函数的图象与性质-2025年高考数学二轮复习学案（含答案）

专题十五函数的图象与性质

【题型分析】

考情分析：

1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、值

域、最值、奇偶性和单调性.

2.利用函数的性质推断函数的图象.

3.利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解集.

题型1函数的概念与表示

典例精析

2%+1

(41og；XM'x>l且五附则16-附=().

A.-lB.-3C.-5D.-7

(2)已知函数人2x+l)的定义域为［-1,1),则函数Hl-x)的定义域为.

方法总结：

1.形如/(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

2.对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地判断利用哪一段求

解.

G跟踪训练

1.已知函数於)=6：+O'”<4则12+叫23)=().

,x34,

A.8B.12C.16D.24

2.函数人为=正三的定义域为.

x-i

题型2函数的图象

典例精析

例2(1)(2024年全国甲卷涵数/)=i+(exex)sinx在区间［-2.8,2.8］的图象大

(2)已知函数I/(x)=2x*l,则不等式人劝>0的解集是().

A.(-l,1)B.(-oo,-1)U(1,+oo)

C.(0,1)D.(-oo,O)U(1,+oo)

方法总结：

1.确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等进

行判断，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.

2.函数图象的应用主要体现在借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式

恒成立、最值、交点、方程的根等问题.

G跟踪训练

1.函数“xACAZx-Dlnlxl的大致图象可能为().

JuvL

—21广丁。1-i¥

X

：?\

ABCD

2.已知函数五x)="黑2(x-l)|p01，若关于x的方程五x)=机有3个不相等的实数根,

(|3-l|<x<l,

则机的取值范围是.

题型3函数的性质

考向1J单调性与奇偶性

典例精析

例3已知奇函数人x)在R上单调递增，且五2)=1,则不等式次x)+l<0的解集为

().

A.(-l,1)B.(-2,2)

C.(-2,+oo)D.(-oo,-2)

方法总结：

奇偶性、单调性的综合应用

利用函数的奇偶性可将函数式转化，利用单调性可解决常见不等式问题.在综合

性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质，适当应用解题技巧化简求值，解

题时，一定要特别注意函数的定义域.

E跟踪训练

已知函数_/(x)=eX-e-x+x,则不等式_/(2"z-2)+yO+l)>0的解集为.

考向2J奇偶性、周期性与对称性

典例精析

例4多选题已知对任意XGR,都有危)=H-x),且Hx+l)为奇函数，当xG[O,

1)时,於)=尤2,则().

A.函数人为的图象关于点(1,0)中心对称

B.«r)是周期为2的函数

c./-l)=o

方法总结：

1.函数图象的对称中心或对称轴

⑴若函数火%)满足关系式加+x)=/S-x),则函数的图象关于直线％二警对

称.

(2)若函数於)满足关系式=26,则函数的图象关于点6)对

称.

2.函数的周期性

⑴若函数人x）满足Hx+a）=/（x-a）或火x+2a）=*x）（其中a为非零常数）,则函数y=/（x）

的周期为21al.

（2）若xx+a）=-y（x）（或«v+a）=六），其中人乃邦，a为非零常数，则兀v）的周期为

2\a\.

（3）若外）的图象关于直线x=a和x=6（相邻）对称，则外）的周期为2\a-b\.

（4）若Xx）的图象关于点（a,0）和直线x="（相邻）对称，则火为的周期为41adl.

同跟踪训练

1.已知定义在R上的函数4%）满足«r+2）y-x）=-y（x）,当0<烂1时,y（x）=log2（x+l）.

若五a+1）/a）,则实数。的取值范围是（）.

A（|+4左，-|+4左），k£ZB.（-l+4左,4k）,左©Z

C.（-1+4jl,1+4%），kGZD.《|+4左,|+4^）,kb

2.（2022年全国乙卷）已知函数人x）,g（x）的定义域均为R,且人x）+g（2-x）=5,g（x）-

22

於-4）=7.若产g（x）的图象关于直线x=2对称，g（2）=4,则阖J左）=（）.

A.-21B.-22C,-23D.-24

【真题改编】

1.（2024年新高考全国/卷，T6改编）已知函数危尸卜蒙匕尤16，、公若数列

（e-o十xo,

｛丽｝满足斯=X〃）（“CN*）,且｛丽｝是递增数列，则实数a的取值范围是（）.

A（co,9]B.[00）C.岛,0）D.、+co）

2.（2024年新高考全国/卷,T8改编）已知函数人x）的定义域为R,对任意x,y©R,

都有兀什丁）+70丁）=〃》处），则下列结论一定错误的是（）.

A<0）=1B<0）=0C.^l）=0D<1）=-2

3.（2022年全国乙卷，文科T8改编）如图，这是下列四个函数中的某个函数在区

间[-3,3]上的大致图象，则该函数是（）.

-3/-10|

%-3x

%2+1

_x3+x

x2+l

4.（2021年全国乙卷，理科T4改编）已知定义域为R的函数Hx）的图象关于点（-1,

-1）对称，则下列函数为奇函数的是（）.

A.>-1）-1B./OD+1

C./（x+l）-lD./（x+l）+l

5.（2021年全国甲卷，理科T12改编）设函数五x）的定义域为R,4》+1）为奇函数,

火工+2）为偶函数，当xG[l,2]时，_/（%）=。/+6.若犬0）甘；3）=6,则当xG[2,3]时,

人劝的解析式为.

【最新模拟】

（总分：84分单选题每题5分，多选题每题6分，填空题每题5分）

强基训练

1.设函数人》）=斤万，则函数/《）的定义域为（）.

A.（-co,6]B.（-oo,3]

C.[3,+oo）D.[6,+oo）

2.已知函数人x）为R上的奇函数，且当x>0时，火x）=|log汲1,则式-四）=（）.

5544

A.-D.--

9999

3.下列函数中，为奇函数且在（0,1）上为减函数的是（）.

1

A.fix）=4x+-B.於）=x+sinx

c.»=^D.»=VF^

2-i

4.函数Hx）=A的图象大致是（）.

X

In%x>1,

0,0<%<L若式2〃-1）-1或，则实数a的取值范围是（）.

（xx<0,

6.已知函数人x)和火*2)均为R上的奇函数，若火-1)=2,则H2025)=().

A.-2B.-lC.OD.2

7.多选题定义在R上的函数;(x)满足式盯+l)=/a)m)+Hy)+x,则().

A次0)=0B./(l)=0

(2於+1)为奇函数D於)为增函数

8.已知偶函数五的的定义域为。，函数人x)在(0,+8)上单调递减，且对于任意a,

b£D,存0,厚0均有人时)=/0)"。)，则符合要求的一个函数人为为.

9.若函数Hx)=ex+ae*(a©R)为奇函数，则不等式人山x)|lnx|)的解集为.

能力提升

io.函数於)=Vf二+豉的最大值为().

A.lB.V2C.V3D.2

11.设»=^3-log2（VPTT-x）,则对任意实数a,b,tta+^<0,,>t»+A^），，<0的

）.

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

12.多选题已知函数人劝对任意实数x均满足一1)=1,则().

A.1A-x)=/(x)

B.XV2)=1

c.^-l)=|1

D.函数人x)在区间［遮，g］上不单调

13.多选题已知函数Hx)的定义域为R,加+2)+於)=0,且函数_/(2x+l)为偶函数,

则().

A.7(x)是奇函数

B/2024)=1

c.y(x)的图象关于直线x=i对称

2024

D.y五左)=2024

14.设而0为定义在整数集上的函数，火1)=1,火2)=0,於1)<0,对任意的整数x,

y,均有於+,)=於次1-,)+犬1-切3)，贝1U55)=.

创新思维

15.多选题(北师大版必修第一册P73C组T2改编)已知函数人x)对任意m,n£R,

都有八2附次2〃)=纨冽+切刖力)，且火1)邦，贝M).

A»=l

B.函数火力的图象与曲线丁=。％。>0且存D经过相同的定点

C.函数人x)的图象关于原点对称

D.若人2024)=晨贝1]/-2024)=左

2x+2,x

16.(原仓！J)已知函数fix)-e(-L0],则不等式»>log3(2x+l)的解集

x+2,%.W(0,2],

为

参考答案

专题十五函数的图象与性质

分类突破题型分析

题型1函数的概念与表示

例1(1)D(2)(-2,2]

【解析】⑴由题意知，当壮1时，加《)=2"-i-8=-12,得2叱1=-4,又2加+1>0,所

以方程2"什1=-4无解；

当机>1时，人附=41(增("2+1)=-12,得logy〃2+l)=-3,即机+1=8,解得m=7,满

足题意，所以H6-m)=/(-l)=21+i-8=-7.

(2)由函数火2x+l)的定义域为[-1,1),得-1夕<1,则2x+l£[-l,3),4-1<1-X<3,

解得-2〈止2.

故函数人1-x)的定义域为(-2,2].

跟踪训练

1.D

【解析】由l<log23<2,得3<2+log23<4,

所以12+log23)=/(3+R)g23)=23+1°g23=23x21°g23=24.

故选D.

2.[-4,1)U(1,4]

【解析】因为Hx尸匹军,

X-1

所以164对且x-1和，解得-4M4且存1,故函数人x)的定义域为[-4,1)U(1,

4].

题型2函数的图象

例2(1)B(2)D

【解析】⑴因为於x)=-x2+(e-x-ex>sin(-x)=-x2+(eX-e-x)sinx=j(x),

又区间[-2.8,2.8]关于原点对称,所以函数於)在区间[-2.8,2.8]上为偶函数,其

图象关于y轴对称，故可排除A,C.

i/(l)=-l+(e--)sinl>>l+(e--)sin?=£-1>0,

J\e，\6Z2e42e

故可排除D.故选B.

(2)在同一平面直角坐标系中画出/z(x)=2*,g(x)=x+l的图象，如图所示.

由图象得两个函数图象的交点坐标为(0,1)和(1,2).

又危)>0等价于2、>x+l,结合图象，可得x<0或x>l.

故於)>0的解集为0,0)U(l,+g).故选D.

跟踪训练

1.A

【解析】函数段)=(转2/1)1巾|的定义域为{%-0},故排除B项、D项,

又=-学1若=学112>0,所以排除C项.故选A.

\N'oZo

[1-2]

【解析】由的解析式作出五X)的大致图象，如图所示，

方程五》)=机有3个不相等的实数根等价于八工)的图象与直线尸机有3个不同的

交点，则19iW2.故机的取值范围是[1,2].

题型3函数的性质

考向1单调性与奇偶性

例3D

【解析】由兀0+1<。，可得兀0<-1，

因为五X)是奇函数，且#2)=1,所以穴x)勺(-2).

因为五x)在R上单调递增，所以x<-2,

故不等式加0+1<0的解集为(@,-2).

故选D.

跟踪训练+oo

【解析】：7(x)的定义域为R,y(-x)=ex-er-x=-y(x),

.4x)为定义在R上的奇函数.

：>=ex,y=-e”与y=x均为R上的增函数，

为定义在R上的增函数.

由fi2m-T)+J[m+1)>0得火2机-2)>十机+1)习(-机-1),

.：2m-2>-m-l,解得机>%.：不等式五2m-2)/机+1)>0的解集为信+oo).

考向2奇偶性、周期性与对称性

例4ACD

【解析】由火工+1)为奇函数得於x+D=-_/(x+l)，

即J(-x)+J(x+2)=0,

故Hx)的图象关于点(1,0)中心对称，故A正确；

由f(-x)=fix),火-x)+«x+2)=0得fix)=-f(x+2),所以f(x+2)=-fix),

所以於+4)=-於+2)=於)，

即汽x)是周期为4的函数，故B错误；

由於x+l)=於+1),

令x=0,得火1)=皿1),所以火1)=0,

故火-D=/Q)=o，故c正确；

当go,1)时，»=x2,

因为五x)的周期为4,且对任意x©R,都有人x)=/(-x),

所以/(1)可(9)=/C)4故D正确.

跟踪训练

1.D

【解析】因为所以兀V)为奇函数.

又因为y(x+2)=y(-x),所以y(x)的图象关于直线x=i对称.

由於+4)=由x+2)=/G)知於)的一个周期为4.

因为当0<立1时，段)=log2(x+l),所以五X)在(0,1］上单调递增,

函数五X)的图象如图所示，

根据图象可知，若检+1)次。)，则->4衣。+1<|+4左，k《Z,

解得-|+4ka<>4瓦kGZ,所以实数a的取值范围是(-|+4比>4左)，MZ.

故选D.

2.D

【解析】由y=g(x)的图象关于直线x=2对称，可得g(2+x)=g(2-x).

在人x)+g(2-x)=5中，用-x替换x,可得於x)+g(2+x)=5,可得於x)=/(x)，贝1J产次0

为偶函数.

在g(x)-fix-4)=l中,用2-%替换x,得g(2-x)=fi-x-2)+l,代入兀x)+g(2-X)=5中，

得人x)+/(-x-2)=-2,所以y=/G)的图象关于点(-1，-1)中心对称，所以火1)=A-1)=-

1.

由火-x)=/(x),/(x)+式-x-2)=-2,可得4x)+4x+2)=-2,所以人%+2)+4》+4)=-2,所以

>+4)=/(x),所以函数人x)是以4为周期的周期函数.

由«v)+g(2-x)=5可得>/(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以汽0)=1.又«r)t/(x+2)=-2,所

以汽0)+八2)=-2,得人2)=3

22

又汽3)="1)=-1,汽4)=H0)=1,所以盅八女)=秋1)+较2)+第3)+5液4)=6x(一l)+6x(-

3)+5x(-l)+5xl=-24.

故选D.

分类突破真题改编

1.C

_2ax-a%<6,

【解析】函数人为=当x>6时，«x)=e%-6+ln(/5)单调递增，又

ex-6+%之6,

痴」(〃)(〃£N*),且｛〃〃｝是递增数列,

<2>0,

则-2解得

-2<2X5—a<e°+Ini,

故选C.

2.D

【解析】因为函数丁守⑴对任意x,y©R,都有/(x+y)tAx-y)=»(x)：/(y),所以令

x=y=o,有火0)"0)=次0)次0),即次0)次0)1=0,所以人0)=0或h0)=1.

令x=y=],机为任意实数，有/(加)+式0)=母(引•/(引,即加)=4管)•_/(])由0).

因为，管廿管)为所以火加巨皿0)，

当火0)=0时，人机巨0；当人0)=1时，&n)N-l.

故兀0的值不可能是2

故选D.

3.A

【解析】设/)=穿，则加)=0,故排除B；设贴尸笔当当xG2，0)时，

0<cosx<1,所以〃(x)=吗等<若口，故排除C；设g(x)=冷呼,贝|Jg(-3)=等>0,

%4+1%乙+1%4+11U

故排除D.故选A.

4.B

【解析】对于A,函数人x)的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位

长度，可得函数五x-D-l的图象，则函数五x-D-l的图象的对称中心为(0,-2)；

对于B,函数次用的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，可

得函数人+1)+1的图象，则函数人41)+1的图象的对称中心为(0,0)；

对于C,函数人》)的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，可

得函数兀什1)-1的图象，则函数Hx+D-l的图象的对称中心为(-2,-2)；

对于D,函数人x)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，可

得函数兀什1)+1的图象，则函数兀什1)+1的图象的对称中心为(-2,0).

故选B.

5/X)=-2(X-4)2+2

【解析】因为於+1)是奇函数，所以火-》+1)=加+1),①

因为人x+2)是偶函数，所以火x+2)=於x+2),②

令X=l,由①M7(0)=皿2)=-(4a+。)，由领人3)=/Q)=a+k

因为人0)47(3)=6,所以-(4a+0)+a+Z?=6,即a=-2,

令元=0,由少得加)=贝),则加)=0，即6=2,所以火X)=-2N+2.

当Xd[2,3]时,4-%e[l,2],^4-x)=-2(4-x)2+2=-2(x-4)2+2,

又八4-x)=A2+2-x)=A2-2+x)=/(x),所以AX)=-2(X-4)2+2.

分类突破最新模拟

。解询1附

1.A

【解析】由题意得8-2吟0,解得烂3,

则函数焰)满足泊，解得烂6,

即函数焰)的定义域为(-8,6].

故选A.

2.A

【解析1y(V4)=|log2V4-l=|log223'l=|X|'l

因为汽x)为R上的奇函数，所以於返)=：/(游)=£.故选A.

3.C

【解析】对于A,於)为双勾函数，於)是奇函数，於)在(0,当上单调递减，在(

+oo)上单调递增，故A不符合；

对于B,兀0的定义域为R,/(-x)=-x+sin(-x)=-x-sinx=-J(x),所以兀0是奇函数，

又八x)=l+cosxNO,所以«v)在R上单调递增，故B不符合；

对于C,因为2M加，即；#0,所以人功的定义域为{讣由)},又於乃=芸坦=注=一

f(x),所以火X)是奇函数，又八%)=/2=1+4-在(0,+8)上单调递减，故C符合；

2-12-1

2

对于D,因为1-必川,所以X201,所以人X)的定义域为[_1,1]；Xy(-x)=Vl-x=j{x),

所以五X)是偶函数，故D不符合.故选C.

4.D

【解析】由题意知火力的定义域为(-8,0)U(0,+8),定义域关于原点对称，且

y(-x)=i(-x)2-4i=-^L4i=-/(x),

故人X)是奇函数，故A错误；

当x>2时，>/<>)=区4=£坦

XXX

又产x,y=q在(2,+oo)上均单调递增，

所以人x)=x：在(2,+oo)上单调递增，故B,C错误.

故选D.

5.D

【解析】因为八2-1)-上0,所以裕2a-l)Wl.

①当2%1之1时，f(2a-l)=ln(2a-l)<l,解得—W竽

②当0<2t;-l<l,即三。<1时，y(2tz-l)<l恒成立.

③当2%1<0,即时，汽2a-1)9恒成立.

综上所述，实数。的取值范围是(-8,孚］.故选D.

6.A

【解析】因为汽x-2)为奇函数，所以函数人x)的图象关于点(-2,0)对称，即汽

4)=0.

又函数兀0的图象关于原点对称,所以五-x)=：/(%),所以兀0y%-4),即«x+4)=«x),

所以函数段)的周期为4,故人2025)=/Q+4x506)=/a)=KD=-2.

故选A.

7.BCD

【解析】由题意，火盯+l)=/(x)a)+/(y)+x，

对于A,B,当尤=0,产1时，火1)=犬0)贝)+火1),即即)次1)=0,

解得汽0)=0或火1)=0,

当人0)=0时，令尸0,贝1^1)=/⑴/(O)+M))+x=x,

由于x具有任意性，故人0)=0不成立，

,VU)=0,A错误，B正确；

对于C,当y=l时，«v+l)」切⑴切;D+x=x，

：7(x+1)+/(-x+1)=x-x=O,

.忧x+1)为奇函数，C正确；

对于D,由C项可知Hx+l)=x,则火x)=x-l,故人x)为增函数，D正确.

故选BCD.

8.y=-log2|x|(答案不唯一)

【解析】设函数於)=-log,"|x|(/n>l),

当X©(0,+00)时，可得小尸-logmX,此时函数危)在(0,+oo)上单调递减，

又log"，"=log»itz+\ogmb,所以满足f(ab)-f(a)+fib),

故y=-log,“|x|(加>1)均满足要求.

9.(0,1)

【解析】易知兀0的定义域为R，又人》)为奇函数，.40)=0,得。=-1,

・：火工)=©，七"，，:H工)为奇函数且在R上单调递增.

又7(lnx)</(|lnx|),.：lnx<|lnx|,.：lnx<0,.：0<x<l.故原不等式的解集为(0,1).

能力提升

10.D

【解析】函数#X)=V1-％+V^的定义域为［0,1］，

令a=71_X，b=y/3x,则gagl,0<Z?<V3.

(7=sin0,b=V5cos6(0W光色),可得a+b=2sin(e+1),

当6=2时，取得最大值，最大值为2,

所以函数氏0=，1—久+后的最大值为2.

故选D.

11.C

【解析】由题意知，函数兀0=由-1082(，为2+1-X)的定义域为R,

且f(X)=X3-log2(V%2+1--^)=三+10g2(X+V%2+1)，

232

H-X)=(-X)3+log2(-X+V%+l)=-X-log2(X+V%+1)=^)，

所以fix）=x3+log2（X+，％2+1）为奇函数

因为函数尸一与产x+，％2+1在［0,+CO)上均单调递增，所以於)在［0,+00)上单

调递增.

因为函数加0为奇函数，所以五X)在(-00,0)上也单调递增.

又因为人0)=0,所以函数“X)在R上单调递增.

由a+6W0,可得aW-b,所以火。)#6)，所以人。)+犬。)或.

反之，由_/(a)+/(b)WO,可得人。)［-。)，解得好力，即a+6W0.

故对任意实数a,b,“a+店0”是％。)+型)WO”的充要条件

故选C.

12.ACD

【解析】在沙口)+火/一1)=1中，

对于A,令-x替换无，则2/(-x)+/x2-l)=l,

所以於%)=於)=1一勺")，故A正确；

对于B,令x=l,则浜1)+X0)=1,

令x=0,贝I］次0)次-1)=肌0)犷1)=1,解得人0)=/⑴=，

令尸也得纵②+H1)=1,则危②=全故B错误；

对于C,由A知，於x)=/(x),所以於1)=/⑴故C正确；

对于D,令x=xM,所以％2a1=0,解得％=1土石,

2

令x=l竽,则次节写以工竽)=1,

所以/(号1)4,因为与1©(四，V3),/(苧)=危②《，

所以函数人x)在区间［四，8］上不单调，故D正确.

故