沪科版九年级数学重难点专项突破：相似三角形中的“A”字模型（4种题型）（原卷版）

重难点专项突破07相似三角形中的“A”字模型（4种题型）

一【知识梳理】

（1）ZADE=/B,⑵NADE=NC,

'/ADAE

.AD_AED/AC~AB

/ABAC

/__.工/

BAE=—

AE=4图1rC4

【考点剖析】

题型一：直接利用“A”字模型解题

例1.如图，E是EIA8C。的边BA延长线上一点,CE与AD相交于点F,4E=LAB=2,BC=3,那么AF=.

/AZD

BC

例2.（2022秋•静安区期末）在△/8C中，AB=6,M=5,点小£分别在边/反ACh,当49=4,ZADE=

/C时，DE=

BC

题型二：添加辅助线构造“A”字模型解题

例3.如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=2,AB=2遮，点。在边AC上，CD：AD=1：3,联结BD,点E

在线段B。上，如果N8CE=/4那么CE=_

AB

例4.如图，己知AABC中，AD、段'相交于G,BD:DC=3:1,AG:GD=1:2.求BG:GE的值.

A

例5.如图，在AABC中，点，在线段8c上，ZBAD=75°,ZG4D=30°,AD=2,

BD=2DC,求4C的长.

题型三："AX"字型解题

例6.如图，AABC中，DE//BC,AE=3,DE=4,DF=2,CF=5,求EC的长.

例7.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC、80交于点O,点E在AB上，且EO〃BC,已知

AD=3,BC=6.求EO的长.

题型四：双A字模型

例8.如图，AB1BD,CDLBD,垂足分别为2、D,AC和3。相交于点E,EFVBD,垂足为F.求证:

111

--------1----------------

ABCDEF

【过关检测】

一.选择题（共7小题）

1.（2020秋•大观区校级期中）如图，已知。、E分别是△ABC的AB,AC边上的点，DE//BC,且

S四边形DBCE=1：8,那么AE：AC等于（）

A.1：9B.1：3C.1：8D.1：2

2.（2021秋•岳西县期末）如图，在△ABC中，C£＞平分/AC8,交A8于点。，过。作BC的平行线交AC

于若BC=3,AC=2,则（）

3.（2021秋•萧县期末）如图，Rt^ABC中，ZC=90°，点。在AC上，ZDBC=ZA.若AC=4,sinA=

旦，则2。的长度为（）

5

445

4.（2021秋•亳州期末）如图，在△A8C中，点。、E分别是AB、AC上的点，连接。E,下列条件不能使

得△ABC与△AOE相似的是（）

A.ZADE=ZACBB.DE//BCC.岖=岖D.幽=幽

DEBCACAB

5.（2021秋•全椒县期末）如图，树在路灯。的照射下形成影子AC,已知路灯高尸。=5加，树影AC=

3m,树AB与路灯。的水平距离AP=4.5〃z,点C、4、尸在同一水平线上，则树的高度AB长是（）

9in

A.3mB.2mC.—mD.—―m

33

6.（2019秋•桐城市期末）如图，已知A3、CD、跖都与3。垂直，垂足分别是8、D、F,且AB=2,CD

452

7.（2022•萧县校级开学）如图，若△ABC内一点P,满足NPBC=/PC4=a,

①NA4c=90°,则必有NAPC=90°；

②若A2=AC.则必有尸如2=出.产。，

对于这两个结论，下列说法正确的是（）

A.①对，②错B.①错，②对C.①，②均对D.①，②均错

二.填空题（共3小题）

8.（2022秋•蒙城县月考）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板。跖测量树的高度A8,她调整自己的

位置，设法使斜边。尸保持水平，并且边OE与点3在同一直线上，已知纸板的两条边QE=8cmDF=

10cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5/M,CD—Sm,则树高AB=m.

9.（2023•亳州模拟）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,8c=4,点尸是边A8上的一点，MN

是线段CP的垂直平分线且分别交AC、BC于点M、N.

（1）若MN〃AB,则MN=；

（2）若MN经过的某一顶点，则MN=.

10.（2021春•安庆期中）有一张矩形纸片ABC。，AO=9,48=12,将纸片折叠使A、C两点重合，那么折

痕长是.

三.解答题（共5小题）

11.（2022秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边43、AC上的点，DE//BC,AD=2,BD=

3,DE=4,求的长.

A

A

B

12.(2022秋•瑶海区校级期中)如图，在△ABC中，DE//BC,EF//AB,AE=2CE,AB=12,BC=15.求

AD长及四边形BDEF的周长.

13.（2019秋•淮北期中）如图，正方形48cD,ZEAF=45°.交BC、CD"、F,交BD于H、G.

(1)求证：AD2=BG-DH；

(2)求证：CE=®DG；

(3)求证：EF=42HG.

备用图

14.(2022•安庆一模)如图，在△A8C中，点。、E、尸分别在边8C、AB.CA上，且OE〃CA,DF//AB.

(1)若点。是边8c的中点，且求证：DE=DF；

(2)若AD_LBC于。，且3。=。，求证：四边形AEZ小是菱形;

(3)