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文档简介
第二十四章圆易错训练与压轴训练
01思维导图
目录
易错题型一对圆的相关概念理解不透彻..........................................................1
易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻........................................................2
易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系”.................................................3
易错题型四当图形未给出时,没有分类讨论.....................................................3
压轴题型一用圆周角求角度....................................................................5
压轴题型二求图形面积........................................................................6
压轴题型三用与圆的位置关系解决问题..........................................................8
压轴题型四用切线解决问题....................................................................8
02易错题型
易错题型一对圆的相关概念理解不透彻
例1.(24-25九年级上•福建福州•阶段练习)下列说法,正确的是()
A.优弧大于劣弧B.平分弦的直径垂直于弦
C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所对圆周角是直角
巩固训练
1.(24-25九年级上•江苏南通•阶段练习)下列语句中正确的说法是()
A.垂直于弦的直径平分弦
B.圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴
C.长度相等的弧是等弧
D.圆内接矩形是正方形
2.(24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习)下列说法,错误的是()
A.过三点可以确定一个圆B.等弧所对的圆心角相等
1
C.弦的垂直平分线一定经过圆心D.直径是弦
3.(24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习)下列说法中,正确的个数为()
①面积相等的圆是等圆;②过圆心的线段是直径;③长度相等的弧是等弧;④半径是弦;⑤直径是最长的
弦;⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆
A.1个B.2个C.3个D.4个
易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻
例2.(24-25九年级上•浙江宁波•阶段练习)如图,AB为。。的直径,弦CD14B于点F,0石,40于点后,
若O。的半径为3,BF=2,贝|0E的长为()
B.V2C.旧D.小
巩固训练
1.(22-23九年级上•广东湛江•期中)已知:如图,4B是。。的弦,。。的半径为5,。。_143于点。,交。。
于点C,且CD=2,那么4B的长为()
D.10
2.(2024•河南商丘•三模)如图,在。。中,直径4B=20,弦DE14B,交2B于点C,连接DO.若DE=16,
则4c的长为()
2
C.8D.6
3.(2024・湖南长沙•模拟预测)如图,在。。中,点4C在圆上,且。C148,垂足为D.若4BOC=45。,
A.2A/2B.4C.V2D.2
易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系
例3.(2024•陕西西安•三模)如图,是O。的直径,点C、D、片在。。上,AE=DE,若乙BDE=110°,则
C.40°D.50°
3
巩固训练
1.(2024•河南南阳•模拟预测)如图,AB为。。的直径,C、。为。。上的点,BC=DC.若NABD=20。,
则NCBD的度数为()
C.25°D.20°
2.(2024・湖北黄石•三模)如图所示,弦AB,CD所对的圆心角分另tJ是乙4。8,乙COD,若N&OB与NC。。互补,
D.5V3
3.(2024•山东德州•一模)如图,A,B,C,D是。。上的点,AB=AD,4C与BQ交于点E,AE=3,EC=5,
BD=4A/5,O。的半径为()
A
C.5D.2A/6
易错题型四当图形未给出时,没有分类讨论
4
例4.(23-24九年级上•黑龙江绥化•阶段练习)已知在。。中两条平行弦||CD,AB=12,CD=16,Q0
的半径是10,则AB与CD间的距离是()
A.6或12B.2或14C.6或14D.2或12
巩固训练
1.(22-23九年级上•天津和平・期末)。。半径为5,弦4BIICD,AB=6,CD=8,则4B与CD间的距离为
()
A.1B.7C.1或7D.3或4
2.(23-24八年级上.山东滨州.开学考试)一个点到圆的最小距离为与m,最大距离为%m,则该圆的半径是
()
A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm
3.(23-24九年级上讷蒙古通辽•期中)0(9的半径是10,弦AB||CD,AB=16,CD=12,贝1|弦4B与CD的
距离是()
A.2B.14C.2或14D.7或1
03压轴题型
压轴题型一用圆周角求角度
例1.(23-24九年级下•全国・单元测试)如图,四边形48C0为。。的内接四边形,ZBCD=126°,则480。
的大小是()
B
A.108°B.106°C.100°D.110°
5
巩固训练
1.(23-24九年级上.重庆荣昌.期末)如图,。。是四边形/BCD的外接圆,若乙480=110。,则乙ADC的度
C.80°D.90°
2.(24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习)如图,点A,B,C都在。。上,若4。48=54°,则乙4cB=()
54°C.36°D.72°
3.(2024.湖南•模拟预测)如图,在。。中,AB=BC^若乙。=25。,则21=()
A.25°B.30°C.50°D.60°
压轴题型二求图形面积
例2.(23-24九年级上.重庆.阶段练习)如图,正方形ABCO的边长为2,以A为圆心,为半径画弧.连
接AC,以A为圆心,AC为半径画弧交4)的延长线于点E,则图中阴影部分的面积是.
6
巩固训练
1.(24-25九年级上•江苏南京•阶段练习)如图,将半径0B=4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30。,此时点
A到了点4,则图中涂色部分的面积为
2.(2024.广东清远.模拟预测)如图,在边长为3的等边三角形ABC中,以48为直径构造半圆,则图中阴影
部分的面积为.
3.(24-25七年级上•重庆・开学考试)如图所示,在直角三角形4BC中,AB=6cm,BC=15cm,从中剪掉
两个半径相等的扇形,求阴影部分的面积为_____CH?•(结果保留兀)
7
压轴题型三用与圆的位置关系解决问题
例3.(24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习)如图,RfAABC中,^ACB=90°,AC=4,4B=5,。是4c上
一点,E是BC上一点,DE=3,若以DE为直径的圆交2B于M、N点,则MN的最大值为cm.
巩固训练
1.(2024・安徽合肥・二模)已知AABC三个顶点的坐标为4(-2,6)、B(6,-2),C(—2,-2),点「为4
ABC边上一动点,点。为平面内一点,连接尸。,我们把线段尸。的最小值称为“点。到AZBC的距离”,记
为d=\Q,^ABC\.
(1)若Q在原点。时,d=;
(2)若点。是以点M(30)为圆心,以1为半径的OM上一动点,且〃=1,则/的取值范围是.
2.(2024・安徽芜湖・一模)如图,在Rt△力BC中,^ACB=90°,AC=3,BC=4,点D为AB上一点,点尸
在AC上,且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转,点尸的对应点为点Q,连接AQ,DQ.
(1)当点。是4B的中点时,DQ的最小值为;
(2)当COLAB,且点。在直线CO上时,2Q的长为.
8
3.(2024•广东广州二模)如图,。。是AABC的外接圆,AB=AC,CD14B于点D,B。的延长线交CD于
点、E.
(1)乙DCB乙DBE(填">,(或=”):
(2)若BC=4应,BE=4,贝1]OE=
压轴题型四用切线解决问题
例3.(22-23九年级上•广东湛江•期中)已知:如图,4B是。。的直径,BC是。。的切线,OC与。。相交
于点。,连接2。并延长与BC相交于点E,且点F为BE的中点,CD=lcm,BC=V3cm.
(1)求。。的半径;
(2)求证:FD与。。相切.
巩固训练
1.(2024・湖北恩施.模拟预测)如图,已知四边形4BCC中,=^ABC=90°,点。是4B的中点,=
90°,以48为直径作半圆O0.
B
9
(1)求证:CD是。。的切线;
(2)若0C与。。的交点M是。C的中点,。。的半径为2,求CD的长.
2.(2024九年级下•云南昆明.专题练习)如图,在AABC中,AB=AC,以2B为直径的。。交4c于点。(点
。与点A不重合),交BC于点E,过点E作尸GJ.AC于点月交4B的延长线于点G.
(1)求证:FG是。。的切线;
(2)如图1,若CF=1,BE=3;求。。的半径;
(3)如图2,连接2E,OD,交点为当==m时,求线段EG的长.
3.(2024•贵州铜仁•一模)如图,已知点C是以为直径的。。上一点,CH1AB于点H,过点B作。。的
切线交直线4c于点D,点E为CH的中点,连接4E并延长交BD于点F,射线CF交4B的延长线于G.
(1)则。尸与FB的数量关系为
⑵求证:CG是。。的切线;
(3)若月8=庄=1,求tcm/ZMB的值.
10
第二十四章圆易错训练与压轴训练
01思维导图
目录
易错题型一对圆的相关概念理解不透彻..........................................................1
易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻........................................................2
易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系”.................................................3
易错题型四当图形未给出时,没有分类讨论......................................................3
压轴题型一用圆周角求角度....................................................................5
压轴题型二求图形面积........................................................................6
压轴题型三用与圆的位置关系解决问题..........................................................8
压轴题型四用切线解决问题....................................................................8
02易错题型
易错题型一对圆的相关概念理解不透彻
例1.(24-25九年级上•福建福州•阶段练习)下列说法,正确的是()
A.优弧大于劣弧B.平分弦的直径垂直于弦
C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所对圆周角是直角
【答案】D
【分析】此题主要考查了圆的有关概念,熟练掌握相关概念是解决此题的关键.根据圆的有关概念进行逐项
辨析即可得解.
【详解】A、同圆或等圆中,优弧一定大于劣弧,故该选项错误;
B、平分弦的直径,当被平分的弦是直径时,直径不垂直于弦,故该选项错误;
C、同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故该选项错误;
D、直径所对圆周角是直角,故该选项正确;
故选:D.
巩固训练
1.(24-25九年级上•江苏南通•阶段练习)下列语句中正确的说法是()
11
A.垂直于弦的直径平分弦
B.圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴
C.长度相等的弧是等弧
D.圆内接矩形是正方形
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理,等弧的定义,圆的有关性质,解题的关键是熟练掌握相关基本知识.根据垂
径定理,等弧的定义,圆的有关性质逐项判断,即可解题.
【详解】解:A、垂直于弦的直径平分弦,说法正确,符合题意;
B、圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,原说法错误,不符合题意;
C、在同圆或等圆中,长度相等的弧是等弧,原说法错误,不符合题意;
D、圆内接矩形是不一定是正方形,原说法错误,不符合题意;
故选:A.
2.(24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习)下列说法,错误的是()
A.过三点可以确定一个圆B.等弧所对的圆心角相等
C.弦的垂直平分线一定经过圆心D.直径是弦
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆的基本知识,熟练掌握圆的基本定义,垂径定理,是解题的关键.
根据直径定义,圆心角、弧间的关系,垂径定理,确定圆的条件进行判断即可.
【详解】解:A.过不在同一直线上的三点可以确定一个圆,原说法错误;
B.等弧所对的圆心角相等,正确;
C.弦的垂直平分线一定经过圆心,正确;
D.直径是弦,正确.
故选:A.
3.(24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习)下列说法中,正确的个数为()
①面积相等的圆是等圆;②过圆心的线段是直径;③长度相等的弧是等弧;④半径是弦;⑤直径是最长的
弦;⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义,利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案.
【详解】解:①面积相等的圆是等圆,故原说法正确;
12
②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径,故原说法错误;
③等弧,是在同圆或等圆中,能够互相重合的弧,故原说法错误;
④连接圆上任意两点的线段叫作弦,半径不是弦,故原说法错误;
⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦,直径是最长的弦,故原说法正确;
⑥等弧,是在同圆或等圆中,能够互相重合的弧,即等弧所在的圆一定是等圆或同圆,故原说法正确
.•.正确的说法有①⑤⑥,共3个.
故选:C.
易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻
例2.(24-25九年级上•浙江宁波•阶段练习)如图,AB为。。的直径,弦CD14B于点F,0石,40于点5,
若O。的半径为3,BF=2,贝|0E的长为()
B.V2C.旧D.小
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理,垂径定理,勾股定理.利用勾股定理求出。尸,AD,再利用垂径定理求得4E,
再求解即可.
【详解】解:如图,连接。以
;。。的半径为3,BF=2,
;.0F=OB—BF=1,AF=AB-BF=4,
在Rt^OFO中,DF=yJOD2-OF2=V32-l2=242
在Rt△ADF中'AD=y/AF2+DF2=J42+(2V2)=2A/6J
13
OE1AD,
:.AE=DE=5
在Rt△中,OE=y/OA2-AE2=J32一(佝2=
故选:C.
巩固训练
1.(22-23九年级上・广东湛江•期中)已知:如图,是。。的弦,。。的半径为5,0O1B于点D,交。。
于点C,且CD=2,那么4B的长为()
A.4B.6C.8D.10
【答案】C
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识.连接。4根据垂径定理得到乙4。。=90°,AB=2AD,利
用勾股定理求出4。=4,即可得到答案.
【详解】解:连接。4
•.•。。_148于点。,
:.^ADO=90。,AB=2AD,
在RtZiOIM中,。42=4。2+。。2,
即52=(5—2Y+AD2,
解得:AD=4.
:.AB=2AD=8.
故选:C.
14
2.(2024•河南商丘三模)如图,在。。中,直径4B=20,弦DE交4B于点C,连接DO.若DE=16,
则AC的长为()
A.5B.4C.8D.6
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用,根据垂径定理得到DC=CE=8,利用勾股定理求得CO,
即可得到AC的值,掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键.
【详解】解:•••弦DELAB,DE=16,直径AB=20,
•••DC=CE=-DE=8,OD=-AB=10,
22
•••OC=y/OD2-CD2=6,
AC=AO-CO=4,
故选:B.
3.(2024・湖南长沙•模拟预测)如图,在。。中,点4,B,C在圆上,且。C14B,垂足为D.若NBOC=45。,
QA=夜,贝U2B的长为()
C
A.2V2B.4C.V2D.2
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理,掌握垂径定理是解题关键.
先根据勾股定理得BD=1,再根据垂径定理即可得出答案.
【详解】解:•••0C14E,
:.AB=2BD,
15
VzBOC=45°,OA=OB=a,
:.BD=OD,
:.BD2+OD2=0B2,
:.2BD2=2,
:.BD=1,
,AB=2.
故选:D.
易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系”
例3.(2024・陕西西安・三模)如图,AB是。。的直径,点C、D、E在。。上,AE=DE,若乙BDE=110°,则
乙4BD的度数为)
C
A.20°B.30°C.40°D.50°
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形性质,圆周角定理,弧、弦、圆心角的关系,连接BE,利用圆内接四边
形性质得到NB4E=70°,结合圆周角定理得到々1EB=90°,进而推出NASE=20。,最后根据4E=DE,
结合弧、弦、圆心角的关系即可解题.
【详解】解:连接8E,
•••4BDE=110°,
.-.ZBAE=10°,
,AB是圆的直径,
•••4AEB=90°,
16
・••乙43£=90。-70。=20。,
AE=DE,
•••AE—DE,
・•・^ABE=Z.DBE=20°,
・••乙480=20。+20。=40。.
故选:C.
巩固训练
1.(2024.河南南阳.模拟预测)如图,为。。的直径,C、。为。。上的点,BC=DC.若乙=20。,
则4CBD的度数为()
C
【答案】A
【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系,利用其求得NCO。的度数为解题的关键.根据
圆周角定理可得乙4。。=2乙ABD=2X20°=40°,及圆心角、弧、弦的关系易得=乙COD=:乙BOD=
70°,从而求得的度数.
・•・^AOD=2乙ABD=2x20°=40°,
••・乙BOD=180°-Z,AOD=140°,
':BC=DC,
1
・•・Z-BOC=Z-COD=-/.BOD=70°,
2
17
1
.•乙CBD=-Z.COD=35°,
2
故选:A
2.(2024湖北黄石•三模)如图所示,弦AB,CD所对的圆心角分另ij是乙4。8,乙COD,若乙4。8与NC。。互补,
AB=8,CD=6,那么O。的半径为()
【答案】A
【分析】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理,延长4。交。。于点E,连接BE,由N40B+NB0E=
AAOB+ACOD^ABOE=/.COD,据此可得BE=CD,在Rt△4BE中利用勾股定理求解可得.
【详解】解:如图,延长2。交O。于点E,连接班,
又;Z710B+乙COD=180°,
:.乙BOE=乙COD,
BE-CD=6,
•.,45为。。的直径,
LABE=90°,
:.AE=7AB2+BE2=V82+62=10,
•••0。的半径=14£'=5,
故选A.
3.(2024•山东德州•一模)如图,A,B,C,D是。。上的点,AB^AD,AC与8。交于点E,AE=3,EC=5,
BD=4V5,O。的半径为()
18
A
D
A.6B.C.5D.2A/6
2
【答案】A
【分析】连接DC,易得AZDEsAac。,即可求出4D,连接04,由垂径定理可得4。_LBD,再根据勾股定
理即可求解.
【详解】解:连接。C,如图:
•AB=前,
J.Z.ADE=/.ACD,
,/^.DAE=Z.CAD,
△ADEACD,
.AEAD口门3AD
..—=—,即一=—,
ADACAD8
解得:AD=2V6,
'-'AB=AD,即A是的的中点,
:.A01BD,BH=DH=:BD=2倔
在RtA£)H中,AH2=AD2-DH2,
-"-AH=J(2V6)2-(2V5)2=2,
:.0H=0D-2,
在Rt^ODH中,0D2=OH?+DU,
7
-OD2=(OD-2)2+(2V5),
19
解得。n=6.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了垂径定理,三角形相似的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,解题的关键是作
出辅助线,熟练掌握相关的判定和性质.
易错题型四当图形未给出时,没有分类讨论
例4.(23-24九年级上•黑龙江绥化•阶段练习)已知在O。中两条平行弦28IICD,AB=12,CD=16,O0
的半径是10,则AB与CD间的距离是()
A.6或12B.2或14C.6或14D.2或12
【答案】B
【分析】由勾股定理,垂径定理,分两种情况讨论:①当和位于圆心同侧时和②当4B和CD位于圆心
异侧时,即可求解.
【详解】解:分类讨论:①当4B和CC位于圆心同侧时,如图,连接。4,0C,过点。作。E,于点及
交CD于点F.
':AB||CD,
:.OE1CD,
:.AE=-AB=6,CF=-CD=8.
22
VOA=0C=10,
:・0E=y/OA2-AE2=8,OF=VOC2-CF2=6,
:.EF=OE-OF=2,即此时A3与CD间的距离是2;
②当43和CD位于圆心异侧时,如图,连接。4,0C,过点。作。于点尸,延长P。交CD于点Q.
\9AB||CD,
:.0Q1CD,
20
11
AP=—AB=6,CQ=-CD=8.
2“2
VOA=0C=10,
/•OP=>IOA2-AP2=8,OQ=y/OC2-CQ2=6,
:.PQ=OP+OQ=14,即此时AB与CQ间的距离是14.
综上可知AB与CD间的距离是2或14.
故选B.
【点睛】本题考查垂径定理,勾股定理,解题关键是分两种情况讨论,作辅助线构造直角三角形.
巩固训练
1.(22-23九年级上•天津和平・期末)。。半径为5,弦2BIICD,AB=6,CD=8,贝!MB与CD间的距离为
()
A.1B.7C.1或7D.3或4
【答案】C
【分析】过。点作。E14B,E为垂足,交CD与F,连。4OC,由4B||CD,得到。FLCD,根据垂径定理
得4E=3,CF=4,再在RtAOAE中和在Rt^OCF中分别利用勾股定理求出。E,OF,然后讨论:当圆。点
在AB、CD之间,与CD之间的距离=OE+OF;当圆。点不在4B、CD之间,与CD之间的距离=OE-OF.
【详解】解:过。点作0E12B,E为垂足,交CD与F,连04,0C,如图,
AB//CD,
・•・OF1CD,
:.AE=BE,CF=DF,
而=6,CD=8,
.・・/E=3,CF=4,
在RtA(ME中,OA=5,OE=y/OA2-AE2=V52-32=4;
在Rt^OCF中,0C=5,OF=y/OC2-CF2=V52-42=3;
当圆。点在48、CD之间,4B与CD之间的距离=OE+OF=7;
当圆。点不在4B、CD之间,与CD之间的距离=OE—OF=1;
21
所以4B与CD之间的距离为7或1.
故选:C.
【点睛】本题考查了垂径定理,即垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理以及
分类讨论的思想的运用.
2.(23-24八年级上•山东滨州・开学考试)一个点到圆的最小距离为4cm,最大距离为9cm,则该圆的半径是
()
A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm
【答案】A
【分析】本题主要考查圆的基本性质,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.设此点为P点,圆为
O0,最大距离为PB,最小距离为P4有两种情况:①当此点在圆内;②当此点在圆外;分别求出半径值
即可.
【详解】解:设此点为P点,圆为。0,最大距离为PB,最小距离为P4贝。:
••・此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离
;有两种情况:
当此点在圆内时,如图所示,
半径OB=(PA+PB)+2=6.5团;
当此点在圆外时,如图所示,
故选:A.
3.(23-24九年级上•内蒙古通辽•期中)。。的半径是10,弦AB||CD,AB=16,CD=12,贝。弦4B与CD的
22
距离是()
A.2B.14C.2或14D.7或1
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用.作。El4B于E,OFLCD于尸,由垂径定理得ZE==8,CF=
\CD=6,由于AB||CD,易得E、O、尸三点共线,在Rt△AOE和Rt^OC尸中,利用勾股定理分别计算出。E
与OF,然后讨论:当圆心。在弦4B与CD之间时,与CD的距离=Ob+OE;当圆心。在弦4B与CD的外
部时,4B与CD的距离=OP—OE.
【详解】解:如图,作。E_LAB于E,OF_LCD于忆连。A,0C,0A=OC=10,
则4E=|XB=8,CF=^CD=6,
':AB||CD,
;.E、。、尸三点共线,
在RtAZOE中,OEAOA-AE。=\102_8?=6,
在RtAOCF中,。/=VOC2-CF2=V102-62=8,
当圆心。在弦4B与CD之间时,4B与CD的距离。尸+OE=8+6=14;
当圆心。在弦4B与CD的外部时,4B与CD的距离OF—OE=8—6=2.
所以4B与CD的距离是14或2.
故选:C.
03压轴题型
压轴题型一用圆周角求角度
例1.(23-24九年级下•全国•单元测试)如图,四边形4BCD为。。的内接四边形,/.BCD=126°,则NB0D
的大小是()
23
A
A.108°B.106°C.100°D.110°
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质,圆周角定理,由根据圆内接四边形的性质得N4+NBCD=180。,
求出NA=54。,然后由圆周角定理即可求解,解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补.
【详解】•••四边形ABCD为。。的内接四边形,
;.乙4+乙BCD=180°,
:.AA=54°,
:.乙BOD=2乙4=108°,
故选:A.
巩固训练
1.(23-24九年级上•重庆荣昌・期末)如图,。。是四边形4BCD的外接圆,若"BC=110。,则乙4DC的度
A.60°B.70°C.80°D.90°
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质,熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论.
【详解】解:;四边形4BCC内接于。0,LABC=110°,
AADC=180°-^ABC=180°-110°=70°,
故选:B
2.(24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习)如图,点A,B,C都在。。上,若40AB=54°,则乙4cB=()
24
o
A.18°B.54°C.36°D.72°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理,等边对等角和三角形内角和定理,
首先根据。4=0B得到N084=/.OAB=54°,然后利用三角形内角和定理求出4。=180°-Z.OAB-
AOBA=72°,然后利用圆周角定理求解即可.
【详解】解:;。4=。3
C./-OBA=AOAB=54°
乙。=180°-/.OAB-Z.OBA=72°
'''AB=AB
J.^ACB=-AO=36°.
2
故选:C.
3.(2024・湖南•模拟预测)如图,在。。中,AB=BC>若ND=25。,则N1=()
A.25°B.30°C.50°D.60°
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理等,连接。4根据圆周角定理求出N40B,根据晶=冼可求得41的度数.掌
握圆周角定理是解题的关键.
【详解】解:如图,连接。儿
25
n
Z£>=25°,
:.ZAOB=2ZD=50°,
•・•AB=BC^
:.Z1=ZAOB=50°.
故选:c.
压轴题型二求图形面积
例2.(23-24九年级上•重庆•阶段练习)如图,正方形4BCD的边长为2,以A为圆心,48为半径画弧.连
接2C,以A为圆心,4C为半径画弧交4D的延长线于点E,则图中阴影部分的面积是.
【答案】2
【分析】本题考查了正方形的性质,扇形的面积的计算,图中阴影部分的面积=扇形4EC的面积-VADC的
面积+正方形2BCD的面积-扇形4DB的面积,据此计算即可.
根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论.
【详解】解:•••正方形4BCD的边长为2,
•••AB=BC-AD=CD=2,乙BAD=90°,Z.DAC=45°,
AC=y/2AB=2V2,
・•・图中阴影部分的面积=[竺也包一3x2x2]+(2x2—胆殳)=2,
3602\360)
故答案为:2.
巩固训练
26
1.(24-25九年级上•江苏南京•阶段练习)如图,将半径。8=4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30。,此时点
A到了点4,则图中涂色部分的面积为.
【分析】本题考查求阴影部分面积,熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.利用5碇=5平9,B+S康物B4,一
S半圆AB=S扇形ABK,进行求解即可•
【详解】解:••,半径OB=4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30。,
:半圆A'B=S半圆AB,/-ABA'—30°,
:-S阴影=S半圆A,B+S扇形ABA'-S半圆AB
=S扇形ABA'
307rx(2x4)2
=360
16
=~n'
故答案为:
2.(2024.广东清远.模拟预测)如图,在边长为3的等边三角形4BC中,以48为直径构造半圆,则图中阴影
部分的面积为.
【分析】连接。。,OE,DE,根据等边三角形的判定与性质求出△4。。、4BOE、ACDE是边长相等的等边
三角形,再根据阴影部分的面积=SACDE+S羸的4D-SAOAD=S嬉影04D求解即可.此题考查了扇形的面积、
等边三角形的性质,熟记扇形的面积公式是解题的关键.
27
【详解】解:如图,连接。。,OE,DE,
・・・ABAC=/-CBA=Z.ACB=60°,AB=AC=BC=3,
•・•以48为直径构造半圆,
3
,-.OA=OD=OB=OE=-,
2
AOD、△BOE是等边三角形,
:.AD=OA,BE=OB,
3
:.CD=CE=-,
2
COE是等边三角形,
3
:.DE=-=AD=BE,
2
S〉CDE=S^OAD'
A$弓形DE=S扇形ODE-S^ODE=S弓形AD=S弓^BE,
・•・阴影部分的面积=S.8E+S扇形.-SiS扇^M=>,
故答案为:|TT.
o
3.(24-25七年级上.重庆・开学考试)如图所示,在直角三角形4BC中,AB=6cm,BC=15cm,从中剪掉
两个半径相等的扇形,求阴影部分的面积为_____cm?•(结果保留兀)
【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算,用直角三角形的面积减去两个半径相等
的扇形的面积,就是剩余部分的面积.
1
【详解】解:6x154-2-67rx4-
28
=45—9TT,
故答案为:45-9/r.
压轴题型三用与圆的位置关系解决问题
例3.(24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习)如图,RMABC中,乙4cB=90°,AC=4,AB=5,。是AC上
一点,E是BC上一点,DE=3,若以。E为直径的圆交4B于M、N点,则MN的最大值为cm.
A
:
【答案】Y
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识,况1图,作。于CK_L48于
,____________3
K,由题意〃%=2〃"=25/0河2_0*,OM=-,推出欲求MN的最大值,只要求出的最小值即可.
【详解】如图,连接。“,作0H14B于H,CK1XBTK,
A
・.•MH=HN,
MN=2MH=2^OM2-OH2,
••・乙DCE=90%OD=OE,
3
OC=OD=OE=OM=-,
2
・・欲•求MN的最大值,只要求出。”的最小值即可,
3
0C=?
.・・点。的运动轨迹是以C为圆心,|为半径的圆,
29
在RS/CB中,AC=4fAB=5,
BC=3,
ii
•・♦-AB•CK=-AC•BC,
22
:.CK=—,
5
当C、O、H共线,且与CK重合时,OH的值最小,
103Q
・•.。”的最小值为《-5=而,
的最小值为2J©]—舄J=甘,
故答案为:蓑.
巩固训练
1.(2024•安徽合肥二模)已知△ABC三个顶点的坐标为4(—2,6)、B(6,-2)、C(-2,-2),点尸为△
ABC边上一动点,点。为平面内一点,连接PQ,我们把线段P2的最小值称为“点。到△ABC的距离”,记
为d=\Q,AABC\.
(1)若。在原点。时,d=;
(2)若点。是以点M(30)为圆心,以1为半径的OM上一动点,且d=l,则t的取值范围是.
【答案】2t=-4或0wtW4-2近或t=4+2或
【分析】本题考查的是点和圆的位置关系及点到直线的距离,解题关键是分情况画出相应图形,
(1)由点的坐标推出平行,用待定系数法求出直线4B表达式,进而求出原点到4B距离;
(2)根据题意分三种情况讨论,结合图形找出临界点,利用三角函数求出关键线段的长度,进而求出对应
圆心坐标.
【详解】解:(1)作。于点〃,如下图,
30
-2)、C(—2,—2),
・•・原点Q至必的距离都是2,
设直线AB表达式为y=%%+"把4(-2,6)、B(6,-2)代入,
—2k+h=6
6fc+b=-2
解得:{k'=-l
h=4
・,・直线AB表达式为y=—x+4,
当%=0时,y=4;当y=0时%=4,
・・・E(4,0),F(0,4),
・•.OE=OF=4,
EF=J42+42=4V2
11厂
•••S&OEF=-X4X4=-X4V2xOH
•••OH=2V2>2
当。在原点。时,点。到△ABC的距离最小值为d=2,
故答案为2;
(2)O用与4ABC位置关系有三种情况:
31
①OMl在A48C左侧,此时Qi到AB的距离d=l,
・•・OMi半径为1,
Mi。=1+1+|-2|=4,
则1=-4;
②O“2,OM3在△ABC内部,
当圆心用2正好在原点时,&到4B的距离d=1,
则f=0,
作M3GI/IC于点G,(23到4B的距离d=l,
M3G=1+1=2,
•••4(-2,6)、B(6,-2)、C(-2,-2),
・•.acily轴,BCIIX轴,
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