安徽省合肥市六校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题

2024—2025学年第一学期期末联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟；满分：150分）命题学校：合肥七中命题人：审题人：一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图,以长方体的顶点为坐标原点,建立空间直角坐标系.若向量的坐标为,则点的坐标为（）A. B. C. D.2.直线的斜率为（）A. B. C. D.3.等比数列的前项和为,且,,则（）A.63 B.48 C.31 D.154.下列条件中,一定能使点与点,,共面的是（）A. B.C. D.5.圆与圆的公共弦的弦长为（）A. B. C. D.6.如图,四面体的所有棱长均为2,点,分别为棱,的中点,则（）A.2 B.1 C.-1 D.-27.数列满足：,若,则数列的前10项的和为（）A. B. C. D.8.人教A版必修第一册第92页“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”,函数的图象实际上是双曲线.则函数的图象对应的双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.等差数列的前项和为.若,,则（）A. B. C. D.10.点为坐标原点,过点的直线与抛物线交于,两点,则（）A.抛物线的准线为 B.C. D.面积的最小值为11.如图,在正方体中,点为线段上的动点,下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.异面直线与所成角的取值范围是C.平面与平面所成夹角的余弦值的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12.双曲线的焦距为______.13.过动点作圆的切线,点为切点,若（为坐标原点）,则的最小值是______.14.如图,曲线上的点与轴上的点（构成一系列正三角形：,,…,.设正三角形的边长为,点.则数列的通项公式为______.四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）圆内有一点,为过点且倾斜角为的弦.（1）当时,求弦的长；（2）当弦的长最小时,求直线的方程.16.（本小题15分）已知平面上两点,,动点满足.（1）求动点的轨迹的标准方程；（2）当时,求点的纵坐标.17.（本小题15分）已知三棱柱中,,,.（1）求证：平面；（2）若,求平面与平面所成二面角的余弦值.18.（本小题17分）在数列中,已知,.（1）求数列的通项公式；（2）记,且数列的前项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.19.（本小题17分）已知抛物线的焦点为,点为抛物线准线上一点,点为线段与抛物线的交点,定义：.（1）当时,求；（2）证明：存在常数,使得；（3）若,,为抛物线准线上三点,且,判断与的大小关系.

2024-2025学年第一学期期末联考高二年级数学参考答案一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A解：的坐标为,为坐标原点,,,,,的坐标为.故选A.2.【答案】B【详解】由题意得：直线的斜截式方程为,所以直线的斜率为.故选：B3.【答案】C【详解】令等比数列的公比为,则,,解得,,所以.故选：C4.【答案】B【详解】对于A,,由于,所以不能得出,,,共面.故A不符合题意；对于B,由于,则,,为共面向量,所以,,,共面.故B符合题意；对于C,,由于,所以不能得出,,,共面.故C不符合题意；对于D,由得,而,所以不能得出,,,共面.故D不符合题意；故选：B5.【答案】C解：,①,②,②-①并整理得,为公共弦所在直线的方程,易知圆的圆心为原点,半径为2,原点到公共弦所在直线的距离为,故公共弦长的一半为,公共弦长为,故选C.6.【答案】D【详解】四面体的所有棱长均为2,则向量,,不共面,两两夹角都为,则,因点,分别为棱,的中点,则,,,所以.故选：D7.【答案】C解：因为,所以,两式相减可得,即,所以,所以.故选C.8.【答案】A解：双曲线的两条渐近线的夹角记为,渐近线的斜率,所以,,离心率满足：,所以,故选A.二、多选题：本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.【答案】AC解：设首项为,公差为,由,可得,,解得,所以,,故选AC.10.【答案】BC【解析】解：抛物线,可得准线方程为,所以A不正确；设过点的直线,又交抛物线与,两点,可得：,即,所以.所以B正确.消去可得：,,可得,所以,所以C正确；显然直线的斜率不为0,设直线的方程为.联立,消去,得,所以,,原点到直线的距离为,,,当直线与轴垂直时,,,此时,所以.故D错误.故选：BC.11.【答案】ABD解：对于A,,平面,平面,平面,点在线段上运动,点到平面的距离为定值,又的面积为定值,故三棱锥的体积为定值,故A正确；对于B,,异面直线与所成的角即为与所成的角,当点位于点时,与所成的角为,当点位于的中点时,平面,,,此时,与所成的角为,异面直线与所成角的取值范围是,即,故B正确；对于C,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,,,则,,设平面的法向量,平面的法向量,,,则,即,令,则,,则得,面与平面所成夹角为,所以,因为,,所以,,所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是,故C错误；对于D,则,,,,,,设平面的法向量,则,即,令,则,,得,所以直线与平面所成角的正弦值为：,当时,直线与平面所成角的正弦值取得最大值,最大值为,故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12.【答案】8因为双曲线所以,所以焦距为8.故答案为：8.13.【答案】解：根据题意,设的坐标为,圆的圆心为,则.为圆的切线,则有,又由,则有,即,变形可得：,即在直线上,则的最小值即点到直线的距离,且；即的最小值是；故答案为：.14.【答案】解：由条件可得为正三角形,且边长为,,在曲线上,代入中,得,,,根据题意得点,代入曲线并整理,得.当,时,,即.,,当时,,或（舍）,故数列是首项为,公差为的等差数列,.故答案为：.四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）【答案】解：（1）当时,,直线为,故,由圆的圆心为原点且半径为,则圆心到距离为,所以.（2）当直线与垂直时,弦的长最小.由于直线的斜率为,所以,直线的斜率为；所以,直线的方程为：16.（本小题15分）【答案】解：（1）由,,动点满足,可得动点的轨迹是以,为焦点的椭圆,且,,,即有轨迹的标准方程为；（2）当动点满足时,可得在以为直径的圆上,设,可得,又,解得,,则的纵坐标为.17.（本小题15分）【答案】解：（1）在三角形中,,得,由,所以,,又,,,又、平面,故平面；（2）由（1）,,又在中,可得,以为原点,以,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,,,,,,,,设平面的法向量为,由,取,得,设平面的法向量为,由,取,得,由,故平面与平面所成二面角的余弦值为.圆内有一点,为过点且倾斜角为的弦.18.（本小题17分）【答案】解：（1）由,,累加得：,；（2）,前项和为,若为数列中的最小项,则对有恒成立,即对恒成立,当时,得；当时,得；当时,恒成立,对恒成立.令,则,当时,,,,,当时,也成立,当