基本初等函数、函数与方程-2025年高考数学二轮复习学案（含答案）

专题十六基本初等函数、函数与方程

【题型分析】

考情分析：

1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不

等式是常见题型.

2.函数零点的个数判断及求参数的取值范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.

题型1基本初等函数的图象与性质

典例精析

例1⑴函数外)=log22x与g(x)=2-(T)x在同一平面直角坐标系中的图象大致是

⑵函数五X)=3--2|x|的一个单调递减区间为().

A.(-oo,0)B.(-l,0)

C.(0,1)D.(l,+oo)

(3)(2023年天津卷)若a=1.0105,&=1.O106,c=0.605,则a,b,c的大小关系为

().

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

方法总结：

1.指数函数、对数函数的图象与性质受底数。的影响，解决指数函数、对数函数

问题时，首先要看底数。的取值范围.

2.基本初等函数的图象和性质是相互统一的，在解题中可相互转化.

跟踪训练

1.已知Iog2a+log2b=0(a>0且分1,6>0且厚1),则函数与g(x)=logfcv

的图象可能是（）.

2.（2023年新高考全国/卷）设函数人功=2心。）在区间（0,1）上单调递减，则。的取

值范围是（）.

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

3.已知。=2《，人=3［，c=log32,则a,b,c的大小关系是（）.

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>b>a

题型2函数零点与方程的根

考向1J函数零点个数的判断

典例精析

例2函数«x）=VTlcosTCX-2X+1的零点个数为（）.

A.3B.4C.5D.6

方法总结：

判断函数零点个数的方法

（1）利用零点存在定理判断.

（2）代数法：求方程而0=0的实数根.

⑶几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=/(x)的图象联系起来，利用函数

的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.

G跟踪训练

已知函数/)=")Ko，则於)的图象上关于原点对称的点有().

1_|%2+2x|,x<0,

A.1对B.2对C.3对D.4对

考向2J求参数的值或范围

典例精析

例3设函数兀^)=*中久1，久>若函数g(x)=/(x)-。有三个零点，则实数人的取

上(x+i))x<o,

值范围是.

方法总结：

利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

方法一利用函数零点存在定理构建不等式求解

先分离参数，再转化为求函数的值域(最

方法二

值)问题

转化为两个熟悉的函数图象的位置关系

方法三

问题，从而构建不等式求解

跟踪训练

已知函数火%)=]E?!：^彳若实数a，b,c(a<O<c)满足五a)=/3)=/(c),则

a+b=；a+b+c的取值范围是.

题型3函数模型及其应用

典例精析

例4(1)某公司打算利用函数模型五(其中左>0,b>0,。为参数)预测该

公司新产品未来的销售量增长情况，已知a=e.若x=l表示该新产品今年的年产

量，估计明年(x=2)的产量将是今年的e倍，那么b的值为().(e为自然对数

的底数)

A与B.旦C.V5-1D.V5+1

22

⑵地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔

斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M=lg41gAo,其中M

表示某地地震的里氏震级，A表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，

Ao表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录

的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这次

地震的里氏震级约为().(参考数据：1g2=0.3)

A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级

方法总结：

1.构建函数模型解决实际问题的失分点

(1)不能正确选择相应变量得到函数模型.

(2)构建的函数模型有误.

⑶忽视函数模型中变量的实际意义.

2.解决新概念信息题的关键

(1)仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析.

(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为熟知的问题.

图跟踪训练

1.二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照

同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%,从第二年开始每年贬值10%.刚参加

工作的小明打算买一辆已使用了约5年的二手车，价格不超过8万元.根据年限

折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是加(机©N)万元，则m=().

A.13B.14C.15D.16

2.“阿托秒”是一种时间的国际单位，1“阿托秒”等于1018秒，原子核内部作用过

程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子・天下篇》中提到“一尺之植，日取其半，

万世不竭”，如果把“植”的总长度看成1米，按照此法，至少需要经过天

才能使剩下“植”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.(参考数据：光速为

3x108米例1g2-0.3,1g3=0.48)

【真题改编】

1.（2024年新高考全国〃卷，T6改编）设函数4x）=（ax+l）2+a,g（x）=-ex-e；'x+2ax,

若方程兀0=g（x）有且只有一个实数根，则。=（）.

A.-3B.-lC.lD.2

2.（2023年新高考全国/卷，T4改编）设函数Hx）=eM。）在区间（0,。上单调，则实

数。的取值范围是（）.

A.（-oo,0）U[2,+oo）B.（-oo,0）U（2,+oo）

C.(0,2]D.(-OO,0]u[2,+00)

3.（2023年新高考全国〃卷，T4改编）若八%）=（小高）In*为偶函数，则

a=().

1

A.-1B.OC.-D.1

2

4.（2019年江苏卷，T14改编）已知定义在R上的函数/）满足於+4）=於）,

.%2+1,-1<x<1,

外)=若方程段）-ax=0（a>0）有5个实数根，则正实数a的取

-\x-2\+l,l<x-3,

值范围是（）.

A-（?!）B'（?；）C（?8-2后）D.（16-6V7,

5.（2018年天津卷，理科T14改编）设函数/）弋，汽箕若方程於）=x+a有

三个不同的实数根，则这三个实数根之和的取值范围是.

【最新模拟】

（总分：84分单选题每题5分，多选题每题6分，填空题每题5分）

强基训练

L已知哥函数的图象过点（2,4）,则函数的解析式为（）.

A.y=2xB.y=x2Cj=x3D,y=3x

2.已知正实数m,n满足3nm=ln（m-2n）--lnn,贝叮二（）.

A.lB.-C.4D.l或工

44

3.已知函数Hx）=log5（aX-2）在[1,+oo）上单调递增，则实数a的取值范围是（）.

A.（l,+co）B.[ln2,+oo）

C.(2,+oo)D.[2,+oo)

4.函数兀^尸环段-出好的图象大致为().

5.多选题已知函数火x)=lg(l-x),则().

A次x)的定义域为(《,1)

B次x)的值域为R

C.41)+於4)=1

D.y=/(N)的单调递增区间为(0,1)

6.已知函数人乃是偶函数，对任意xGR,均有人x)=/(x+2),当xG[0,=

x,则函数g(x)=/(x)-log5(x+l)的零点个数为().

A.3B.4C.5D.6

7.已知集合4=马，$,]2,3},若。，cGA且互不相等，则使得指数函

数产出,对数函数产logbx,基函数中至少有两个函数在(0,+oo)上单调递

增的有序数对(a,b,c)的个数是().

A.16B.24C.32D.48

8.多选题我们知道“函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形”的充要条件

是“函数y=/a)为奇函数”.有同学发现可以将该结论推广为“函数y=/a)的图象关

于点P(a,力成中心对称图形”的充要条件是“函数y=f(x+a)-b为奇函数”.已知函

数五工尸高，则下列结论正确的有().

A.函数人为的值域为(0,2]

B.函数人外的图象关于点(1,1)成中心对称图形

C.函数人x)的导函数八x)的图象关于直线x=l对称

D.若函数g(x)满足y=g(x+l)-l为奇函数，且其图象与函数五x)的图象有2024个

2024

交点，记为48,v)(i=l,2,...»2024),则y(方+词=4048

9.已知命题p：设函数五x)在区间(0,+oo)上的图象是一条连续不断的曲线，若

人1)负2)>0,则五x)在区间(1,2)内无零点.能说明p为假命题的一个函数的解析式

是.

能力提升

10.工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量孤单

位：mg/L)与过滤时间/(单位：h)的关系满足y=yoe叫加，a均为正实数).已知前5

h过滤掉了10%的污染物，那么还需要经过()才能使污染物过滤掉50%.(最

终结果精确到lh,参考数据：1g2乜).301,1g3=0.477)

A.43hB.38h

C.33hD.28h

11.多选题已知函数兀0=[；-久丛20,其中五0=_/(0)=/©=九且a<Z?<c,则().

A.册2))=-32

B.函数g(x)=/(x)-加)有2个零点

C.a+b+c^(4+log3p4)

D.abcG(-41og35,0)

.2TT15-,5

2sin—x,-----工x4一

545-若存在实数xi,电,X3,

|k)g2(X-l)|,X>],

X4(X1<X2<X3<X4)满足火工1)可(%2)守(X3)守(%4)=机，则().

A.xj+x1<8

c5

B.X1+X2=--

C.X3X4-X3-%4=0

D.0<m<2

13.若直线2mx+ny-4=0(m>0f几>0)过函数)；=log«(x-1)+2(a>0,且存1)的图象上

的定点T,则的最小值为

14.已知函数兀0=1](：，7、-2<]若曲线y=/(x)与直线y=ax恰有2个公共点,

则实数。的取值范围是‘.

创新思维

15.（原创）若p：log4M<0,q：不等式（，+（„论0在xe（-co,1］上恒成立,则

p是4的（）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

16.（人教A版必修第一册P160T4改编）已知函数於）弋：［嚷1.遮<。若函数

y=«r）-质有四个零点，则左的取值范围是.

参考答案

专题十六基本初等函数、函数与方程

分类突破题型分析

题型1基本初等函数的图象与性质

例1(1)B(2)C(3)D

【解析】(1)因为«X)=log22x=l+log2X,所以火X)在定义域内是增函数，且火1)=1,

故A不成立；

因为g(x)=2-G)x,所以g(x)在定义域内是增函数，且8(0)=2-弓)。=1,故C,D

不成立.故选B.

(2)令?(x)=x2-2|^|,则y=3r.

由复合函数的单调性可知而0的单调递减区间就是函数f(x)=x2-2|x|的单调递减区

间.

又函数t(-x)=(-x)2-2\-x\=t(x),

所以函数/(X)为偶函数，其图象如图所示，

可知函数*x)=N-2|x|的单调递减区间为(-co,-1)和(0,1),

即加)的单调递减区间为(9，-1)和(0,1).故选C.

(3)(法一)因为函数於)=1.0十是增函数,且0.6>0.5>0,所以LOW为.010-5>i,即

.因为函数g(x)=06是减函数，且0.5>0,所以0.6°-5<0.6°=1,即c<l.综上，

6>a>c.故选D.

(法二)因为函数段)=1.0十是增函数,且0.6>0.5,所以1.01°6>1.01。-5,即。>0因

为函数以尤)=/5在(0,+oo)上单调递增，且1.01>0.6>0,所以l.OHAod"即

a>c.综上，6>a>c.故选D.

跟踪训练

1.B

【解析】由Iog2a+log2人=0,得log2ab=0,即ab=l.

当。>1时，0</?<1,函数於)=(3厂与g(x)=log办均为减函数，四个图象均不满

足；

当0<a<l时，b>l,函数於)=(，.与g(x)=loghx均为增函数，排除A,C,D.故

选B.

2.D

【解析】由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递减，所以x=,l,解得位2.故

选D.

3.B

【解析】由题意得。=24>2°=1,6=3*>3°=1,c=log32<log33=L

易知512=(3^)12=33=27,小=(2号产=24=16,

故612>〃2,则人>。>1,可得Z?>a>c,故B正确.

故选B.

题型2函数零点与方程的根

考向1函数零点个数的判断

例2c

【解析】

令_/(x)=VTTcosnx-2x+l=Q,可得VTTcosnx=2x-l,

贝!J函数4x)=VTTcos7ix-2x+l的零点个数为y=VTTcosTIX与y=2x-l的图象的交点

个数，

显然y=VTTcos⑪与y=2x-l的图象均关于点6，0)对称，

又当x=2时，VTlcos2n>2x2-l,当x=4时，Vllcos4n<2x4-l,

再结合两个函数的图象(如图)，可得y=VTTcos兀x与y=2x-l的图象有5个交点,

故函数«x)=VTTcos兀x-2x+l的零点的个数为5,故C正确，故选C.

跟踪训练C

【解析】画出1Ax)的图象，再画出函数丁=6尸，它0关于原点对称的图象，如图

所示.

因为函数丁=(扑，它0关于原点对称的图象与y=-|x2+2x|,x<0的图象有3个交

点，所以xx)的图象上关于原点对称的点有3对.

故选C.

考向2求参数的值或范围

例3(0,1]

【解析】由题意知，函数g(x)=/(x))有三个零点，

令函数g(x)=/(x))=0,则五x)=。有三个根，即函数/(x)的图象与直线丁=。有三个

交占

当烂0时，f(x)=ex(x+l),则八x)=ex(x+l)+ex=e%x+2),

由八x)<0得x+2<0,即x<-2,此时段)在(-00,-2)上单调递减，

由八x)>0得x+2>0,即-2<史0,此时«v)在(-2,0]上单调递增，

即当x=-2时，|x)取得极小值，极小值为於2)=-，.

作出兀0在(-8,+oo)上的图象，如图所示，

要使人x)=。有三个根，则0<区1.

跟踪训练2[6,7)

【解析】故兀v)在(。，1)和(2,+8)上单调递减，在[1,2]上单

调递增，且有加)=0,A2)=l,型)=1,#4)=1,A5)=0.

由%)W)=/(c),得0SQV1〈区2<4土<5,当％£[0,2]时，火则八元)的图

象关于直线x=l对称，故a+b=2,

则〃+b+c=2+c£[6,7).

题型3函数模型及其应用

例4(1)A(2)B

【解析】⑴由a=e,得到段)=依2,

bl

.:当x=l时，fil)=ke；

当x=2时，言2)=左/2.

依题意，明年(x=2)的产量将是今年的e倍，得虫竺=ebZb-1=e,

keb-1

,：J±二1,即~2+b_l=0,解得土石.

bb2

:力>0,.7=①.

2

故选A.

⑵由题意知，该地地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为

0.002,nJMM=lg5000-lg0.002=lgi^-lg^=4-lg2-(lg2-3)=7-21g2-6.4.

故选B.

跟踪训练

l.C

【解析】依题意，加(1-20%)(1-10%)七8,解得m<―黑%5.24,又加©N,

0.8X0.96561

所以机=15.故选C.

2.31

【解析】依题意知，光在2“阿托秒”内走的距离为2x10-18x3x108=6x10-10(米).

设经过〃天后，“楂’剩余的长度为加)=(；)"米，由五〃)<6xl0」。，得C)〃<6xl0-

109

两边同时取对数，得〃>"*(6*10-

由平丹芈=10一臂+^3^2若当30.73,而“GN*,则”=31,所以

崂lg2lg20.3

至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.

分类突破真题改编

1.A

【解析】令h(x)=j[x)-g(x)=a2x2+a+l+^+e'x,

原题意等价于有且仅有一个零点.

因为h(-x)=a2(-x)2+a+l+e'x+ex=h(x),所以/i(x)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知/?(%)的零点只能为0,

即〃(0)=a+3=0,解得a=-3.

若a=-3,贝!!/z(x)=9x2+ex+e"-2,

又因为9企0,e*+e-至2,当且仅当x=0时，等号成立，所以加於0,当且仅当尤=0

时，等号成立，

即/z(x)有且仅有一个零点0,所以a=-3符合题意.故选A.

2.D

【解析】当/00=廿(*。)在区间(0,1)上单调递减时，因为y=ex在R上单调递增，

所以函数尸心七)=3)2号在区间(0，1)上单调递减，所以如，解得壮2.

当危尸eM-。)在区间(0,1)上单调递增时，因为y=ex在R上单调递增，所以函数

尸(x-a)=(苫)20在区间(0,1)上单调递增，所以匿0,解得好0.

综上可知，实数。的取值范围是(。，0]U[2,+8).故选D.

3.D

【解析】因为"x)为偶函数，所以火D=A-i)，

所以(W)ln|=(a-1)ln3,解得a=l.

当时，次x)=(1-率J)ln京吉二盆2Y+IF由(2*1)(2%+1)>0，解得%，或

'D-r1LA,~V1J十£X-T14

x<3则其定义域为卜卜弓或x<9｝，关于原点对称.

又於x)=3；-1In;)-1=lz%n争口二二」-In(第\)-1=与」-111舁言■守3)，

xXX

八3-+l2(-x)+i1+3久2x_r3+112尤+1，3+12%+1八

所以Hx)为偶函数，符合题意.故选D.

4.C

［解析】由於+4)=/(%),得函数於)是以4为周期的周期函数由方程於)-ax=O(a>0)

有5个实数根，可得函数y=/(x)与函数y=ax(a>0)的图象有5个交点.作出函数

V=Ax)与函数y=ax(a>0)的图象，

i35%

如图.由图象可得方程-(*4)2+l=ox,即x2+(a-8)x+15=0在(3,5)上有2个实数根，

由』=(。-8)2-60>0,得〃>8+2属或〃<8-2回，分析可矢口0<〃<8-2回.再由方程

於尸QX在(5,6)内无解，可得6〃>1,即〃>4.综上所述，9故选C.

OO

5.冬6

【解析】因为方程“r)=x+a有三个不同的实数根，所以y=a和y=«r)-x的图象有

三个交点少=/(力》=｛：K-泞箕^8,在同一平面直角坐标系中画出函数y=a和

y=/(x)-x的图象，如图所示.

设三个交点的横坐标分别为XI,X2,X3,且满足X1<X2<X3.

结合图象可知-3<a<4,故3xi+4G(-3,4),即为640).

根据二次函数图象的对称性得到X2+X3=6,则X1+X2+X3©(56).

分类突破最新模拟

0强基训练

l.B

【解析】设募函数的解析式为尸必由于募函数的图象过点（2,4）,故4=2%解

得a=2.故募函数的解析式为y=N.故选B.

2.B

【解析】由扣加=ln（m-2办3n”，得In赤伍=ln（机-2〃），因止匕=m-2n>0,

整理得2（户尸+口-1尸0,解得口金即二经检验符合题意，

7m，7m7m2m4

所以白。.故选B.

77T4

3.C

【解析】若兀0=log5（*2）在［1,+oo）上单调递增，

则人x）必然在X=1处有意义，所以排-2>0,即a>2.

若a>2,则当xNl时，ax-2>a-2>0,所以人工）在［1,+oo）上有意义，

再由。>1知y=出-2在R上单调递增，所以人x）在［1,+s）上单调递增.

故选C.

4.A

1

【解析】於）=巴e%-］n%-1121口（），

、e*户⑵环%>0.

-I

因为当x<0时，尸ely=-ex，y=-21n（-x）都为增函数，

所以产e7321n（㈤在（a,0）上单调递增，故B,C错误；

又因为1-x）=e"-e3-ln,

所以汽x）不是奇函数，即其图象不关于原点对称，故D错误.

故选A.

5.ABC

【解析】对于A,B,由l-x>0,得x<l,则1x）的定义域为（a,1）,值域为R,

A,B均正确；

对于CX-l）+X-4）=lg2+lg5=lg10=1,C正确;

对于D,因为人产）=炮（1_a），令则y=lgM,所以l-N>0,解得

所以函数丁=火产）的定义域为（-1,1）,

因为外层函数y=lgM为增函数，内层函数M=1-N在(-1,0)上单调递增，在(0,1)

上单调递减，

所以丁寸/)的单调递增区间为(_1,0),不是(0,1),D错误.

故选ABC.

6.B

【解析】函数五x)是偶函数，说明函数人x)的图象关于y轴对称，汽x)=/(x+2)说明

“X)的周期是2.

在同一平面直角坐标系中画出函数y=/(x)的图象与y=log5(x+l)的图象，如图所

示，

由图可知两个函数的图象共有4个不同的交点，即g(x)=«x)-log5(x+l)有4个零

点.故选B.

7.B

【解析】若y=a*和y=log办在(0,+oo)上单调递增，在(0,+oo)上单调递减，

则有A**=4个满足题意的有序数对；

若y=a*和在(0,+co)上单调递增，y=\ogbx在(0,+co)上单调递减，则有

禺xCp禺=8个满足题意的有序数对；

若y=log/,x和产十在(0,+co)上单调递增，产出在(0,+co)上单调递减，则有

禺xCp禺=8个满足题意的有序数对；

若产的y=log〃x和产X。在(0,+co)上单调递增，则有A/的=4个满足题意的有

序数对.

综上所述，共有4+8+8+4=24个满足题意的有序数对.

故选B.

8.BCD

【解析】对于A,显然兀o的定义域为R，2、>0,则0<W<2，即函数兀0的值

域为(0,2),A错误；

对于B,A(x)=Ax+l)-l=^f^-l=^--l=1^p,贝lj〃(-x)=^|^=^^=-/z(x)，

即函数y=/(x+l)-l是奇函数，因此函数加0的图象关于点(1,1)成中心对称图形，

B正确；

对于C由选项B知，於x+D-l/[/U+l)-l]，即川㈤出1+元)=2,

两边求导得了(1-X)+f(l+x)=0,即八1-x)="1+x),

所以函数人X)的导函数八X)的图象关于直线X=1对称，C正确；

对于D,由函数g(x)满足y=g(x+l)-l为奇函数，得函数g(x)的图象关于点(1,1)

中心对称，

由选项B知，函数g(x)的图象与函数兀0的图象有2024个交点，且两个图象都

关于点(1,1)对称，

202420242024

因止匕y(即+对=yXi+yyi=l012x2+1012x2=4048,D正确.

故选BCD.

9.»=x-|)2(答案不唯一)

【解析】因为函数加)=(x-|)2的定义域为R,所以函数外)在区间(0,+co)上的

图象是一条连续不断的曲线.

因为火1)=1，犬2)=，所以汽1)孤2)>0，

4,4,

又J(|)=o,所以外)在区间(1，2)内有零点，所以命题p为假命题，满足题意.

能力提升

10.D

【解析】废气中污染物含量y与过滤时间/的关系满足产期皿,

令/=0,得废气中初始污染物含量为y=yo,

又;前5h过滤掉了10%的污染物，

910

.：(l-lO%)yo=yoe-5。，则。=-9=9，

55

•:当污染物过滤掉50%时，(l-5O%)yo=yoe3,

贝IJz=j4=^=^T§=^T§=-^-^33,33-5=28(h),

aaln-g-lg-g-l-21g3

•:还需要经过28h才能使污染物过滤掉50%.

故选D.

ll.ACD

【解析】胆-2))=犬8)=-32,故A正确；

画出函数4x)的图象，如图所示，观察可知，0<%<4,而47)6(0,4),

故y=/a)与'=/⑷的图象有3个交点，

即函数g(x)有3个零点，故B错误；

由对称性知6+c=4,而ad(log3(，0),

故a+b+cG(4+log3,4),故C正确；

b,c是方程x2-4x+/l=0的根，故bc=7,

令3°-1=2,则tz=-log3(l+A),

故aZ?c=Jk)g3(l+/l),而九log3(l+7)均为正数，且y=log3(l+»在(0,4)上单调递

增，

.:尸Jlog3(l+#在(0,4)上单调递减，

故abcG(-41og35,0),故D正确.

故选ACD.

12.BCD

.2IT155

2Qsm亏x,一彳Wx£展

.-<x<2

-1O82(X-1),4<x<

1O82(-1),X>2,

{X

故兀0的图象如图所示，

则XI+%2=-2X[=-£,