高考数学压轴题专项训练：一元函数的导数及其应用（利用导函数研究切线单调性问题）（选填压轴题）含答案及解析

专题03一元函数的导数及其应用

(利用导函数研究切线，单调性问题)(选填压轴题)

目录

一、切线问题........................................................1

①已知切线几条求参数.............................................1

②公切线问题.....................................................2

③和切线有关的其它综合问题......................................3

二、单调性问题......................................................3

①已知单调区间求参数............................................3

②由函数存在单调区间求参数......................................4

③已知函数在某区间上不单调求参数................................5

④利用函数的单调性比大小........................................5

一、切线问题

①已知切线几条求参数

1.(2023•全国•高二专题练习)过坐标原点可以作曲线y=(x+a)e，两条切线，则。的取值范围是()

A.(-e,0)B.(-4,0)

C.(-<»,-e)u(0,+co)D.(-<«,-4)u(0,+OO)

2.(2023•陕西宝鸡•统考二模)若过点(0,2)可作曲线y=V+3x2+办+。一2的三条切线，贝壮的取值范围

是()

A.(-3,-1)B.(-2,2)C.(4,5)D.(4,6)

3.（2023春・广东深圳•高二统考期末）已知点A在直线x=2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线

y=相切，则点A的轨迹长度为（）

A.2B.4C.6D.8

X—n

4.（2023春・广东佛山•高二校联考阶段练习）已知/（%）=一1（。。0）只有一条过原点的切线，则〃=.

e

5.（2023春・四川•高二统考期末）已知函数〃句=一「+2^—工+1,若过点尸（1,。可作曲线y=/（x）的三

条切线，则/的取值范围是.

6.（2023•全国•高二专题练习）若曲线C：〃x）=（尤2-4彳+5”-2e有三条经过点A（a,0）的切线，则。的范

围为•

②公切线问题

1.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数/（x）=ln（x+l）,g（x）;也已?》），若直线>=履+。

为/（丈）和g（x）的公切线，则6等于（）

A.；B.l-ln2C.2-ln2D.-In2

2.（2023春•河北保定•高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）若曲线〃x）=勺笈<0）与g（x）=ex有三条

公切线，则上的取值范围为（）

3.（2023春•湖北•高二武汉市第四十九中学校联考期中）若直线无+>+口=。是曲线〃句=丁+反—14与曲

线g（x）=d-31nx的公切线，则”匕=（）.

A.26B.23C.15D.11

4.（2023春•辽宁鞍山•高二东北育才学校校联考期末）已知函数/（x）=Y-〃a,g（尤）=ln尤+，nx,若曲线

y=八尤）与曲线y=g（x）存在公切线，则实数m的最大值为.

5.（2023春•安徽六安・高二六安二中校联考期中）设直线/是函数〃x）=x+lnx,和函数

g（x）=g/+4x+l的公切线，则/的方程是.

6.（2023春・江苏苏州•高二校联考期中）己知函数"x）=In尤,g（尤）=gY+机若曲线丁=/⑺与曲线

y=g（x）有公切线，则实数机的取值范围为.

口和切线有关的其它综合问题

1.（2023春•江西吉安・高二统考期末）若动点P在曲线y=e'+无上，则动点P到直线y=2x-4的距离的最

小值为（）

A.75B.e+1C.2指D.2e

2.（2023•全国•高三专题练习）己知实数b,Jd满足|为（"1）_勿+匕_“+2|=0,则①一4+出一“）2的

最小值为（）

A.20B.8C.4D.16

3.（2023・全国•高三专题练习）若x、a、6为任意实数，若（a+l）?+（b-2）?=1,贝I]（尤-4+Qnx-4最小

值为（）

A.272B.9C.9-472D.272-1

4.（2023・全国■高三专题练习）已知In%[-X]+2=0,x2+2y2-21n2-6=0,记M=（玉-马）？+（必-yj,

则M的最小值为.

5.（2023春•江苏南京•高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）若匕声=匹匚=!，则

（X[+（y的最小值为.

二、单调性问题

①已知单调区间求参数

1.（2023春•广西南宁・高二宾阳中学校联考期末）已知函数〃司=祀，-111%在区间（2,3）上单调递增，贝匹

的最小值为（）

A.2e_2B.eC.e-1D.-e2

2

2.（2023春•吉林松原・高二长春市九台区第一中学校联考期末）已知函数/（x）=lnx+ax2一3元在（；,3）上单

调递增，则。的取值范围为（）

9、

C.[r-,+<»)D.

8

3.（2023春•河南周口•高二校联考阶段练习）已知函数/（x）=asinx+cosx在区间上单调递减，

则实数。的取值范围是.

4.（2023春•高二课时练习）已知函数〃x）=gx3-g加+g-i）HacR）是区间0,4）上的单调函数，则。

的取值范围是.

5.（2023春•高二单元测试）设函数/。）=履3+3仅-1）1一人2+1在区间（0,4）上是减函数，则上的取值范围

是.

②由函数存在单调区间求参数

1.（2023春•四川眉山•高二统考期末）若/5）=-$3+92+2依在（2,+00）上存在单调递增区间，则。的

取值范围是（）

A.（-oo,l]B.（l,+oo）C.[0,+oo）D.（一8,0）

2.（2023春•河北邯郸•高二校联考期中）若函数〃x）=lnA+g"2在区间（1,2）内存在单调递增区间，则实

数。的取值范围是（）

A.（―℃,—1]B.,+°°^C.^-1,-—D.（—1,+co）

3.（2023春・山东泰安•高二统考期末）已知函数〃x）=（x-1户-如在区间[2,4]上存在单调减区间，则实

数机的取值范围为（）

A.[4e4,56+oo）B.（2e2,4e4）

4.（2023春・江西抚州•高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数/（x）=（且在R上存在单调递增区

间，则。的取值范围是.

5.（2023春・广西•高二校联考期中）若函数/（刈=/一3加+彳在[1,3]存在单调递减区间，则。的取值范

围为•

6.（2023・全国•高二专题练习）若函数/（%）="2+%_加存在增区间，则实数a的取值范围为.

③已知函数在某区间上不单调求参数

7

1.（2023春・湖南湘潭•高二湘潭县一中校联考期末）已知函数〃“="2+1在（1,+«））上不单调，则实数。

的取值范围是（）

A.（-co,l）B.（0,1）C.（1,+co）D.

2.（2023春•湖南岳阳•高二湖南省岳阳县第一中学校考期末）已知函数/（x）=--aln尤+1在（1,3）上不是单

调函数，则实数。的取值范围是（）

A.（2,18）B.[2,18]

C.（-8,2）318,+⑹D.[2,18）

3.（2023春・四川自贡•高二统考期末）若函数〃x）=2d-Inx在其定义域的一个子区间（01,左+1）内不是

单调函数，则实数%的取值范围是（）

A.[ifB.C.gD.

4.（2023春・上海松江•高二上海市松江一中校考期末）函数旷=三+（左k+5）x-1在（0,3）上不单调，

则实数上的取值范围是.

5.（2023春•陕西西安•高二统考期末）若函数〃x）=2x2-alnx+l在（a-3,a）上不单调，则实数。的取值

范围为.

6.（2023春•上海杨浦•高二复旦附中校考期中）己知函数y=/（X）=7x+HCOS（3X+7）在定义域R上不单调，

则正整数〃的最小值是.

口利用函数的单调性比大小

1.（2023•江苏徐州•校考模拟预测）已知。=31g2Jgl2,6=号吐，c=1+21n3,贝|（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

2.（2023•江西赣州•统考模拟预测）已知。=ln],6=0=屋上则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

b2024

3.（2023春•江西上饶•高二统考期末）已知实数：a,b,ce（O.l）,且a=2023尸2。23,b=2O24e-,

。=20251。25,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

专题03一元函数的导数及其应用

(利用导函数研究切线，单调性问题)(选填压轴题)

目录

一、切线问题........................................................1

①已知切线几条求参数.............................................1

②公切线问题.....................................................2

③和切线有关的其它综合问题......................................3

二、单调性问题......................................................3

①已知单调区间求参数............................................3

②由函数存在单调区间求参数......................................4

③已知函数在某区间上不单调求参数................................5

④利用函数的单调性比大小........................................5

一、切线问题

①已知切线几条求参数

1.(2023•全国•高二专题练习)过坐标原点可以作曲线y=(x+a)ex两条切线，贝U。的取值范围是()

A.(-e,0)B.(-4,0)

C.(-<o,-e)u(0,+oo)D.(-oo,-4)u(0,+<»)

【答案】D

【详解】；y-(x+a)ex,/=(x+l+a)e',

设切点为(毛,％),则%=(3+a)e为,切线斜率左=(%+l+a)e~,

切线方程为y—(5+a)e*=(/+l+a)e&(尤一尤0),

•.,切线过原点，，一（％+a）e&=（2+l+a）e拓（一四）,

整理得：Xg+ax0—a=0,

丫切线有两条，,A=片+4a＞0,解得。＜-4或。＞0,

二。的取值范围是（YO,T）（0,+OO）,

故选：D

2.（2023•陕西宝鸡•统考二模）若过点（0,2）可作曲线丁=炉+3/+办+a-2的三条切线，则。的取值范围

是（）

A.（―3,—1）B.（—2,2）C.（4,5）D.（4,6）

【答案】C

【详解】设切点为尸（无0，片+3/+稣+。一2）,

由函数y=x3+3x?+ox+a-2,可得y'=3x2+6x+a,则y'1=否=3x；+6x（）+a

所以在点尸处的切线方程为y-&+3尤;+儆+4-2）=（3X：+6x0+a）（x-x0）,

因为切线过点（0,2）,所以2-（片+3,+m：o+a-2）=（3君+6々+4）（0。々）,

整理得+3XQ+4-a=0,

设g（%）=2尤3+3%之+4一々，所以/（%）=6x2+6x,

令g'（x）＞0,解得了＜一1或%＞0,令g'（%）＜0,解得一l＜x＜0,

所以＜?（1）在（-8,-1）上单调递增，在（-L0）上单调递减，在（。,+。）上单调递增，

要使得过点（0,2）可作曲线y=V+3/+双+〃—2的三条切线，

则满足j；；0）：4_q＜0,解得4＜。＜5,即0的取值范围是（4,5）.

故选：C.

3.（2023春•广东深圳•高二统考期末）已知点A在直线x=2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线

y=V-x相切，则点A的轨迹长度为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【详解】由题意，

设点A（2,a）,过点A的直线/与曲线y=/-无相切于点B（x0,%）,

y'=3x2-l,/的方程为丁一（君一%）=（3君一l）（x-Xo）,

（3x；—1）（2—/）=q—x；+/，化简得a=—+6片一2,

设g（x）=-2x3+6x2-2,g，（x）=-6x2+12x,

g(x)在区间(y,0),(2,y)上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，

•••若过点A恰有三条不同的直线与曲线>=炉-天相切，

g(0)=-2,g(2)=-2x23+6x22-2=6,

•••满足条件的毛恰有三个，

g(0)<a<g(2),即

•••点A的轨迹长度为8.

故选：D.

4.(2023春•广东佛山•高二校联考阶段练习)已知只有一条过原点的切线，贝。”.

e

【答案】-4

【详解】依题意，设切点坐标为［私丫J,

因为/")=一，则/⑴=二

eee

所以切线的斜率为:(加)="+卢1—W，

e

故切线的万程为y----=——-—(x-m),

ee

irj—Z7/7+1—m

因为切线过原点，所以。-——=——(o-m),整理得苏-〃机-l=0,

ee

X—Z7

因为/(尤)=一1(〃W0)只有一条过原点的切线，

e

所以方程苏-〃机-〃=0有且只有一个实数根，

故△=(一。了一4(-〃)=0,即〃2+4Q=0,解得a=y或。=0(舍去)，

所以a=-4.

故答案为：—4.

5.(2023春•四川•高二统考期末)已知函数/(X)=-%3+212—HI,若过点614可作曲线>=〃力的三

条切线，则/的取值范围是.

【答案】(1,II)

【详解】设过点P。,。作曲线y=/(x)的切线的切点坐标为(无。,-片+2年-%+1),

由/(x)=—Y+2f—x+1求导得：/(%)=—3f+4x—1,则切线斜率％=-3需+4%o—1,

-x

切线方程为y~(o+2x；-x0+1)=(-3XQ+4X0-1)(X-X0),

于是"(—3%Q+4x0—1)(1—x0)+(—%；+2XQ—x0+1),整理得t=2%Q—+4x0,

令g(%)=2d-5x2+4x—t,求导得g'(X)=6x2-10x+4=2(3x-2)(x—1),

22

由得或1〉1,由，(x)vO,得

22

因此函数g(©在(-8,1),(l,+8)上单调递增，在(§/)上单调递减，

当X=g时，函数g(x)取得极大值gg)=||T,当X=1时，函数g(无)取得极小值g⑴=1T,

因为过点P(lj)作曲线y=/(X)的切线有三条，则方程”2片-5%+4%有3个不等实根，

[28八

即函数g(x)有3个零点，由三次函数的性质知，27,解得1<",，

1-/<027

所以f的取值范围是(L|1).

故答案为：(1,——)

27

6.(2023•全国•高二专题练习)若曲线C"(尤)=(尤2-4x+5)e「2e有三条经过点A(a,0)的切线，则。的范

围为•

【答案]]9,1,(1,+功

【详解】由题意1(x)=(d-2x+l)%

令g(x)=(Y-2x+l)e",则g,(x)=(x-l)(x+l)ex,

令g[x)=0可得x=-l或x=l.

故当xc(3,-1)和xe(l,+«>)时g'(x)>0,广⑴单调递增，“X)图象往下凸；

当xe(T,l)时，(x)>0,尸(x)单调递减，〃尤)图象往上凸.

令产0可得无=更丁，又经过(1,0)的切线方程为y=o,故当。,+8)时有三条经过点A(a,o)

的切线.

故答案为：(1,+8)

②公切线问题

1.(2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测)已知函数/(x)=ln(x+l),g(x)=ln(e?尤)，若直线y=爪+〃

为/(尤)和g(x)的公切线，则b等于()

A.gB.1—1112C.2-ln2D.-In2

【答案】B

【详解】设直线/：y=H+6与〃x)=ln(x+l)相切于点4(5,%),

与g(x)=ln(e2x)相切于点*%2,%)，

由/(x)=ln(无+1),所以尸(%)=工

由•/"(占)=-^7=kn%=1，

玉+1k

11

则y=In(玉+1)=ln(----卜1)=In—=—In左,

xkk

即点A1—,-In),代入直线/中有：

-]nk=k-卜+bnb=k-]nk—l,Q)

由g(x)=ln(e2x)=Ine2+Inx=2+Inx,

所以g'(x)=L,

X

，/、171

由g(%2)=一=左n%=不，

x2k

y=g(%2)=2+lnx=2+ln—=2—ln^,

22k

即点代入直线/中有：

2-\nk=k-^+b^>b=l-\nk,②

联立①②解得：k=2,

所以b=l-ln2,

故选：B.

2.(2023春・河北保定・高二河北省唐县第一中学校考阶段练习)若曲线〃司=勺4<0)与8(尤)=3有三条

公切线，则％的取值范围为()

【答案】A

【详解】设公切线为/,P(X2J是/与/(*)的切点，由/("=：,得尸(力=件,

设。(%,%)是/与g(x)的切点，由g(x)=e"得g，(x)=e",

所以/的方程为=W(x-xj,

F

k—k2k

因为x=一,整理得V=FX+—,

石Xjx1

同理y-%=e"(x-x2),

因为%=e"，整理得(1—%)，

依题意两条直线重合，可得，

—=e'2(l-x2)

、入

消去得软=一12(%-1)2，

由题意此方程有三个不等实根，设/2(x)=-e%x-l)2,

即直线厂电与曲线/z(x)有三个不同的交点，

因为/工)=1(1一巧，令"(x)=0,贝l]x=±l,

当x<-L或x>l时，//(x)<0；当-1<X<1时，/?,(x)>0,

所以人⑺有极小值为〃(-1)=TeT,h(x)有极大值为项)=0,

A2

因为//(尤)=-e*(x—l)2,e>0,(x-1)>0,所以〃(x)W0,

当x趋近于9时，力⑺趋近于0;当x趋近于+8时，刀⑺趋近于-%

故Mx)的图象简单表示为下图：

所以当70<4%<0,即-，<左<0时，直线>="与曲线"(龙)有三个交点.

故选：A.

3.(2023春•湖北•高二武汉市第四十九中学校联考期中)若直线x+y+a=0是曲线/(x)=x3+6x-14与曲

线g(x)=d_31nx的公切线，贝|〃一6=().

A.26B.23C.15D.11

【答案】D

【详解】解：因为g(x)=x2-31nx,

3Q3

所以g'(x)=2x--,由2%一一=-1,解得％=1或兀=一不(舍去)，

XL

所以切点为(1,1),

因为切点在切线％+丁+々=。上，解得。=-2,

所以切线方程为％+y-2=0,

/⑺=31+6设切点为卜,/+初一14),

2

3t+b=-l.“口6=-13

由题意得3，解得

f+产+初一14一2=0t=-2

所以。一6=11,

故选：D

4.(2023春•辽宁鞍山•高二东北育才学校校联考期末)已知函数=/-mx,g(x)=lnx+mr,若曲线

y=/(尤)与曲线y=g(x)存在公切线，则实数m的最大值为.

【答案】1/0.5

【详解】由题意可知：g'(x)=m+-,f'(x)=2x-,

Xm

设公切线和“X)相切于(%2,%)，和g(x)相切于(%，％)，

因为〃尤)就没有垂直于工轴的切线，故公切线斜率存在，设公切线斜率为h

(%；-mx1)-(inx2+mx2)

于是左=2x,—m=—+m=

石一工2

由2%一机=--1■机可得，2m=2x1---.

x2x2

由2x「叫解一四H】n2哗)化简整理可得,2m=2%-血3.

玉一%%2

根据2〃?=2^--=2%-芯+ln.可得,2+in%=1=/靖，

x2x2

212

故21n=2x.-eA|-1<=>m=x,——e“一1，

2

设F(x)=x-^-',则F(x)=l—xe*2T，

1.当尤<0时，显然尸(x)>0；

x21?1+lnv

2.当尤>0时，贝I]F'(x)=1-Xe-=l-e-,

令/?(x)=x?-i+inx,贝ij“(x)=2尤>0,

X

故;?(x)在(0,+8)上递增，注意到“(1)=0,

①当0<x<l时，h(x)<0,F(x)=l-e?-1+lnA>0;

②当x>l时，以尤)>0,尸'(x)=l-1-1加工<0;

综上所述：当x<l时，F'(x)>0；当x>l时，F\x)<0；

则尸(X)在(-8/)上递增，在(1,收)上递减，故[尸(尤)1曲=尸(1)=3，

所以机的最大值为3.

故答案为：

5.(2023春•安徽六安•高二六安二中校联考期中)设直线/是函数/(x)=x+lnx,「之和函数

g(x)=；Y+4x+l的公切线，贝门的方程是.

【答案】2%-y-l=0

【详解】设直线/与函数/(x)=x+lnx的切点为4(国,入+111%)，

直线/与函数g(x)=：x2+4x+l的切点为2(程：考+49+1),

/'(x)=i+L所以((%)=1+!，

X石

g'(x)=x+4,所以5(工2)=马+4,

所以1#+4%+11a+lnxj“1r”,

x2-X]石

后面等式整理得％3,

-3>|+4f--sKl-Xj-lnx,

代入前面等式整理得乂_」—3一」-----------------=1+1,

1X

因为x12g,

所以0<1<2,

所以，2+3-』+lnt=0,

22

令hit')=—厂+3/卜In/,

22

所以〃'(力=—f+3+-,

t

容易知道，/7'«)=T+3+1为减函数，

t

3

〃⑺侬=/?⑵=]>。，

所以〃⑺=T+3+!>0恒成立，

t

所以的)=一!产+3-3+山/单调递增，

22

所以/7«)=-：/+3/一。+11K最多一个零点,

容易知道Mi)=_1+3_g=o,

所以一彳/+3/一u+lnt=O只有一■个解t=\,

22

故，=r=l,

国

所以A点坐标为(1,1),

切线斜率为尸（再）=1+,=1+1=2,

玉

所以切线方程为yT=2（x-l）,

即2%-y-l=0.

故答案为：2x7-1=0.

6.（2023春•江苏苏州•高二校联考期中）己知函数=Inx,g（尤）=：Y+m.若曲线丫=/⑴与曲线

y=g（x）有公切线，则实数机的取值范围为.

【答案】-；，+力

【详解】•••/（x）=lnx,则〃无）='

设切点坐标4（%,山网）（％＞0）,则切线斜率左=（（再）=工，

X]

故切线方程为y-ln%=1（尤-尤1）,整理得y='x+lnX]-l,

%]

又・••8（尤）=；/+"7,贝ljg'（x）=x,

设切点坐标8,2，：第+〃?）,则切线斜率&=g'（9）=X2,

故切线方程为y-1(芯+M1]=x2(x-x2),整理得y=%•尤-gx；+m,

由题意可得须

构建厂(同二2/一缶无一.无>0),贝I]F(x)=x_:=(x+1(x",

2xx

*/x>0,可得犬+1>0,

令9（x）＞0,解得X＞1；令尸（x）＜0,解得。＜尤＜1；

*尤）在。,+8）上单调递增，在（0」）上单调递减，则/（力2*1）=-；，

当x趋近于0时，户（x）趋近于正无穷大，当x趋近于正无穷大时，尸（x）趋近于正无穷大,

可得尸（尤）的值域为1，+00]，即实数m的取值范围为一；，+°°]

故答案为：-了+°0]

口和切线有关的其它综合问题

1.（2023春•江西吉安•高二统考期末）若动点P在曲线y=e'+x上，则动点P到直线y=2x-4的距离的最

小值为（）

A.75B.e+1C.2A/5D.2e

【答案】A

【详解】设尸（马,e而+（）,由题意知y=e*+l,

则在点P（x0,e'。+5）处的切线斜率为k=y'\x=xo=砂+1,

当在点尸（尤°,e&+%）处的切线与直线y=2尤-4平行时，点尸到直线y=2x-4的距离最小,

由e*+1=2,得x。=0,则P（0,l）,

所以动点P到直线>=2尤-4的距离的最小值为非.

故选：A

2.（2023•全国■高三专题练习）已知实数4，b,c,d满足+1c-d+2]=0,则（a-c）°+（6-的

最小值为（）

A.20B.8C.4D.16

【答案】B

【详解】由IliUa-D-bl+lc-d+2|=。得，ln（a—1）—/?=0,c—<7+2=0,即6=ln（a—1）,d-c+2,

（〃-）2+（8-4）2的几何意义为曲线》=皿“-1）上的点（0力）到直线4=。+2上的点（取）连线的距离的平方，

不妨设曲线，=ln（x-l）,直线y=x+2,设与直线y=x+2平行且与曲线y=ln（尤-1）相切的直线方程为

y=x+m,

显然直线y=x+2与直线y=x+机的距离的平方即为所求，

由y=ln（x-l）,得设切点为（后,%）,

q-12

y0=x0+m,解得，-2

%=ln(%-l)：0

:.(a—c)~+(b—d)~的最小值为8.

故选：B.

3.（2023・全国•高三专题练习）若x、a、6为任意实数，若（a+lf+（b-2>=1,则。+（ln尤-匕了最小

值为（）

A.2应B.9C.9-4亚D.272-1

【答案】C

【详解】由（a+l）2+（b-2）2=l可得（a/）在以（-1,2）为圆心，1为半径的圆上，

（x-a）2+（lnx-6）2表示点（a,6）与点（x,lnx）的距离的平方，

即表示圆（x+l）2+（y-2）2=1上动点到函数y=lnx图像上动点距离的平方.

设为y=lnx上一点，且在（祖,1印"）处的y=lnx的切线与（加,1印”）和（-1,2）连线垂直，可得

Inm-21

--------------=-1,

m+1m

即有Inm+m2+m=2,

由〃加）=111加+加+机在机〉0时递增，且/⑴=2,可得m=1,即切点为（1,。），

圆心与切点的距离为d=7（1+1）2+（0-2）2=272,

由止匕可得（x-a）2+（1型一6）2的最小值为（20—I）?=9-4应.

故选：C.

4.（2023•全国•高三专题练习）已知In%-%-弘+2=0,+2y2-21n2-6=0,记M=（%-9丫+（%-%丫，

则M的最小值为.

【答案】y/3.2

【详解】设〃x）=lnx-x+2,A（七,必），3（毛,斗）.

由题意知,M=&-三y+（%-%丫的最小值可转化为曲线“X）上的点AQ,X）到

直线x+2y-21n2-6=0上的点3（%，%）的距离的平方的最小值.

易知，曲线/（x）=lnx-x+2与直线尤+2y-21n2—6=。没有交点，贝I]

当曲线〃x）在点A处的切线平行于8所在的直线，

且连线与直线x+2y-21n2-6=0垂直时，两点间距离最小.

11

由/（%）=lnx-x+2,得1（%）=—1,直线x+2y-21n2-6=0的斜率上=-5,

令：一1=一；，解得x=2,贝”A（2,ln2）,

所以点A到直线x+2y-21n2-6=0的距离d=12+。2一2比2-6|=迪，

々+225

故"的最小值为筋=£.

故答案为：—.

5.（2023春・江苏南京・高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）若£/=三匚=:，则

（士~xi）+（%-%）2的最小值为.

【答案】|/1.6/11

【详解】^^=9=:=%=炉+2%，%=3%-3,

3My23

则（占-%）2+（%-%）2表示曲线了（司=1+2》上的点与直线3尤7-3=0上的点的距离的平方，

令/'（x）=e、2=3得％=0,所以曲线在（0,〃。））的切线方程为3xr+l=0,

所以曲线〃x）=e*+2x上的点与直线3尤-广3=。上的点的距离的最小值即为直线3x-y+l=0与

3尤-y-3=0之间的距离，

即心注=血八上

55

Q

故答案为：—

二、单调性问题

①已知单调区间求参数

1.（2023春•广西南宁•高二宾阳中学校联考期末）已知函数〃力=诏-111彳在区间（2,3）上单调递增，贝心

的最小值为（）

A.2e~2B.eC.e-1D.-e-2

2

【答案】D

【详解】依题可知，尸（力=叔-9。在（2,3）上恒成立，

显然〃>0,所以泥”之工，

a

设g（x）=xe、xe（2,3）,所以g，（x）=（x+l）e*>0,所以g（x）在（2,3）上单调递增,

g（x）>g（2）=2e2,故2e2^L即“N二=1小，即a的最小值为:屋.

a2e22

故选：D.

2.（2023春•吉林松原•高二长春市九台区第一中学校联考期末）已知函数/。）=13+依2-3%在（3,3）上单

调递增，则a的取值范围为（）

A.[g,+°°B.（0,1]

C.《,+0°）D.（0,^]

【答案】C

【详解】因为/（尤）=lnx+"2_3X,所以尸（x）=,+2办一3=2"一―3苫+1,

XX

由了（尤）在。,3）上单调递增，得抓x）2。在（；,3）上恒成立，

即2加一3x+lZ0在（；,3）上恒成立，，

即a"二—二=一'（工-当2+,在43）上恒成立，

2x2x2x282

31113c99

当x=（不3）时，二次函数>=-彳（—-取到最大值2，

222x288

故0即a的取值范围为小Q,+切），

OO

故选：C

27r57r

3.（2023春・河南周口•高二校联考阶段练习）已知函数〃x）=asinx+cosx在区间上单调递减，

则实数a的取值范围是.

【答案】-"+8

_7

【详解】/r（x）=6icosx-sinx,

2兀57t

因为函数〃x）=asinx+cosx在区间—上单调递减，

2冗57r

所以/'(力=〃。)5%—5111工«0对7%£—恒成立，即a3tan%恒成立,

,2兀5兀,5兀V3

当尤eT'T时'=tan—=------，

iax63

所以。2一日，即实数。的取值范围是一

3，/

故答案为:

J)

4.(2023春,IWJ二课时练习)已知函数/(%)=]依2+(a-l)x(aeR)是区间(1,4)上的单调函数，贝匹

的取值范围是.

【答案】(F,2]35,E)

【详解】f(x)=x2-OX+(6!-l)=(X-I)[x-(6Z-1)],

令—(无)=0,贝ljx=l或a-1,

因为〃x)是区间(1,4)上的单调函数,

所以4-1W1或(7—124,解得或。上5,

所以。的取值范围是00,2]35，+00).

故答案为：(YO,2]U[5,~H»).

5.(2023春,高二单元测试)设函数/(x)=g+3(0l)V一犷+1在区间(0,4)上是减函数，则上的取值范围

是

【答案】£

【详解】因/(X)=&+3(♦-1)*2-左2+1,

ff(x)=3kx2+6(k-T)x,

若左=0,/(x)=~6x,当xe(0,4)时，f\x)--6x<0,符合题意,

当上wO时，/'(x)=3丘2+6(左-1)x40得

k(3x2+6x)<6x,因尤e(0,4),

6x2

故左《

3x2+6x%+2'

9

由题意上V”在(。,4)上恒成立,

设g(X)=/，Xe(0,4)则g(无)在(0,4)上单调递减,

z221

故8(加A”<币

故左Vg,k片0,

综上k41,

故答案为：kM；

②由函数存在单调区间求参数

1.(2023春•四川眉山•高二统考期末)若/。)=-；/+3必+2办在Q,+⑹上存在单调递增区间，则。的

取值范围是()

A.(-oo,l]B.(1,+8)C.[0,+co)D.(-oo,0)

【答案】B

【详解】函数/(%)=-3％3+g%2+2ax,求导得1(%)=-%2+x+2〃，

因为函数在(2,住)上存在单调递增区间，则不等式八%)〉0在(2,+8)上有解，

2

而/'(兀)>°=一％?+x+2a>0^2a>x-xf

当了£(2,+oo)时，x2—X=(x—)2—>2,因止匕2〃>2,解得a>1,

24

所以〃的取值范围是(L+00).

故选：B

2.(2023春•河北邯郸•高二校联考期中)若函数〃司=11«+；办2在区间(1,2)内存在单调递增区间，则实

数。的取值范围是()

1

A.(-oo,-l]B.——,+ooD.(-l,+oo)

2

【答案】D

【详解】/(x)=Inx+^tzx2,/.f'^x)=—+ax,

若〃力在区间(L2)内存在单调递增区间，则r(x)>0,xe(1,2)有解,

故。>-5,令8(可=-5，则g(x)=-5在(L2)单调递增,

.".g(x)>g(l)=-l,故a>-l.

故选：D.

3.（2023春•山东泰安•高二统考期末）已知函数〃%）=（》-1卜一小在区间［2,4］上存在单调减区间，则实

数优的取值范围为（）

A.［4e4,-H»）B.（2e2,4e4）

C.［2e2,+<»）D.（2e2,-H»）

【答案】D

【详解】由已知fr（x）=ex+（x-I）ex-m=xex-m<0在［2,4］上有解，

即相〉xex在［2,4］上有解，

设g（x）=xe）则g（力=（%+1）/>0在［2,