广东中考数学一轮复习：直角三角形综合检测过关卷（解析版）

专题16直角三角形综合检测过关卷

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）下列各组线段中的三个长度：①9,12,15；②5,12,13；③32,42,52；@1,2,V3,其中可

以构成直角三角形的有（）

A.4组B.3组C.2组D.1组

【答案】B

【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：。2+庐=,2时，它是直角三角形，由此可解

出本题.

【解答】解：①92+122=152,故可以构成直角三角形；

②52+122=132,故可以构成直角三角形；

③（32）2+（42）2#（52）2,故不可以构成直角三角形；

④G+（我）2=22,故可以构成直角三角形；

综上，符合题意的有3组，

故选：B.

2.（3分）满足下列条件中的△A8C,不是直角三角形的是（）

A.a2=Z>2-c2B.ZA-ZB=ZC

C.ZA：ZB：NC=3：4：5D.a：b：c=7：24：25

【答案】C

【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即

可.

【解答】解：A、/+°2=/，能构成直角三角形，故正确；

8、根据三角形内角和定理可求出/A为90度，能构成直角三角形，故正确；

C、根据内角和定理求出三个角分别为：45°,60°,75°,不能构成直角三角形，故错误；

D、有次+庐=02,能构成直角三角形，故正确.

故选：C.

3.（3分）如图，在等腰直角AABC中，为斜边上的高，以。为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相

交于E、F,连接EF与AD相交于G,则ZAED与ZAGF的关系为（

A

BnC

A.ZAED>ZAGFB.ZAED^ZAGFC.ZAED<ZAGFD.不能确定

【答案】B

【分析】利用等腰三角形的性质得出N2AO=/FEO=45°,从而再利用外角的性质可得出与/

AG尸的关系.

【解答】解：根据AABC为等腰三角形，DELDF.

'：DC=AD,

：.ZC=ZEAD=45°,

?.ZADE=ZCDF,

在AAED与ACFD中，

2ADE=4CDF

ADCD

/EAD=Z-C

:・AAED乌ACFD（ASA）,

:・DE=DF,

：.ZFED=45°,

・•・ZAED=/AEF+NFED=45°+ZAEFf

ZAGF=ZBAD+ZAEF=45°+ZAEF,

・・・ZAED=ZAGF.

4.（3分）下列各组线段，能组成直角三角形的是（）

A.。=1,Z7=2,c^~2B.〃=2,Z?—■3,c=5

C.4=2,b=4,c=5D.〃=3,b=4,c=5

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角

形判定则可.如果有这种关系，这个就是直角三角形.

【解答】解：A、：12+22^22,.•.该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；

2、：22+32/52,.•.该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；

C、•••22+42/52,.•.该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；

:32+42=52,.•.该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；

故选：D.

5.（3分）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另

一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米.

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运

用勾股定理可将两点之间的距离求出.

【解答】解：两棵树的高度差为8-2=6加间距为8n7,

根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=V82+62=10,〃.

故选：C.

6.（3分）如图，在4义4的小正方形网格中，点A,8为格点，另取一格点C,使△ABC为直角三角形,

C.7个D.8个

【答案】B

【分析】根据网格的特点，以及直角三角形的定义即可求解.

【解答】解：如图所示，

共有6个格点使aABC为直角三角形.

故选：B.

7.（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.1,1,V2C.6,8,11D.5,12,23

【答案】B

【分析】根据勾股定理逆定理：/+/=02,将各个选项逐一代数计算即可得出答案.

【解答】解：4、：42+52r62,.•.不能构成直角三角形，故A错误；

2、•.•P+12=&2,...能构成直角三角形，故2正确；

C、：62+82会112,.•.不能构成直角三角形，故c错误；

：52+122/232,.•.不能构成直角三角形，故。错误.

故选：B.

8.（3分）若△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,下列不能判定AABC为直角三角形的是（）

A.a—32,b—42,c—52B.a：bzc=5：12：13

C.（c+6）（c-6）=a2D.ZA+ZB=ZC

【答案】A

【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项2、C、。是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选

项2是否符合题意，本题得以解决.

【解答】解：则故选项符合题意；

4=32,b=42,C=52,A

222

当a：b-.c=5：12：13时，设a=5x,b=12x,c—\,ix,则/+廿=（5X）+（12x）—c,故选项2不

符合题意；

222

由（c+6）（c-b）=/整理得：a+b=c,故选项C不符合题意；

由NA+/B=/C,可知NC=90°,故选项。不符合题意；

故选：A.

9.（3分）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.4,5,6C.2,遍,2D.8,15,16

【答案】A

【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：A、3,42=52,能构成直角三角形，符合题意；

B、42+52#62,不能构成直角三角形，不符合题意；

C、22+（V3）2#22,不能构成直角三角形，不符合题意；

D、82+15V162,不能构成直角三角形，不符合题意.

故选：A.

10.（3分）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm,则图中A、B

两个正方形的面积之和为（）

C.49cm2D.63cm2

【答案】C

【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理，发现：2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.

【解答】解：由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，

故正方形A,B的面积之和=491?/.

故选：C.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.（3分）如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则NA8C=45°.

【答案】45°.

【分析】连接AC,利用勾股定理可分别求得AC、BC、AB的长，再利用勾股定理的逆定理可判定AABC

为直角三角形，ZACB=90°,由AC=BC即可求解.

【解答】解：•••正方形的边长为1，

.".AC—Vl2+22=V5>BC-Vl2+22=V5,AB=Vl2+32=V10,

：.AC2+BC2=AB2,AC=BC,

.••△ABC为等腰直角三角形，

/.ZACB=90°,ZABC=45°,

故答案为：45°.

12.（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于

点N,则MN的长是_4-V7_.

【分析】连接⑷V，贝在RtZVICN中，利用勾股定理求出CN即可得出答案.

【解答】解：如图，连接AN,

在RtAACN中，由勾股定理得：CN=V42-32=小,

：.MN=CM-CN=4-小,

故答案为：4—V7.

13.(3分)如图，在△ABC中，ZACB=90°，ZABC=6Q°,8。平分/ABC,P点是8。的中点，若AO

=6,则CP的长为3

【答案】见试题解答内容

【分析】过点。作。ELA2于E,根据直角三角形两锐角互余求出NA=30°,再根据直角三角形30°

角所对的直角边等于斜边的一半求出。E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CO=Z)E,根据

角平分线的定义求出/。8。=30°,根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出BD,再

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.

【解答】解：如图，过点。作于E,

VZACB=90°,ZABC=6Q°,

：.ZA=90°-60°=30°,

/.£)£=|AD=1X6=3,

又：2。平分/ABC,

:.CD=DE=3,

VZABC=6Q°,2。平分NABC,

AZCBD=30°,

：.BD=2CD=2X3=6,

；P点是BD的中点，

11

：.CP=^BD=^x6=3.

故答案为：3.

A

14.（3分）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端

12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为9米.

【答案】9.

【分析】设滑轮到地面的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：设滑轮到地面的高度为尤米，

根据勾股定理，得/+122=（X+6）2,

解得：x=9；

答：滑轮到地面的高度为9米.

故答案为：9.

15.（3分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形

的两边长分别为3和5,则小正方形的面积为1或4

【答案】见试题解答内容

【分析】分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理求出另一直角边长为4,小正方形的边长=4-3=1,

即可得出小正方形的面积；

②3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长=2,即可得出小正方形的面积；即可得出结果.

【解答】解：分两种情况：

①5为斜边时，

由勾股定理得：另一直角边长=752-32=4,

...小正方形的边长=4-3=1,

.,.小正方形的面积=F=1；

②3和5为两条直角边长时，

小正方形的边长=5-3=2,

.,.小正方形的面积22=4；

综上所述：小正方形的面积为1或4；

故答案为：1或4.

三.解答题（共8小题，满分55分）

16.（6分）如图，长13机的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角5〃z,求梯子的顶端离地面的距离AB的值.

【答案】梯子的顶端离地面的距离的值为12m.

【分析】直接根据勾股定理即可得出结论.

【解答】解：在RtZXABC中，BC=5m,AC=13m,

：.AB=yjAC2-BC2=V132-52=12（m）,

答:梯子的顶端离地面的距离A8的值为12%.

17.（6分）已知a,b,c满足|a-3伤|+，F=7+（c—通）2=0

（1）a3V6；b—7；c—_V5_；

（2）判断以a,b,c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么三角形？并求出三角形的

面积；若不能，请说明理由.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；

（2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可.

【解答】解：（1）6、c满足满足|a-3西|+57+（c-遮y=0,

-3A/6=0,yjb-7=0,(c—V5)2=0

解得：a=3代,b=7,c=V5；

(2)V7<3V6<8,2<V5<3,

b+c>a,

・・・能构成三角形，

又•.•〃2=54,庐+。2=54=〃2,

・・・此三角形是直角三角形，

17

面积S—2加=

18.(7分)长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级(1)班

的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作：①测得水

平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明

的身高为L6米.

(1)求风筝的垂直高度CE；

(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

【答案】⑴21.6米；

(2)8米.

【分析】(1)利用勾股定理求出。的长，再加上。E的长度，即可求出CE的高度;

(2)根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：(1)在RtZ\CD8中，

由勾股定理得，CD1=BC1-BD1=252-152=400,

所以，CD=20(负值舍去)，

所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（:米），

答：风筝的高度CE为21.6米；

（2）由题意得，CA/=12米，

，。知=8米，

：.BM=y/DM2+BD2=V82+152=17（米）,

：.BC-BM=25-17=8（米），

...他应该往回收线8米.

19.（7分）如图，在四边形ABC。中，AB=2V3,8c=4,AC=2y/7.

（1）求证：AB±BC：

（2）如果CA平分NBC。，且/。=30°,求△ACD的面积.

【答案】（1）证明过程见解答；

（2）△ACQ的面积为IOA/3.

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得/ABC=90°,即可解答；

（2）过点A作垂足为E,先利用角平分线的性质可得AB=AE=2百，然后在RtZkACE中，

利用勾股定理求出CE的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出。E的长，从而

求出C。的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答.

【解答】(1)证明：VAB=2V3,BC=4,AC=25/7.

：.AB2+BC2=(2V3)2+42=28,AC2=(2V7)2=28,

.'.△ABC是直角三角形，

/.ZABC=90°,

：.AB.LBC；

(2)解：过点A作AELCD垂足为E,

「CA平分/SCO,AELCD,ABLCB,

：.AB=AE=2y/3,

在RtZ\ACE中，AC=2巾,

：.CE=y/AC2-AE2=J(2V7)2-(2V3)2=4,

在RtZXADE中，ZD=30°,

：.DE=V3AE=6,

：.CD=CE+DE=10,

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/\ACD的面积=今CD・AE=IX10X2V3=10V3,

.♦.△AC。的面积为10V3.

20.(6分)如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC,A8于点。，E,AD2-DC2=BC1.若AO=10,

CD=6,求8C的长.

【答案】BC=8.

【分析】直接把40=10,CZ)=6代入到AD2-£)C2=BC2进行求解即可.

【解答】解：；A£)2-£)C2=2C2,A£)=10,CD=6,

.*.BC2=102-62=64,

：.BC=8.

21.(8分)笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A,B,其中A3二BC,由于某种原因，由C

到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H(A,H,8在同一直线上)，并新修

一条路C8,测得AC=代千米，C8=2千米，A8=l千米.

(1)判断的形状，并说明理由；

(2)求原路线的长.

【答案】(1)△BCH是直角三角形，理由见解析

(2)BC=|千米.

【分析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；

(2)根据勾股定理列方程解答即可.

【解答】解：(1)△BS是直角三角形，

理由是：在△AC”中，

VCH2+AH2=22+12=5,AC2=(V5)2=5,

/.CH2+AH1=AC1,

...△ACH是直角三角形且/C〃A=90°,

：.ZCHB^90°,

...△BCH是直角三角形；

(2)设8C=x,则BH=x-1,

CH2+BH2=BC1,

即2?+(x-1)2=x2,

解得x=

即BC=擀千米.

22.（7分）如图，图中数字代表正方形的面积，NACB=120°,求正方形尸的面积.（提示：直角三角形

中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

【答案】见试题解答内容

【分析】作AOLBC,交BC延长线于Q,求出CO=%C=1,AD=V3,根据勾股定理可求出AB,则答

案可得出.

【解答】解：如图，ADLBC,交BC延长线于

VZACB=120°,

：.ZACD^60°,Z£）AC=30°；

1

：.CD=^AC^1,

；.A£）=A/3,

在直角三角形AOB中，BD=BC+CD=3+1=4,AD=V3,

根据勾股定理得：AB2^AD2+BD2=3+16=19；

正方形P的面积=Ag2=19.

23.（8分）如图，△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,BC=6cm,点、M,N是边BC上的两个动点，点

M从点B出发沿着BC以每秒1cm的速度向终点C运动；点N同时从点C出发沿着CB以每秒2cm的速

度向终点B运动，设运动时间为f秒.

(1)当f=l时，求△AMN的面积；

(2)当f为何值时，ZMAN=60°.

【答案】⑴-^―cw2；

(2)f=3-V5或3.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和含30。角的直角三角形的性质求出AH的长，再根据△AMN的面

1

积求解即可；

(2)①当点M与点N相遇之前，ZMAN^60°,将绕点A顺时针旋转120°到△A