选：B.

8.C

答案第2页，共12页

【分析】结合幕函数性质由条件求机，结合函数丫_/3的性质化简不等式，解不等式可得

结论.

【详解】因为函数了=x">2-2m-3在(0,-+W)上单调递减，

所以加2-2冽—3<0,又加EZ,

所以m=0,1,2,

因为函数V=户吁3(加£Z)的图象关于>轴对称，

所以用2—2加—3=(加—3乂加+1)为偶数，

所以加=1,

函数了=■的定义域为(-8,0)30,+8),

且函数y=■在(-8,0)和(0,+8)上单调递减，

当x<0时，y<0,当％>0时，>>0,

所以不等式(0+1)下>(3-2a)~T可化为

4+1>0。+1<0

Q+1>0

<3-2a>0或<3-2〃<0或

3-2〃<0'

Q+1<3—2。Q+1<3—2a

23

所以<;或二，

32

23

所以“的取值范围为(T§)U(-,+»).

故选：C.

9.BD

【分析】特称命题的否定需要特称改全称，结果变否定，判断A选项；两个函数如果定义

域相同表达式相同则为同一函数，判断B选项；充分必要条件的判定：pnq,则。是0的

充分条件；q=p,则。是4的必要条件条件；判断C,D选项.

【详解】A选项：命题p:*eR,x2+3x+4<0,则命题。的否定是VxeR,/+3x+420,

A选项错误；

B选项:/(无)定义域：R,g(x)定义域:(_8,O)U(O,+8),定义域不同，"X)与g(x)不

是同一个函数，B选项正确；

答案第3页，共12页

C选项：定义在R上的奇函数在0处函数值为0,但在0处函数值为0的函数不一定是奇函

数；所以他们不是充要条件的关系，C选项错误；

D选项：当。＞1且6＞1时，成立，满足充分条件；当时＞1时，。＞1且6＞1不成立，

例如。=3,b=g,不满足必要条件；所以“。＞1且6＞1”是“仍＞1”的充分不必要条件，D

选项正确.

故选：BD.

10.ACD

【分析】利用基本不等式求最值，逐项判断即可.

【详解】对A：因为1=工+金22、评=注=而即。628（当且仅当:'

ab\ab7ab___

b

[a=2

即\"时取"=”），故A项正确；

\b=4

.(12、b2ai—aha=y/2.+1

对B：因为。+6=a+6—+工=3+2+与23+2收(当且仅当:\即「时

\ab)ab2[b=2+>J2

b

取“=”），故B项错误;

2

141c12412

对C：因为二十三>—+2x-二1，

abaa了kb

＜一A1口_2

所以2+白2；（当且仅当:上即:〃时取“=”），故C项正确;

ab21_20=4

b

12

对"D：由—I——1ab=2a+b,

ab

所以〃(Z?-1)=〃6—Q=2Q+Z?—a=a+b,由B知：a[b-\)=a+b>3+2-42成立，故D项正

确.

故选：ACD

11.ABD

【分析】A：令x=0可得结果；B：令v=f可得结果；先结合奇偶性分析/■（%）在（0,1）上

的单调性，由此可判断D；根据条件将化简，结合单调性可判断C.

答案第4页，共12页

【详解】对于A：令x=y=O,则/(O)+/(O)=/(O),所以/(。)=0,故正确;

对于B：令〉=-尤，贝!J/(X)+/(T)=/(O)=O,所以/(Dx),

且定义域为(-1，1)关于原点对称，所以「(X)为奇函数，故正确;

对于CD：\/%,工2€(01),毛<%，则/(Xi)-y(X2)=/(xJ+/(-X2)=/

、1J一再次12

因为0<玉<%2〈1,所以再一/<。，0<项工2<1，所以0<1-项%2<1，所以F——<0,

因为X)-x+1=X]X?+1一52(再+1)(—2)

2且％1+1>0,0<1-％2<1,0<1-X1X2<L

1-xxx21-XxX2IT8

所以三£+所以1>一即T<花

因为xe(-1,0)时,/(x)>0,所以/(西)一〃尤2)=/|J*b0,

Vi-XlX2J

所以〃不)>/伉)，所以/(“在(0,1)上单调递减，故D正确;

'1］、

=/

又因为佃+巾=，定B；且IT所以陪卜佃O故。

I34J

错误;

故选：ABD.

12.三

【分析】根据条件分析a所在象限，继而可得答案.

【详解】因为cosa<0,所以夕是第二象限角或者第三象限角，

或者终边在x轴的非正半轴，

当tana>0时，则是第一象限角或者第三象限角，

故a是第三象限角，

故答案为:;三.

13.-2

【分析】由条件，结合对数函数性质列方程求叽〃，解方程求〃7，〃，由此可得加+〃.

【详解】因为函数y=log/x+加)+”的图象恒过定点(5,2),

答案第5页，共12页

所以5+加=1,2=loga1+»,

所以〃z=-4,n=2,

所以加+〃=-2.

故答案为：-2.

14.（21,24）

【分析】作出图形，可得出直线了=小与函数y=n>）的图象交于42,C,。四点，由

|log2-1）|,去绝对值，结合对数的运算律，可得出土土强的值，利用二次

X1X2

方程根与系数的关系得出鼻匕的值，由此可得出a）wx4的范围.

XxX2

【详解】作出函数y=f（久）和函数了=加的图象如下图所示，则两个函数的图象共有4个交

点A,B,C,D,且横坐标分别为Xi.%、退、尤4，且再<%<%<匕，

由/'（占）=/（超），得

『叫（再-1）|=氏2（Z-1）|，

则有-log?(再-1)=10g2(x2-l),所以log2(%1-1)+10g2(x2-l)=0,

X+X1

(%1-l)(x2-1)=1,化简得X1/_玉_/=0,xtx2=xt+x3,'=1.

由于二次函数y=+8图象对称轴为直线尤=5,则点两点关于直线尤=5对称,

所以》3+又=1°，且由图象可知3<毛<4,

所以X3X4=Xj10—Xs)=—无；+1Ox§=——5)+25,又3<£<4,

由二次函数的性质可得21<X3X4<24

所以（%+xJ尤3匕421,24）,

XxX2'

故答案为：（21,24）.

答案第6页，共12页

15.⑴NcB={x[2<x<3},=(-00,1]U(2,+00)

17

(2)a<M4<cr<—

【分析】(1)首先化简集合4B,结合集合的基本运算即可求解；

(2)先由题意得到8=/,再分集合B是否是空集进行讨论，结合包含关系列式即可求解.

【详解】(1)/={尤［3<3"1<816}=卜2<x<T}

当a=3时，5={x|l<x<3},^5=(-oo,l]U[3,+oo),

所以Nc3={x[2<x<3},纵B=(-oo,l]|J(2,+00).

(2)因为4UB=4,所以3屋力，

若1B=0,a-222a-3,a41[两足.意,

若3w0,a-2<2a-3,a>1,

a-2>2

17

由L0,11，得丁，

2a-3<—4

I2

17

综上：或—.

4

16.(l)/(x)=log2x,{%[%<-3或%>1}；

a

(2)[--,0],取最小值时、=后，取最大值时％=4.

【分析】(1)根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出。，再利用单调性解不

等式.

(2)由(1)的结论求出g(x)并换元，转化为二次函数求解.

【详解】⑴函数解x)=log。％定义域为(0,m),且/(%)在。+9>上单调，

由函数/(%)在区间[1,4]上的最大值与最小值之和为2,

得log/+loga4=2,即21ogq2=2k)g",解得a=2,

于是/O)=lOg2%；

,x—11X—I,X—I

7r(­7)<I=log--<log200<--<2

x+lx+2l2x+l

X—1

解--->0,得x<—1或x〉l；

X+1

答案第7页，共12页

解又<2,即二>0,得x<-3或x〉-1,

x+1x+1

因此x<-3或x〉l,

所以不等式/(一v—1)<1的解集任匡<-3或x>l}.

x+1

(2)由(1)知，

2

g(x)=〃：)•y(2x)=log2(^)-log22x=(log2x-2)-(log2x+1)=(log2x)-log2x-2,

令log2X=f,由xe[l,4],得，e[0,2],h(t)=t~—t—1=——)~——,

19

当时，/7(0min=---此时X=JI；当f=2时，/7«)max=0，此时X=4,

O

所以函数g(x)的值域为[-1°卜取最小值时x=0，取最大值时x=4.

17.(l)y=^log2^1+2^+m

251og,|-+2|-25,0<x<150

⑵尸(5)

100,x>150

(3)70分钟

【分析】(1)根据图像和函数性质选择模型；

(2)将(0,0),(30,50)代入求解系数即可；

(3)根据对数函数的性质求解不等式即可.

【详解】(1)从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，

y=klog22^+m.

(2)将(0,0),(30,50)代入解析式，

得至13左+加_50，解得左=25,m--25,

即尸2510g21+2)-25

令>=100,可得2510g2停+2)-25=100,

解得，龙=150,

答案第8页，共12页

251og2^|+2j-25,0<x<150

所以函数的解析式为v=

100,x>150

（3）由y=251og2（J+2,25N75,即log26+4=log216,

x

即已+2216,解得xN70,

所以每天得分不少于75分，至少需要阅读70分钟.

2-2x+1

18.（1）〃X）=FF

⑵〃尤）是R上的减函数，证明见解析

⑶左>1

【分析】（1）先根据/（。）=0求得6的值，然后再检验即可;

（2）先表示出1（占）-/（马）并将其因式分解，然后根据条件判断出了（王）-的正负,

由此可证明出单调性；

（3）先将问题转化为"/+±＜左「+工］在x＞0时能成立“，然后通过换元法求解出结果.

【详解】（1）•••/（X）是定义在R上的奇函数，.•./（（））=詈=0,.•.6=2,

2（2V-1）

此时"=7

2X+1

••J（x）是奇函数，满足题意，=］号.

（2）/（x）是R上的减函数;

Q0X+1

V/（x）=——=2VxxwR且再</,

V71+2、/I1?2

4442%2-2X1）

贝!J/（再）一/（工2）=-------------------=7——~~~w------\,

V17V271+2』1+2*2（1+2可1+2*）

l!X1

,/%!<%2,/.2>2，1+2*>0，1+29>0,

"（再）-/（工2）＞。，

即〃网）＞〃Z）,.♦"⑴是R上的减函数.

（3）•••/■（X）是R上的奇函数，.♦.不等式，/+:］+/（-丘-力＞0即为

答案第9页，共12页

••"(x)是R上的减函数，二/+3＜辰+"=左［尤+口在工＞0时能成立；

XXkXj

令/=x+',(x＞0),贝卜=》+工22)x-L=2,当且仅当x=l时取等号，

XX\X

v2X(X+工］-2,

故左〉——+一2——=-2在此2时能成立，

x+』x+Ltt

XX

所以左«＞2),

\/min

令此)=",，：了=0=-,在［2,+8)上均单调递增，

.•.〃⑺.一:在2+⑹上单调递增，，"。^^^＞？-^：!,

故左＞1.

19.(1)1

⑵①“(X)=log?(4*+1)-x-2②2log2;

4114

【分析】(1)根据题意，可得〃(x)=9x+—=M2x-—+a)+“Gx+—-2),化简，利用对应

x尤2x

项的系数相等即可求解；

(2)①设〃(x)=%k＞g2(4"+l)+"(：x+l),根据函数〃(x)为偶函数得出〃=-2机，再结合

/2(0)=-1,即可求出加，〃的值，进而求出函数的解析式；

②利用定义证明函数的单调，将式子化简为

E|A(X,.)-)卜A(-l)+/z(l)-/z(xj-〃(%)+风％)-h(xk)\,然后根据条件求解即可.

Z=1

4114

【详解】(1)由已知，可得解X)=9AH—=m(2x----+a)+〃(—x------2),

xx2x

rs4A-An-m三

贝U9x+—=2mH——xH----------Fma-2n,

x\2)x

2m+—=9(-

2m=4A

贝lj＜4〃一加=4,解得＜n=2,

ma-In=0a=1

所以实数。的值为1.

(2)①设/z(x)=7〃log2(4*+l)+"dx+l),

答案第10页，共12页

因为〃(X)为偶函数，所以/z(-x)=〃7k>g2(4T+l)-|^+〃，

X-x

由〃(一%)=〃(％),可得加log2(4+1)+—x+«=mlog2(4+1)-—x+z?,

x

4-