河北省保定市定州市2024-2025学年高二年级上册11月期中数学试题（含解析）

河北省保定市定州市2024-2025学年高

二上学期H月期中考试

高二年级期中考试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题（共8题，每题5分）

1.直线x+〉+l=°的倾斜角是（）

3万

D.—

4

【答案】D

【解析】

【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.

3

【详解】由题x+y+l=0的斜率左=一1,故倾斜角a的正切值为-1,又a故a=［乃

故选：D

【点睛】本题主要考查了直线斜率为直线倾斜角的正切值，属于基础题型.

22

2.已知方程^—+二=1表示焦点在V轴上的椭圆，则加的取值范围是（）

2—mm

A.（0,2）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,+s）

【答案】C

【解析】

【分析】利用椭圆焦点在N轴上的标准方程的结构特征，得到关于机的不等式组，解之即可得解.

【详解】因为方程上+匕=1表示焦点在N轴上的椭圆，

2—mm

2—m>0

所以〈加〉0,解得1<加<2.

m>2—m

故选：c.

3.在四面体。48c中，记说=1,OB=b^OC^c，若点M、N分别为棱CM、2C的中点，则疝=

()

A.-a+-b+-cB.--a+-b+-c

222222

C.-a--b+-cD.-a+-b--c

222222

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.

------------II----►I—I—I—

【详解】由题意得：MN=ON—OM=—(OB+OC)——OA=——a+-b+-c,

22222

故选：B.

4.若直线分-^+1=0与以Z（-2,-1）,8（1,-3）为端点的线段有公共点（含端点），则。的取值范围为

()

A.[T4]B.

C.D.-oo,-l]o[4,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】求出过定点（）画出图形,

ax-y+l=O£0,1,求出的E=l,kBE=-4,数形结合得到aVaE

或Q2kAE,即。W-4或。〉1.

【详解】ax—y+l=0=>y=方+1经过定点£（0,1）,斜率为。，画出图形，如下:

其中左九=百1=1'旗万=-4,

直线以一>+1=0与以8（1,-3）为端点的线段有公共点（含端点）,

则aV左BE或。2左/E，即Q<—4或a21.

5.已知直线/的一个方向向量是5=(-1,2,1),平面”的一个法向量是元=(1,1,-1),贝”与a的位置关系

是()

A./±«B.Illa

C./与a相交但不垂直D.///a或/ua

【答案】D

【解析】

【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量的数量积结果即可判断得解.

【详解】因为万=(—1,2,1),»=(1,1-1),

所以晨为=(-1)x1+2x1+lx(—1)=0,则力几

又1是直线/的一个方向向量，乃是平面a的一个法向量，

所以///a或/(Za.

故选：D.

6.若直线/与圆C/Y+V—4歹+3=0相切，且点(3,-2)到直线/的距离为3,则这样的直线的条数为

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，分类讨论直线/的斜率不存在与存在两种情况，利用直线与圆相切的性质与点线距离公

式得到关于左涉的方程组，进而分析得其解的个数即可得解.

【详解】圆4y+3=0可化为f+Q；—2)2=1,圆心为(0,2),半径为1,

因为直线/与圆6：/+/—4y+3=0相切，

当直线/的斜率不存在时，则直线/的方程为X=-1或X=1,

当直线/的方程为x=-1时，点（3,-2）到直线/的距离为4,不满足题意;

当直线/的方程为x=l时，点（3,-2）到直线/的距离为2,不满足题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为歹=丘+6,即Ax-y+6=0,

即（3左+2+92=9（-2+»2,解得6=1—1或办=5+4,

当6=1—迎时，有1—2+1—迎］=r+1,解得左=。或左=*；

4I4；7

当6=羡+4时，有［一2+羡+4］=公+1,整理得5左2+24左+12=0，

24

此时A=242—4X5X12〉0，即方程有两个解，且不为左=0或左=斤；

综上，左的取值有四种情况，对应的6也有四种取值，所以满足条件的直线一共有四条.

故选：A.

7.己知圆C过点幺（3,2）,5（0,-1）,设圆心C（a,A）,则/+〃的最小值为（）

A.72B.2C.2A/2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意由半径相等，结合两点距离公式得到a+6=2,再利用基本不等式即可得解.

【详解】根据题意，得|。|=侬,又4（3,2）,5（0,-1）,C（a,b）,

所以（a—3y+（6—2『="+仅+1）2,化简得a+6=2,

故2（/+52）之/+/+2仍=（a+b）2=4,则/+〃22，

当且仅当a=6=1时，等号成立，

所以片+〃的最小值为2.

故选：B.

8.已知椭圆二+』=l（a〉b〉O）的左、右焦点分别片，F2,拉是椭圆上一点，直线〃耳与歹轴负半

ab

轴交于点N,若西•丽=0,且|〃乙|：|叫|=2:3,则椭圆的离心率为（）

A.—B.-C.—D.—

3256

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意设居|=2相，从而得到所需线段关于机的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得

见。关于根的表示，进而得解.

【详解】因为|九里|：[N^|=2:3,不妨设|人里|=2机（机＞0）,贝!||A7^]=3根，

由椭圆的定义与对称性可得|町|=2口一2机，|g|=|N居|=3加，|〃M=57%,

因为丽.诿=0,所以|力有『+|照『=|跖寸，

则（2a-2m）~+（3机）-=（5m）",解得a=3m,

,,\MF.\4

则|儿阴=4m,故cos/F[MF,=r--r=-,

11\MN\5

则在/印华中，由阳闾2。上闾2+1上码2一21孙cosN邛叫，

得4c②=16m2+4m2-2x4mx2mx—,解得°=机,

55

所以椭圆的离心率为£=立

a5

故选：C.

二、多项选择题（共3题，每题6分）

9.已知《，鸟分别是椭圆?=1的左、右焦点，尸为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结

论正确的是（）

A.椭圆C的焦距为6B.△尸片片的周长为10

4

C.椭圆C的离心率为1D.△/>£与面积的最大值为2石

【答案】BD

【解析】

【分析】利用椭圆方程得到。，4c，利用椭圆的定义与性质，逐一分析判断各选项即可得解.

【详解】对于A,因为椭圆。：工+二=1,所以a=3,b=J?,c=2,

95

所以椭圆C的焦距为2c=4,故A错误；

对于B,由椭圆的定义可知归周+|P国=2。=6,

所以“>£8的周长为|尸国+|尸月|+山用=6+4=10,故B正确；

c2

对于C,椭圆C的离心率为一=；,故C错误；

a3

对于D,当点尸为椭圆的短轴的一个端点时，点P到x轴的距离最大，

此时△对片面积取得最大值，为曰用讣6=:义4义君=26，故D正确.

故选：BD.

10.在三棱锥尸-Z8C中，为边长为2的正三角形，AB=2,ZBAC=90°,设二面角

p—/C—B的大小为a,APAB=（3,G为△尸8c的重心，则下列说法正确的是（）

P

A.若a=30。，则尸8=&B.若尸8=JI4，则a=150°

4

仁若&=90°,则依与ZC所成的角为60。D.若4=90。，则4G=§

【答案】ABD

【解析】

【分析】取ZC中点。，过。作。W7/N8且（W=N8=2,连接ORMB,则〃e平面N8C取

OA-OP，而为基底向量，则根据题意知了〉丽=0，囱.而=0.对于A项，根据a=30°,得

OMOP=3^用基底向量表示方，再求模长即可；对于B项，根据模长公式建立等式，可得

OPOM=~3＞再用向量的数量积公式求夹角即可；对于C项，若a=90°,则西.9=0,分别用

基底向量表示丽，~AC，并求模长，再利用向量法求异面直线的夹角即可；对于D项，若，=90。，则

根据已知条件可证48,平面P/C,从而平面P4C,建立空间直角坐标系，写出点

的坐标，利用三角形重心公式求得G的坐标，再求模长即可.

【详解】如图，取ZC中点0,过。作0M7/28且（W=Z8=2,连接ORMB,则"e平面

ABC.

因为△P4C为正三角形，所以。尸，NC,。尸=百，

因为N5ZC=90°,所以比4LZC,所以OM_LNC,

所以二面角尸—ZC—8的平面角为/RW,则ZPOM=a.

以万，OP，丽为基底向量，则=OAOM=Q-

对于A项，若。=30。，即NP（W=30°,所以而•丽=2x百xcos/P（W=3.

因为丽=丽+刀+方=—赤+厉+的，

所以廊卜，历+OA+OM^=\loP~+OA+OM2-2OPOA-2dPOM+2OA^=0,故A

正确；

对于B项，由A知网=）赤+而+而L2而•一2而.而+2次.西=取,

所以3+1+4—2丽•西=14，所以而•而=—3,

所以g\2xcostz=-3，解得cosa--,所以a=150°,故B正确;

对于C项，若a=90°,即NP（W=90°,所以的.而=0.

由A知丽=—无+厉+而，又正=—2万，

所以方•k=卜而+E+的）（—2厉）=2而•力—2次之―？丽.厉=—2,

^\=y]op2+OA+OM2-2OPOA-2OPOM+2OAOM=242，|^c|=2,

,__..瓯/J?

设PB与4C所成的角为6,则|cos0\=|cosPB,AC\=扃鬲=亍，

所以必与ZC所成的角不是60°,故C错误；

对于D项，若4=90。，即/尸48=90°,所以48，尸2,

又AB上AC,PAC\AC=A,PA,ZCu平面R4C,所以45J_平面P/C,

又OMI/AB,所以（W,平面PNC,则04OM,。尸三线两两垂直，建立如图坐标系.

则幺（0,—1,0）,P（0,0,V3）,5（2,-1,0）,C（0,l,0）,则根据三角形重心坐标公式得G，,0,

24

所以NG=+1*23+--故D正确.

3

故选：ABD.

11.已知曲线C:x2+y2，,—2x=0（^eN*）,则下列说法正确的是（）

A.0<x<2

B.曲线C关于直线x=l对称

C.曲线C围成的封闭图形的面积不大于兀

D.曲线C围成的封闭图形的面积随机的增大而增大

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用曲线的方程得到关于X的不等式可判断A；利用点关于直线的对称点判断得曲线的对称性，从

而判断B；分析曲线C:V+—2x=0与曲线c：+/m+1）-2x=0上的两个横坐标相同的点的纵坐

标大小关系，从而得到曲线C围成的封闭图形的面积情况，从而判断CD.

【详解】对于A,因为曲线。：必+/加—2x=0（机eN*）,

所以>2"，=2x—/之0,解得ovxw2,故A正确；

对于B,因为曲线。：必+/山-2x=0（机eN*）,可化为（x—1）2+伫=1,

设点（。⑼是曲线C上任一点，则其关于x=l对称的点为（2-a,b）,

将（2-a,b）代入曲线C方程,得偿-"1）2+产=（"1）2+*=],

所以曲线C关于直线x=l对称，故B正确；

对于CD,因为（x—lp+j?"，=i,所以歹则同<1,

设点（a,b）是曲线C：/+/加一2%=o上任一点,则同41,

点（a/）是曲线C:3+,（加+i）—2x=0上的一点,则巾41,

则（a—1）2+人2"=1,（。―1）2+产（,”+1）=],故/"，=产（帆+1）,

易知当0<“<1时，y=>『在其定义域内单调递减，

所以斤（小〈卜广（当且仅当卜|=1或H=o时，等号成立），故时"=斤（"，旬广，

又y=x2m（机eN*）在[0,+“）上单调递增，所以问<,

故当机增大时，横坐标相同的点的纵坐标的绝对值会大于或等于原来的，

又曲线。围成的图形为封闭图形，所以该图形会比原来的大，

即曲线。围成的封闭图形的面积随机的增大而增大，故D正确，

又当机=1时，曲线C为（x—l『+y2=i,即其图形是半径为1的圆，

此时其面积为nxE=兀，则曲线C围成的封闭图形的面积不小于兀，故C错误.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题CD选项解决的关键在于，分析得两曲线。：/+>2加—2x=0与

。：/+/（旭旬—2x=0上的点的情况，从而得到其围成的封闭图形的面积情况，由此得解.

三、填空题(共3题，每题5分)

12.若圆C:(x—2)2+(y+3)2=4上存在两点关于直线ox+y-1=0对称，则。的值为

【答案】2

【解析】

【分析】由题意可得圆心。(2,-3)在直线ax+y-1=0上，从而列式得解.

【详解】圆C:(x—2)2+(了+3)2=4的圆心为C(2,—3)圆心，半径为2,

圆上存在两点关于直线分+>-1=0对称，则圆心在直线上，

所以2。一3—1=0,解得a=2.

故答案为：2.

13.已知点幺(0,1,1),5(0,0,1),则点A到直线5c的距离是.

【答案】立##2直

33

【解析】

【分析】利用空间向量中点到线的距离公式，结合向量数量积与模的坐标表示即可得解.

【详解】因为点幺(0,1,1),5(0,0,1),C(l,l,0),

所以罚=(0,—1,0),=

则福反^=-1，网=1,网=百，

所以点A到直线BC的距离是d=J可—(网cos(彳瓦5C))2

故答案为：逅

3

2

14.过椭圆。+/=1上一点尸作圆—3)2=1的两条切线，切点为A,B,当|幺4・|尸。最大

时，点尸的纵坐标为.

【答案】—工##—0.5

2

【解析】

【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求|尸。|最大值问题.

【详解】圆—3)2=1的圆心C(0,3),半径外=1,

由尸4尸。切圆C于点48知，PCLAB,则|尸C|=/Ac=|尸H|/C|=J尸C『_i,

因此|4§卜|尸。|最大，当且仅当|PC|最大，设尸(%,%),x；=7—7y；,

2

则|尸C|=Jx；+(%-3)2=J-6y；-6%+16=yJ-6(y0+—)+,

当且仅当为=-；时取等号，所以点尸的纵坐标为-工.

四、解答题(共5题，共77分)

15.已知直线/:2x—y+2=0,圆C：(x—3)2+/=5.

(1)求与直线/平行且与圆C相切的直线方程；

(2)设直线/1，/,且4与圆C相交于A,8两点，若以同=生磬，求直线4的方程.

【答案】(1)2x-y—l=0或2x-y—ll=0；

(2)x+2y—2—0X+2y—4=0

【解析】

【分析】(1)根据题意假设所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得。，从而得解；

(2)根据题意假设直线4的方程，利用圆的弦长公式求得圆心到直线4的距离，进而利用点线距离公式列

式即可得解.

【小问1详解】

依题意，设所求直线方程为2x--v+c=0,

因为所求直线与圆。：(1—3)2+)?=5相切，且圆心为(3,0),半径为逐，

I2x3—0+cI/T

--——忑——'=V5,解得c=—1或c=—11,

・・.所求直线方程为—y-1=0或—y-11=0：

【小问2详解】

依题意，设直线4的方程为x+2y+加=0,

因为直线4与圆C相交于43两点，|幺5|=生g°，

二圆心(3,0)到直线4的距离为『2詈=手，

二日二"=好，解得机=—2或加=—4,

5

直线I］的方程为x+2y—2=0或x+2y—4=0.

22

16.设椭圆。：二+与=1(。〉6〉0),用，耳分别是椭圆C的左、右焦点，A是。上一点，且/月与

ab

x轴垂直，直线/巴与。的另一个交点为人

3兀

(1)若直线4B的倾斜角为——，求椭圆C的离心率；

4

(2)若直线4B在N轴上的截距为1,且［48|=3|6可，求a,b.

【答案】(1)V2-1

(2)a=—,=y/~5

2

【解析】

【分析】(1)根据条件求出A的坐标，利用直线4B的的倾斜角，建立关于。的齐次方程，解之即可得

解；

(2)根据题意，结合线段的数量关系求得8的坐标，代入椭圆方程，解之即可得解.

【小问1详解】

22

依题意，设椭圆C:二+二=1伍〉6〉0）的半焦距为c,

ab

则片（一c,0）,月（c,0）,则由题意可知，点A在第二象限，设4（—c,〃）（〃>0）,

2222-27Z1

将N（—c,〃）代入1+%=1,得三+%=1,解得〃=——，则/—C,——

aIQJ

3兀

因为直线48的倾斜角为——，

4

所以幻&=4分=—1,则£a_0_1，贝!

——1

-c-c

所以/一°2=2〃°,即/+2ac-q2=0，贝【J+2.9—1=0,

a

即e?+2e—1=0,解得6=夜-1或6=-夜-1（舍去），

所以椭圆C的离心率为V2-1.

【小问2详解】

记直线4B与N轴的交点为。（0,1）,

易知。。//幺耳，且|幺公|=2|。0=2,故/=2,

a

则b?=2a,c2—d1—b2=d2—2Q，

因为|”|=3因同，所以M阊=2内4,则=

即8（c,o）是。（0,1）与8的中点，所以5（2c,—1）,

将5（2c「1）代入椭圆方程，得与+，

=1,

所以----+_J__1,解得a=—,故/=2a=5，即6=V5，

a12a2

所以a=5，b=.

17.如图，在正方体48CD—45]G2中，E,E分别为4B,8c的中点，点G在棱上，且

AG=-GAl.

(1)证明：D-G,E,F四点共面.

(2)设平面RGEE与棱CG的交点为求2〃与平面248G所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用共面向量定理，结合向量的坐标运算计算推理得证.

(2)结合(1)的信息，求出点〃的坐标及平面。/5G法向量，利用线面角的向量求法求解.

【小问1详解】

在正方体4BCD-451GA中，以点。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

令AB=6,则9(0,0,6),E63,0),尸(3,6,0),G(6,0,2),

则EF=(-3,3,0),EG=(0,-3,2),函=(-6,-3,6),

于是2而+3EG=(-6,6,0)+(0,-9,6)=(-6,-3,6)=函，即向量EF,前，西共面,

又向量而，灰^国有公共点E,所以。-G,E,尸四点共面.

【小问2详解】

设女(0,6,7),则丽=(0,6,1—6),由点Ac平面。GEE,

0=-32

得丽=4而+〃B，即(0,6,7—6)=(—34340)+(0,—3〃,2〃)，则<6=34—3〃，

/—6=2〃

解得4=0,〃=—2,/=2,即H(0,6,2),丽=(0,6,—4),

而A(6,0,0),5(6,6,0),则西=(-6,0,6),AB=(0,6,0),

.---»

一n-AD}=-6x+6z=0一

设平面248G的法向量”=a,y,z)，贝U__，令x=l,得〃=(1,0,1),

\n-AB=6y=0

4_V26

令D[H与平面DiABCi所成的角为。，则sin。=|cos@,型〉|=/,吧|

|〃||卬力V2-2V13-13

所以与平面24BG所成角的正弦值为叵.

13

18.球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用.球面距离的定义：球面上两点之

间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆(经过球心的平面截球面所得的圆)在这两点间的一段劣弧的

长度.这个弧长就被称作两点的球面距离.

图1图2

(1)在正四棱柱4SCD—451GA(底面为正方形的直棱柱)中，AB=1,44]=血，求顶点A,B

在该正四棱柱外接球上的球面距离.

(2)如图1,在直角梯形4BCO中，BC//AD,ZBCD=90°，BC=~AD=1,DC=43-现将

2

△46。沿边RD折起到P,如图2,使得点P在底面BCD的射影”在CD上.

①求点P到底面BCD的距离；

②设棱锥尸-8C。的外接球为球。，求尸，C两点在球。上的球面距离.

07r\477r1

参考数据：cos—^=-,cos---

100310011

TT

【答案】(1)-；

3

(2)；②53厄三

3400

【解析】

【分析】(1)求出线段AB所对的正四棱柱48CD-451GA外接球截面大圆的圆心角，再求出弧长.

(2)①根据给定条件可得8C,平面尸⑺，再在直角三角形中求出？耳；②利用球的截面性质确定球心,

求出球半径，进而求出球面距离.

【小问1详解】

222

正四棱柱ABCD—451GA的外接球直径ACX=71+1+(V2)=2，球半径R'=l，

TTTT

因此球心与点45构成正三角形，弦4g所对球过45的大圆圆心角为一，弧长为一，

33

7T

所以顶点A,8在该正四棱柱外接球上的球面距离为一.

3

【小问2详解】

①在直角梯形Z5CD中，BCIIAD,NBCD=90°，BC=-AD=1,DC=M，

2

BD=712+(V3)2=2=AD，NADB=900-NBDC=60°-则△NAD为正三角形，

在棱锥尸—BCD中，尸”上平面BCD,而8Cu平面8cZ),则8CL尸

又BC人CD,PHCCD=H,PH,CDu平面PCD,则5CJ_平面PCD,

而尸Cu平面PCD,因此尸CJ_BC,pc=-JPB2-BC2=V3，

]PD/yn%

在△尸C£>中，cosNPDH=2一=—'sinNPDH=『PH=PDsinZPDH=

~CD~y/3733

所以点尸到底面8C。的距离为也.

3

②取RD中点。1，则a为△5C£)外接圆圆心，令正PAD的外接圆圆心为。2,

连接BOQHQOIQOZQB,则O1Q=；尸a=g,。。2，平面也。，。。1，平面88,

PH2V2

于是。〃

0]PH,cosNOOR=sinNPO[H=—亍

在RtA。。。,中，。0]=—也—=—,因此棱锥P—BCD的外接球半径R,

cos/。。。4

有R2=0B?=0^+0^=—,球。的弦PC所对大圆的圆心角为NCOP,

8

cosZCOP=-------------=-^――=----,即ZCOP是钝角，而cos--=一,

2R~H1110011

~4

则ZCOP=71--=—,ZCOP在大圆中所对劣弧长为包ER=53卮^,

100100100400

所以P,C两点在球。上的球面距离为羽亘.

400

19.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，幺（2,0）,5（0,G）,C（2,V3）,。（0,一⑹，点尸在线段

。2上，点。在线段ZC上，且"=丝=/,设直线3Q与DP交于点

04CA

（1）证明：当/变化时，点〃始终在某个椭圆少上运动，并求出椭圆用的方程.

（2）过点£（4,0）作直线与椭圆少交于S,T不同的两点，再过点尸（1,0）作直线ST的平行线与椭圆少交

于G,〃不同的两点.

\ES'ET\

①证明：\FG'FH\为定值.

②求AEGH面积的取值范围.

22

【答案】（1）土+2=1

43

（2）①证明见解析；②（0,2g）

【解析】

【分析】（1）求出直线3。与DP的方程，消去参数/即可得到椭圆平的方程;

x=my+4x-my+\

⑵①分别联立方程_与02了2_，借助韦达定理，表示出怛5口£7|与进

---+--=1F-—•=1

I43I43

一步求解即可；

②将yEGH转化为，EFG+S，EFH，再借助韦达定理，可转化为机的函数，根据机的范围求函数值域即可.

【小问1详解】

解：设点。（xj）,依题意可知丽=兄讶，即（x-2,y—百）=/（0,—百），

所以《

同理可得尸（27,0）.