共定点等边三角形的六大结论及应用（解析版）

专题20共定点等边三角形的六大结论及应用

六大结论基本模型：如图，A45C和是共顶点(C)三角形，则有以下六大结论.

结论1：^ACD^/\BCE(.SAS),：.AD=BE结论2：ZAOB=60°

结论3：AACP^/\BCQ(ASA),：.AP=BQ,PC=QC结论4：APC。是等边三角形

结论5：.•.尸0〃/E结论6：点C在/NOE的平分线上

1.如图，C为线段NE上一动点(不与点A、E重合)，在NE同侧分别作正三角形N8C和正三角

形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点、P,BE与CD交于点Q,连接P。，以下七个结论:

①AD=BE；②PQUAE；③/P=30；@DE=DP；⑤408=60°；

⑥APC0是等边三角形；⑦点C在/NOE的平分线上，其中正确的有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】D

【解析】

【分析】

由A48C和△")£是正三角形,其性质得三边相等，三个角为60°,平角的定义和角的和差得N4C£>=

ZBCE,边角边证明A4CD四△8CE,其性质得结论①正确；由△ZCDg/XBCE,可得/C/P=/

CBQ,可得£MO8=£)/C8=60°,故⑤正确，角边角证明A4CP名△BC。得NP=20,其结论③正确

等边三角形的判定得△PC0是等边三角形，结论⑥正确；/"2=//。8=60。判定两线尸。〃/£,

结论②正确；反证法证明命题。母/»，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C

在的平分线上，结论⑦正确；即正确结论共6个.

【详解】

解：如图1所示:

B

LABC和△(?£)£是正三角形，

：.AC=BC,DC=EC,ZACB=ZECD=60°,

XVZACD=ZACB+ZBCD,ZBCE=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

AC=BC

在ZUCD和△8CE中，ZCD=NBCE,

CD=CE

:.△ACDm4BCE(S4S),

：.AD=BE,结论①正确；

4ACDq4BCE,：.ZCAP=ZCBQ,

QBBPO=DAPC,

\QAOB=GACB=60°,故⑤正确，

又：ZACB+ZBCD+ZDCE=180°,；.NBCD=60。,

).DCAP=DCBQ

在ZUC尸和△8C0中，｝,AC=BC,

\QACP=QBCQ

：./\ACP^J\BCQ(ASA),

：.AP=BQ,PC=QC,故③正确，

...△PC。是等边三角形，故⑥正确

ZCPQ=ZCQP=60°,

：.NCPQ=/ACB=60。,

：.PQ//AE,故②正确，

若DE=DP,

\'DC=DE,：.DP=DC,：.ZPCD=ZDPC,

又,:ZPCD=60°,

.•./。尸。=60。与△PC0是等边三角形相矛盾，假设不成立，•••结论④错误;

过点C分别作CNLBE于点、M、N两点，如图2所示：

'：CM±AD,CN±BE,YACD势BCE,

：.CM=CN,

又：OC在//OE的内部，

...点C在NZOE的平分线上，

结论⑦正确：

综合所述共有6个结论正确.

故选：D.

【点睛】

本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线

的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与

性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的

角平分线上.

2.已知如图是锐角三角形，分别以边为边向外作和“CE,△48D和ANCE

均为等边三角形，且BE和CD交于点/，连接/足

(1)求证：AACD*AEB；

(2)求出/CPE的度数；

(3)求证：/AFB=ZBFC=/AFC.

【答案】(1)见解析；(2)60°；(3)见解析.

【解析】

【分析】

(1)由和A4CE均为等边三角形，可得边角关系，由S/S即可证明A/CD之A/防；(2)由

A/C。0A/胡可得点/、F、C、K四点共圆，再由圆的性质即可求解;

(3)由点4、F、C、E四点共圆，可得NF4C=/FEC,再由入4网内角和为180。可得

NAFE=60。,由点4、F、B、。四点共圆，同理可得NZFD=60。，从而可得

ZAFB=120°,ZAFC=120°,ABFC=120°,故可得/AFB=4BFC=/AFC.

【详解】

解：(1)和A4"均为等边三角形，

:・/DAB=NEAC=6。。,AE=AC,AB=AD,

：./BAC+NDAB=ABAC+/EAC,即ZDAC=/EAB,

・・・在三角形LABD和MCE中，

AE=AC

<ADAC=/EAB

AB=AD

：.AACD♦AAEBlSAS)；

(2)•："CD知AEB,

：.ZDAC=/EAB,

・•・点4、F、C、E四点共圆，

ZCFE=/CAE,

•・・A4C£均为等边三角形，

ZCAE=60°,

.・・ZCFE=60°；

(3)由(2)点/、F、C、E四点共圆，点4、F、B、。四点共圆，

Z.ZFAC=ZFEC,

在\AFE中，

ZAEF+/CAE+NFAC+ZAFE=180。，

JZAEF+ZCAE+ZFEC+ZAFE=180。，

即ZAEC+/CAE+ZAFE=180。，

•：NAEC=NCAE=60。,

：.NAFE=180。一60°-60°=60°,

同理可得N/FD=60。，

ZEFC=ZBFD,ZEFC=60°,

ZBFD=60°,

ZAFD+NBFD=60°+60°=120°,

NAFE+/EFC=60°+60°=120°,

ZBFC=360°-120°-120°-120°,

/.ZAFB=ZBFC=ZAFC.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定与性质，四点共圆的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质,

解题的关键是熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想.

3.已知：如图，△4BC、都是等边三角形，40、2E相交于点。，点”、N分别是线段40、

的中点.

(1)求的度数；

(2)试判断△"NC的形状，并说明理由；

(3)连接。C,求证：OC是240E的平分线.

【答案】(D/DOE的度数是60。

(2)2\MNC是等边三角形，理由见解析

(3)见解析

【解析】

【分析】

(1)根据等边三角形的性质及角的和差关系可得利用SAS可证明

BCE,可得AD=8£,ZADC=ZBEC,利用角的和差关系及外角性质可得N/OE=120。，根据平角

定义即可得答案；

(2)根据全等三角形的性质可得NC4D=NCBE,AD=BE,AC=BC,根据中点的定义可得4河=

BN,利用SAS可证明△/CA/g/XBCN,可得CM=CN,NACM=NBCN,利用角的和差关系可得

/MCN=60。,即可证明△A/NC是等边三角形；

(3)连接OC,过C作CG，/。，垂足为G；过C作垂足为〃，根据全等三角形的性

质可得4D=BE,S^ACD=SABCE,即可得出CG=C〃，根据角平分线的判定定理即可得出结论.

(1)

■:丛ABC、△")后都是等边三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.NACD=NBCE,

AC=BC

在A4CD^QABCE中，,N/CD=ZBCE,

CD=CE

:.△ACD/ABCE,

：.AD=BE,ZADC=ZBEC,

•.•等边三角形DCE,

二ZCED=NCZ)E=60。，

二ZADE+ZBED=ZADC+ZCDE+ABED,

=NBEC+60°+ZBED,

=ZCED+60°,

=60°+60°,

=120°,

二ZAOE=120°,

：.ADOE=180°-ZAOE=60°.

(2)

△儿WC是等边三角形，理由如下：

,?4ACD咨ABCE,

：.ZCAD=ZCBE,AD=BE,AC=BC

:点”、N分别是线段4D、8E的中点，

：.AM^--AD,BN=yBE,

:.AM=BN,

AC=BC

在]ZCAM=ZCBN,

AM=BN

：.AACM小ABCN,

：.CM=CN,ZACM=ZBCN,

ZACB=60°,

：.ZACM+ZMCB=NBCN+NMCB=NACB=60。,

：.ZMCN=60°,

：.△儿WC是等边三角形.

(3)

连接OC,过C作CGL4D,垂足为G；过C作CH_L8E,垂足为H.

•:△ACD<ABCE,

:.AD=BE,S^ACAS^BCE,

：.-ADCG=l-BECH,

22

:.CG=CH,

'JCGLAD,CHLBE,

；.OC是//OE的平分线.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线

的判定定理，能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键.

4.如图，已知与△CE3都是等边三角形，BD、E4的延长线相交于点尸.

E

(1)求证：AACE^ADCB.

(2)求/尸的度数.

(3)若请直接写出线段所与线段8。、。尸之间的数量关系.

【答案】(1)见解析；(2)60°；(3)EF=BD+2DF.

【解析】

【分析】

(1)根据等边三角形的性质得到CB=CE,CD=CA,ZBCE=ZDCA=60°,由全等三角形的判定定

理即可得到结论；

(2)设BC与EF相交于G,根据全等三角形的性质得到Nl=/2,根据三角形的内角和即可得到

结论；

(3)根据垂直的定义得到/ADF=90。，求得/DAF=30。，根据直角三角形的性质得到AF=2DF,根

据全等三角形的性质得到AE=BD,于是得到结论.

【详解】

(1):△CAD与4CEB都是等边三角形，

；.CB=CE,CD=CA,/BCE=/DCA=60。，

.".ZBCD=ZECA,

/.△ACE^ADCB(SAS)；

(2)设BC与EF相交于G,

由(1)可知4ACEqZ\DCB,

：.Z1=Z2,

'：Z1+ZBGF+ZF=Z2+ZAGC+ZBCE=180°,

而/BGF=NAGC,

/.ZF=ZBCE=60°；

(3)EF=BD+2DF,理由如下：

VADXBD,

ZADF=90°,

NF=60。，

.•./DAF=30。，

；.AF=2DF,

AACE^ADCB,

；.AE=BD,

:.EF=AE+AF=BD+2DF

E

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是

解题的关键.

5.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作4ACD和aBCE,且

CA=CD,CB=CE,NACD=/BCE,直线AE与BD交于点F.

(1)如图1,证明：ZiACE丝ZkDCB；

(2)①如图1,若/ACD=60°,则/AFB=；

②如图2,若/ACD=a,则/AFB=；(用含a的式子表示)

(3)将图2中的4ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，

如图3,试探究/A7咕与a的数量关系，并予以证明.

【答案】(1)证明见解析；(2)120°,180°-p；(3)ZAFB=180°-a,证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)求出NACE=NDCB,根据SAS证出两三角形全等即可；

(2)根据全等三角形性质得出NAEC=NDBC,ZCDB=ZCAE,求出/EAB+/DBA=/ACD,Z

AFB=180°-(ZEAB+ZDBC),代入求出即可得出①②的结论；

(3)由“SAS”可证4ACE丝ADCB,可得NAEC=NDBC,由三角形内角和定理可求解.

【详解】

解：(1)证明：VZACD=ZBCE,

JNACD+NDCE=NBCE+NDCE,

・•・ZACE=ZDCB,

^△ACE和4DCB中

AC=CD

・：［/ACE=NDCB,

CE=CB

：.AACE^ADCB；

(2)©VZACD=60°,

・・・NCDB+NDBC=NACD=60。，

AACE^ADCB,

AZAEC=ZDBC,ZCDB=ZCAE,

ZCAE+ZDBC=60°,

JZAFB=180°-60°=120°

故答案为：120；

②当NACD=p时，ZAFB=180°-P，理由是：

ZACD=p,

・・・ZCDB+ZDBC=ZACD=p,

AACE^ADCB,

AZAEC=ZDBC,ZCDB=ZCAE,

,NCAE+NDBC邛，

.\ZAFB=180°-(ZCAE+ZDBC)=180°-P；

故答案为：180°-p.

(3)ZAFB=180°-a；

证明：VZACD=ZBCE=a,贝|NACD+NDCE=NBCE+NDCE,

即NACE=NDCB.

在4ACE和4DCB中，

AC=DC

・.•{NACE=ZDCB,

CE=CB

.'.△ACE^ADCB(SAS).

则NCBD=NCEA,

如下图,

VZFGE=ZCGB,

ZEFB=ZECB=a.

ZAFB=18O°-ZEFB=18O°-a.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识，本题还综合

了旋转的知识点，是一道综合性比较强的题.要熟练掌握全等三角形的判定和性质定理.

6.如图①，在等边AABC中，线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时，以CD为一

边在CD的下方作等边aCDE,连结BE.

(1)当点D在线段AM上时(如图①)，则ADBE(填“>”“〈”或“=")，ZCAM=_____度；

(2)当点D在线段AM的延长线上时(如图②)，直线BE与直线AM的交点为0,求/AOB的

度数；

(3)当动点D在线段AM的反向延长线上时，直线BE与直线AM的交点为0,试判断/A0B的

度数是否发生变化？若变化，请求出/AOB的度数，若不变，请说明理由.

【答案】(1)=;30；(2)60°；(3)不变，见解析

【解析】

【分析】

(1)根据SAS就可以得出aADCg/kBEC,贝ijAD=BE；根据等边三角形的性质可以直接得出N

CAM的度数；

(2)根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC,DC=EC,NACB=NDCE=60。，由等式的性质就

可以NBCE=NACD,根据SAS就可以得出aADC2△BEC,进而得到NAOB的度数；

(3)当点D在线段MA的延长线上时，如图3,通过得出4ACD之ABCE就可以得出结论.

【详解】

(1)・・・AABC与4DEC都是等边三角形，

.\AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

・•・ZACD+ZDCB=ZDCB+ZBCE,

ZACD=ZBCE.

'AC=BC

在AADC^OABEC中，＜^ACD=/BCE,

CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS),

・・・AD=BE；

AABC是等边三角形，

・•・ZBAC=60°.

•・•线段AM为BC边上的中线，

・•・ZCAM=-ZBAC,

2

AZCAM=3O°,

故答案为：=,30；

(2):△ABC和ACDE都是等边三角形，

AAC=BC,DC=EC,ZACB=ZDCE=60°,

ZACD=ZACB+ZDCB,ZBCE=ZDCE+ZDCB,

・・・NACD=NBCE,

AAACD^ABCE(SAS)

AZCAD=ZCBE,

ZAMC=ZBMO,

・•・ZAOB=ZACB=60°；

(3)不变，理由如下：

•・,点D在线段MA的延长线上,

AAC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

・•・NACD+NACE=NBCE+NACE=60。，

・•・ZACD=ZBCE,

'AC=BC

^△ACD和ABCE中，＜/4CD=/BCE,

CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS),

.\ZCBE=ZCAD,

同理可得：ZCAM=30°,

.,.ZCBE=ZCAD=150°,

AZCBO=30°,ZBAM=30°,

・・・ZBOA=90°-30°=60°.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的

判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

7.已知点。为线段48上一点，分别以4C、3。为边在线段48同侧作△ZCZ)和△3CE,且

AC=DC,CB=CE,ZACD=ABCE,直线与交于点尸.

(1)如图①，试说明：^ACE^DCB；

(2)如图①，若N/C£>=60。，则/47必=°；如图②，若N/C£>=90。，则乙4FB:

°；如图③，若N/CD=120。，则/47必=°；

(3)如图④，若N/CO=a,求乙小B的值(用含々的代数式表示)；

(4)若/、B、C三点不在同一直线上，线段NC与线段3c交于点C(交点厂至少在3。、4E中

的一条线)，如图⑤，若乙4C£>=a,试判断N4EB与1的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)120,90,60；(3)180°-a；(4)ZAFB=l80°-a,见解析

【解析】

【分析】

(1)求出N/CE=/Z)C8,根据MS证出两三角形全等即可；

(2)根据全等三角形性质得出N/EC=NZ)8C,ZCDB=ZCAE,求出/EAB+NDBA=N/CD,Z

AFB=lS0°-(NEAB+/DBC),代入求出即可；

(3)根据全等三角形的性质、三角形的内角和与三角形的外角性质求出即可.

(4)知道=得至Ij//CE=/DCS,证明MCE=ADCB(S/S)即可求解.

【详解】

解：⑴ZACD=ZBCE,

ZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE,

NACE=ZDCB,

在A4CE■和ADC3中，

AC=DC

<ZACE=NDCB,

CE=CB

AACE=NDCB{SAS),

⑵解：VZACD=60°,

：.ZCDB+ZDBC=ZACD=60°,

■:AACE/ADCB,

：.ZAEC=ZDBC,ZCDB=ZCAE,

：.ZCAE+ZDBC=60°,

：.//尸8=180°-60°=120°；

当//CD=90。时，

ZACD=90°,

：.ZCDB+ZDBC=ZA0)=90°,

■:4ACE/LDCB,

：.ZAEC=ZDBC,NCDB=NCAE,

：.ZCAE+ZDBC=90°,

：.Z^FB=180o-90°=90°；

同理：N/CD=120。时

ZAFB=60°

故答案为：120,90,60

(3)由(1)可知A4CE三ADCS,

NCAE=NCDB,

NAFB=ZCDB+ZCDA+ZDAE=ZCDA+NDAE+NBAE=ZCDA+ZDAC=180。-N4CZ>=180°-a

故答案为：180。-。

(4)ZAFB=lS00-a,

理由如下：ZACD=ZBCE,

NACD+NDCE=NBCE+NDCE,

NACE=ZDCB,

在A4CE1和ADC2中，

ZC=DC

<ZACE=ZDCB,

CE=CB

NACE=NDCB(SAS),

NAEC=ZDBC,

ZAFB=ZAEC+ZCEB+ZEBD=ZDBC+ZDBE+ZEBC=ZCEB+NEBC=180°-NECB=180°-«

即180°-a.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解此题的关键是

找出已知量和未知量之间的关系.

8.(1)发现：如图1,点/为线段2C外一动点，且2C=a,AB=b.当点/位于时，线段

NC的长取得最大值，最大值为.(用含a,6的式子表示)

(2)应用点/为线段2C外一动点，且BC=3,AB=\.如图2所示，分别以48,/C为边，作等

边人43。和等边A4CE,连接CD,BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出BE长的最大值.

图1图2

【答案】(1)C2的延长线，a+b；(2)①DC=BE,理由见解析；②4；

(1)根据点/位于C8的延长线上时，线段NC的长取得最大值，即可得到结论；

(2)①根据等边三角形的性质得到AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,推出△C4D丝△E48,

根据全等三角形的性质得到CD=3E;②由于线段2E长的最大值=线段CD的最大值，根据(1)中

的结论即可得到结果；

【详解】

解：⑴由题意可知，当点/位于C8的延长线上时，线段4c的长取得最大值，且最大值为

AB+BC,即a+b,

故答案为：C2的延长线，a+b；

(2)①DC=BE,理由如下：

AABD与AACE都是等边三角形，

：.AD=AB,AC=AE,NBAD=/CAE=6Q°,

：.ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即

在4C4D与AE4B中，

AD=AB

<ADAC=/.BAE,

AC=AE

:ACADqAEAB(SAS),

：.DC=BE-,

②线段长的最大值是4,

由(1)得，点。在C5的延长线上时，C。最大，最大值为。8+5C=48+8C=4,

,:△CADEAEAB,

：.DC=BE,

线段BE长的最大值为4.

9.如图所示，已知3(-2,0),C(2,0),/为y轴正半轴上的一点，点。为第二象限一动点,

点£在的延长线上，CD交AB于点、F,且NBDC=NB4C.

(1)求证：ZABD^ZACD；

(2)求证：4D平分NCDE；

(3)若在。点运动的过程中，始终有DC=D4+DB,在此过程中，/B/C的度数是否发生变化？如

果变化，请说明理由；如果不变，请求出/A4c的度数.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

(3)ZBAC=60°,理由见解析

【解析】

【分析】

(1)根据/3。。=/5/。，ZDFB=ZAFC,再结合

/FC=180。，即可得出结论.

(2)过点4作⑷/_LCD于点跖作ANLBE于点、N.运用“44S，证明△/CM0A48N得根

据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；

(3)运用截长法在CD上截取CP=8O,连接/P.证明得A4DP为等边三角形，从而求

/A4c的度数.

(1)

证明：ZBDC=ZBAC,ZDFB=ZAFC,

又ZABD+ZBDC+ZDFB=/BAC+//CD+ZAFC=180°,

ZABD=ZACD；

⑵

证明：过点/作/〃_1。。于点211,作4'/_13£1于点乂如下图所示:

,?OB=OC,OA±BC,

：.AB=AC,

由(1)可知：ZABD=ZACD,

：.△/CM/小ABN(AAS)

：.AM=AN.

:.DA平分NCDE.(角的两边距离相等的点在角的平分线上);

(3)

解：NH4C的度数为60。，理由如下：

在CD上截取CP=AD,连接4P,如下图所示：

：.AD=PD.

'：AB=AC,ZABD=ZACD,BD=CP,

：.AABD^AACP(SAS),

：.AD=AP,ZBAD=ZCAP,

：.AD=AP=PD,即A4DP是等边三角形，

/.ZDAP=60°.

：.ZBAC=ZBAP+ZCAP=ZBAP+ZBAD=60°.

【点睛】

此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综

合性较强.

10.如图1,点M为锐角三角形NBC内任意一点，连接以为一边向外作等边三

角形△N8E,将现/绕点8逆时针旋转60。得到8N,连接EN.

（1）求证：AAMBdENB；

（2）若/M+®0+CW的值最小，则称点M为A48c的费马点.若点M为A/BC的费马点，求此

时ZAMB,NBMC/CMA的度数；

（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明

作法以及理由.

【答案】（1）见解析；（2）NBMC=120。：N/MS=120。；Z^MC=120°；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）结合等边三角形的性质，根据&4s可证△NMBgZXENB

（2）连接MN,由（1）的结论证明A8MN为等边三角形，所以BM=MN,即

AM+BM+CM=EN+MN+CM,所以当£、N、M、C四点共线时，/M+8M+CM的值最小，从而可求

此时N/M5、/BMC、NCMA的度数；

（3）根据（2）中费马点的定义，又的费马点在线段EC上，同理也在线段3尸上，因此线

段EC和BF的交点即为MBC的费马点.

【详解】

解：（1）证明：’.•△/BE为等边三角形，

AB=BE,NABE=60°.

而44BSV=60°,

二NABM=ZEBN.

在AAMB与AENB中,

E

A

B

01

AB=BE

</ABM=ZEBN

BM=BN

:.AAMB”AENB%AS）.

（2）连接M2V.由（1）知，AM=EN.

,/ZMBN=60°,BM=BN,

△HVW为等边三角形.

：.BM=MN.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

...当E、N、M、C四点共线时，NM+BM+CM的值最小.

此时，ZBMC=180°-ZNMB=120°：ZAMB=ZENB=180°-ZBNM=120°；

ZAMC=360°-/BMC-NAMB=120°.

（3）如图2,分别以的42,4C为一边向外作等边和等边A/C尸，连接CE,AF,相

交于M则点M即为A48C的费马点，由（2）知，“BC的费马点在线段EC上，同理也在线段时

上.因此线段EC与3尸的交点即为A/8C的费马点.

（方法不唯一，正确即可）

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关

键.

11.已知：A43C与都是等腰三角形.BA=BC,BD=BE(AB>BD)且有N/BC=N

DBE.

图1图2图3

(1)如图1,如果/、B、。在一直线上，且N/8C=60。，求证：是等边三角形；

(2)在第(1)问的情况下，直线/£和C。的夹角是°；

(3)如图2,若N、B、。不在一直线上，但N/8C=60。的条件不变则直线/£和CD的夹角

是°;

(4)如图3,若N/C2=60。，直线/E和CD的夹角是°.

【答案】(1)证明见解析；(2)60；(3)60；(4)60；

【解析】

【分析】

(1)根据题意，得/ABC=NDBE=60。,从而得N4BE=NDBC；通过证明A/BEGACB。，得

ZBAE=ZBCD；通过证明AA4M^ABCN,得BM=BN,根据等边三角形的性质分析，即可完成

证明；

(2)结合题意，通过证明A48c为等边三角形，得NB4C=NBQ4=6Q°；结合(1)的结论，根据

三角形外角性质，推导得4OD=120。，从而完成求解；

(3)同理，通过证明为等边三角形，得NB4C=NBC4=6Q。；通过证明，得

ZBAE=ZBCD；根据三角形外角性质，推导得乙400=120。，从而完成求解；

(4)根据题意，通过证明A/8C为等边三角形，推导得ZABE=/CBD,通过证明A/BEGACB。，

得NBAE=NBCD,结合三角形外角的性质计算，即可得到答案.

【详解】

(1)•:/ABC=/DBE=60。

：.AMBN=180O-ZABC-ADBE=60°,ZABE=ZABC+ZMBN,ZDBC=ZDBE+AMBN

：.ZABE=ZDBC

♦：BA=BC,BD=BE

△/BE和△CBD中

'BA=BC

<NABE=NDBC

BE=BD

：.小ABE为CBD

：./BAE=/BCD

△BAM和ABCN中

'NBAE=/BCD

<AB=BC

/ABC=NMBN=60。

：.小BAM咨小BCN

：.BM=BN

・・・△的W为等边三角形；

(2)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

・・・为等边三角形；

・•.ABAC=ABCA=60°

根据题意，AE和CD相交于点O

・・,/BAE=/BCD

：.ZAOD=ZOAC+ZACO=ZOAC+ZBCA+/BCD=ZOAC+ZBCA+/BAE

,：/OAC+/BAE=/BAC

：.ZAOD=NBAC+NBCA=120°

・・・ZAOC=180°-ZAOD=60°,即直线和CO的夹角是60°

故答案为：60；

(3)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

・・・△/BC为等边三角形；

ZBAC=ZBCA=60°

,:/ABE=/ABC+/MBN,ZDBC=ZDBE+AMBN,/ABC=NDBE=60。

：.ZABE=ZDBC

•:BA=BC,BD=BE

KABE和KBD中

BA=BC

<