高中数学复习：设点设线技巧之设线技巧归纳总结（解析版）

第14讲设点设线技巧之设线技巧归纳总结

参考答案与试题解析

解答题(共16小题)

1.C(-1,0)(1,0),

已知椭圆的两个焦点分别为片、耳短轴的两个端点分别是耳、B2.

(1)若△片百鸟为等边三角形，求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F?的直线/与椭圆C相交于P、。两点，且以尸。为直

径的圆经过点耳，求直线/的方程.

【解答】解:(1)•.•椭圆C的两个焦点分别为片(-1,0)、7^(1,0),

△64

短轴的两个端点分别是为、B2,与为等边三角形，

a=2b

<c=\，解得a2=—,b2=—,

a2=b2+c2J3J3

22

椭圆c的标准方程为匕+?=1•

33

(2)•.•椭圆C的短轴长为2,椭圆C的两个焦点分别为£(-1,0)、6(1,0),

椭圆C的标准方程为]+丁=1,

过点名(1,0)直线/与椭圆C相交于「、。两点，且以PQ为直径的圆经过点月，

.♦.当直线/的斜率上不存在时，直线/为x=l,此时以PQ为直径的圆不经过点耳，不成立;

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=^(x-l).

y=k(x-l)

由,尤2,得(2F+l)f—4Fx+2(%2-l)=0.

——+y2=1

I2-

设PG，%),Q(X2,%)，则

4k22(公-1)

…=g’书=『？’

即=(芯+1,%)，F\Q=(x2+l,%)，

•.•过点与的直线/与椭圆C相交于P、。两点，且以P。为直径的圆经过点月,

:.F\P±F\Q,帝丽=0,

=XX

；.(占+1)(%+1)+%%l2+(司+尤2)+1+%“玉一1)(无2—1)

=(k~+1)&％—[k~-1)(无1+无2)+左一+1

=与口=0,解得公=L即A=±也.

2/+177

故直线/的方程为x+，y-l=O或x-\/7y-l=0.

2.已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(I)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(II)己知点2(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点尸，Q,若无轴是

NPBQ的角平分线，证明直线过定点.

【解答】解：(I)设圆心C(无，y)(xwO),过点C作CELy轴,垂足为E,则|"E|=g|MN|,

CA『=|CM|2=|ME|2+1£C|2,

(x-4)2+y2=42+x2,化为y2=8x.

当x=0时，也满足上式.

.♦.动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8%.

(II)设尸(为,%),Q(X2,y2)

由题意可知％+%看0，<。寸=8%，yf=8X2.

x轴是ZPBQ的角平分线，kPB=-kQB,

.•.工=一^^,=化为8+%丫2=0・

玉+1N+12L+IA+I

88

直线PQ的方程为y-％=五=(尤-占)，

x2

,一%=4一冬(x-%)，化为y-%=--—(X-a)

88

化为y(y2+%)-%(必+%)=8尤-y；，

+%)+8=8x，令y=。，则％=1,

/.直线尸Q过定点(1,0)

3.设椭圆5+3=3”>0)的左焦点为人上顶点为反已知椭圆的短轴长为4,离心

率为好.

5

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N(O,-1)

且为原点)，求直线尸8的斜率.

【解答】解：(1)设椭圆的半焦距为c,

依题意，26=4,£=正，

a5

又片=从+,可得〃=^5,b=29c=lf

22

所以，椭圆的方程为土+匕=1.

54

(2)由题意，设尸(巧.，力)(4/0),M(XM,0),

设直线PB的斜率为k(k*0),

又3(0,2),则直线PB的方程为y=fcc+2,

y=kx+2,

与椭圆方程联立*j2整理得(4+5。尤2+20日=0,

[54

—r/曰20k)7c用8—IO%?

可侍奉=一石/'代入>="+2信下豆F'

进而直线OP的斜率"=上也，

xp—10左

在丁二区+2中，令y=0,得"=一・,即N(0,-L),

k

所以直线MN的斜率为-A,

2

由OPJL跖V,得士生•(一勺=一1,化简得公=*,

-10左25

UH,,2屈

从而k=±-------.

5

所以，直线PB的斜率为名包或-冬囱.

55

2

4.已知椭圆G：(+/=1,抛物线C2：y2=2P无(p>0),点4-1,0),斜率为％的直线交

抛物线于3、C两点，且衣=工丽，经过点C的斜率为-工左的直线4与椭圆相交于P、Q

22

两点.

(1)若抛物线的准线经过点A,求抛物线的标准方程和焦点坐标：

(2)是否存在p,使得四边形AP8Q的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及0

的值；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)抛物线的准线方

程x=-£,焦点坐标(4,0),

22

则一勺-l,p=2,抛物线的标准

方程为>2=4x,焦点(1,0).

(2)设8(王，凶)，C(x2,y2),

尸(九3，%)，。(%4，%)，

由阳=!行，得点4-1,0)在直

2

1

不乂1

线4上，且=

1+-'

2

且四边形的面积

3

S=3S^PQ=-\PQ\d.

k

4:^=^(x+l),/2:y=--(x-x3)+y3

f

由['Ui，得

[y=2px

y2-^-y+2p=0,

则^=年一8P>0,S<K,

k22

2p小

%+y?=丁,=2。，

k

因为必=3%,所以

23公

=­p,x=/[.eg，%)水J3Pn-乂

2『一五2

由4,/2的斜率分别为左,-2左，由

2

图知4必过点(3,0),

k

可设12:y=-—(x-3),且

3

故直线(尤-3),令

8

8

t=----,

3%

则直线4：x=<y+3,代入椭圆方

2

程+f=1，

2

得(1+2/)y2+12)+16=0,

1々2八n12t16

△=16(-4)+M"E'%%=E

|PQI=b-l%i1=中•单卫

点A到4的距离d=+----，

y11+t2

四边形的面积

当且仅当产=f,p=工时，面积

251

最大为2叵.

22

5.已知椭圆C:5+当=l(a>6>0)过点尸(&.1),左右焦点分别为不F,,且线段尸片与

ab,

y轴的交点。恰好为线段尸£的中点，O为坐标原点.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)与直线产月的斜率相同的直线/与椭圆C相交于A,3两点，求当AAO3的面积最大时

直线/的方程.

【解答】解：(1)由椭圆过点尸(后,1),则iv=1,①

连接P6,由Q为线段尸£的中点，。为线段片巴的中点,

则产乙上月乙，贝Uc=也,

由/-/=2,②

由①②得。=2,b=s/2,

则椭圆的离心率e=£=正;

a2

(2)由(1)椭圆C与方程=+其=1,直线/的斜率左=%"=)=交,

42为居|2亚4

不妨设直线/的方程>=/彳+加，设4匹，%)，B(X2,y2),

y=—x+m_

4,整理得：-x2+^nx+2(m2-2)=0,

W4

I42

贝1|4=2机2-10(加2-2)=20-8〃?2>0,解得：|山|<叵，

2

8(加2—2)

92=---

.•.IAB\=ViT旦/(%+%)2-4%%=^^32m2-l?m2-2),

由。到AB的距离7=*力，

716+2

则MOB的面积

S.2xVR8尸V手5三舞V16+”25x声…,当5三2

当且仅当2/=5-2小时，取等号，即〃?=±@,

2

则直线/的方程＞=去士亭

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/:,=丘+机与椭圆。交于P,。两点（不同于点A）,记直线PA,QA的斜率分

别为《，k2,试判断是否存在定值%,使当机变化时堆2=t总成立？若存在，求出发的值;

若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为心,

2

又过点4（交“』），所以琴+3=1,解得从=2,

2ab

由①可得/=8,

22

所以椭圆C的标准方程为工+匕=1

82

（2）由（1）可知，点4（2,1）,设尸（王，％）,Q（X2,y2）,

（x2y2.

联立方程组,82，可得（1+4女2）炉+8的u+4/-8=0,

y=kx+m

8km4m2-8

所以石+x——

24/+14^2+l

2m

所以％+%=k(%+x)+2m=

24k2+1

m22

2-8k

yy=k2司%2+km5+%2)+m=

x24k2+1

因为勺&=:,所以%-1%-1

X]—2w—24

整理可得，4yly2-4（%+%）=占9-2（西+马），

m2-8k22mArn2-88km、

所以4x-4x------------2x（z——--）,

4k2+14k2+148+1----------4/+1

化简整理可得，4k2+2km+m-1=0,

解得左或左=j,

22

若左=与多，则y=_!x+7〃过点42,1）,则尸，。与点A重合，不符合题意，

所以左=——,

2

故存在定值k=--,使当m变化时k、b=1总成立.

21-4

X2V23—1

7.如图，已知椭圆。:=+斗=1（a＞匕＞0）经过点尸（1二），禺心率e=L

cib22

（I）求椭圆c的标准方程；

（II）设筋是经过右焦点F的任一弦（不经过点尸），直线至与直线/:X=4相交于点M,

记R4,PB,尸”的斜率分别为《，k2,k3,求证：区,k3,网成等差数列.

【解答】解：（I）由点尸（1=）在椭圆上得，3+"y=l①又e」,所以色」②

2储4b22a2

由①②得。2=1,/=4,b-=3,

22

故椭圆C的标准方程为L+二=1….（4分）

43

（II）证明：椭圆右焦点坐标尸（1,0）,显然直线AB斜率存在，

设AB的斜率为左，则直线AB的方程为丫=以尤-1）③....（5分）

22

代入椭圆方程上+匕=1,

43

2

整理得（4左2+3）x-Wx+4a2_3）=0….（6分）

设A(%i,%)，B(X2,%),

8左24(公-3)

则有％+z=④….(7分)

止+3

yl—y2—女—[

在方程③中，令龙=4得，A/(4,3k)，从而k]=...-,k=-----，k=------=k—,....(9

233

Xj-lx2-l4-12

分）

又因为A、F、3共线，则有左=七万=凝一

即有上=。^=左，

玉一1起一1

_3_3

'-5%―5M%311

所以勺+左2=---+-----=-^―+—-----(----+-----)

%1-1x2-1演一1x2-12为一1x2-1

=2k--二2_⑤

2-(%+%2)+1

8-2

将④代入⑤得勺+公=2左一』---,4,+3_----=2k-l,...(12分)

24(丁-3)8左2

4F+3-4F+3+

又k、=k-\,

32

所以左+右=2&,即尢，月，履成等差数列....（13分）

8.已知椭圆与+^=1（。>6>0）的左焦点为尸（-G0）,离心率为且，点M在椭圆上，直

ab3

线FM的斜率为更，直线被圆元2+9=1截得的线段的长为C.

32

（1）求椭圆的方程;

（2）设动点P在椭圆上，若直线EP的斜率大于应，求直线OP（。为原点）的斜率的取值

范围.

【解答】解：（1）由已知有U二=上1,又4=匕2+。2,可得/=3°2,廿=2/

a23

设直线R0的方程为y=［（x+c）,由圆心到直线E0的距离公式可得

22

故所求的椭圆方程为Z+匕=1;

32

(2)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为EP:y=r(x+l)(xw-l)

>二心+1)I2

联立*2消去y整理2f+3产(x+l)2=6=r=J,>&,

——+—=1V3(x+1)

(32

3

可解得一一<x<-l^-l<x<0.

2

再设直线OP的斜率为m,=>m=—,y=mx{x0),

x

y=iwc

再联立f/n府=3,

一+匕=1X23

[32

3

①当一耳<X<—1时，y=t(x+l)<0^>m>0^Cm=

二得me(-8,-拽)

②当一l<x<0时，y=r(x+l)<0=>〃z<0故根=-

x233

综上直线OP的斜率m的取值范围me(-00,-

9.已知抛物线「丁2=22氏(2〉0)的焦点为尸，P是抛物线「上一点，且在第一象限，满足

丽=(2,2币)

(1)求抛物线「的方程；

(2)已知经过点A(3,-2)的直线交抛物线「于M,N两点，经过定点8(3,-6)和M的直线

与抛物线r交于另一点L,问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明

理由.

【解答】解:⑴由抛物线的方程可得焦点，0),满足丽=(2,2也)的P的坐标为(2+-|,

2石)，尸在抛物线上，

所以(2后y=2p(2+^),即/+4p-12=0,p>0,解得p=2,所以抛物线的方程为:

>2=4x；

(2)设MO。，%),N(w,%),L(X2,%),则y；=4X],货=4々，

直线MN的斜率kMN===。2=」一,

入一/Mf乂+%

4

则直线相V的方程为：y-%=^^（x-应），即y=4x+型1①,

%+%4%+%

同理可得直线ML的方程整理可得y=4*+二为②,

%+%

12+%%

将43,-2）,2（3,-6）分别代入①，②的方程可得,消%可得乂%=12,

6二12+相2

%+%

4

易知直线kNL=——,则直线NL的方程为:y-7i=------

日口4y,y,,412

即>=------%+»22,故>=------x+------

4

所以y=------(x+3)，

因此直线NL恒过定点(-3,0).

10.设直线I与抛物线I/=4x相交于不同两点A>B,与圆O-5>+〉o）相切于

点M,且M为线段AB的中点.

（1）若AAO6是正三角形（。为坐标原点），求此三角形的边长；

（2）若〃=4,求直线/的方程；

（3）试对厂£（0,y）进行讨论，请你写出符合条件的直线/的条数（只需直接写出结果）

【解答】解：（1）设AAO5的边长为。，

则A（^^Q,土;〃），，亍=4•日〃，〃=86；

（2）设直线/:%=妙+.,

左=0时，x=1,%=9符合题意；

左w0时，方程联立可得/一46一4人=0,设A（玉，y）,B（x2,%），

贝!jy+%=4左，xi+x2=4k2+2b,

.\M（2k2+b,2k）,

kAB.kOM=-1，

.72k7

——------=-k,

OM2k2+b-5

:.b=3-2k2,

.•.△=16(严+6)>0,:.0<k2<3,

•.-4=r=I：*=2^Ji+k2,

Jl+%2

.•"2=34(0,3),舍去,

综上所述，直线/的方程为x=l,x=9；

(3)2＜厂＜4时，直线/有4条;

re(0,2]J[4,5)时,2条;

re[5,+oo),1条.

22

11.如图，已知椭圆C:1y+方=l(a＞6＞0)与圆。2+y2-y_2=0在第一象限相交于点

P,椭圆C的左、右焦点耳，尸?都在圆E上，且线段期为圆E的直径.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线/与椭圆C相交于A,8两点，且直线/与y轴相交于。点，"为线段钻的

中点，O为坐标原点，若次八两=1,求的最大值.

【解答】解：(1)圆石:一+产一＞一2=0的圆心为E(0,g),半径为g,

由题意可得|P£|=3,F2FXLPF2,

由中位线定理可得|OE|=g|PBI=g，即1尸乙1=1，

由椭圆的定义可得2a=|尸片|+|尸耳|=4,即a=2,

又|K耳F=|P4|2,

即为4c2=9—1=8,解答c=A/2,b=y/a2—c2=5/2,

22

则椭圆方程为上+匕=1;

42

(2)设直线/的方程为y=^+f,代入椭圆方程£+2/-4=0,

可得(1+2k2)炉+4依+2〃—4=0,

设A(玉，％),B(X2,%),可得：

4kt2t2—4

X,+-----------，XX,=~，

1-1+2左2-1+2左2

由中点坐标公式可得M(--三，」^)，

1+2左21+2左2

*-1

0(0/),由南•两=1,可得1+2左2=/，即左2=----

2

即有M的坐标为(-D三k，。1，

tt

1+4V

\OM|=

又|AB|=J1+左2•J(X]+x2)2_4为丁=J1+左2-、p6)'-8'2I〉

当［=1,即r=±应，左=±1时，取得最大值2、？=3.

t22V4

22a

12.已知椭圆C:=+七=1（。>6>0）的左、右焦点分别为片，F,,椭圆上一点尸（1，）与椭

ab2

圆右焦点的连线垂直于X轴.

（1）求椭圆C的方程；

（2）与抛物线V=4x相切于第一象限的直线人与椭圆C交于A,6两点，与x轴交于点

M,线段他的垂直平分线与y轴交于点N,求直线MN斜率的最小值.

【解答】解：（1）•.•点尸（1卷）与椭圆右焦点的连线垂直于X轴,

19

:.c=l,将P点坐标代入椭圆方程可得=1,

又/一加=1,联立可解得.2=4,加=3,

22

,椭圆C的方程为三+匕=1；

43

(2)设切点坐标为3-,%)(%>0),则/：y-%=工~(元-

4%

整理，得/：y=2x+&.

为2

,0），设A（玉，%），B（X2，y2），

2

y=——x+%

216

联立%,可得(3+f%2+8x+%2—12=0,

x2y2%,

——+—=1

143

-12%4+144%2+768

>0.

x+X-—8%2_%4T2y。2

占2_藐辛?也一3y；+i6

，-y3

A5的中点坐标为(-,2,°_),

3y0+163年+16

13

4一弓%

二.AB的垂直平分线方程为y-一y）,令x=0,得丫=-----

3靖+1623端+163%+16

13

k-2%

即N(0，a2,IA)'MN

3%+163年+16

%>°，kMN=亨。=-2…一色当且仅当为=勺叵时取得等号.

3年+163%+3123

0%

直线MN的斜率的最小值为-2.

12

13.已知圆C的圆心C在直线y=x+2上，且与直线x+2y-8=0相切于点（2,3）.

（1）求圆C的方程；

（2）过点尸（4,0）的直线/与圆C交于A,3两点，线段的中点为M,直线/与直线

乙：尤-5y-3=0的交点为N.判断1aMi・|PN|是否为定值.若是，求出这个定值，若不是,

说明理由.

【解答】解：(1)设过点(2,3)且与直线x+2y-8=0垂直的直线为2x-y+〃=0,

则2x2—3+〃=0,解得〃=一1,BP2x-y-l=0,

由|『+2°,解得卜:，即圆心坐标为C(3,5),

\2x-y-1=0=5

所以半径r="3-2)2+(5-3)2=6,

所以圆的方程为0-3)2+(y-5)2=5.

(2)当直线的斜率存在时，设过点尸(4,0)的直线/为y=4),

所以,消去y得(1+左2)f一(6+8左？+10幻工+(29+16无2+40左)=0,

[(x-3)+(j-5)-=5

6+8左白+10左29+16/+40左

设A(%,%)、B(x?,y),则玉+无2=

2―1+P1+1?

urn,,10匕_2k,rVi+,上.,,3+4k~+5k5k~—k

所以X+%=k"+x)-Sok=--------j-,所以AB11的l中点M(----------j——，----7)，

21十KJ.十KL十K

_20^-3

由上=小-4)解得即双(空匕k

)，

lx-5y-3=0k5左-15k-l

Lv=------

2

/5^-l25F-^2.51)2|PN|=J(—'—>+(—^)21+k

所以I尸M1=2)(1+F)

Tl+kVi+k2V5k-l5k-l(51)2

1+k2k5左-

所以|PM「PN|=

(51)2V1+k2

当直线的斜率不存在时，直线/的方程为x=4,

x=4x=4

由d)2+25)2=5'解得a或

)=3y=7'

即4(4,3)、3(4,7),所以"(4,5),所以1PMi=5,

x=4

二；』。解得，即

又1N(4,J),

y=M5

所以|PN|=g,所以|PM|-|PN|=1,

综上可得|PM|-|PN|=1.

14.下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习,

请你思考后，将答案补充完整.

2

⑴圆。:/+V=户上点”(/0,%)处的切线方程为—y0y+xQx=r—.理由如下:.

22

⑵椭圆1+多力。，/^(^上一点。。，%)处的切线方程为辫+驾1=1;

abab

(3)P(私〃)是椭圆V=1外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,

如图，则直线的方程是.这是因为在4(%，%),3(尤2，%)两点处，椭圆工的切

线方程为等+yy=l和管+y2y=1.两切线都过尸点，所以得到了当+yxn=1和

罟+为〃=1,由这两个“同构方程”得到了直线AB的方程；

(4)问题(3)中两切线E4,PB斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为y-〃二女(4-加)，

,[y—n=k(x—m),=00

由<,1#(1+3A:2)x2+6k(n—ktn)x+3(n-km)0—3=0,

[x+3y=3

化简得△=()得(3—m2)炉+2加成+i一〃2=o.

若丛，P3,则由这个方程可知尸点一定在一个圆上，这个圆的方程为—.

(5)抛物线丁=2px(p>0)上一点(%,%)处的切线方程为=p(%o+%)；

(6)抛物线=4y,过焦点厂的直线/与抛物线相交于A,5两点，分别过点A,3作

抛物线的两条切线4和4，设A(玉，y),B(X2,y2),则直线乙的方程为不％=2(%+y).直

线/2的方程为x2x=2(%+>)，设4和12相交于点M.则①点M在以线段AB为直径的圆上；

②点〃在抛物线。的准线上.

【解答】解：(1)圆。：％2+、2=产上点“(％,为)处的切线方程为+/.

理由如下：

k.koM=-1

①若切线的斜率存在，设切线的斜率为3则7%，

kOM=一

I/

所以左=—五，

%

又过点Af(%o，%)，

由点斜式可得，y-%=-血(%-%),

%

2

化简可得，%y+xox=x0+年，

又其+为2=户,

所以切线的方程为为y+xox=/；

②若切线的斜率不存在，则M(土厂,0),

此时切线方程为％=±r.

综上所述，圆。:炉+产=/上点M5,%)处的切线方程为先丁+%%=户.

(3)在A(F，弘)，B(X2,%)两点处，椭圆L的切线方程为当=1和+y2y=1，

因为两切线都过尸点(八〃)，

所以得到了号+用2=1和笠+%〃=1,

由这两个“同构方程”得到了直线钻的方程为g+行=1；

(4)问题(3)中两切线PA,PB斜率都存在时,设它们方程的统一表达式为y-n=k{x-ni),

由['2n?",可得(1+3左尤2+6左(〃一切2)x+3(〃-加/一3=0,

[X+3y=3

由△=(),可得(3-疗)女之+2相成+1—〃之=0(*),

因为B4_LPB,

则kpA,kpB-—1，

所以(*)式中关于k的二次方程有两个解且其乘积为-1,

l-2

则匕=--丁n=-1,

3-m

可得机2+/=4,

所以圆的半径为2,且过原点，其方程为炉+9=4.

故答案为：(1)+理由见解析；

(3)+ny=l；

(4)x1+y2=4.

22

15.如图1,在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为亍+三"=1,A,3为椭圆的左右

顶点，耳、居是左、右焦点.

(1)已知椭圆内有一点P(1,T)，在椭圆上有一动点M，则求|回尸|+|班|的最大值和最

小值分别是多少？

(2)如图1,若直线/经过点3且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线

"交/于点设过点M垂直于PB的直线为机.求证：直线机过定点，并求出定点的坐

标.

(3)如图2,若直线/过左焦点耳交椭圆于A,3两点，直线M4,MB分别交直线尤=T

于C,D两点，求证：以线段CD为直径的圆恒过两个定点.

(4)如图3,若M,N是椭圆E上关于原点对称的两点，点P是椭圆上除N外的任

意一点，当直线PM,的斜率都存在，并记为心”•即N为定值.

(5)如图4,若动直线=+与椭圆E有且只有一个公共点，点Af,N是直线/上的

两点，且片F2N1l,求四边形月脑明面积S的最大值.

(6)如图5,若过点F?且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P,。两点.试探究：线段。居上

是否存在点M(利0)使得加•砺=而•而，若存在，求出实数机的取值范围，若不存在，

说明理由.

(7)如图6,若点P为抛物线。:产=4X上的动点，设。为坐标原点，是否存在同时满足

下列两个条件的AAPM?①点M在椭圆C上；②点。为AAPM的重心，若存在，求出点P

的坐标，若不存在，说明理由.

点，如图所示

22

—+—=1中，々=2,b=6，

43

:.c=>Ja2-b2=1,可得g(1,0),月(-1,0).

由椭圆的定义，得|%|+|峥|=2.=4,

:\MP\+\MF21=|MP|+(4-1Af片［)=4+(\MP\-\MFt|)

由平面几何知识，得尸耳|别|\PF{\,

，当M与必重合时，|闻「|-|峥|达到最大值|「£|;当以与重合时，|“?|-|班|达

到最小值—|尸£|.

由|明|="(1+1)2+(一1一0)2=万,可得|MP|_|M£|的最大值为石，最小值为一如.

」.|MP|+|叫|=4+(|MP|L|)的取值范围为［4一占，4+75］.

(2)设A(-2,0),3(2,0),设尸(占，%)(%*0),M(2,y0),

则勺=泗，k2=^~

4~百+2

■「A,P,"三点共线，=得%=且」，

4%+2玉+2

设直线BP的斜率为匕=,直线m的斜率为km=匕，

%-2%

则直线用的方程为y-%=2z2a_2),

X

2-再2(2-%)4%2-％2(%；4)+4y；2—玉2(X；4)+12—3%；

My玉+2y(玉+2)%%(%1+2)%

2一玉2—x,2—x,

=------Lx+-------=------(x+1),

%X%

即〉="五a+1).

%

所以直线，"过定点(-1,0).

(3)证明：设A(玉，％),B(X2,%)，AB.x=my-1,

22

代入椭圆方程工+匕=1,整理，得(3疗+4)y2-6my-9=0,

43

6m

-9

3m+4

•.•MC:y=』一(尤-2),J.yc

玉一2玉一2

.r36yly236—%

,,九如一(占一2)(%—2)一(my.-3)(mj2-3)

_______36yly2_____________

加%为-3加(％+%)+9

-9

36•一J