广东省广州市广雅中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

第1页/共1页广东广雅中学2024-2025学年（上）高二级期中考试数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题，是无理数．则的否定是（）A.，是有理数 B.，是有理数C.，是有理数 D.，是有理数【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定知，命题，是无理数的否定是：，是有理数.故选：D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据存在性命题的否定求解.【详解】根据存在性命题的否定可知，命题“，”的否定是：，，故选：D3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】对可得，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由，则，即，即，解得得，则不能推出，能推出，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用辅助角公式求出，再利用二倍角公式求解即可【详解】解：因为，所以，所以，所以，故选：B5.经过第一、二、三象限的直线：与圆：相交于，两点，若，则的最大值是（）A.8 B.4 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可得直线经过圆心，则可得，再由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为圆：，即，圆心为，半径为3，且，则直线经过圆心，即，所以，又直线经过第一、二、三象限，则，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值是4.故选：B6.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，用该术可求得圆周率的近似值.现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为（）A B.2 C.3 D.3【答案】A【解析】【分析】利用圆锥体积公式以及体积的近似公式估算出的近似值为3，结合一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，求出这个圆锥的底面半径和母线，求出高，则可得到圆锥体积的近似值.【详解】解：圆锥的体积，解得，则设所求圆锥的底面直径与母线长为，则底面半径为，则，解得，设高为，则.故选：A7.图，正方体中的棱长为2，分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，借助两点间距离公式建立方程求出球半径得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，

则，设球心为，外接球半径为R，于是，解得，即球心，球半径，显然，符合题意，所以四棱锥的外接球半径，表面积.故选：D8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过作差法结合函数确定差的正负从而来确定的大小；通过作商法然后结合函数确定商的大小从而来确定的大小，最终确定三者大小关系.【详解】因为，所以．令，则，所以函数在上单调递增，所以当时，，即有成立，所以，得，所以因为，所以令，则，所以函数在上单调递增，所以当时，，即有成立，所以，即，所以，即.综上：.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若且，则【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质及取特殊值逐项分析即可.【详解】选项A，由，若，则，故A错误，选项B，在不等式两边同时乘以同一个负数，不等号改变，所以若，，则，故B正确，取，，则，故C错误，因为，若，则，所以，故D正确，故选：BD10.下列不等式一定成立的是（）A. B.若，则C. D.【答案】BC【解析】【分析】通过不等式的性质和基本不等式判断各选项的结论.【详解】时，，A选项错误；若，当时，有，当时有，有，所以，B选项正确；，所以，C选项正确；当为负数时，不成立，D选项错误.故选：BC11.下列说法正确的有（）A.若，那么 B.若，则C.若，则有最小值2 D.若，则有最大值1【答案】BD【解析】【分析】举出反例，可得判定A不正确；利用不等式的性质，可判定B正确；利用基本不等式可判定C正确，D不正确.【详解】对于A中，例如，此时，所以A不正确；对于B中，由，则，所以，所以B正确；对于C中，由，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以等号不成立，所以C不正确；对于D中，由，当时，，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，此时的最大值为1；当时，，当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，此时，所以D正确.故选：BD.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为_____________.【答案】3.【解析】【详解】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，结合目标函数z的几何意义，求得其最优解，代入求得函数的最大值.详解：变量满足约束条件的可行域如图：目标函数经过可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0,3），所以目标函数的最大值为：3.故答案为3.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，先根据约束条件画出可行域，将目标函数化成斜截式，结合目标函数的几何意义，可以断定目标函数在哪个点处取得最大值，解方程组，求得最优解，代入求得最大值.13.已知，若不等式恒成立，则的最大值是________.【答案】6【解析】【分析】根据，，得到，利用“1”的代换转化为，再用基本不等式求解即可【详解】因为，，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以的最大值是.故答案为：.14.已知函数，则它的极小值为_______；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是_____________.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）利用导数可求得函数的极小值；（2）由题意可得出，分、、三种情况讨论，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.【详解】（1）由，得，令，得，列表如下：−∞,00,+∞极小值所以，函数的极小值为；（2），，使得，即，.①当时，函数单调递增，，，即；②当时，函数单调递减，，，即；③当时，，不符合题意.综上：.故答案为：；.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了存在性问题与恒成立问题综合，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知：四边形是空间四边形，，分别是边，的中点，分别是边，上的点，且，求证：直线、、交于一点.【答案】证明见解析.【解析】【详解】试题分析：利用三角形的中位线平行于第三边，平行线分线段成比例定理，得、都平行，利用平行线的传递性得到且，所以，相交，再利用为两个面的公共点，结合公理得结果．试题解析：连接，∵，分别是边，的中点，∴.又∵，∴.因此且.故四边形是梯形；所以，相交，设，∵，平面,∴平面．同理平面，又平面平面，∴，故直线、、交于一点.考点：平面的基本性质.16.如图，在三棱柱中，平面平面.（1）若分别为的中点，证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接交于点，连接，根据条件可得四边形是平行四边形，得出，再利用线面平行的判定定理，即可得出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出面的法向量及平面的法向量为，再利用面面角的向量法即可求出结果.【小问1详解】如图，取的中点，连接交于点，连接，因为是的中点，是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.【小问2详解】因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，则，在中，不妨设，则，连接，因为，所以.又平面平面，所以平面平面，且平面平面平面，故平面.设的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图，则，则，，设平面的法向量为n=x,y,z，则，即，不妨取，则有，易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.判断下列各组直线是否平行，并说明理由．（1）经过点，经过点；（2）的斜率为，经过点.【答案】（1）不平行，理由见解析（2）不平行，理由见解析【解析】【分析】（1）分别计算出和的斜率，再比较两斜率是否相等即可；（2）求出的斜率，再与的斜率比较即可.【小问1详解】设直线，的斜率分别为，，因为经过点，经过点，所以，，所以，所以与不平行；【小问2详解】设直线，的斜率分别为，，则，因为经过点，所以，所以，所以与不平行.18.已知函数．（1）若，求的值；（2）求的单调增区间．【答案】（1）；（2）的单调增区间为．【解析】【详解】先通过降幂公式和三角恒等变换公式把f(x)转化成.(1)再根据,建立关于的三角方程，求出的值.（2）根据正弦函数的单调增区间求出f(x)的单调增区间.（1）；（2）单调递增，故，即，从而的单调增区间为．19.设，函数，.（1）当时，求值域；（2）讨论的零点个数.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；（2）令