形形色色的函数模型 高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4.5.2形形色色的函数模型学习目标1.通过具体实例理解数学建模的意义，理解数学建模的概念.2.领会数学建模的步骤，会选择合理的数学模型把实际问题转化为数学问题．3.会用待定系数法和方程的思想解决数学问题，渗透直观想象、数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养．重点难点重点：通过对数据的分析，提炼找到合适的数学模型．难点：把实际问题转化为数学模型并选择恰当方法进行解答．核心素养●直观想象●数学运算○数据分析○数学抽象●逻辑推理●数学建模一、问题导入二、新知探索三、典例剖析四、练习巩固五、归纳小结六、课后作业【教学流程】【问题导入】在学习初等代数的时候，大家一定遇到过这样的“航行问题”：甲、乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问：船速、水速各若干？

思考：我们是如何解决类似这种生活中遇到的问题呢？【新知探索】把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解来解释现实问题，数学知识的这一应用过程称为数学建模.

数学建模的步骤：(1)正确理解并简化实际问题；(2)建立数学模型；(3)求得数学问题的解；(4)验证模型的准确性、合理性和适用性.【典例剖析】例题某商用无人机公司从2016年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.37万台.由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好.为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.公司分析，产量的增加是由于工人技术日益熟练和生产流程更为优化，并且公司也暂时不准备增加设备和工人.假如你是公司管理者，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？【典例剖析】问题1：（小组活动）请同学们选择适当函数模型，估算该公司以后几个月的产量？【典例剖析】结论：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000台，这是不太可能的．预案一：一次函数模型思考：用该模型估计是否合理？【典例剖析】预案二：二次函数模型思考：用该模型估计是否合理？结论：由此法计算出4月份的产量为1.3万台，比实际产量少700台，而且，由二次函数的性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴是直线x＝3.5)，这显然不符合实际情况．【典例剖析】预案三：幂函数模型思考：用该模型估计是否合理？结论：将x＝3及x=4代入函数解析式，分别得到y≈1.35及y≈1.48，与实际产量差距较大【典例剖析】预案四：指数函数模型思考：用该模型估计是否合理？结论：将x＝4代入函数解析式，得y＝－0.8·0.54＋1.4＝1.35，与第4个月的产量比较接近.【典例剖析】预案五：对数函数模型思考：用该模型估计是否合理？结论：将x＝2及x＝3代入函数解析式，得y＝1.185及y＝1.293，与实际产量非接近.【典例剖析】问题2：比较上述五个模拟函数的优劣，选择哪个函数模型，比较接近客观实际？经过筛选，以对数函数模型为最佳：一是误差最小；二是由于是新建生产线，随着工人技术、管理效率逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而求得的对数函数模型恰好反映了这种趋势,因此选用.【练习巩固】在从国家统计局网站可以了解到中国居民2014-2017手机上网人数（单位：亿）如下表所示：年份201520162017手机上网人数6.26.957.53（1）描绘画出手机上网人数随年份变化的大致图象；（2）试选择合适的函数类型建立数学模型，刻画手机上网人数随年份变化的规律，并预测2018年中国居民手机上网人数.【练习巩固】练习假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一，每天回报40元;方案二，第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三，第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.试建立三种投资方案所对应的函数模型，你会选择哪种投资方案？【归纳小结】本节课学到了一些什么？数学建模的步骤：（1）正确理解并简化实际问题；（2）建立数学模型；（3）求得数学问题的解；（4）验证模型的准确性、合理性和适用性.