构造直角三角形利用三角函数求边长小题（解析版）

专题24构造直角三角形利用三角函数求边长小题

【典例讲解】

Rt^ABC中，ZA=90°,BC=4,有一个内角为60。，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且

NACP=30。，则PB的长为.

【详解】分两种情况考虑：

当NABC=60。时，如图所示：•••ZCAB=9O",.­.ZBCA=30".

又♦.2PCA=30°,.-.ZPCB=ZPCA+ZACB=60".

又••・NABC=60°,.•.△PCB为等边三角形.

又：BC=4,.-.PB=4.当NABC=30"时，

(i)当P在A的右边时，如图所示：

♦.2PCA=30°,ZACB=60°,•••NPCB=90°.

又NB=30°,BC=4,

—BC448r-

BCPB=____=_______=___=—

cosB=-----,即cosBcos302邪3.

PB—

2

(ii)当P在A的左边时，如图所示：

•.2PCA=30°,ZACB=60°,.•.ZBCP=30°.

又NB=30",.-.ZBCP=ZB..-.CP=BP.

在RtZkABC中，ZB=3O°,BC=4,.-.AC=yBC=2.

根据勾股定理得：AB=VBC2-AC2=742-22=2A/3，

.♦.AP=AB—PB=26-PB.

在RQAPC中，根据勾股定理得:AC2+AP2=CP2=BP2,即22+（2次一PB）2=BP2,

解得：BP=1V3.

综上所述，BP的长为4或;6或

【综合演练】

1.在A48C中，8C=G+1,48=45。，NC=30。，则A48C的面积为（）

D.V3+1

【答案】C

【分析】过点A作ADLBC,垂足为D.在Rt^ABD中和Rt/^ACD中，分别用AD表示出BD、CD,

根据8c的长先求出ND,再求三角形的面积.

【详解】如图，过点/作4DLBC,垂足为D

在RtAABD中，45=45°,

■■.BD=AD.

在用A4CD中，NC=30°,

：.CD=^AD.

■：BD+CD=BC,

：-AD+y!iAD—l+4i.

即AD=1.

.♦.S/2C=yxBCxAD

=y（1+V3）.

故选：C.

【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.

2.如图，在OBC中，ZA=15°,AB=2,尸为/C边上的一个动点（不与A、C重合），连接

BP,则也力尸+尸8的最小值是（）

2

B

【答案】B

【分析】以为斜边向08C外作等腰直角三角形，得尸。=正/尸，当。、P、8在同一直线上时,

2

变4?+必=尸。+尸3取得最小值.在中，利用正弦函数即可求得答案.

2

【详解】如图，以/P为斜边向。BC外作等腰直角三角形,

cosNAPD=cos45°=

AP2

■-PD=^-AP

2

・•・当D、P、8在同一直线上时，

—AP+PB=PD+PB取得最小值.

2

在RAA8。中，00=90°,4B=2,ZDAB=ZDAP+ZBAC=45°+15°=60°,

/.sin/DAB=sin60°=，

AB

万

■-BD=—x2=s/3.

2

故选：B

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅

3.如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（）

30町20m

B

A.100V3m2B.150Mm2C.200属？D.300V3m2

【答案】B

【分析】延长BA,过C作CD1BA的延长线于点D,再根据补角的定义求出NDAC的度数，由锐角

三角函数的定义可求出CD的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积.

解：延长BA,过C作CD1BA的延长线于点D,

•••ZBAC=120",

.•ZDAC=18O°-12O°=6O°,

,.,AC=20m,

/.CD=AC*sin60°=20x—=1073(m),

2

2

.­.SAABC=gAB・CD=gx30xl073=15073(m).

故选B.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题

的关键.

B3

4.如图，cosS=—,sinC=—,AC=10,则“BC的面积是()

25

【答案】A

【分析】过点/作8c于点。，根据锐角三角函数的定义，求出8。和CD的长度.

【详解】过点A作AD1BC于点D,

BDC

AD

vsinC=

AC

••・/Z）=ZOsinC=6,

・,・由勾股定理可知：BC=8,

,.,cosB=——,

2

・4=45°,

•••RD=4D=6,

:.BC'=14,

.•.△ABC的面积为g2C・4D=gx6xl4=42.

故选4

【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出/。与的长度.

5.如图，正六边形ABCDEF中，AB=2,点P是ED的中点，连接AP,则AP的长为（）

A.V13B.4C.V1TD..「J

【答案】C

【详解】试题分析：如图，连接AE,

在正六边形中，ZF=1x(6-2)•180°=120°.

•••AF=EF,.-.ZAEF=ZEAF=y(180°-120°)=30°..•.ZAEP=12O0-30°=90°.

---=」

.，.AE=2x2cos30°=2x2x].

・•・点P是ED的中点，.•.EP=：x2=l.

AP-\AE'—EP'-"1"3；—1'—\13

在RQAEP中，*

故选C.

6.已知在AA8C中，//、是锐角，且sinB=(,tan/=g,AB=44cm,则“8C的面积

等于_cm2.

【答案】220

【分析】过点C作43的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中2。，和CD

的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积.

【详解】解：如图：

设CD=5x,BC=13x(x>0),

,CD1

,/tanA=---=—,

AD2

可设CD=y,AD=2y(y>0),

AD=2y=2CD=10x,

BD=7(13X)2-(5X)2=12x,

AB=AD+BD=10%+12%=22x,

由22x=44,得x=2,

则0=5x=10

故%BC=1^5-CD=1x44xl0=220cm2.

故答案是：220

【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关

键.

7.AABC中，4B=4,AC=5,A42c的面积为5百，那么^的度数是.

【答案】60°或120°##120°或60°

【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5,可以求出AC边上的高，再根据4A

的三角函数值可得NA的度数，注意需要分情况讨论.

【详解】解:当41是锐角时，

如图，过点8作8OL4C于O,

■.■AC=5,△ABC的面积为5百，

:.BD=5也义2；5=2也,

在RtxABD中，$皿1=处~=空~=止

AB42

••・Z^=60°.

当乙4是钝角时,

如图，过点8作8OL4C,交C4的延长线于。,

■.-AC=5,A45c的面积为56,

.•.8。=5仆x2+5=26，

BD2垂拒

在RtzX/BD中，sinN840=sin/1

AB42

：ZBAD=60°.

■.^BAC=180°-60°=120°.

故答案为60。或120°.

【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线.

8.如图，在四边形N3CZ）中，ZB=ZD=90°,ABAD=60°,AB=4,AD=5.则4c的长的值为

D

【答案】2⑺

【分析】如图，延长2C,40交于E,解直角三角形分别求出/从DE、CE、5c的长，再运用勾

股定理即可求解.

【详解】解：如图，延长3C,4D交于E,

VZB=90°,ABAD=60°,AB=4,

.•・/£二30。，

AE=2AB=8,BE=/8・tanNBAE=4xtan60°=4G,

AD=5f

DE=3,

-ZADC=ZCDE=90°,

DE

CE=

cosE

2

；・BC二BE-CE=2C，

・•.AC=ylAB2+BC2="+(2百『=2g.

故答案为：2不

【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形

是解题的关键.

9.如图，在aABC中，4A=30°,NB=45°,AC=26,则SgBc=_.

AB

3+3百

【答案】

2

【分析】如图，过点C作CD1AB于点D.通过解直角4ACD求得CD、AD的长度，通过解直角4BCD

求得BD的长度；则易求AB=AD+BD；然后由三角形面积公式进行解答.

【详解】如图，过点C作CD1AB于点D.

•••在直角4ACD中，ZA=30",AC=2V3,

.•.AD=AC»cos30°=2V3x—=3,CD=^-AC=73.

22

•••在直角ABCD中，ZB=45°,CD=5

.-.BD=CD=V3,

.•.AB=AD+BD=3+5

.-.SAABC=^AB»CD=^x(3+73)x@二龙巫.

222

故答案是：也1

【点睛】本题考查了解直角三角形.对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直

角三角形，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角.进而求面积，在转化时，

尽量不要破坏所给条件.

10.如图，在AA8C中，AC=8,ZABC=60°,ZC=45°,4D/3C,垂足为。，//8C的平分

线交4D于点E,则AE的长为.

［答案］变.

3

【分析】由图象可得两个直角三角形，分别为45。等腰直角三角形和30。直角三角形，先在RtAADC中

算出AD,再RtAADB中，算出BD,根据角平分线的性质可得RtAEBD为30。特殊直角三角形,再求出DE,

即可求出AE的长.

【详解】解：•“28C,

：.ZADC=ZADB=90°.

在P2UDC中，/C=8,NC=45。，

AD=CD,

■■-AD=—AC=A42

2

在RAAD8中，AD=442,^ABD=60°,

■-BD=-AD=^-

33

♦:BE平分/ABC,

NEBD=30°.

在RtAEBD中,BD=^-,^EBD=30°,

3

■-DE=-BD=^-

33

■■AE=AD-DE=^-

3

【点睛】本题考查解特殊直角三角形，关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质.

11.如图，某小区物业想对小区内的三角形广场/8C进行改造，已知NC与2c的夹角为120。，

/C=20米，BC=30米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是平方米.（结果保留根号）

【答案】150百

【分析】过点A作4D/8C,交3C的延长线于点。，根据解直角三角形的方法即可求解.

【详解】如解图，过点A作/。工8C,交2c的延长线于点。,

ZBCA=120°,

；.NACD=60°.

•在中，/C=20,ZACD=60°,

巧

o

•­•^JD=^C-sin60=20x—=1073.

2

••-5C=30,AD=\Q也,

■■S.ARC=-5C-ylD=-x30xl0V3=15073（平方米）.

22

【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.

12.如图，在△ABC中，ZA=30°,tanB=—2,AC=26,AB的长

【答案】5

【分析】作CD1AB于D,据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=^,AD=3,再在RSBCD中

根据正切的定义可计算出BD,然后把AD与BD相加即可.

【详解】解：作CD_LAB于D,如图，

在RMACD中，ZA=3O°,AC=25

•*-CD——AC—y/3,AD—^3CD=3,

一»CD

在Rt^BCD中，tanB=-----,

BD

.V3_V3

•,-=,

BD2

••.BD=2,

・・・AB=AD+BD=3+2=5.

【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三

角形.

13.如图，等腰直角△/8C的面积为16,点。在斜边NC的延长线上，乙BDC=3G。,则△8DC的

面积是—.

【答案】873+8

【分析】作BH1AC于H.想办法求出AD.BH即可解决问题.

【详解】解：如图，作BH1AC于H.

・•・等腰直角4ABC的面积为16,

；.BA=BC=4A/2，

•••BA=BC=4&,ZABC=90°,BH1AC,

AC=7(4A/2)2+(4V2)2=8,AH=CH=BH=4,

在RtABDH中，

•••ZBHD=90°,NBDC=30°,

DH=V3BH=4V3,

:.AD=46+4,

=+4)-4=873+8.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解

决问题，属于中考常考题型.

14.已知：在aABC中，AC=a,AB与BC所在直线成45。角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦

值为(SPcosC=|V5),则AC边上的中线长是.

【答案】叵a或ya

1010

【详解】解：分两种情况:

①AABC为锐角三角形时，如图1.

作aABC的高AD,BE为AC边的中线.

2

,•,在直角^ACD中，AC=a,cosC=-V5,

2R

/.CD=-V5a,AD=—a.

55

•・・在直角4ABD中，ZABD=45°,

.-.BD=AD=—a,

5

4/s

.•.BC=BD+CD=^LLa.

5

在ABCE中，由余弦定理，得

BE2=BC2+EC2-2BC*EC*cosC=-6z2+-tz2-2x—6zx-«x^=—

5452520

,V85

••RBFE=------a;

10

②AABC为钝角三角形时，如图2.

作AABC的高AD,BE为AC边的中线.

•.•在直角4ACD中，AC=a,cosC=-V5,

2[s

.•*CD=—V5a,AD=——a.

55

•・•在直角AABD中，ZABD=45°,

.-.BD=AD=—a,

5

/.BC=BD+CD=^-a.

5

在4BCE中，由余弦定理，得

BE2=BC2+EC2-2BC»EC»cosC

_"12。行1275_1

=—ciH-a—2x—ax-cix-----=—a,:2

5452520

.-.BE=—a•

10

综上可知AC边上的中线长是'至°或.

1010

15.在△/BC中，AC=44i,BC=6,NC为锐角且tan。=1.

⑴求A/2C的面积;

(2)求22的值;

⑶求COS/4BC的值.

【答案】⑴12

(2)275

(3匹

5

【分析】(1)过点/作/DLBC,根据NC的正切值确定NC的度数，再利用直角三角形的边角间

关系求出CD,最后利用三角形的面积公式算出AZBC的面积；

(2)先利用线段的和差关系求出8。，然后在瓦△力血中利用勾股定理求出月8；

(3)在必△23。中利用直角三角形的边角间关系求出N8的余弦值.

(1)

解：过点/作AD_LBC,垂足为。，

AADC=ZADB=90°,

・・・ZC为锐角且tanC=1,

.-.ZC=45°,

・•.ZDAC=90°-ZC=45°,

/.ZDAC=ZC=45°,

AD=DC,

在放△ZC£),

•••sinC=*,AC=4yf2,

ACz

■■.DC=AD=AC-sinC=442x—=4,

2

BC=6,

・•.S%c=g*6x4=12.

.•.△4BC的面积为12.

(2)

DC=AD=4,BC=6,

:.BD=BC-DC=6-4=2,

在乩△22。中，

AB=\/AD2+BD2="2+2?=275.

■■AB的值为2A/L

(3)

在RtA4BD中,A8=26，BD=2,

V5

cosAABC=

AB5

cosZABC的值为心.

5

【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角

形的面积公式及勾股定理是解题的关键.

64

16.如图，在aABC中，sinB=",cosC=-,AC=5,则AABC的面积为多少？

25

【分析】作AD1BC,根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据NB可以求得AD=BD,根据AD,

BC即可求得S^ABC的值.

【详解】解：过点A作AD_LBC,垂足为D.

4

•••CD=ACxcosC=5x—=4.

5

•••由勾股定理得：AD=7T1C2-CZ)2=3.

,.,smB=——,

2

.'.ZB=45°.

・・2BAD=NB=45°.

•••BD=AD=3.

•••SAABC=1-BC«AD=1(3+4)x3=10.5.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题目

条件构造直角三角形.

17.已知在△ABC中，乙4c2=135。，NC=8,D、E分别是边3C、48上的一点，若tanzDE4=2,

DE=45,SQEB=4,求四边形NCDE的面积.

［分案］336V29+604

29~29,

DH

【分析】作DH1AB于H,CN1AB于N,BM1AC交AC的延长线于M.由题意易知tanz.DBH=——

HB

”,可以假设CN=2k,BN=5k,则BC=®再根据tan“黑=曷构建方程即可解

决问题.

【详解】解：如图，作DH_LAB于H,CN1AB于N,BM1AC交AC的延长线于M.

••.DH=2,EH=1,

••,SADEB=7*EB*DH,

...4=1XEBX2,

・・・EB=4,BH=5,

DHCN2

vtanzDBH===—

HBBN5

・•・可以假设CN=2k,BN=5k,则BC=J^k,

•・2ACB=135°,

・・ZMCB=45°,

/.CM=BM=—xV29

22

BMCN

vtanzA=

AMAN

2

解得：|<=多画或-电H（舍弃）,

2929

/.AB=AN+BN=28A/2+30A^,

29

•••S四边形ACDE=S^ABC-SADEB

—336回।604

2929

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，

构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

18.如图，在RtNLBC中，zC=90°,。是2C边上一点，4840=45。，NC=3,48=3斯，求BD

的长.

A

【答案】AD的长是5.

【分析】过D作DE1AB于点E,设DE=a,用a表示出AE、BE,在RtZkABC和RtZiBDE中分别表示

出tanNABC,从而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的长，然后用勾股定理即可求出BD.

【详解】解：过D作DE1AB于点E,如图所示，

•.•ZBAD=45",

.-.ZEAD=ZEDA=45°,

■•.AE=DE,

设DE=a,贝IjBE=AB-AE=3石-a,

••-AC=3,AB=3V5,4c=90。,

BC=7（375）2-32=6.

DEACa_3

tan/ABC==

BEBC3y[5-a~6

*,*a=,

经检验，a=石是上面方程的解.

••.DE=V5>BE=2^5

RtaBED中，由勾股定理得:

BD2=BE2+DE2=（右）、（2后=25,

；.BD=5.

【点睛】本题考查了三角函数的应用，通过在不同三角形中表示出同一个角的某个三角函数从而列

出方程求解是解题关键，这种解法比用相似更简捷，要灵活运用.

19.如图，“2C的角平分线AD=1,ZABC=120°,//、/C所对的边记为。、c.

（2）求AABC的面积（用含。，。的式子表示即可）；

（3）求证：a,c之和等于a,c之积.

【答案】（1）2；（2）SAABC=^-ac-,（3）详见解析.

【分析】（1）过点A作/EL5D于点E,利用直角三角形30度角的性质可知BE长，得BE=BD,

即点E、点D重合，中线与高线重合，可知AB=AC,即。=。；

（2）表示方法有两种，可能情形1：过点A作4尸，2。于点尸，过点C作CGLBD延长线于点

G,解直角三角形可得4尸=@八CG力a,利用三角形面积公式可得

22

A4AD和ABC