沪科版九年级数学上册期末复习 第24章 圆易错训练与压轴训练（4类易错+4类压轴）

第二十四章圆易错训练与压轴训练

01思维导图

目录

易错题型一对圆的相关概念理解不透彻..........................................................1

易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻........................................................2

易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系”.................................................3

易错题型四当图形未给出时，没有分类讨论.....................................................3

压轴题型一用圆周角求角度....................................................................5

压轴题型二求图形面积........................................................................6

压轴题型三用与圆的位置关系解决问题..........................................................8

压轴题型四用切线解决问题....................................................................8

02易错题型

易错题型一对圆的相关概念理解不透彻

例1.（24-25九年级上•福建福州•阶段练习）下列说法，正确的是（）

A.优弧大于劣弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所对圆周角是直角

巩固训练

1.（24-25九年级上•江苏南通•阶段练习）下列语句中正确的说法是（）

A.垂直于弦的直径平分弦

B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴

C.长度相等的弧是等弧

D.圆内接矩形是正方形

2.（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）下列说法，错误的是（）

A.过三点可以确定一个圆B.等弧所对的圆心角相等

1

C.弦的垂直平分线一定经过圆心D.直径是弦

3.（24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习）下列说法中，正确的个数为（）

①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的

弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆

A.1个B.2个C.3个D.4个

易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻

例2.（24-25九年级上•浙江宁波•阶段练习）如图，AB为。。的直径，弦CD14B于点F,0石，40于点后,

若O。的半径为3,BF=2,贝|0E的长为（）

B.V2C.旧D.小

巩固训练

1.（22-23九年级上•广东湛江•期中）已知：如图，4B是。。的弦，。。的半径为5,。。_143于点。，交。。

于点C,且CD=2,那么4B的长为（）

D.10

2.（2024•河南商丘•三模）如图，在。。中，直径4B=20,弦DE14B,交2B于点C,连接DO.若DE=16,

则4c的长为（）

2

C.8D.6

3.（2024・湖南长沙•模拟预测）如图，在。。中，点4C在圆上，且。C148,垂足为D.若4BOC=45。,

A.2A/2B.4C.V2D.2

易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系

例3.（2024•陕西西安•三模）如图，是O。的直径，点C、D、片在。。上，AE=DE,若乙BDE=110°,则

C.40°D.50°

3

巩固训练

1.（2024•河南南阳•模拟预测）如图，AB为。。的直径，C、。为。。上的点，BC=DC.若NABD=20。,

则NCBD的度数为（）

C.25°D.20°

2.（2024・湖北黄石•三模）如图所示，弦AB,CD所对的圆心角分另tJ是乙4。8,乙COD,若N&OB与NC。。互补,

D.5V3

3.（2024•山东德州•一模）如图，A,B,C,D是。。上的点,AB=AD,4C与BQ交于点E,AE=3,EC=5,

BD=4A/5,O。的半径为（）

A

C.5D.2A/6

易错题型四当图形未给出时，没有分类讨论

4

例4.（23-24九年级上•黑龙江绥化•阶段练习）已知在。。中两条平行弦||CD,AB=12,CD=16,Q0

的半径是10,则AB与CD间的距离是（）

A.6或12B.2或14C.6或14D.2或12

巩固训练

1.（22-23九年级上•天津和平・期末）。。半径为5,弦4BIICD,AB=6,CD=8,则4B与CD间的距离为

（）

A.1B.7C.1或7D.3或4

2.（23-24八年级上.山东滨州.开学考试）一个点到圆的最小距离为与m，最大距离为%m，则该圆的半径是

（）

A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm

3.（23-24九年级上讷蒙古通辽•期中）0（9的半径是10,弦AB||CD,AB=16,CD=12,贝1|弦4B与CD的

距离是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

03压轴题型

压轴题型一用圆周角求角度

例1.（23-24九年级下•全国・单元测试）如图，四边形48C0为。。的内接四边形，ZBCD=126°,则480。

的大小是（）

B

A.108°B.106°C.100°D.110°

5

巩固训练

1.（23-24九年级上.重庆荣昌.期末）如图，。。是四边形/BCD的外接圆，若乙480=110。，则乙ADC的度

C.80°D.90°

2.（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，点A,B,C都在。。上，若4。48=54°,则乙4cB=（）

54°C.36°D.72°

3.（2024.湖南•模拟预测）如图，在。。中，AB=BC^若乙。=25。，则21=（）

A.25°B.30°C.50°D.60°

压轴题型二求图形面积

例2.（23-24九年级上.重庆.阶段练习）如图，正方形ABCO的边长为2,以A为圆心，为半径画弧.连

接AC,以A为圆心，AC为半径画弧交4）的延长线于点E,则图中阴影部分的面积是.

6

巩固训练

1.（24-25九年级上•江苏南京•阶段练习）如图，将半径0B=4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30。，此时点

A到了点4,则图中涂色部分的面积为

2.（2024.广东清远.模拟预测）如图，在边长为3的等边三角形ABC中，以48为直径构造半圆，则图中阴影

部分的面积为.

3.（24-25七年级上•重庆・开学考试）如图所示，在直角三角形4BC中，AB=6cm,BC=15cm,从中剪掉

两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为_____CH?•（结果保留兀）

7

压轴题型三用与圆的位置关系解决问题

例3.（24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，RfAABC中，^ACB=90°,AC=4,4B=5,。是4c上

一点，E是BC上一点，DE=3,若以DE为直径的圆交2B于M、N点，则MN的最大值为cm.

巩固训练

1.（2024・安徽合肥・二模）已知AABC三个顶点的坐标为4（-2,6）、B（6,-2）,C（—2,-2）,点「为4

ABC边上一动点，点。为平面内一点，连接尸。，我们把线段尸。的最小值称为“点。到AZBC的距离”，记

为d=\Q,^ABC\.

（1）若Q在原点。时，d=；

（2）若点。是以点M（30）为圆心，以1为半径的OM上一动点，且〃=1,则/的取值范围是.

2.（2024・安徽芜湖・一模）如图，在Rt△力BC中，^ACB=90°,AC=3,BC=4,点D为AB上一点,点尸

在AC上，且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转，点尸的对应点为点Q,连接AQ,DQ.

（1）当点。是4B的中点时，DQ的最小值为；

（2）当COLAB,且点。在直线CO上时，2Q的长为.

8

3.（2024•广东广州二模）如图，。。是AABC的外接圆，AB=AC,CD14B于点D,B。的延长线交CD于

点、E.

(1)乙DCB乙DBE(填">,(或=”)：

(2)若BC=4应，BE=4,贝1]OE=

压轴题型四用切线解决问题

例3.（22-23九年级上•广东湛江•期中）已知：如图，4B是。。的直径，BC是。。的切线，OC与。。相交

于点。，连接2。并延长与BC相交于点E,且点F为BE的中点，CD=lcm,BC=V3cm.

（1）求。。的半径；

（2）求证：FD与。。相切.

巩固训练

1.（2024・湖北恩施.模拟预测）如图，已知四边形4BCC中，=^ABC=90°,点。是4B的中点，=

90°,以48为直径作半圆O0.

B

9

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若0C与。。的交点M是。C的中点，。。的半径为2,求CD的长.

2.(2024九年级下•云南昆明.专题练习)如图，在AABC中，AB=AC,以2B为直径的。。交4c于点。(点

。与点A不重合)，交BC于点E,过点E作尸GJ.AC于点月交4B的延长线于点G.

(1)求证：FG是。。的切线；

(2)如图1,若CF=1,BE=3；求。。的半径；

(3)如图2,连接2E,OD,交点为当==m时，求线段EG的长.

3.(2024•贵州铜仁•一模)如图，已知点C是以为直径的。。上一点，CH1AB于点H,过点B作。。的

切线交直线4c于点D,点E为CH的中点，连接4E并延长交BD于点F,射线CF交4B的延长线于G.

(1)则。尸与FB的数量关系为

⑵求证：CG是。。的切线；

(3)若月8=庄=1,求tcm/ZMB的值.

10

第二十四章圆易错训练与压轴训练

01思维导图

目录

易错题型一对圆的相关概念理解不透彻..........................................................1

易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻........................................................2

易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系”.................................................3

易错题型四当图形未给出时，没有分类讨论......................................................3

压轴题型一用圆周角求角度....................................................................5

压轴题型二求图形面积........................................................................6

压轴题型三用与圆的位置关系解决问题..........................................................8

压轴题型四用切线解决问题....................................................................8

02易错题型

易错题型一对圆的相关概念理解不透彻

例1.（24-25九年级上•福建福州•阶段练习）下列说法，正确的是（）

A.优弧大于劣弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所对圆周角是直角

【答案】D

【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键.根据圆的有关概念进行逐项

辨析即可得解.

【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误；

B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误；

C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误；

D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确；

故选：D.

巩固训练

1.（24-25九年级上•江苏南通•阶段练习）下列语句中正确的说法是（）

11

A.垂直于弦的直径平分弦

B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴

C.长度相等的弧是等弧

D.圆内接矩形是正方形

【答案】A

【分析】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握相关基本知识.根据垂

径定理，等弧的定义，圆的有关性质逐项判断，即可解题.

【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦，说法正确，符合题意；

B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，不符合题意；

C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意；

D、圆内接矩形是不一定是正方形，原说法错误，不符合题意；

故选：A.

2.（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）下列说法，错误的是（）

A.过三点可以确定一个圆B.等弧所对的圆心角相等

C.弦的垂直平分线一定经过圆心D.直径是弦

【答案】A

【分析】本题主要考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的基本定义，垂径定理，是解题的关键.

根据直径定义，圆心角、弧间的关系，垂径定理，确定圆的条件进行判断即可.

【详解】解：A.过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误；

B.等弧所对的圆心角相等，正确；

C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确；

D.直径是弦，正确.

故选：A.

3.（24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习）下列说法中，正确的个数为（）

①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的

弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案.

【详解】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确；

12

②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误；

③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误；

④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误；

⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确；

⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确

.•.正确的说法有①⑤⑥，共3个.

故选：C.

易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻

例2.（24-25九年级上•浙江宁波•阶段练习）如图，AB为。。的直径，弦CD14B于点F,0石，40于点5,

若O。的半径为3,BF=2,贝|0E的长为（）

B.V2C.旧D.小

【答案】C

【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理.利用勾股定理求出。尸，AD,再利用垂径定理求得4E,

再求解即可.

【详解】解：如图，连接。以

;。。的半径为3,BF=2,

；.0F=OB—BF=1,AF=AB-BF=4,

在Rt^OFO中，DF=yJOD2-OF2=V32-l2=242

在Rt△ADF中'AD=y/AF2+DF2=J42+(2V2)=2A/6J

13

OE1AD,

:.AE=DE=5

在Rt△中,OE=y/OA2-AE2=J32一(佝2=

故选：C.

巩固训练

1.（22-23九年级上・广东湛江•期中）已知：如图，是。。的弦，。。的半径为5,0O1B于点D,交。。

于点C,且CD=2,那么4B的长为（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识.连接。4根据垂径定理得到乙4。。=90°,AB=2AD,利

用勾股定理求出4。=4,即可得到答案.

【详解】解：连接。4

•.•。。_148于点。，

：.^ADO=90。,AB=2AD,

在RtZiOIM中，。42=4。2+。。2,

即52=(5—2Y+AD2,

解得：AD=4.

：.AB=2AD=8.

故选：C.

14

2.（2024•河南商丘三模）如图，在。。中，直径4B=20,弦DE交4B于点C,连接DO.若DE=16,

则AC的长为（）

A.5B.4C.8D.6

【答案】B

【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据垂径定理得到DC=CE=8,利用勾股定理求得CO,

即可得到AC的值，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键.

【详解】解：•••弦DELAB,DE=16,直径AB=20,

•••DC=CE=-DE=8,OD=-AB=10,

22

•••OC=y/OD2-CD2=6,

AC=AO-CO=4,

故选：B.

3.（2024・湖南长沙•模拟预测）如图，在。。中，点4,B,C在圆上，且。C14B,垂足为D.若NBOC=45。,

QA=夜，贝U2B的长为（）

C

A.2V2B.4C.V2D.2

【答案】D

【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题关键.

先根据勾股定理得BD=1,再根据垂径定理即可得出答案.

【详解】解：•••0C14E,

：.AB=2BD,

15

VzBOC=45°,OA=OB=a,

：.BD=OD,

：.BD2+OD2=0B2,

：.2BD2=2,

:.BD=1,

，AB=2.

故选：D.

易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系”

例3.（2024・陕西西安・三模）如图，AB是。。的直径，点C、D、E在。。上，AE=DE,若乙BDE=110°,则

乙4BD的度数为)

C

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】本题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，连接BE,利用圆内接四边

形性质得到NB4E=70°,结合圆周角定理得到々1EB=90°,进而推出NASE=20。，最后根据4E=DE,

结合弧、弦、圆心角的关系即可解题.

【详解】解:连接8E,

•••4BDE=110°,

.-.ZBAE=10°,

,AB是圆的直径,

•••4AEB=90°,

16

・••乙43£=90。-70。=20。,

AE=DE,

•••AE—DE，

・•・^ABE=Z.DBE=20°,

・••乙480=20。+20。=40。.

故选：C.

巩固训练

1.（2024.河南南阳.模拟预测）如图，为。。的直径，C、。为。。上的点，BC=DC.若乙=20。,

则4CBD的度数为（）

C

【答案】A

【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，利用其求得NCO。的度数为解题的关键.根据

圆周角定理可得乙4。。=2乙ABD=2X20°=40°,及圆心角、弧、弦的关系易得=乙COD=：乙BOD=

70°,从而求得的度数.

・•・^AOD=2乙ABD=2x20°=40°,

••・乙BOD=180°-Z,AOD=140°,

'：BC=DC,

1

・•・Z-BOC=Z-COD=-/.BOD=70°,

2

17

1

.­•乙CBD=-Z.COD=35°,

2

故选：A

2.（2024湖北黄石•三模）如图所示，弦AB,CD所对的圆心角分另ij是乙4。8,乙COD,若乙4。8与NC。。互补,

AB=8,CD=6,那么O。的半径为（）

【答案】A

【分析】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理，延长4。交。。于点E,连接BE,由N40B+NB0E=

AAOB+ACOD^ABOE=/.COD,据此可得BE=CD,在Rt△4BE中利用勾股定理求解可得.

【详解】解：如图，延长2。交O。于点E,连接班，

又；Z710B+乙COD=180°,

:.乙BOE=乙COD,

BE-CD=6,

•.,45为。。的直径，

LABE=90°,

：.AE=7AB2+BE2=V82+62=10,

•••0。的半径=14£'=5,

故选A.

3.（2024•山东德州•一模）如图，A,B,C,D是。。上的点，AB^AD,AC与8。交于点E,AE=3,EC=5,

BD=4V5,O。的半径为（）

18

A

D

A.6B.C.5D.2A/6

2

【答案】A

【分析】连接DC,易得AZDEsAac。，即可求出4D,连接04,由垂径定理可得4。_LBD,再根据勾股定

理即可求解.

【详解】解：连接。C,如图：

­•AB=前，

J.Z.ADE=/.ACD,

,/^.DAE=Z.CAD,

△ADEACD,

.AEAD口门3AD

..—=—,即一=—,

ADACAD8

解得：AD=2V6,

'-'AB=AD，即A是的的中点，

：.A01BD,BH=DH=：BD=2倔

在RtA£）H中，AH2=AD2-DH2,

-"-AH=J（2V6）2-（2V5）2=2，

：.0H=0D-2,

在Rt^ODH中，0D2=OH?+DU,

7

-OD2=（OD-2）2+（2V5），

19

解得。n=6.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作

出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

易错题型四当图形未给出时，没有分类讨论

例4.（23-24九年级上•黑龙江绥化•阶段练习）已知在O。中两条平行弦28IICD,AB=12,CD=16,O0

的半径是10,则AB与CD间的距离是（）

A.6或12B.2或14C.6或14D.2或12

【答案】B

【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当4B和CD位于圆心

异侧时，即可求解.

【详解】解：分类讨论：①当4B和CC位于圆心同侧时，如图，连接。4,0C,过点。作。E，于点及

交CD于点F.

'：AB||CD,

：.OE1CD,

：.AE=-AB=6,CF=-CD=8.

22

VOA=0C=10,

：・0E=y/OA2-AE2=8,OF=VOC2-CF2=6,

：.EF=OE-OF=2,即此时A3与CD间的距离是2；

②当43和CD位于圆心异侧时，如图，连接。4,0C,过点。作。于点尸，延长P。交CD于点Q.

\9AB||CD,

：.0Q1CD,

20

11

AP=—AB=6,CQ=-CD=8.

2“2

VOA=0C=10,

/•OP=>IOA2-AP2=8,OQ=y/OC2-CQ2=6,

：.PQ=OP+OQ=14,即此时AB与CQ间的距离是14.

综上可知AB与CD间的距离是2或14.

故选B.

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形.

巩固训练

1.(22-23九年级上•天津和平・期末)。。半径为5,弦2BIICD,AB=6,CD=8,贝！MB与CD间的距离为

()

A.1B.7C.1或7D.3或4

【答案】C

【分析】过。点作。E14B,E为垂足，交CD与F,连。4OC,由4B||CD,得到。FLCD,根据垂径定理

得4E=3,CF=4,再在RtAOAE中和在Rt^OCF中分别利用勾股定理求出。E,OF,然后讨论：当圆。点

在AB、CD之间，与CD之间的距离=OE+OF；当圆。点不在4B、CD之间，与CD之间的距离=OE-OF.

【详解】解：过。点作0E12B,E为垂足，交CD与F,连04,0C,如图，

AB//CD,

・•・OF1CD,

:.AE=BE,CF=DF,

而=6,CD=8,

.・・/E=3,CF=4,

在RtA(ME中，OA=5,OE=y/OA2-AE2=V52-32=4;

在Rt^OCF中，0C=5,OF=y/OC2-CF2=V52-42=3;

当圆。点在48、CD之间，4B与CD之间的距离=OE+OF=7；

当圆。点不在4B、CD之间，与CD之间的距离=OE—OF=1；

21

所以4B与CD之间的距离为7或1.

故选：C.

【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理以及

分类讨论的思想的运用.

2.(23-24八年级上•山东滨州・开学考试)一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是

()

A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm

【答案】A

【分析】本题主要考查圆的基本性质，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.设此点为P点，圆为

O0,最大距离为PB,最小距离为P4有两种情况：①当此点在圆内；②当此点在圆外；分别求出半径值

即可.

【详解】解：设此点为P点，圆为。0,最大距离为PB,最小距离为P4贝。：

••・此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离

;有两种情况：

当此点在圆内时，如图所示，

半径OB=(PA+PB)+2=6.5团；

当此点在圆外时，如图所示，

故选：A.

3.(23-24九年级上•内蒙古通辽•期中)。。的半径是10,弦AB||CD,AB=16,CD=12,贝。弦4B与CD的

22

距离是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理的应用.作。El4B于E,OFLCD于尸，由垂径定理得ZE==8,CF=

\CD=6,由于AB||CD,易得E、O、尸三点共线，在Rt△AOE和Rt^OC尸中，利用勾股定理分别计算出。E

与OF,然后讨论：当圆心。在弦4B与CD之间时，与CD的距离=Ob+OE；当圆心。在弦4B与CD的外

部时，4B与CD的距离=OP—OE.

【详解】解：如图，作。E_LAB于E,OF_LCD于忆连。A,0C,0A=OC=10,

则4E=|XB=8,CF=^CD=6,

'：AB||CD,

；.E、。、尸三点共线,

在RtAZOE中，OEAOA-AE。=\102_8?=6,

在RtAOCF中，。/=VOC2-CF2=V102-62=8,

当圆心。在弦4B与CD之间时，4B与CD的距离。尸+OE=8+6=14；

当圆心。在弦4B与CD的外部时，4B与CD的距离OF—OE=8—6=2.

所以4B与CD的距离是14或2.

故选：C.

03压轴题型

压轴题型一用圆周角求角度

例1.（23-24九年级下•全国•单元测试）如图，四边形4BCD为。。的内接四边形，/.BCD=126°,则NB0D

的大小是（）

23

A

A.108°B.106°C.100°D.110°

【答案】A

【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得N4+NBCD=180。,

求出NA=54。，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补.

【详解】•••四边形ABCD为。。的内接四边形，

；.乙4+乙BCD=180°,

：.AA=54°,

:.乙BOD=2乙4=108°,

故选：A.

巩固训练

1.（23-24九年级上•重庆荣昌・期末）如图，。。是四边形4BCD的外接圆，若"BC=110。，则乙4DC的度

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】B

【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论.

【详解】解：；四边形4BCC内接于。0,LABC=110°,

AADC=180°-^ABC=180°-110°=70°,

故选：B

2.（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，点A,B,C都在。。上，若40AB=54°,则乙4cB=（）

24

o

A.18°B.54°C.36°D.72°

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，

首先根据。4=0B得到N084=/.OAB=54°,然后利用三角形内角和定理求出4。=180°-Z.OAB-

AOBA=72°,然后利用圆周角定理求解即可.

【详解】解：；。4=。3

C./-OBA=AOAB=54°

乙。=180°-/.OAB-Z.OBA=72°

'''AB=AB

J.^ACB=-AO=36°.

2

故选：C.

3.(2024・湖南•模拟预测)如图，在。。中，AB=BC＞若ND=25。，则N1=()

A.25°B.30°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】本题考查圆周角定理等，连接。4根据圆周角定理求出N40B,根据晶=冼可求得41的度数.掌

握圆周角定理是解题的关键.

【详解】解：如图，连接。儿

25

n

Z£>=25°,

:.ZAOB=2ZD=50°,

•・•AB=BC^

:.Z1=ZAOB=50°.

故选：c.

压轴题型二求图形面积

例2.（23-24九年级上•重庆•阶段练习）如图，正方形4BCD的边长为2,以A为圆心，48为半径画弧.连

接2C,以A为圆心，4C为半径画弧交4D的延长线于点E,则图中阴影部分的面积是.

【答案】2

【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，图中阴影部分的面积=扇形4EC的面积-VADC的

面积+正方形2BCD的面积-扇形4DB的面积，据此计算即可.

根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：•••正方形4BCD的边长为2,

•••AB=BC-AD=CD=2,乙BAD=90°,Z.DAC=45°,

AC=y/2AB=2V2,

・•・图中阴影部分的面积=[竺也包一3x2x2]+（2x2—胆殳）=2,

3602\360）

故答案为：2.

巩固训练

26

1.（24-25九年级上•江苏南京•阶段练习）如图，将半径。8=4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30。，此时点

A到了点4,则图中涂色部分的面积为.

【分析】本题考查求阴影部分面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.利用5碇=5平9,B+S康物B4,一

S半圆AB=S扇形ABK，进行求解即可•

【详解】解：••,半径OB=4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30。，

:半圆A'B=S半圆AB，/-ABA'—30°,

:-S阴影=S半圆A，B+S扇形ABA'-S半圆AB

=S扇形ABA'

307rx（2x4）2

=360

16

=~n'

故答案为：

2.（2024.广东清远.模拟预测）如图，在边长为3的等边三角形4BC中，以48为直径构造半圆，则图中阴影

部分的面积为.

【分析】连接。。，OE,DE,根据等边三角形的判定与性质求出△4。。、4BOE、ACDE是边长相等的等边

三角形，再根据阴影部分的面积=SACDE+S羸的4D-SAOAD=S嬉影04D求解即可.此题考查了扇形的面积、

等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键.

27

【详解】解：如图，连接。。，OE,DE,

・・・ABAC=/-CBA=Z.ACB=60°,AB=AC=BC=3,

•・•以48为直径构造半圆，

3

,-.OA=OD=OB=OE=-,

2

AOD、△BOE是等边三角形,

:.AD=OA,BE=OB,

3

:.CD=CE=-,

2

COE是等边三角形，

3

：.DE=-=AD=BE,

2

S〉CDE=S^OAD'

A$弓形DE=S扇形ODE-S^ODE=S弓形AD=S弓^BE，

・•・阴影部分的面积=S.8E+S扇形.-SiS扇^M=＞，

故答案为：|TT.

o

3.（24-25七年级上.重庆・开学考试）如图所示，在直角三角形4BC中，AB=6cm,BC=15cm,从中剪掉

两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为_____cm?•（结果保留兀）

【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等

的扇形的面积，就是剩余部分的面积.

1

【详解】解：6x154-2-67rx4-

28

=45—9TT,

故答案为：45-9/r.

压轴题型三用与圆的位置关系解决问题

例3.（24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，RMABC中，乙4cB=90°,AC=4,AB=5,。是AC上

一点，E是BC上一点，DE=3,若以。E为直径的圆交4B于M、N点,则MN的最大值为cm.

A

:

【答案】Y

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，况1图，作。于CK_L48于

,____________3

K,由题意〃％=2〃"=25/0河2_0*,OM=-,推出欲求MN的最大值,只要求出的最小值即可.

【详解】如图，连接。“，作0H14B于H,CK1XBTK,

A

・.•MH=HN,

MN=2MH=2^OM2-OH2,

••・乙DCE=90%OD=OE,

3

OC=OD=OE=OM=-,

2

・・欲•求MN的最大值，只要求出。”的最小值即可，

3

0C=?

.・・点。的运动轨迹是以C为圆心，|为半径的圆，

29

在RS/CB中，AC=4fAB=5,

BC=3,

ii

•・♦-AB•CK=-AC•BC,

22

:.CK=—,

5

当C、O、H共线，且与CK重合时，OH的值最小，

103Q

・•.。”的最小值为《-5=而，

的最小值为2J©]—舄J=甘，

故答案为：蓑.

巩固训练

1.（2024•安徽合肥二模）已知△ABC三个顶点的坐标为4（—2,6）、B（6,-2）、C（-2,-2）,点尸为△

ABC边上一动点，点。为平面内一点，连接PQ,我们把线段P2的最小值称为“点。到△ABC的距离”，记

为d=\Q,AABC\.

（1）若。在原点。时，d=；

（2）若点。是以点M（30）为圆心，以1为半径的OM上一动点，且d=l,则t的取值范围是.

【答案】2t=-4或0wtW4-2近或t=4+2或

【分析】本题考查的是点和圆的位置关系及点到直线的距离，解题关键是分情况画出相应图形，

（1）由点的坐标推出平行，用待定系数法求出直线4B表达式，进而求出原点到4B距离；

（2）根据题意分三种情况讨论，结合图形找出临界点，利用三角函数求出关键线段的长度，进而求出对应

圆心坐标.

【详解】解：（1）作。于点〃，如下图，

30

-2）、C（—2，—2）,

・•・原点Q至必的距离都是2,

设直线AB表达式为y=%%+"把4（-2,6）、B（6,-2）代入,

—2k+h=6

6fc+b=-2

解得：｛k'=-l

h=4

・,・直线AB表达式为y=—x+4,

当％=0时，y=4；当y=0时％=4,

・・・E(4,0),F(0,4),

・•.OE=OF=4,

EF=J42+42=4V2

11厂

•••S&OEF=-X4X4=-X4V2xOH

•••OH=2V2>2

当。在原点。时，点。到△ABC的距离最小值为d=2,

故答案为2；

(2)O用与4ABC位置关系有三种情况：

31

①OMl在A48C左侧，此时Qi到AB的距离d=l,

・•・OMi半径为1,

Mi。=1+1+|-2|=4,

则1=-4；

②O“2，OM3在△ABC内部，

当圆心用2正好在原点时，&到4B的距离d=1,

则f=0,

作M3GI/IC于点G,(23到4B的距离d=l,

M3G=1+1=2,

•••4(-2,6)、B(6,-2)、C(-2,-2),

・•.acily轴，BCIIX轴，