湖北省新八校2024-2025学年高二年级上册12月联考数学试卷（含解析）

2024-2025湖北省“新八校”高二年级12月联考数学试题

一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知空间向量u=E=「2,1,2〕，若片与石垂直，则同等于()

A.\5B."C.3D.\41

2.椭圆;;+尸=1(01>°)的焦点在工轴上，长轴长是短轴长的两倍，则优的值为()

11

A.4B.2C.2D.4

3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是()

A,至少有1名女生与全是女生B.至少有1名女生与全是男生

C.恰有1名女生与恰有2名女生D.至少有1名女生与至多有1名男生

4.已知一组数据勺，右，…，X”的平均数和方差分别为80,21,若向这组数据中再添加一个数据80,数据

打，心…，x„,80的平均数和方差分别为1,s2,则()

A.x>80B.x<80c.s?>21D.s?<21

5.在直三棱柱中，48&4=90°,AC=BC*AAt^2,£为4cl的中点，贝坦4与NE所成角

的余弦值是()

画迎1叵

A.10B.15C.2D.10

jf2y2

6.过点M(2,l)的直线/与椭圆百+6=1相交于1,8两点，且M恰为线段的中点，则直线/的斜率为

()

2_233

A.4B.一1C.2D.

7.已知圆Ci：(x+2)z+(y-l)z=l,圆G：：(x-2)2+(y-3)2=4,M,N分别是圆门，Q上的动点,P为x

轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为()

A.4应一3B.24一3C,4应D.5<2-4

8.在空间直角坐标系中，已知向量工=9也c)(abcW0),点Po(M，y()Zo),点若直线/经过点P。,

且以U为方向向量，尸是直线/上的任意一点，则直线/的方程为丁二丁=丁;")若平面"经过点Po,

且以U为法向量，P是平面U内的任意一点，则平面。的方程为a(x-x<J+b(y-y,\+"z-Zn：=Q,利用以上

信息解决下面的问题：已知平面。的方程为x+y+z—1=0,直线/是平面\+L-2=0与平面\-/+I

的交线，则直线/与平面4所成角的正弦值为()

皂显5指6

A.3B.5C.9D.9

二、多选题:本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为07,乙每次命中概率为0.8,甲和乙是否命中互不影响，

甲、乙各投篮一次，贝1()

A.两人都命中的概率为036B.恰好有一人命中的概率为038

C.两人都没有命中的概率为D,至少有一人命中的概率为。7

10.设动直线+y-m-2=0(mWR)与圆C:(x-3)2+(y-4)2=12交于4B两点，则下列说法正确的有

()

A,直线/过定点UN)B.当最大时，m=-l

C.当MSI最小时，m-1D.当41cB最小时，其余弦值为:

11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围

成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长

为27Z棱数为24,它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四

面体所得的，下列结论正确的有()

A.*，i平面GHMN

B.若£是棱的中点，则/龙与平面/FG平行

C.若四边形N5CD的边界及其内部有一点P,!'P\=2:2,则点P的轨迹长度为府

D.若E为线段MV上的动点，则/龙与平面8G尸所成角的正弦值的范围为〔可，3J

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在空间直角坐标系。一X”中，已知点4(3),8(0,1,1),C(1,0,0),则点已到直线BC的距离为__.

13.若曲线y=2+Ji二m与直线y=k(x-i)+4•有两个交点，则实数k的取值范围是.

14.已知双曲线°》a="“>°力।的左、右焦点分别为七,吃,过尸1作一条渐近线的垂线，垂足为

Q,延长&Q与双曲线的右支相交于点尸，若匕［=3八0,则双曲线C的离心率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知圆。的圆心在y轴上，且经过点八3,11,(2,2).

(1)求圆C的标准方程；

⑵过点P(l，5)的直线/与圆C交于4、3两点，若I八阴=2\3,求直线/的方程.

16.(本小题15分)

求满足下列条件的双曲线的标准方程:

门)过点I-2.0),且与双曲线上一彳一।的离心率相等；

,3

口两顶点间的距离为8,渐近线方程为y=±3X-

17.(本小题15分)

半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21M75公里，为全程马拉松距离的一半20世纪50年代，一些赛

事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半

程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知

识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组［20,25),第二组［25,30),第三组［30,35),第四组［35,40),第五组

［40,45］,得到如图所示的频率分布直方图.

h根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄;

(2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若

有甲(年龄36),乙(年龄42)两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随

机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率；

(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为

42和2,据此估计年龄在135,45］内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差.

18.(本小题17分)

如图1,在直角梯形/BCD中，己知48〃。。，48=4〃=加。=1,将△480沿即翻折，使平面5”J.

平面8CD.如图2,8。的中点为。.

h求证：4。1平面BCD;

ixii?

2若40的中点为G,在线段NC上是否存在点〃，使得平面G/仍与平面BCD夹角的余弦值为14若存

在，求出点〃的位置;若不存在，请说明理由.

19.(本小题17分)

有一个半径为8的圆形纸片，设纸片上一定点尸到纸片圆心£的距离为4\亚，将纸片折叠，使圆周上某一

点M与点尸重合，每一次折叠，都留下一条折痕，当M取遍圆上所有点时，所有折痕与〃石的交点尸形

成的轨迹记为曲线C,以点尸，£所在的直线为x轴，线段跖的中点。为原点，建立平面直角坐标系.

门|求曲线C的方程;

(2)若直线，？=4*+01(01>0)与曲线。交于/,8两点.

(i)当人为何值时，I。川？+1。8|2为定值，并求出该定值;

(ii)过/,8两点分别作曲线C的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点。在直线X8-“上，探

究：此时直线/是否过定点?若过，求出该定点;若不过，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】c

解：因为a=（1儿2）,A=1-2,1.21,

£与9垂直，所以a-E=-2+n+4=Q,

解得n=-2,

所以£=（1,-2,2）,

所以向=”+（-2）72?=3,

故选：c.

2.【答案】D

解：；椭圆的焦点在x轴上，

•••a2=m,=1,贝[]u=\m,b=l

又长轴长是短轴长的两倍，

.•-4:2\，”，即m=4.

故选。

3.【答案】C

解：“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.

至少有1名女生与全是女生不是互斥事件，故A错误；

至少有1名女生与全是男生是对立事件，故3错误；

恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确；

至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故。错误.

故选：C.

4.【答案】D

解：由题得：31+*2+'“+区）・80,所以小+肛+…+x.=80n,则新数据平均数为

*=+（勺+孙+”+/+80）=$（80"80）=80;故/吕错误；

且由题意小时8°产+(工・的)“+…+(XL90力.21,所以

(Xj-80)2+(Xj-80)2++(x„-80)*=21n,

则新数据方差为

S2=*■[(*1-80)2+(XJ-8O)2+…+(x„-80)2+(80-80)2)

=占【(刖-80))+(*z-80)2+-+(与-80力=$X21nV21

故。正确.故选：D.

5.【答案】B

解：以G为原点，以67,丽，而为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，

BC=AC=AAt=2,

则12JI.2),f：1.0.0i,8(022),4(2,0,0),

所以荏=(-1,0,-2),«4；=|2,-2,-2),

一次".84；l-上4__妪

所以cos<AE,*-|Af|国A/WZ)>•--2)，♦O15,

故84与/£所成角的余弦值为巾.

故选：B.

6.【答案】D

解：显然M(2,l)在椭圆5+6=1内，

当直线/的斜率不存在，即直线/方程为'=2时，4(2,拘，S(2,-<3),或矶2八团，川2.一\用,

M(2,l)不是线段的中点，所以直线/的斜率存在，

'W+4=1

7g

设8(必必)，贝1|(不+b-1,

J♦.y；)

两式相减并化简得一^4，"一,

4

又力+X；=4,y,+y,=2,代入得i；+：*=",解得卜二一二，故选口

7.【答案】A

解：圆Ci：(x+2)z+(y-l)2=l,圆心为g(-2,l),半径r1=l,圆Cz：(x-2)2+=4,圆心为

C?(2,3),半径为「2=2,如图:

圆C1关于X轴的对称圆为圆Q'：(X+2)2+3+1)2=1,连接的七2,交X轴于尸，交圆G'于〃，交圆G于

N,此时，IPMI+IPM最小，最小值为|PM|+\PN\=IQGl-ri-r?=7(2+2)2+(3+1)2-1-2=4&-3,

故选：儿

8.【答案】A

解：•••平面，1的方程为x+y+z—1=0,：•平面《的一个法向量方=(11，1),

同理，可得平面X+2丫-2=0的一个法向量ri=(1.2.01,平面+1=0的一个法向量B

设平面K•2v2-。与平面、zM-0的交线的方向向量为3=(x,yz),

f-n=x+2y=0

则L"，取J=-2),

设直线/与平面口所成角为°,

贝iJsinO=|cos<m,Q>I=Vl2+la+l2-V(-2)J+12+(-2)2=3,

故选人

9.【答案】AB

解：设事件/为“甲中靶”，设事件5为“乙中靶”，这两个事件相互独立,

对于N,都中靶的概率为。(48)=P(4)P(B)=0.7X0.8=0.56,故/正确;

对于B,恰好有一人中靶的概率为PS)P(H)+P(4)P(B)=07x0.2+0.3x。H=u：＜H,故台正确；

对于C,两人都不中靶的概率为汽AR}=P(A]P(«)=03X0.2=0.06,故C错误；

对于。，至少一人中靶，其对立事件为两人都不中靶，

故至少一人中靶的概率为1-P(而)■1-P(«P(B)«1-0.3x02=0.94,故。错误；

10.【答案】ABC

产-1=0r=1

解：对于选项/,动直线，：mx+y-m-2=0,可得：m(x-l)+y-2»0,由ly-2=0得ly=2,即直线/

过定点(1，2),即选项/正确；

对于选项3,当取得最大值时，直线/过圆心(3,4),则3m+4—m—2=0,得m=-l,选项8正确；

对于选项C,当团印取得最小值时，直线/与(3,4)和(1,2)的连线垂直，经过(3,4)和(1,2)的直线的斜率为1,

故直线/的斜率为-1,故m=l,选项C正确：

对于选项。，当〃CB最小时，|/18|最小，此时，直线/与(3,4)和(1,2)的连线垂直，则

=、，(2、3)2+(3-1尸+(4-2/)=4

(2—尸+(2-)]#_1

由余弦定理可得2"=JX.TX.LJ即选项。错误；

故选：MC.

11.【答案】ACD

解：“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点.

对于A选项，由图可知八(，J-平面GHMN,A选项正确；

对于8选项，根据正方体的几何性质，易知平面4FG〃平面。AHN,

而/ffi1与平面D5HN相交，故HE与平面NFG不平行，2选项错误；

对于C选项，半正多面体的棱长为2\泛，所以正方体的棱长为4,

在正方体中，FQ，平面48cD,得FQLPQ,故IPQI=vl所2・|FQP=\(2\6：・22・2,

所以点尸的轨迹是以。为圆心，2为半径的圆，

又点P在四边形N5CD的边界及其内部，所以点P的轨迹是劣弧48,

所以点尸的轨迹长度为2=",故c正确；

。选项，如图建立空间直角坐标系,

则”(2,4,4),G(4.2,4),F(W),设E(a,2-a,4),则aC[0,2],

所以，花=(a-Z-2-<Mn,HG=(2,-2,0),//F=(2,0.-2),

设平面HGF的法向量为；=,HE与平面〃G尸所成角为0,

(H6n=2x-2y=0

则.7=2x-2z=0,取x=l,贝=

—b-n>

sinO=|cos<HE,

由aw[0,2],可得向”句一.中，故Z）选项正确.

故选

12.【答案】r

解：由题意可得，BA=(0A-1),sc=(l,-l,-l),

府/_

则点/到直线8c的距离为、、

故答案为：*

3

-

4

13.【答案】

解：如图，化简曲线y=2+JT得：xJ+(y-2)2=l,yN2表示以C(ON)为圆心，1为半径的圆的上半

圆.

直线y=k(x-l)+4经过定点4(1,4)且解率为k,半圆y=2+丫呈芋与直线y=k(x-l)+4•有两个交点，

设直线与半圆的切线为半圆的左端点为见-1,2),

当直线的解率后大于的斜率且小于或等于N3的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，

|2十4|

由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时调足

.3.3

解之得""1,即"如二鼠

又因为直线N8的解率力”=1,所以直线的解率左的范围为

故答案为：(「”

14.解：双曲线的方程为营-6*.41〉。1*〉。)，一条渐近线方程为bx-ay=O,

设尸1(-C,O),可得|F】QI=&-妒=7=匕若R・丽,则I吗I-3b,

由双曲线的定义可得IPF/I=俨八12u=3b2a,

在直角三角形QFW中，IOF』=C,

［「/；］•♦俨F1F-1。氏F(〃户+(劝一2a>

coszPFiF2=

在APFiF」中,2xIFJFJIx|PFXI.2x(2r)x(3b)

=c(nzOF|(?=-即有叱一叱+i2ab=12此

b3

即4b2+12ab=12〃，即;；二Q,

则、1+卬2.故答案为：2,

15.【答案】解：⑴设圆心的坐标为门0》)，由题意可得+；1-儿「=\22+(2-次，解得b=2,所

以，圆的半径为r=\：+=2,

因此，圆C的标准方程为/+»-2，；=4

(2)当|48|=2\3时，圆心c到直线/的距离为、/一(2-),

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=l,此时，圆心C到直线/的距离为1,符合题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-5=A(x-l),即kx-y+5-k=0,贝严一1，解

得k-此时，直线/的方程为4x-3y+11=0一

综上所述，直线/的方程为*=1或4x-3y+11=0.

16.【答案】解：由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，且。:2,

双曲线二・16—।的离心率为J1+642,

£_£_J5

则)=G=2,得c=7写，故b=l,

所以双曲线的方程为：一丫,=1；

⑵由题意知a=4,

b_b3

当双曲线的焦点在X轴上时，U=4=2得b=6,

所以双曲线的方程为4一二二|;

043.8

当双曲线的焦点在》轴上时，Z-Z二，得。二;­,

y2X2_

所以双曲线的方程为16一¥=L

x2y2R.

综上所述，双曲线的方程为TT「宝=1或16一不=】•

17.【答案】解：T)设参与知识竞赛者的平均年龄为X,

则x=(22.5x0.02+27.5x0.07+32.5X0.05+37.5X0.04+42.5X0.02)X5=31.75.

门由题意得，第四组应抽取。2K2。-I人，记为4(甲)，B,C,D,

第五组应抽取。1x20=2人，记为E(乙)，F,

对应的样本空间为：

a={(4B),(4G，(4D)，(4©,(3(B,C),(B,D),(8,E)(8F)(C,D),(CE),(CC3),(E,F)},

设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，

则M=1n.(6JUCJUDEMEJU

_.„MM)93

所以p(zs♦切W

13)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4,4，方差分别为回，

则行=36,布=42,、[=1,St=2,

设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为)，方差为M,

-4xji2xy4x36f2x42”

则，=-=--------6-------=38,

产・洞/OHW.gfri.g-z)2]=箱+(36-38%+彳[2+(42-38)]■§

28

据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38,方差为一

18.【答案】解：⑴证明：因为八8一八仇3。的中点为。，所以4018。，

又因为平面，WD1■平面BCD,平面八。DC平面BCD=8。，40u平面4a0,

根据面面垂直的性质可得4°J-平面BCD；

2)取DC的中点为M,连接M0,则MO〃BC,由图1直角梯形可知，/氏以)为正方形，

0M»CM>1,BD*BC=v2,DC=2,..BDIBC,BD1OM.

由LIM。1平面BCD,可知OD,OM,CM两两互相垂直，

分别以OD,OM,CM为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,

z

II

则0（0.0.0）,矶¥，0，¥）B（-乎,0,0）C（一¥、”）），4（。°」,

设布=沆（04441）,一¥九\24-¥久+子）

GH=（一¥"乎,\,124一当入+乎）GB"..

/勺七味，4*

设平面GHB的法向量为n-ILV2）,

\GH•7=（■辛人一芋）x+gy+

­•1—A-»1T

取x=l,则”=（1，丁广3）,即平面G/ffi的法向量为"=（1，丁，-3）

由4。1平面BCD,取平面BCD的法向量m=（0,0,1）,

设平面GHB与平面BCD的夹角为0,

"»一，Im•n|।卜3|3/TT

一•­兀>|=।二」=[\14-

则cosO=|cosVm,|m||n|ql+（亍>+（-3）214

解得“=;或4=一1（舍）

所以，线段NC上存在点〃，使得平面与平面BCD夹角的余弦值为2'」,

点〃位于线段NC靠近/的三等分点处.

19.【答案】解：（1）由题意可知，\PF\+\PE\=\PM\+\PE\=\ME\=8>\EF\=4,

所以点尸的轨迹是以尸，£为焦点，长轴长为8的椭圆,