八年级数学下册 第17章 单元综合测试卷（人教河北版 2025年春）

八年级数学下册第17章单元综合测试卷（人教河北版2025年春）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．直角三角形的两条直角边的长分别为1，eq\r(3)，则其斜边的长为()A．3eq\r(2)B．2eq\r(6)C．4eq\r(3)D．22．下列各组数中，是勾股数的是()A．9，16，25B.eq\r(2)，eq\r(2)，2C．1.5，2，2.5D．5，12，133．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则正方形ABDE的面积为()A．81B．144C．225D．1694．在平面直角坐标系中，有四个点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\r(3)))，Q(－eq\r(2)，eq\r(6))，M(－2，eq\r(3))，N(eq\r(3)，2)，则这四个点中到原点距离最远的是()A．PB．QC．MD．N5．如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，点A表示数－1，点D表示数－4，AB＝1，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与数轴负半轴交于点E，则点E表示的数为()A．－eq\r(17)B．－1－eq\r(17)C．－eq\r(10)D．－1－eq\r(10)6．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．AB＝3k，BC＝4k，AC＝5k(k为正整数)D．AC＝3＋k，AB＝4＋k，BC＝5＋k(k>0)7．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于eq\f(1,2)AB的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG分别交AB，BC于点M，D；再分别以点A，C为圆心，以大于eq\f(1,2)AC的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线HI分别交AC，BC于点N，E.若BD＝eq\f(3,2)，DE＝2，EC＝eq\f(5,2)，则AC的长为()A.eq\f(3\r(10),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3\r(5),2)D.eq\f(3\r(2),2)8．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．这个图形是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图②的“风车”图案(阴影部分)．若图①中的四个直角三角形的较长直角边长为9，较短直角边长为5，则图②中的“风车”图案的周长为()A．16＋4eq\r(41)B．16＋4eq\r(31)C．20＋4eq\r(41)D．20＋4eq\r(31)9．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为()A．8cmB．10cmC．12cmD．13cm10．如图①，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形的三边为边作正方形．图②由图①的两个小正方形向外分别作直角边长之比为4∶3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边作正方形，…，按此规律，则图⑥中所有正方形的面积之和为()A．200B．175C．150D．125二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)11.命题“对顶角相等”的逆命题是________________________．12．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且b2－a2＝c2，若∠A＝70°，则∠C的度数是________．13．某数学兴趣小组开展了研究笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处之间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E处之间的距离AE为________．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P为BC上一个动点，连接AP，将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为点D，连接BD，若AC＝5，BC＝12，当△PBD为直角三角形时，线段CP的长为__________．三、解答题(本大题共4小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求证：∠A＋∠C＝180°.16．(12分)将边长分别为a和2b(a＞b)的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图①，再用这四个三角形拼成如图②所示的大正方形，中间形成一个小正方形的空洞．经测量得长方形的面积为24，大正方形的边长为5.试通过你获取的信息，求a2＋b2和a2－b2的值．17．(16分)钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线AB上的某港口P出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，已知甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里．(1)若甲、乙两船离开港口一个半小时后分别位于Q，R处(图①)，且相距30海里，如果知道甲船沿北偏东70°方向航行，那么你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由；(2)若甲船沿北偏东60°方向航行(图②)，从港口P离开经过两个小时后位于点C处，此时船上有名海警需要以最快的速度回到PA海岸线上，若他从C处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．(提示：eq\r(3)≈1.7)18．(18分)【问题提出】(1)如图①，△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC内部，连接AD，AE，BD.①求证：BD＝AE；②若∠ADC＝150°，求证：BD2＝AD2＋CD2；【问题探究】(2)如图②，△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC外部，若BD2＝AD2＋CD2仍然成立，求∠ADC的度数；【问题拓展】(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为△ABC外一点．若∠ADC＝45°，BD＝eq\r(23)，CD＝eq\r(5)，请直接写出AD的长．

答案答案速查12345678910DDCBDDACDB11.相等的两个角为对顶角12.20°13.15cm14.eq\f(10,3)或515．证明：连接AC.∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，∴由勾股定理，得AC2＝202＋152＝625.∵CD＝7，AD＝24，∴CD2＋AD2＝625，∴AC2＝CD2＋AD2，∴∠D＝90°，∴∠A＋∠C＝360°－180°＝180°.16．解：根据题意得a2＋b2＝52＝25，a·2b＝24，∴a2＋b2＋2ab＝49，∴a＋b＝7，由题图②得(a－b)2＝25－24＝1，∵a＞b，∴a－b＝1，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝7×1＝7.17．解：(1)乙船沿南偏东20° 方向航行．理由如下：由题意得∠APQ＝70°，PQ＝12×1.5＝18(海里)，PR＝16×1.5＝24(海里)，在△PQR中，∵PQ2＋PR2＝182＋242＝900，QR2＝302＝900，∴PQ2＋PR2＝QR2，∴△PQR是直角三角形，∠QPR＝90°，∴∠BPR＝180°－∠APQ－∠QPR＝180°－70°－90°＝20°，∴乙船沿南偏东20°方向航行．(2)能，理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意知∠CPD＝60°，PC＝2×12＝24(海里)，∴∠C＝30°，∴PD＝eq\f(1,2)PC＝12海里，∴CD＝eq\r(242－122)＝12eq\r(3)≈20.4(海里)．∵90×eq\f(14,60)＝21(海里)，21>20.4，∴他能在14分钟内回到海岸线．18．(1)证明：①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△CBD≌△CAE，∴BD＝AE.②∵△DCE为等边三角形，∴∠EDC＝60°，DE＝CD.∵∠ADC＝150°，∴∠ADE＝150°－60°＝90°，∴AD2＋DE2＝AE2.由①知BD＝AE，∴BD2＝AD2＋CD2.(2)解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△CBD≌△CAE，∴BD＝AE，∵BD2＝AD2＋CD2，∴AE2＝AD2＋DE2，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC＝∠ADE－∠CDE＝90°－60°＝30°.(3)解：AD的长为3.点拨：如图，过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接DE，CE，则∠ADE＝45°.∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.∵