沪科版九年级数学常见题型专练：二次函数的图像和性质（原卷版）

第02讲二次函数的图像和性质

百)【知识梳理】

—.二次函数的图象

(1)二次函数y=o?(aWO)的图象的画法：

①列表：先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表.

②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点.

③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点.

④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶

点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用

平滑的曲线连接起来.画抛物线y=o?(aWO)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描

点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧.

(2)二次函数yuai？+bx+c(aWO)的图象

二次函数(aWO)的图象看作由二次函数》=内2的图象向右或向左平移।区।个

2a

单位，再向上或向下平移|4ac-b2।个单位得到的.

4a

二.二次函数的性质

2

二次函数y^ax^+bx+c(〃W0)的顶点坐标是(——,4ac-b),对称轴直线工=-—,

2a4a2a

二次函数y二苏十版+c(。#0)的图象具有如下性质：

①当a>0时，抛物线y=ax1+bx+c(〃W0)的开口向上，x<-上•时，y随x的增大而减小；

2a

2

上时，y随工的增大而增大；1=-且时，y取得最小值二Lb,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当a<0时，y=ax2+bx+c(a#0)的开口向下，x<-工时，y随尤的增大而增大；

2a

2

X>-旦时，y随X的增大而减小；x=-2时，y取得最大值4am一,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线y=o?+6x+c(aWO)的图象可由抛物线y=o?的图象向右或向左平移|-也|个单

位，再向上或向下平移但生二直।个单位得到的.

4a

三.待定系数法求二次函数解析式

（1）二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y=ajT+bx+c（a,b,c是常数，aWO）；②顶点式：y=a（x-A）2+k.（a,h,k

是常数，aWO）,其中（h,k）为顶点坐标；③交点式：y=a（x-xi）（尤-尤2）（a,b,c是

常数，aWO）；

（2）用待定系数法求二次函数的解析式.

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系

式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列

三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；

当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

D【考点剖析】

二次函数的图象（共9小题）

1.（2022秋•安徽期中）aSy=ax+ly=cu?+bx+\（aWO）的图象可能是（）

2.（2022秋•怀远县期中）如图所示的抛物线是二次函数＞=Cm-2）x2-3x+n?+m-6的图

3.（2022秋•大观区校级月考）已知函数y=p-4|的大致图象如图所示，那么：方程£-4|

=m.（%为实数）

①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是.

②若该方程恰有2个不相等的实数根，则根的取值范围是.

4.（2022秋•颍上县期中）如图是二次函数y=o?+bx+c的图象，则函数?+c的

图象可能是（）

5.（2022秋•蚌山区月考）对于二次函数y=（x-1产+2的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下

B.对称轴是直线x=-l

C.顶点坐标是（-1,2）

D.当尤＜1时，y随尤的增大而减小

6.（2022•包河区三模）已知二次函数y=o?+（b-1）龙+c+l的图象如图所示，则在同一坐

标系中州=/+公+1与＞2=x-C的图象可能是（）

7.（2022秋•利辛县校级月考）如图，点£、尸、G、X分别是正方形ABC。边A3、BC、CD、

上的点，且AE=BF=CG=DH.设A、E两点间的距离为x,四边形石既汨的面积为

8.（2021秋•金安区期末）已知等腰直角△ABC的斜边48=4M，正方形DEFG的边长为

如,把△A3C和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合,边A3与所在同一条直线

上，将aABC沿A2方向以每秒加个单位的速度匀速平行移动，当点A与点£重合时停

止移动.在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间/（s）的

函数图象大致是（）

9.（2022秋•杜集区校级月考）已知二次函数y=（x-2）2-4.

（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；

（2）根据图象，直接写出当y<0时x的取值范围.

—.二次函数的性质（共17小题）

10.（2022秋♦田家庵区校级月考）抛物线y=2（x+9）2-3的顶点坐标是（）

A.（9,3）B.（9,-3）C.（-9,3）D.（-9,-3）

11.（2022秋•淮南月考）抛物线-6x+9的顶点坐标是（）

A.（3,0）B.（-3,0）C.（-3,9）D.（3,9）

12.（2022秋•庐阳区校级期中）抛物线y=（x+1）2-1的对称轴是（）

A.直线x=0B.直线兀=1C.直线％=-1D.直线y=l

13.（2022秋•芜湖期中）在同一平面直角坐标系中作出y=27,y=-2?,了得乂？的图象，

它们的共同点是（）

A.关于y轴对称，抛物线的开口向上

B.关于〉轴对称，抛物线的开口向下

C.关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点

D.当x>0时，y随x的增大而减小

14.（2022秋•淮南月考）定义符合加〃{a,6}的含义为：当a>6时，疝〃{a,b}=b；当

b,min{a,b}=a,如：min{1?-3}=-3,min[-4,-2}=-4.则加，〃{一f+l,-x}

的最大值是（）

A.0B.1C.疾+]D.辰

22

15.（2022秋•蚌埠期中）下列抛物线中，与抛物线-2x+4具有相同对称轴的是（）

A.y=4/+2x+lB.y—J?-4xC.y=2/-%+4D.y=-2/+4x

16.（2022秋•安徽期中）若抛物线产-2（x+加-1）2-3加+6的顶点在第一象限，则加的

取值范围是（）

A.m<lB.m<2C.l<m<2D.-2<m<-1

17.（2022秋•利辛县月考）如图选项中，能描述函数与（ab<0）的图

象可能是（）

x

D.

18.（2022秋•包河区校级月考）已知二次函数y=ox2+Ax+c的图象如图所示，则一次函数y

=6x+c的图象和反比例函数尸也工的图象在同一坐标系中大致是（）

19.（2022•定远县校级一模）如图，函数若直线y=x+机与

-x(x<0)

该图象只有一个交点，则机的取值范围为

20.（2022秋•蜀山区校级月考）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴:

(1)-6x+4；(2)y=--x^+2x+—.

22

21.（2022秋•利辛县月考）已知关于x的二次函数丫=以2-2依+1（a<0）：

（1）该函数图象的对称轴是直线x=.

（2）当天>加时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是

22.（2022秋•蜀山区校级月考）已知抛物线y=--2x-2.

（1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线.

（2）直接写出这条抛物线的对称轴，顶点坐标.

（3）直接写出当x取什么值时，y随x的增大而减小？

（4）直接写出当x取什么值时，>>1?

>

X

23.（2022•包河区二模）在函数学习中，我们经历了列表，描点、连线画函数图象，并结合

图形研究函数性质及其应用的过程，以下是研究三次函数丫=依3+总%2（。=0）的性质时.列

表和描点的部分过程.请按要求完成下列各小题.

(2)结合图象，直接写出工》+3忘0?+旦/的解集为：

24

24.(2022•淮北一模)设二次函数与、”的图象的顶点坐标分别为(a,b)、(c、d),若a=

2c、b=2d,且两图象开口方向相同，则称yi是”的“同倍项二次函数”.

(1)写出二次函数y=f+x+l的一个“同倍项二次函数”；

(2)已知关于x的二次函数”=/+加和二次函数”=7+3加+1,若州+”是yi的''同

倍项二次函数”，求〃的值.

—x+2(1)

25.(2021秋•安庆期末)已知函数>="；

-x+4x(x>1)

(1)用描点法画出此函数的图象；

(2)根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小？

(3)当时，对应的自变量x的值有2个，直接写出左的取值范围.

26.（2022秋•迎江区期中）定义符号加应{a,6}含义为：当a>6时〃而{a,b\=b；当a<

6时〃〃7z{a,b}=a.如：min{1,-3}=-3,min{-4,2）=-4.则，"iw{-7+l,-x}

的最大值是（）

A.遍B.遥+]C.1D.0

22

三.待定系数法求二次函数解析式（共11小题）

27.（2022秋•蚌山区校级月考）已知抛物线的顶点坐标是（2,-1）,且与y轴交于点（0,

3）,这个抛物线的表达式是（）

A.y=xz-4x+3B.丁=炉+4%+3C.y=x2+4x-1D.y=d-4x-1

28.（2022秋•杜集区校级月考）若某二次函数图象的形状与抛物线>=3/相同，且顶点坐

标为（0,-2）,则它的表达式为.

29.（2022•蜀山区校级三模）如图，直线y=-x+1与x轴交于点A,直线机是过点A、B

（-3,0）的抛物线的对称轴，直线y=-x+1与直线相交于点C,已知点

D（n,5）在直线y=-x+1上，作线段CD关于直线机对称的线段CE,若抛物线与折线

DCE有两个交点，则。的取值范围为（）

A.B.0＜忘1

C.或0＜。＜1D.或a＜--

22

30.（2022秋•包河区期中）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0,3）的抛物线的表

达式：.

31.（2022秋•无为市期中）形状与开口方向都与抛物线y=-2）相同，顶点坐标是（0,-

5）的抛物线对应的函数解析式为

32.（2022秋•蜀山区校级月考）二次函数的图象如图所示，求该图象的解析式.

33.（2022秋•包河区期中）已知二次函数（aWO）中的尤和y满足下表:

X・・・-4-3-2-1012・・・

y.・・-50343m-5・・・

（1）根的值为;

（2）求这个二次函数的表达式.

34.（2022秋•瑶海区校级月考）如图，抛物线y=/+bx+c经过点A（-1,0）,点B（2,-

3）,与y轴交于点C,抛物线的顶点为。.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写

出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

35.（2022秋•蜀山区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与

二次函数了=-x1+bx

（6为常数）的图象相交于O,A两点，点A坐标为（3,m）.

（1）求根的值以及二次函数的表达式；

（2）若点P为抛物线的顶点，连结OP,AP,求△POA的面积.

36.（2022秋•庐阳区校级期中）如图，二次函数与一次函数交于顶点A（-4,-1）和点8

（-2,3）两点，一次函数与y轴交于点C.

（1）求二次函数的解析式；

（2）y轴上是否存在点P使△孙8的面积为3.若存在，请求点P的坐标；若不存在，

请说明理由.

y

37.(2022秋•定远县期中)已知二次函数y=-2/+bx+c的图象经过点A(0,4)和8(1,

-2).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求此抛物线的对称轴和顶点坐标；

(3)设抛物线的顶点为C,试求△CA。的面积.

【过关检测】

一、单选题

1.(2023・安徽亳州•统考模拟预测)下列抛物线中，与抛物线y=/-2x+8具有相同对称

轴的是()

A.y=4x2+2x+4B.y=x2-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2x2+4x

2.（2022秋•安徽六安•九年级校考阶段练习）将抛物线y=（x+l）2向右平移3个单位，再向

上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（）

A.y=（x+4）2+1B.y=（%+4）2-1

C.y=（x—2）2-1D.y=（x—2）~+1

3.（2023•安徽宿州•统考一模）若抛物线y=x?+26+（°-1）2的顶点在第二象限，则。的取

值范围是（）

A.0<G<—B.<2>0C.a>—D.a<0

22

4.（2023・安徽合肥•合肥市第四十二中学校考一模）二次函数丁=/-2的图象经过点

（a，b）,则代数式62+64的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2022秋•安徽安庆•九年级统考阶段练习）二次函数>=-3尤2-6x+5的图象的顶点坐标

是（）

A.（-1,8）B.（1,8）C.（-1,2）D.（1,-4）

6.（2023•安徽马鞍山•统考一模）已知二次函数>=衣2+e-1）尤+。+1的图象如图所示，则

在同一坐标系中％=办2+云+1与％=X-C的图象可能是（）

7.（2023・安徽合肥・合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线>=以2+/+。-2的图

象如图所示，其对称轴为直线X=；,那么一次函数、=公+。的图象大致为（）

8.（2023・安徽,模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线》

=/（x>0）和抛物线（x>0）于点A和点B,过点A作ACHx轴交抛物线y=于

点C,过点8作加以轴交抛物线y=/于点。，则丝的值为（）

9.（2023・安徽合肥•统考一模）在同一平面直角坐标系中，反比例函数>与二次函数

X

>的图象可能是（）

10.（2023春•安徽安庆•九年级校联考阶段练习）如图，已知二次函数

丫=凉+法+。（"0）的图象与x轴交于点A（TO）,与y轴的交点3在（0,-2）和（0,-1）之

间（不包括这两点），对称轴为直线x=L下列结论：①a历>0；②4a+2b+c>0；③

12

4ac-b2<Sa;④耳<。<§；⑤人>。.其中含所有正确结论的选项是（）

A.①③B.①③④C.②④⑥D.①③④⑤

二、填空题

11.（2023•安徽淮南•九年级统考阶段练习）抛物线＞=-9，+1的顶点坐标是.

12.（2022秋・安徽蚌埠•九年级校考期中）若C、,%］为二次函

数y=（x-2『的图象上的三点，则%,为，为大小关系为.

13.（2023・安徽•九年级校考阶段练习）已知二次函数y=（〃z+l）尤的图象开口向下，则

m的值是.

14.（2023春・安徽蚌埠•九年级校考阶段练习）把抛物线y=-（x+l）2+3向左平移2个单位

长度，然后向下平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为.

15.（2016秋・安徽芜湖・九年级统考期中）点《（-Lx）,E（3,丫2）,6（5,%）均在二次函数

y=-f+2x+c的图象上，则%,%,丫3的大小关系是.

16.（2023春•安徽宿州•九年级统考阶段练习）已知y关于x的函数＞=炉-2如+2加+4,

点尸为抛物线顶点.

（1）当尸点最高时，加=；

（2）在（1）的条件下，当3V函数有最小值8,则〃=.

17.（2023•安徽宿州・统考二模）设二次函数，=炉-（2a-4）x-1,其中。为实数.

（1）二次函数的对称轴为直线.（用含。的式子表示）

（2）若二次函数在0Wx＜3有最小值-5,则实数a的值是.

18.（2023・安徽合肥・合肥38中校考二模）已知点M（a,b）是抛物线y=V-4x+5上一动

点.

（1）当点M到y轴的距离不大于1时，6的取值范围是；

（2）当点M到直线x的距离不大于时，6的取值范围是546410,则加+〃的

值为•

三、解答题

19.（2022秋•安徽蚌埠•九年级校考期中）对于抛物线y=f-4x+3.

⑴将抛物线的表达式化为顶点式.

（2）填下表并在坐标系中画出此抛物线.

⑶结合图象，当0<x<3时，则y的取值范围是

20.（2023•安徽亳州•统考模拟预测）已知二次函数、=加+法+。（"0）中的x和y满足下

表:

X-4-3-2-1012

y-50343m-5

⑴根据表格，直