沪教版八年级数学下册 第二十章 一次函数（8类题型）（48道压轴题专练）（原卷版）

第二十章一次函数（8类题型）（48道压轴题专练）

压轴题型—次函数与坐标轴的交点问题

1.（2023上•四川内江•九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）如图，一次函数＞=无+4的图象与x轴，

y轴分别交于点点C是线段AO上一定点，点瓦尸分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点，当△CEF

周长的最小值为6时，点C的坐标为（）

2.（2023下•福建福州•八年级福州日升中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=?x-若

分别交X轴、y轴于A、8两点，若C为X轴上的一动点，贝U23C+AC的最小值为（）

3.（2023上•江苏苏州•八年级苏州市立达中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线＞=；x+3

交坐标轴于A、8两点，若。是直线上的一个动点，将。绕点/0,1）顺时针旋转90。，得到点。'，连接

则QQ'的最小值为

4.（2023上•安徽合肥•八年级校考期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点.已

知一次函数%=-了+2,y2=kx-k+\.

（1）若％=1,则为、%的图象与无轴围成的区域内（包括边界）有个整点；

（2）若为、%的图象与x轴围成的区域内恰有6个整点，则左的的取值范围是

5.（2023上•山西太原•八年级统考阶段练习）如图，直线y=gx+2与x轴、y轴分别交于点A和点2,点C

在线段上，且到x轴的距离为1.

（1）点B的坐标为,点C的坐标为；

（2）若点尸是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点尸运动到什么位置时，PC+总的值最小，直接写出

最小值.

6.（2023上・江苏•八年级期末）【探索发现】

如图1,在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,若点C在直线DE上，且BE,DE,则

BEC^CDA.我们称这种全等模型为"型全等”.

【迁移应用】

设直线>=履+3（左片0）与x轴，y轴分别交于A,B两点.

3

（1）若左=-=,且母是以8为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限，如图2.

2

①直接填写：。4=,OB=；

②求点E的坐标.

（2）如图3,若%>0,过点B在y轴左侧作3NLAB,且BN=AB,连结&V,当人变化时，△OBN的面

积是否为定值？请说明理由.

【拓展应用】

（3）如图4,若上=-2,点C的坐标为（3,0）.设点P,。分别是直线、=-2和直线A2上的动点，当△尸QC

是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，求点。的坐标.

图1

压轴题型二一次函数的图象平移问题

1.（2023下•上海•八年级专题练习）平面直角坐标系中有一直线（：y=-2x+5,先将其向右平移3个单位得

到4,再将4作关于无轴的对称图形4,最后将4绕4与y轴的交点逆时针旋转90。得到则直线％的解析

式为（）

A.y=-x-llB.y=—x-2C.y=-x+\D.j=­x-8

'2-2'22

2.（2021•山东荷泽・统考中考真题）如图（1）,在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且3C〃x轴，

直线，=2x+l沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为。，直线在无轴上平移

的距离为b,a、匕间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（）

C.8D.10

3.（2023下•福建龙岩•八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知正方形。钻C,其中点4-4,0）,B（T,4）,

C（0,4）.给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到P,点P在正方形。4BC

的内部或边上，则称点P为正方形。RC的“和谐点”，若在直线》=6+6上存在点。，使得点。是正方形

O4SC的“和谐点”，则上的取值范围是.

4.（2023下•湖北武汉•八年级统考期末）直线％=履+仪左,b为常数，且。>2）与直线%=，"-〃7（机为

常数，且加力0）交于点A（3,2）.下列四个结论:

①%=1；

②关于X的方程fcv+b=M2X-〃7的解为X=2;

③%随着X的增大而减小；

④直线以沿y轴平移后得到直线》3,直线为交直线上于点B,若点8的纵坐标为1,则不等式为<%的解

集是x>2.

其中正确的结论是.（填写序号）

5.（2023下•江苏苏州•八年级校考阶段练习）【发现问题】

小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么，面积为定值的矩形中，其周长

的取值范围如何呢？

【解决问题】

小明尝试从函数图像的角度进行探究：

(1)建立函数模型

设一矩形的面积为4,周长为机，相邻的两边长为X、y,则孙=4,2(x+y)=m,即>=3,y=-x+段,

那么满足要求的(x,y)应该是函数y=g与y=-x+5的图像在第象限内的公共点坐标.

(2)画出函数图像

4

①画函数y=y尤>0)的图像；

②在同一直角坐标系中直接画出y=-x的图象，则y=-》+£的图像可以看成是丁=-％的图像向上平移

个单位长度得到.

(3)研究函数图像

平移直线丁=-》，观察两函数的图像；

4

①当直线平移到与函数y=；(x>0)的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为,周长加的值

为；

②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况?请直接写出公共点的个数及对应周长加的

取值范围.

【结论运用】

(4)面积为9的矩形的周长优的取值范围为

6.(2022上•四川成都•八年级成都外国语学校校考期中)如图，在平面直角坐标系尤。V中，一次函数>=区+》

2

的图象经过点A（-2,4）,且与正比例函数>的图象交于点332）.

2

⑵若一次函数>=履+》的图象与X轴交于点C,且正比例函数>=-§X的图象向下平移"7（W>0）个单位长度

后经过点C,求优的值;

（3）坐标轴上有一点E,使得3CE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标.

压轴题型三一次函数与方程、不等式的关系

1.（2023下•四川巴中•八年级统考期中）一次函数y=/依+〃与>=依+匕在同一平面直角坐标系中的图象如

图所示.根据图象有下列五个结论：①a>0；②w<0；③方程U+〃=0的解是x=-2；④不等式依+b>3

的解集是x>-3；⑤不等式的解集是-3a2.其中正确的结论个数是（）

C.3D.4

2.（2021•吉林松原•校考一模）如图，在平面直角坐标系xQy中，一次函数y=-gx+4的图象与x轴、y轴

分别相交于点A、3,点P的坐标为（根+1,m-1）,且点尸在ABO的内部，则加的取值范围是（）

C.1<m<5D.m<l^m>3

3.（2020下.湖北武汉.八年级统考期末）在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线1分别与函数

y=尤-。+l,y=-Jx+a的图像交于P、Q两点，若平移直线1,可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的

取值范围是.

4.（2023下•四川达州•八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，经过点W-4,0）,则不等

5.（2023上•安徽合肥•八年级合肥市五十中学西校校考期中）画出函数y=2x+6的图象，结合图象:

斗

6-

5-

4-

3-

2-

1-

IIIIII_

-6-5-4-3-2-19123456X

-1_

-2-

-3-

-4-

-5-

-6-

（1）求方程2x+6=0的解;

(2)求不等式2x+6＜0的解集；

⑶若-2”43,直接写出x的取值范围.

6(2023下•湖北襄阳•九年级统考开学考试)探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，

4

观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数＞=而■的图象并探究该函

数的性质.

⑴绘制函数图象.

①列表：下表是*与y的几组对应值，其中〃z=_；

_1J_

X-3-20123

~33

44

33m

y17241

②描点：根据表中的数值描点(％y),请补充描出点(L根);

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象.

(2)探究函数性质：

4

请写出函数＞=即的两条性质:

①一；

（3）运用函数图象及性质:

①观察你所画的函数图象,解答下列问题:若点A（a,c）,8（ac）为该函数图象上不同的两点，则°+匕=

4

②根据函数图象，写出不等式同m23的解集是_.

压轴题型四一次函数的性质综合

1.（2023上•广东佛山•八年级校联考期中）已知，如图，直线AB：y=kx-k-4,分别交平面直角坐标系

于A2两点，直线CD：丫=-2*+2与坐标轴交于°、£）两点，两直线交于点E（a,-a）；点M是y轴上一动

点，连接ME,将△AEN沿ME翻折，A点对应点刚好落在x轴负半轴上，则ME所在直线解析式为（）

B.y=2x—

3

7

D.y=x——

2.（2023上•重庆南岸•八年级重庆市广益中学校校考期中）如图，在RtZ\ABO中，ZOAB=90°,3（3,3）,

点。在边A3上，AD=2BD,点C为。4的中点，点尸为边OB上的动点，若使四边形PC4D周长最小，则

点尸的坐标为（）.

339944

B.（2,2）

2；25,53S

3.（2024上•四川成都•九年级四川省成都市石室联合中学校考期末）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐

标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如，点（2,2）是函数图象的“等值点”.设函

9

数〉='（%>0）,y=-x+"图象的等值点分别是a,B,过点B作轴，垂足为点C,当，的面积

为5时，b的值为.

4.（2023上•江苏泰州•八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的顶点A,。分别在x轴，y轴上，点3（4,3）

在直线/：丫=履+15上.将正方形ABCD沿x轴正方向向右平移〃2（〃?>0）个单位长度后，点C恰好落在直线

/上.则加的值为.

5.（2024上.广东深圳.八年级统考期末）已知一次函数y=2尤+4,请回答下列问题:

⑴请用描点法画出它的图象:

解：列表:

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；连线：把这两点连接起来，得到

y=2x+4的图象；表格中的值为；请在坐标系中画出y=2尤+4的图象；

(2)若一次函数％=履+6的图象与一次函数y=2尤+4图象关于x轴对称，请画出一次函数％=履+6的图象,

并求出它的解析式；

(3)若平行于＞轴的直线分别交y=2x+4的图象，*=丘+》的图象于A3两点，已知A3的长为4,则点A的

横坐标是.

6.(2024上•广东佛山・八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数必=3x的图象经过点A(l,m),

(1)求一次函数解析式，并在图中画出一次函数图象；

⑵点C(肛0)在无轴的负半轴上，过点C作X轴的垂线/分别交正比例函数和一次函数于点D,E,当DE=3

时，求加的值.

压轴题型五一次函数与反比例函数的综合

k

1.（2023上•湖南益阳•九年级校联考期末）如图，直线AB与双曲线y=—交于点A,B,与y轴交于点C,

x

3

与x轴交于点D,过A,B分别作x轴的垂线AF,BE，垂足分别为点F,E,连接AE,3尸，若S”+SBDF=-k-3,

A.3B.6C.>/3-3D.6夜

2.（2022•湖北武汉校考一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数y=±（x>0）的图象交与点A（4,

/X

2）,直线y=；龙+6（6>0）与反比例函数y=±（x>0）的图象交与点C,与y轴交与点8.记y="（无>0）的图象在点

A,C之间的部分与线段。4、OB、8C围成的区域（不含边界）为W,若区域W内恰有4个整点，则b的取值

范围是（）

3.（2022下•江苏苏州•八年级校考阶段练习）如图，已知点A是一次函数y=尤20）图象上一点，过点A

作x轴的垂线/,8是/上一点（8在A上方），在AB的右侧以A2为斜边作等腰直角三角形A3C,反比例函

k

数y=-（x>0）的图象过点8,C,若,0AB的面积为12,贝UABC的面积是.

4.(2023下•四川乐山•八年级统考期末)如图，A(l,3),B(3,1)是反比例函数y的图象上的两点，点尸

是反比例函数y=±的图象位于线段A3下方的一动点，过点尸作PMLx轴于交线段A3于。.设点M

X

横坐标为无，则△。尸。面积的最大值为,此时尤=.

5.(2023上•上海普陀•八年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，正比例函数>=氐的

图像与反比例函数y=-(x>0)的图像都经过点A(2,m).

X

(1)求反比例函数的解析式

(2)点8在x轴上，且OA=B4,反比例函数图像上有一点C,且NABC=90。，求点C坐标.

(3)在(2)的条件下，连接。C,AC,求AOC的面积.

6.(2023上•上海青浦•八年级校考期中)已知点P(m,n)是反比例函数y=-(x>0)图形上的动点，//x轴,

XPA

3

尸轴，分别交反比例函数y=±(x>0)的图像于点A、8,点C是直线y=2x上的一点.

X

饴用图

(1)请用含机的代数式表示尸、A、8三点坐标.

(2)在点P的运动过程中，连接A3,W的面积是否变化，若不变，请求出巳钻的面积，若改变，请说

明理由.

(3)在点P运动过程中，是否存在以AP为直角边的和全等，如果存在，请求出机的值.

压轴题型六一次函数的规律探究题型

1.(2023下•新疆乌鲁木齐•八年级校联考期末)如图，已知直线y=x,直线6：y=和点尸(1,0),

过点P(1,O)作y轴的平行线交直线。于点《，过点《作X轴的平行线，交直线b于点鸟，过点鸟作y轴的平

行线，交直线a于点鸟，过点心作X轴的平行线交直线匕于点巴，…，按此作法进行下去，则点匕的横坐

标为()

2.（2023下•湖北省直辖县级单位•八年级统考期末）如图.在平面直角坐标系中，点4，4，4，…在直线

y=+b上，点g，B2,%…在x轴上，OA.B,,BL,82AB3，…是等腰直角三角形，且

/ORq=/g&与=/32ABi=i=90°.如果点A。，1）,那么4。23的纵坐标是（）

无轴的垂线交直线于点月，以原点。为圆心，。与长为半径画弧交x轴于点4；再过点&作无轴的垂线交直

线于点B2,以原点。为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A,…,按此做法进行下去,点A„的坐标为

4.（2023下•湖南衡阳•八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点4、4、&3...4在工轴上，用、

生、鼻…纥在直线上，若耳。,。），且△AB&、△△舄△…△从纥41M都是等边三角形，从左到右

的小三角形（阴影部分）的面积分别记为用、邑、S3...Sn.则邑。23可表示为.

5.（2023上•江苏淮安•九年级淮安市洪泽实验中学校考阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，函数图

象上到一条坐标轴的距离等于a（«＞0）,到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的％级方点”.

例如，点（2,3）为双曲线＞=9的“3级方点”，点\；,［为直线＞=9+：的4级方点”

（1）下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是（只填序号）；

4

①y=x；©y=—；.

X

（2）判断直线y=依+左+g的“2级方点”的个数，并说明理由；

6.（2021上•安徽合肥・八年级校联考阶段练习）如图，点A在无轴上，且。4=1,过点4作轴交直

线y=x于点片；过点片作64,直线y=无交无轴于点&；过点4作轴交直线y=x交无轴于点外；

过点2作84,直线y=无交无轴于点&；过点4作A环轴交直线y=x于点鸟，……，按照此方法一直

作下去.

（1）写出点4的坐标；写出点心的坐标；写出点4的坐标

（2）按照上述规律，点鸟。21的坐标是

压轴题型七一次函数的应用问题

1.（2024上.辽宁辽阳•八年级统考期末）小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地,

小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，

用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个

速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间无（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错

A.小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；

B.小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；

C.小天出发14.5分钟两人相遇；

D.小冬最终达到乙地的时间是20分钟.

2.（2023•山东临沂・统考二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的

是月利润》（万元）关于月份x之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完

成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比

前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超

过120万元.其中正确的个数是（）

・玖万元）

。iagzsd3a天月份）

A.1B.2C.3D.4

3.（2023・上海金山・统考二模）小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新

华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离力（米）、%（米）与时间x（分钟）之

间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是分钟.

4.（2023下•八年级单元测试）某快递公司每天上午8:00~9:00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快

件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间无（分）之间的函数图象如图

所示，下列说法正确的是（填序号）.

①10分钟后，甲仓库内快件数量为90件;②乙仓库每分钟派送快件数量为8件;③甲仓库的快件数量软件）

与时间x（分）之间的函数关系式为：y=6x+10；④乙仓库&00时有快件360件；⑤9:00时，甲仓库内快

件数为480件；⑥8:25时，两仓库快递件数相同.

5.（2023下•上海•八年级专题练习）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向10km以内的出行市

场.现有A、8两种品牌的共享电动车，已知A品牌每分钟收费0.2元、8品牌的收费为y（元）与骑行时

间无（分钟）之间的函数关系如图所示.

（1）求B品牌的收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的尤的取值范围；

（2）小王发现，他从家到单位上班，骑行A品牌或B品牌的共享电动车的费用相同，求小王骑共享电动车从

家到单位的骑行时间；

（3）小李每天也骑共享电动车上班，他说：“我从家来单位的话，A、2两种品牌的共享电动车的收费相差不

超过1.2元”，请直接写出小李从家到单位骑行时间的取值范围.

6.（2023上•辽宁沈阳•八年级统考期末）某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.

已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360兀，购进8件A礼品和6件B礼品共需270兀.

（1）（列二元一次方程组）求A,8两种礼品每件的进价.

（2）该店计划将5000元全部用于购进A,