沪科版九年级数学上册期末复习：概率初步知识归纳与题型突破（9类题型清单）

第26章概率初步知识归纳与题型突破(题型清单)

01思维导图

不可能事件

确定事件

必然事件

确定事件与随机事件

随机事件

用频率估计解

概率初步

物体的视图

初步认识概率

由视图到立体图形

例表法

用列举法求概率

树状图

02知识速记

一、确定事件与随机事件

1、确定事件

(1)不可能事件

在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件.

(2)必然事件

在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件.必然事件和不可能事件

都是确定事件.

2.随机事件

在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.

二、用频率估计概率

通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数

增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.

一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率工会在某一个常数附近摆动.

n

在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值.

三、初步认识概率

1.概率

1

随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值,称为这个事件的概率（pwbab”办）.

如果用字母A表示一个事件，那么P（A）表示事件A发生的概率.

事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于1的数，即OS产（4）二1,其中尸（必然事件）=1,P（不可

能事件）=0,0＜P（随机事件）＜1.

所以有：P（不可能事件）＜P（随机事件）＜P（必然事件）.

一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属

性，它反映这个随机事件发生的可能性大小.

四、用列举法求概率

常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.

L列表法

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通

常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和

方式，并求出概率的方法.

2.树状图

当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称

树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次

数和方式，并求出概率的方法.

03题型归纳

题型一确定事件和随机事件

例题：（24-25八年级上•四川成都•开学考试）下列说法中正确的是（）

A.打开电视机，正在播放广告是随机事件

B.某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有1张中奖

C.抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为g

D.任意一个三角形，其内角和为360。是必然事件

巩固训练

1.（23-24九年级上.浙江杭州•阶段练习）下列事件中，属于必然事件的是（）

A.小明买彩票中奖

B.任意抛掷一只纸杯，杯口朝下

C.任意三角形的两边，其差小于第三边

D.在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球

2

2.（24-25九年级上•浙江杭州•期中）下列事件中，属于随机事件的是（）

A.明天太阳从西方升起

B.从装有6个白球的袋中摸出一个红球

C.奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心

D.掷一次骰子，朝上一面的点数大于0

3.（2024九年级上.全国•专题练习）下列说法正确的是（）

A.两个负数相乘，积是正数是不可能事件

B.“煮熟的鸭子飞了”是随机事件

C.射击运动员射击一次，命中十环是必然事件

D.“掷一次骰子，向上一面的点数是2”是随机事件

题型二用列举法求概率

例题：（24-25九年级上•全国•单元测试）在1x2的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置

了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角

形的概率为.

巩固训练

1.（2024九年级下•辽宁・专题练习）如图，电路图上有4个开关A,B,C,。和1个小灯泡，同时闭合开

D都可以使小灯泡发光.现随机闭合两个开关，小灯泡不发光的概率为.

2.（2023•广东佛山•模拟预测）从一1,2,3这三个数中随机抽取两个数分别记为x,»把点M的坐标记为

（x,y）,若点N为（5,0）,则在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为

3.（23-24九年级上.贵州黔南•开学考试）小丽在学习法制和安全知识时遇到这样一个题：王某在清明节祭

祀焚烧纸钱引起周边草场着火，导致草场烧毁面积达900余亩，王某被依法予以行政拘留.此事件给我们

什么启示？A春游时可以在野外烧烤；B不在山上玩火、烤火取暖；C不带火种进入林区；D不在山上烧黄

蜂、烧山赶野生动物.此题的正确答案为BCD,小丽在四个选项中随机选择三个选项，那么答对的概率是一

3

4.（2024.山东潍坊.中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽

和笔芯颜色分别一致.完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色

都不匹配的概率是.

题型三几何求概率

例题：（24-25九年级上•江苏南京•期中）如图，正方形内接于O。，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设

飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方

形区域内的概率是.

巩固训练

1.（24-25九年级上•江苏宿迁•期中）如图，将一个飞镖随机投掷到3x3的方格纸中，则飞镖落在阴影部分

2.（2024九年级上.全国.专题练习）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上,

那么小球最终停留在黑色区域的概率是.

3.（24-25九年级上•四川成都•阶段练习）如图，在RSABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,WAABC

绕点8按逆时针方向旋转30。后得到VABG，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率

为.

4

B

4.（24-25九年级上•四川成都•阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正

方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接

大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为

现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为

题型四列表法或树状图法求概率

例题：（24-25九年级上•河北保定•期中）如图1,一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数

字1,2,3,4.如图2,正方形A3。顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰

子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.

如：若从圈A起跳，第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长，落到圈。；若第二次掷得2,就从。开始顺

时针连续跳2个边长，落到圈8；…

设游戏者从圈A起跳.

（1）嘉嘉随机掷一次骰子，落回到圈A的概率为；

（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到图A的概率.

5

巩固训练

1.（24-25九年级上•浙江杭州•期中）下图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到8的电

路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠，每个元件正常工作的概率均为:，

当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路.

-EQZ_・B[WI-四

图1图2

（1）如图1,只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为；

（2）如图2,用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率.（用画树状图或列表方法求

解）

2.（24-25九年级上•山东青岛•期中）某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“A燃料燃

烧”“8电池充电”“C镜花水月”“。冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（其中A、8主

要为化学变化，C、。主要为物理现象）.活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识.

A燃料燃烧B电池充电C镜花水月D冰雪消融

抽取规则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再

从中随机抽取一张.若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都

是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽.这个规则对小云和小南公平吗？请用列表或画树状图法说明

理由.

3.（24-25九年级上•浙江湖州•阶段练习）一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，不负韶华

梦，读书正当时！我校对《三国演义》、B.《红楼梦》、C.《西游记》、D.《水浒传》四大名著开展“传统

文化经典著作”推荐阅读活动.

（1）小胡从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为.

（2）我校计划从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》被选中的概率.（请用画树状图或

列表等方法说明理由）

4.（24-25九年级上•山东青岛•期中）某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及

艺术体操4个项目.

现有四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为A.“排球”、反“足球”、C.“体操”和D“艺

术体操”.将这四张卡片背面朝上（这四种门票的背面完全相同，A、B、C、。作为代号），洗匀：

6

⑴从中随机抽取一张门票，抽到C的概率为；

(2)从中随机抽取两张，请你利用画树状图或列表格的方法，求两张门票恰好是B和。的概率.

5.(24-25九年级上•陕西咸阳•期中)置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化

合物的反应，包括金属与金属盐的反应，金属与酸的反应等.某次化学实验课上，老师带来了Al,Zn,Cu,Ag

四种金属.这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制

取氢气.(根据金属活动顺序可知，Al，Zn可以置换出氢气，而Cu,Ag不能置换出氢气)

(1)若从四种金属中随机选择一种，选到Zn的概率是「

(2)甲同学从四种金属中随机选择一种金属进行实验，将四个容器的顺序打乱，然后乙同学从四种金属中再

随机选择一种金属进行实验，请用画树状图法或列表法，求两人所选金属均能置换出氢气的概率.

题型五利用概率判定游戏的公平性

例题：(24-25九年级上•云南文山•期中)为了举荐九年级一班的小明和小亮代表班级在周一升旗时致辞，老

师准备了如图所示的两个可以自由转动的转盘A、B,每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个

扇形内标上数字.规定：同时转动两个转盘，但转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为奇数时，小

明致辞；数字之和为偶数时，小亮致辞，如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一

(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；

(2)这个规则公平吗？请说明理由.

巩固训练

1.(24-25九年级上•河北保定•期中)4张相同的卡片分别写有数字1,2,3,4,将卡片的背面朝上，洗匀

后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1,2,3的3个小球，

这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数.

(1)求这两个数的差为。的概率；(用列表法或树状图说明)

(2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜.你认为这样的规则

公平吗？请说明理由.

7

1234

10123

2-1012

3-2-101

2.(24-25九年级上•山西运城・期中)游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是

家庭欢乐的源泉.小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、

，，小虫，，中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、

“小虫”胜“木棒”.其它情况，则为平局.例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”,则小刚父亲胜；又

如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局.

(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是；

(2)如果用A,B,C,。分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用A，耳，G，2分

别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多

少？用列表法或画树状图法加以说明；

(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？

3.(24-25九年级上•陕西咸阳・期中)如图是一个转盘，转盘被等分成三等份，分别标注数字转

动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转

动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的

内部为止).

(1)转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是;

(2)嘉嘉和淇淇一起玩转盘游戏，规则如下：两人各转一次转盘，若两次转出的数字均为奇数，则嘉嘉获胜；

若两次转出的数字为一个奇数一个偶数(不分先后)，则淇淇获胜.请通过画树形图或列表的方法说明该游

戏规则对双方是否公平.

题型六概率在转盘抽奖中的应用

8

例题：（24-25九年级上•河北沧州•期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客

进行抽奖返券活动.活动方案有二：

方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占;，乙盘的白色区域占;，其余均为黑色

区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券.

两转盘颜色（甲，乙）（\里八、、，里八、、/）（黑，白）（白，黑）（白，白）

中奖券金额0元10元20元50元

方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券.

问题：

（1）方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？

（2）如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由.

巩固训练

1.（2024七年级下.全国・专题练习）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只

能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题:

翻奖牌正面翻奖牌反面翻奖牌反面（备用图）

⑴直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小；

（2）请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球

拍”的可能性大小是已.

2.（24-25九年级上•辽宁锦州•期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽

奖规则如下：

1.抽奖方案有以下两种：

方案A,从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15

元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；

方案8,从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，

否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.

9

2.抽奖条件是：

顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足200元，可根据方案2抽奖一次（例如

某顾客购买商品的金额为310元,则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案A,

B各抽奖一次）.

已知某顾客在该商场购买商品的金额为230元.若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15

元的概率；

3.（22-23九年级上•河南平顶山•期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，

凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：

方案一：是直接获得20元的礼金卷；

方案二：是得到一次播奖的机会.规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B,这两个转盘

除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割

线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少.

指针指向两红一红一蓝两蓝

礼金券（元）27927

A款B款

（1）请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率.

（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为

实惠.

题型七用频率估计概率

例题：（24-25九年级上•浙江衢州•期中）下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计

这种苹果树苗的移植成活的概率为.

移植的棵数10020050010002000

成活的棵数811563958001600

10

成活的频率0.810.780.790.800.80

巩固训练

1.（24-25九年级上•江西景德镇•期中）对一批灯泡进行抽检，统计合格灯泡的只数，得到合格灯泡的频率

见下表：

抽取只数/只501001505001000200010000

合格频率0.820.830.820.840.840.840.84

估计从该批次灯泡中任抽一只灯泡是合格品的概率为.

2.（24-25九年级上•福建漳州•期中）在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无

3.（24-25九年级上•陕西商洛・期中）兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表

所示：

试验的麦粒数〃10020050010002000

发芽的麦粒数加911784509001820

发芽的频率丝0.910.890.900.900.91

n

通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为.（精确到0.1）

题型八已知概率求数量

例题：（24-25九年级上•广东珠海•期中）袋子里装有红、黄两种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大

小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为也如果袋中有红球有3个，则袋中

的黄球有个.

巩固训练

1.（2023・湖南岳阳•模拟预测）一个纸箱中混装有75颗白棋子和若干颗黑棋子，现将纸箱中棋子搅匀，并

11

从中取出36颗棋子，数得黑棋子有9颗，据此估计该纸箱装有黑棋子约有颗.

2.（24-25九年级上•浙江金华•阶段练习）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜

色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球

的频率在0.2,那么可以估算出m的值为.

3.（24-25九年级上•陕西咸阳•阶段练习）在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色

不同外其余都相同.若每次摇匀后，从中随机摸出一球，记下颜色后放回袋中，大量重复上述实验后，发

现摸到黑球的频率稳定在20%,则袋子中白球有个.

4.（23-24九年级上•陕西渭南•阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄

色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同.小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸

运星的频率稳定在0.5,则可估计盒中红色幸运星的颗数为颗.

题型九频率和概率的综合应用

例题：（24-25九年级上•陕西咸阳•期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，对某植物种子发芽

率进行研究时所得到的数据：

试验的种子数〃100200500100020005000

发芽的粒数加94a47595419064748

发芽频率”0.940.9550.95b0.9530.9496

n

（1）上表中的。=,b=.

（2）任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是.（结果精确到0.01）

（3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？

巩固训练

1.（24-25九年级上•全国•课后作业）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示:

射击次数”10205010020050010002000

击中10环次数m81944931784538991802

击中10环频率一

n

（1）计算表中击中10环的各个频率;

12

(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？

2.(24-25九年级上•陕西西安•阶段练习)在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5

个，这些球除颜色不同外，其他均相同.某学习小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下

颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动中的统计数据.

摸球的次数n1001502005008001000

摸到白球的次数机5896116295484601

摸到白球的频率丝0.580.640.580.590.6050.601

n

(1)请估计：当〃很大时，摸到白球的频率将会接近(精确到0.1).

⑵试估算口袋中白球的个数.

3.(24-25九年级上•贵州贵阳•阶段练习)阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试

验.例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12

种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个

球的号码相同.因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸

出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验.重

复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……；

小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据

实验结果制成的统计表如下：

实验总次数5010020030050010001500

“有2个小球号码相同”的次数38751602343958101185

“有2个小球号码相同”的频率00.750.800.780.79k

(1)表格中上的值为.

(2)根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是.(精确到0.1)

(3)若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备个球，一

次模拟试验需要记录个号码.

4.(24-25九年级上•江苏南通•开学考试)在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5

只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下

13

表是活动中的一组统计数据:

摸球的次数n1001502005008001000

摸到白球的次数相5896116295484601

摸到白球的频率丝0.580.640.580.590.6050.601

n

(I)请估计：当〃很大时，摸到白球的频率将会接近；(精确到0.1)

(2)试估算口袋中白球有多少只？

(3)请你设计一个增(减)袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大

于是白球的概率.

14

第26章概率初步知识归纳与题型突破(题型清单)

01思维导图

不可能事件

确定事件

必然事件

确定事件与随机事件

随机事件

用频率估计解

概率初步

物体的视图

初步认识概率

由视图到立体图形

例表法

用列举法求概率

树状图

02知识速记

一、确定事件与随机事件

1、确定事件

(1)不可能事件

在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件.

(2)必然事件

在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件.必然事件和不可能事件

都是确定事件.

2.随机事件

在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.

二、用频率估计概率

通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数

增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.

一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率里会在某一个常数附近摆动.

n

在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值.

三、初步认识概率

1.概率

15

随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值,称为这个事件的概率（pwbab”办）.

如果用字母A表示一个事件，那么P（A）表示事件A发生的概率.

事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于1的数，即OS产（4）二1,其中尸（必然事件）=1,P（不可

能事件）=0,0＜P（随机事件）＜1.

所以有：P（不可能事件）＜P（随机事件）＜P（必然事件）.

一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属

性，它反映这个随机事件发生的可能性大小.

四、用列举法求概率

常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.

L列表法

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通

常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和

方式，并求出概率的方法.

2.树状图

当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称

树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次

数和方式，并求出概率的方法.

03题型归纳

题型一确定事件和随机事件

例题：（24-25八年级上•四川成都•开学考试）下列说法中正确的是（）

A.打开电视机，正在播放广告是随机事件

B.某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有1张中奖

C.抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为g

D.任意一个三角形，其内角和为360。是必然事件

【答案】A

【知识点】事件的分类

【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件.据此对各选项分析判断求解.

【详解】解：A、打开电视机，正在播放广告是随机事件，故本选项符合题意；

16

B、某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票不一定会中奖，故本选项不符合题意；

c、抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为:，故本选项不符合题意；

D、任意一个三角形，其内角和为360。是不可能事件，故本选项不符合题意；

故选：A.

巩固训练

1.（23-24九年级上•浙江杭州•阶段练习）下列事件中，属于必然事件的是（）

A.小明买彩票中奖

B.任意抛掷一只纸杯，杯口朝下

C.任意三角形的两边，其差小于第三边

D.在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球

【答案】C

【知识点】事件的分类

【分析】本题考查了随机事件，理解事件的分类是解题的关键.根据随机事件，必然事件，不可能事件的

概念求解.

【详解】解：A：小明买彩票中奖属于随机事件；

B：任意抛掷一只纸杯，杯口朝下属于随机事件；

C：任意三角形的两边之差都小于第三边，是必然事件；

D：在一个没有红球的盒子里摸到红球是不可能事件.

故选：C.

2.（24-25九年级上•浙江杭州•期中）下列事件中，属于随机事件的是（）

A.明天太阳从西方升起

B.从装有6个白球的袋中摸出一个红球

C.奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心

D.掷一次骰子，朝上一面的点数大于0

【答案】C

【知识点】事件的分类

【分析】本题考查的是随机事件的分类，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键，必

然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事

17

件的类型即可.

【详解】解：A、明天太阳从西方升起是不可能事件，不符合题意；

B、从装有6个白球的袋中摸出一个红球是不可能事件，不符合题意；

C、奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心是随机事件，符合题意；

D、掷一次骰子，朝上一面的点数大于0是必然事件，不符合题意；

故选：C.

3.（2024九年级上.全国.专题练习）下列说法正确的是（）

A.两个负数相乘，积是正数是不可能事件

B.“煮熟的鸭子飞了”是随机事件

C.射击运动员射击一次，命中十环是必然事件

D.“掷一次骰子，向上一面的点数是2”是随机事件

【答案】D

【知识点】事件的分类

【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可求解，掌握

不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键.

【详解】解：A、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；

B、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；

C、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；

D、“掷一次骰子，向上一面的点数是2”是随机事件，说法正确，符合题意；

故选：D.

题型二用列举法求概率

例题：（24-25九年级上•全国•单元测试）在1x2的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置

了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角

形的概率为

3

【答案】-/0.75

【知识点】列举法求概率

18

【分析】本题主要考查了几何概率，勾股定理的逆定理，先将第三枚棋子可能落在其余四个位置的格点位

置找到.再找出与已知格点构成直角三角形的3种情况，然后根据概率计算公式求解即可.

【详解】解：如图所示，第三枚棋子一共有A,B,C,。四个位置可以放置，其中能与已知两枚棋子构成

直角三角形的点是2、C、。三个点，

以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为3:，

4

3

故答案为：—.

4

Ai------------------\D

巩固训练

1.（2024九年级下.辽宁.专题练习）如图，电路图上有4个开关A,B,C,。和1个小灯泡，同时闭合开

关48或同时闭合开关C,。都可以使小灯泡发光.现随机闭合两个开关，小灯泡不发光的概率为

【知识点】列举法求概率

【分析】本题考查列举法求概率，根据题意，随机闭合两个开关共有6种情况，

其中小灯泡不发光的情况有AC,4）,3C,3。共4种情况，进行计算即可.

【详解】解：随机闭合两个开关共有AB,AC,A。,3cmeD,6种情况，其中小灯泡不发光的情况有

AC,AD,3C,3。共4种情况，

63

2

故答案为：—.

2.（2023•广东佛山•模拟预测）从-1,2,3这三个数中随机抽取两个数分别记为x,y,把点M的坐标记为

（x,y）,若点N为（5,0）,则在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为.

【答案】|

【知识点】判断一次函数的图象、列举法求概率

19

【分析】本题考查了求概率、一次函数的图像，正确找出当直线MN经过第二象限时，点M的所有符合条

件的坐标是解题关键.

【详解】解：由题意得：点"的坐标共有6种：（T2）,（-1,3）,（2,-1）,（3,-1）,（3,2）,（2,3）,

点N为（5,0）,

直线经过第二象限，点M的坐标有（-1,2）,（-1,3）,（3,2）,（2,3）,共四种情况；

42

在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为

63

2

故答案为：—■

3.（23-24九年级上.贵州黔南.开学考试）小丽在学习法制和安全知识时遇到这样一个题：王某在清明节祭

祀焚烧纸钱引起周边草场着火，导致草场烧毁面积达900余亩，王某被依法予以行政拘留.此事件给我们

什么启示？A春游时可以在野外烧烤；B不在山上玩火、烤火取暖；C不带火种进入林区；D不在山上烧黄

蜂、烧山赶野生动物.此题的正确答案为BCD,小丽在四个选项中随机选择三个选项，那么答对的概率是一

【答案】y/0.25

【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率

【分析】此题考查了概率，写出所以等可能结果，根据概率公式进行解答即可.

【详解】解：由题意可得，共有ABC、ABD.ACD,3。这4种等可能的结果，其中符合条件的结果只

有BCD1种，

答对的概率是:，

故答案为：；

4.（2024.山东潍坊.中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽

和笔芯颜色分别一致.完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色

都不匹配的概率是.

【答案】|

【知识点】列举法求概率

【分析】本题考查了用列举法求概率，列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配

的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键.

【详解】解：由题意可得，共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄

红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；

20

其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果,

21

，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是

63

故答案为：

题型三几何求概率

例题：（24-25九年级上•江苏南京•期中）如图，正方形内接于。。，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设

飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方

形区域内的概率是.

■2_

【答案】-

71

【知识点】几何概率

【分析】本题考查了几何概率.设正方形的边长为〃，则圆的直径为必二7二亿，求出正方形的面积为

（历'2

a2,圆的面积为万*号a=不，然后用正方形的面积除以圆的面积即可求解.

I2J2

【详解】解：设正方形的边长为则圆的直径为行二7二亿，

（万Y2

...正方形的面积为圆的面积为;rx咚a=怨-,

I2J2

a22

飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是五二5.

2

故答案为：一.

71

巩固训练

1.（24-25九年级上•江苏宿迁•期中）如图，将一个飞镖随机投掷到3x3的方格纸中，则飞镖落在阴影部分

的概率为一.

21

【答案】|4

【知识点】几何概率

【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例成为解题的关键.

用阴影部分的面积除以总面积即可解答.

【详解】解：：3x3的方格纸的面积为=3x3=9,阴影部分面积为4xgx2xl=4,

・・・飞镖落在阴影区域的概率是4:.

4

故答案为：—.

2.（2024九年级上.全国.专题练习）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上,

那么小球最终停留在黑色区域的概率是.

【答案】I

【知识点】几何概率

【分析】本题考查的是几何概率.先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论.

【详解】解：：由图可知，黑色方砖可拼成3块，共有9块方砖，

・•・黑色方砖在整个地板中所占的比值;=；,

.••小球最终停留在黑色区域的概率是g,

故答案为：—.

3.（24-25九年级上•四川成都•阶段练习）如图，在RSABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,将AABC

绕点2按逆时针方向旋转30。后得到,现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率

为.

22

B

25

【答案】而

【知识点】用勾股定理解三角形、几何概率

【分析】本题考查几何概率，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.证明阴影

部分的面积=三角形ABA的面积，求出三角形AB4的面积，可得结论.

【详解】解：如图，过点4作于点

ZACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=7AC2+BC2=A/82+62=10，

由旋转变换的性质可知BAi=BA=W,=30°,

=5,

••^=1-AB-4H=1X10X5=25,

=

:S阴-S&A%+~^^ABCSAA%=25,SAABC=—•AC-BC=5x8x6=24,

「•现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为=看75==今75.

25+2449

25

故答案为：--.

49

4.（24-25九年级上•四川成都•阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正

方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接

大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为

7,较短直角边为4,现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为；

23

【知识点】以弦图为背景的计算题、几何概率

【分析】此题主要考查了几何概率及勾股定理，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比.根据题

意易得30=3,则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面

积公式计算即可.

【详解】解：如图，

:.BD=BC—CD=3,

S大正方形=AC2=AB2+BC-=65,

则中间小正方形的面积为3x3=9,

小正方形的外阴影部分的4S：=4xg4B.8。=24,

阴影部分的面积为9+24=33,

•••针尖落在阴影区域的概率为尸=233.

65

故答案为：名33.

题型四列表法或树状图法求概率

例题：（24-25九年级上•河北保定•期中）如图I,一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数

字1,2,3,4.如图2,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰

24

子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.

如：若从圈A起跳，第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长，落到圈。；若第二次掷得2,就从。开始顺

时针连续跳2个边长，落到圈8；…

设游戏者从圈A起跳.

A

(1)嘉嘉随机掷一次骰子，落回到圈A