数学实验（第4版）课件：综合实验

1综合实验实验9.1数学建模简介实验9.2手机模型数学实验实验9.3传染病模型2实验9.1数学建模简介一、数学建模的基本思想二、数学建模的要求和步骤实验9.1数学建模简介三、应用举例3一、数学建模的基本思想数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，并运用适当的数学工具得到的一个数学结构.它可以是等式、不等式，也可以是图表、图像，框图、命题或逻辑运算、有效算法等.简言之，数学模型是用数学术语对部分现实世界的表述.实验9.1数学建模简介它主要有解释、判断、预测和控制四大功能.1.数学模型和数学建模的概念4实验9.1数学建模简介数学建模就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程.首先利用数学知识和实际问题的背景知识建立数学模型，然后通过数学方法和计算机工具对模型分析求解，进而再解释和验证所得的解，最终为解决现实问题提供数据支持和理论指导.数学建模用于解决实际问题往往是多次循环、不断深化的过程，5实验9.1数学建模简介是综合运用数学知识和计算机工具解决实际问题的过程，是各种应用问题严密化、精确化、科学化的途径，是发现问题、解决问题和探索真理的有力工具，是培养高素质创新人才的一个重要渠道.数学建模的学习和实践过程可以培养和增强我们的自学能力、创新素质以及坚忍不拔的探索、求实精神,践行理论与实践相结合，学以致用，知行合一.6实验9.1数学建模简介2.数学建模的意义数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，因此，数学建模和数学一样有古老历史.欧几里德几何、牛顿万有引力定律都是数学建模的光辉典范.新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，使得数学建模被时代赋予更为重要的意义.数学模型在分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理等各个方面都发挥着不可替代的作用.7实验9.1数学建模简介二、数学建模的要求和步骤1.数学模型的一般要求对一个数学模型的基本要求，简言之即为：简练、精确、正确.(1)数学模型要尽可能的简单，便于处理.模型必须作简化，即非实际问题本质的关系要省略.(2)数学模型要有足够的精确度，能较准确地反映实际问题本质的性质和关系.8实验9.1数学建模简介保留实际问题的本质的东西和关系，去掉非本质的，并且要不影响反映现实的真实程度.(3)构造数学模型的理论要正确，依据要充分，推理要严密，要充分利用科学规律来建立模型.9实验9.1数学建模简介2.数学建模的一般步骤（1）模型准备（2）模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，用精确的语言做出假设，是建模至关重要的一步.了解问题的背景，明确建模目的，弄清对象特征，做好建模的准备.10（3）模型构成用数学的语言、符号描述研究对象的内在规律，构造各个量间的等式关系或其它数学结构，即构成所研究问题的数学模型.会用到广泛的数学知识，包括高等数学、概率论与数理统计、图论、排队论、线性规划、对策论等等.实验9.1数学建模简介工具愈简单愈有价值.11多数情况下，很难获得数学模型的解析解，而只能得到它的数值解，这就需要应用各种数值方法、软件和计算机.因此数学实验在这一步的作用便举足轻重.（5）模型分析（4）模型求解实验9.1数学建模简介有时候需要对模型的求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏度分析等.12（6）模型检验并非所有模型都要检验.把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性.（7）模型推广及应用将数学模型及其解应用于实际问题，可推广到解决更多的类似问题，也可对模型进行进一步深化研究.实验9.1数学建模简介13数学建模过程和步骤,可画成下述框图：实验9.1数学建模简介上述步骤只是数学建模过程的一个大致的描述，实际建模时可以灵活应用.14实验9.1数学建模简介三、应用举例1.航行问题例1甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?解:

step1模型假设（作出简化假设，并用符号表示有关量：假设船速、水速为匀速）：设x

表示船速，y

表示水速.15实验9.1数学建模简介step2模型构成（用物理定律列出数学式子.定律：匀速运动的距离＝速度×时间）：则有step3模型求解（求解得到数学解答）：解得step4模型应用（回答原问题）：所以船速是每小时20千米.16实验9.1数学建模简介2.椅子问题例2四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？分析：step1模型假设（将文字转化为数学语言，并做出合理假设，同时用符号表示有关量）.（1）椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况），即视地面为数学上的连续曲面；

17实验9.1数学建模简介（3）地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.如图所示，设椅脚的连线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重合，坐标原点O在椅子中心，当椅子绕O点旋转后，对角线AC

变为A'C'，A'C'与x轴的夹角为θ.18step2模型构成（运用数学语言把条件和结论表现出来）：由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行,记A、C

两脚与地面距离之和为f(θ),

B、D

两脚与地面距离之和为g(θ).

实验9.1数学建模简介显然因此椅子和地面的距离之和可令由假设（2）知f(θ)、g(θ)为连续函数，因此h(θ)也为连续函数.19由假设（3）得：实验9.1数学建模简介对任意θ，都有则该问题归结为：已知连续函数且求证至少存在一个使得：step3模型求解（即要找出）：20证：不妨设则有令即旋转90o，对角线AC和BD互换.实验9.1数学建模简介设于是根据闭区间上连续函数的零点定理得：21实验9.1数学建模简介至少存在一个使得：又所以即:四点均在同一平面上.step4模型应用（回答原问题）：所以四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳.22综合实验实验9.1数学建模简介实验9.2手机模型数学实验实验9.3传染病模型23实验9.2手机模型一、问题描述二、模型准备实验9.2

手机模型三、模型假设四、模型构成与模型求解五、模型的推广24实验目的一、问题描述选购手机时会受到诸多因素约束难以对手机品牌做出抉择，为此建立适当的数学模型，对手机品牌作出综合评判，向准备购买手机的大学生提供一些指导性意见.通过本实验了解如何利用MATLAB通过层次分析法对较为复杂的给定对象进行综合评判.实验9.2

手机模型25二、模型准备1.确定需要的数学工具层次分析法（AHP）是美国著名运筹学专家萨迪（T.L.Saaty）教授于20世纪70年代中期提出的一种将定性分析与定量研究相结合的决策方法.该方法于20世纪80年代初传入我国并迅速得到推广和应用.AHP是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具.实验9.2

手机模型26层次分析法的基本步骤如下：（1）建立层次结构将问题所包含的因素分层，一般分为三个层次：最高层（也叫目标层，可设为T）——表示解决问题的目的，通常只有1个因素（仍设为T）；中间层（也叫准则层、约束层或指标层,可设为I）——表示为实现目标而采取的各种措施、准则或约束条件（可设为

），可以是1个或多个层次；实验9.2

手机模型27最底层（也叫方案层或对象层，可设为P）——表示的是备选方案（可设为）.实验9.2

手机模型上层对下层有支配作用，同层因素互相独立，每层因素一般不要超过9个，否则，将难以抉择.一般用框图形式说明层次的递阶结构与因素的从属关系.28（2）构造成对比较阵从层次结构的第2层开始，考虑同一层的各个因素对上层每个因素的影响.用两两比较的方法把各因素的重要性数量化.萨迪给出了1~9级相对重要性比较尺度表：比如，针对目标因素T，考虑准则层所有因素对T的相对重要性.实验9.2

手机模型29每次取两个因素成对比较，用正数aij表示与的重要性之比相同重要稍微重要明显重要强烈重要绝对重要介于两级之间aij135792,4,6,8实验9.2

手机模型显然30全部比较结果构成矩阵称为成对比较阵（也称正互反矩阵）.同样方法可以考虑方案层实验9.2

手机模型对准则层各因素的相对重要性，得到一系列的成对比较阵.构造成对比矩阵是整个工作的数量依据，是非常重要的一步，可以采用群体判断或者专家给出的方式.31（3）计算权向量并作一致性检验（也称：层次单排序及其一致性检验）满足则称A为一致矩阵，简称一致阵.定义如果一个正互反矩阵实验9.2

手机模型如果决策人对n个因素重要性的比较具有逻辑的绝对一致性，那么我们得到的成对比较阵就是一致阵.32由于客观事物的复杂性以及主观思维的片面性，构造出的成对比较阵通常不是一致阵，需要对它进行一致性检验.根据矩阵理论，一致性检验分以下三步进行：实验9.2

手机模型33上表是萨迪这样得到的：取定1~9中的任一整数n，随机构造100~500个成对比较阵第二步，查找相应的平均随机一致性指标RI（randomindex）实验9.2

手机模型n1234567891011RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.51计算这些矩阵的最大特征值的平均值34定义第三步，计算一致性比例CR（consistencyratio）结论：当CR<0.1时，认为A的不一致程度是可以接受的，可以用其特征向量作为权向量（权向量各元素就是

对T的相对重要性的排序权值）；当CR≥0.1时，需要重新进行成对比较，调整A的取值直到一致性可以接受为止.实验9.2

手机模型35求出权向量的这一过程也称为层次单排序.为使用方便，往往需要把权向量归一化处理.这一步骤中计算量比较大，一般需要借助MATLAB软件实现.实验9.2

手机模型（4）计算组合权向量并作一致性检验（也称：层次总排序及其一致性检验，也即求方案的综合得分）以下提到的权向量都是指归一化之后的标准形式.36实验9.2

手机模型37组合权向量也需要进行一致性检验.对准则层的一致性指标为假设方案层相应的平均随机一致性指标为则组合权向量的一致性比例为类似的，当CR′<0.1时，认为组合权向量通过一致性检验，否则需要重新调整各成对比较矩阵的取值.实验9.2

手机模型382.利用网络调查等手段确定目前大学生关注的手机热销品牌以及影响手机购买的因素.3.按1~9级相对重要性比较尺度表通过网络给各因素打分.实验9.2

手机模型39实验9.2

手机模型三、模型假设1.假设大学生所考察的因素中除了价钱，外观，品牌，性能，不考虑其他因素.2.假设4个因素中，性能因素囊括了电池，系统，摄像头，硬件等其他综合因素.3.假设大学生在构建成对比较矩阵时的观点一致.4.假设只考虑市场上份额较大的四个牌子：华为、vivo、苹果、三星.5.假设所有手机的价位都是依据同种品牌的热门机种，不考虑相同牌子的不同机种.40STEP1：建立层次分析结构模型四、模型构成与模型求解实验9.2

手机模型41Step2：构造成对比较阵实验9.2

手机模型价钱外观品牌性能价钱1321/3外观1/3131/5品牌1/21/311/5性能3551四种指标间的相对重要性比较42实验9.2

手机模型四种手机在价格上的优劣比较vivo三星华为苹果vivo1273三星1/2171华为1/71/711/7苹果1/317143实验9.2

手机模型四种手机在外观上的优劣比较vivo三星华为苹果vivo11/31/71/3三星311/51/3华为7515苹果331/5144实验9.2

手机模型四种手机在品牌上的优劣比较vivo三星华为苹果vivo121/51/5三星1/211/71/4华为5715苹果541/5145实验9.2

手机模型四种手机在性能上的优劣比较vivo三星华为苹果vivo11/51/81/5三星511/51华为8515苹果511/5146实验9.2

手机模型根据以上表格，最终得出以下的成对比较阵：

47实验9.2

手机模型STEP3：计算权向量并作一致性检验借助数学软件MATLAB对每一个成对比较阵计算最大特征根和特征向量，并作一致性检验.若通过，则可认为成对比较阵的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量,否则则应该重新构造成对比较阵.MATLAB实现:48实验9.2

手机模型先编写检验函数文件JianYan.m：functionJianYan(A)[v,d]=eigs(A);%求特征值和特征向量tbmax=max(d(:));%最大特征值[m,n]=size(v);%得到行数和列数sum=0;fori=1:msum=sum+v(i,1);end49实验9.2

手机模型tbvector=v(:,1);fori=1:mtbvector(i,1)=v(i,1)/sum;end%将特征向量标准化disp('最大的特征值为：');tbmaxdisp('最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：');tbvector50实验9.2

手机模型disp('一致性指标CI为：')CI=(tbmax-4)/3disp('一致性比率CR为：')CR=CI/0.9ifCR<0.1disp('CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量')elsedisp('CR大于0.1，没能通过一致性检验，特征向量不为权向量');end51实验9.2

手机模型然后对五个矩阵分别进行一致性检验，结果如下：>>A=[1,3,2,1/3;1/3,1,3,1/5;1/2,1/3,1,1/5;3,5,5,1];JianYan(A)↙最大的特征值为：tbmax=4.2489最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector=0.23210.13470.08340.549952一致性指标CI为：CI=0.0830一致性比率CR为：CR=0.0922CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量实验9.2

手机模型53实验9.2

手机模型>>B=[1,2,7,3;1/2,1,7,1;1/7,1/7,1,1/7;1/3,1,7,1];JianYan(B)↙最大的特征值为：tbmax=4.1179最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector=0.47840.24860.04380.229254一致性指标CI为：CI=0.0393一致性比率CR为：CR=0.0437CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量实验9.2

手机模型55实验9.2

手机模型>>C=[1,1/3,1/7,1/3;3,1,1/5,1/3;7,5,1,5;3,3,1/5,1];JianYan(C)↙最大的特征值为：tbmax=4.2281最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector=0.06030.11550.62230.201956一致性指标CI为：CI=0.0760一致性比率CR为：CR=0.0845CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量实验9.2

手机模型57实验9.2

手机模型>>D=[1,2,1/5,1/3;1/2,1,1/7,1/4;5,7,1,5;3,4,1/5,1];JianYan(D)↙最大的特征值为：tbmax=4.1660最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector=0.10030.06090.62720.211658一致性指标CI为：CI=0.0553一致性比率CR为：CR=0.0615CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量实验9.2

手机模型59实验9.2

手机模型>>E=[1,1/5,1/8,1/5;5,1,1/5,1;8,5,1,5;5,1,1/5,1];JianYan(E)↙最大的特征值为：tbmax=4.1665最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector=0.04540.16280.62890.162860实验9.2

手机模型一致性指标CI为：CI=0.0555一致性比率CR为：CR=0.0617CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量61把STEP3中计算结果融合并用EXCEL进行处理，计算最终的组合权向量：实验9.2

手机模型STEP4：计算组合权向量并作一致性检验价钱外观品牌性能组合权向量准则层相对目标层权重0.23210.13470.08340.5499Vivo权重0.47840.06030.10030.04540.1525三星权重0.24860.11550.06090.16280.1679华为权重0.04380.62230.62720.62890.4921苹果权重0.22920.20190.21160.16280.1876B~E的最大特征值λ4.11794.22814.1664.1665B~E的一致性指标CI0.03930.07600.05530.0555B~E的一致性比率CR0.04370.08450.06150.061762实验9.2

手机模型vivo在目标中的组合权重应为vivo在各准则中的权重与相应准则对于目标的权重的两两乘积之和，即这样得到：63组合权向量的一致性比例组合权向量通过一致性检验，可以作为最终的决策依据.即：华为>苹果>三星>vivo.说明权向量实验9.2

手机模型故最后的选择会是华为.64实验9.2

手机模型“打铁还需自身硬”，厚积而后薄发，企业发展如此，我们现在的学习和未来发展也需如此，只有把自己的理想与国家的命运紧密联系在一起、不断努力和积累，才能实现“薄发”的质变，在竞争中居于优势地位.这个结果正是民心所向.华为在遭遇多国打压的艰难环境下砥砺前行，创新研发，在5G和端侧AI两大领域同时实现了全球引领，为国争得了荣光.华为的工程师们不畏霸凌，励精图治、艰苦奋斗，是其成功的主要原因.65实验9.2

手机模型五、模型的推广把定量和定性的方法结合起来，应用范围很广.基本原理和基本步骤易于掌握，计算也非常简便.层次分析法的优点：层次分析法的局限：第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较判断直到结果都比较粗糙；第三，人主观因素的作用很大，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径.66综合实验实验9.1数学建模简介实验9.2手机模型数学实验实验9.3传染病模型67实验9.3传染病模型一、问题描述二、模型准备实验9.3

传染病模型三、模型假设四、模型构成与求解五、模型检验与改进68实验目的一、问题描述利用已经掌握的数据资料,建立适当的数学模型，研究传染病,通过本实验了解如何对较复杂的问题进行数学建模，如何对模型进行改进，以及如何利用MATLAB软件求解常微分方程模型.实验9.3

传染病模型对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失.并需要对数学模型进行一定的比较分析和评价展望.69二、模型准备这是涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料.不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.

描述传染病的传播过程.

分析受感染人数的变化规律.

预报传染病高潮到来的时刻.

预防传染病蔓延的手段.实验9.3

传染病模型70三、模型假设1）在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移.2）时间以天为计量单位.3）假设时刻t已感染者（infective，以下简称病人）人数比例为i(t)，并假设i(t)是连续、可微函数.实验9.3

传染病模型4）每个病人每天有效接触(足以使人致病)平均人数为常数λ，称为日接触率.71实验9.3

传染病模型四、模型构成与求解模型一考察t到t+△t病人人数的增加，就有：方程两边同时除以△t，并设t=0时，病人比例是即得微分方程分离变量直接可得微分方程的解析解72从模型中不难看出时，有.不符合实际情况，需要修改模型增加假设：实验9.3

传染病模型五、模型检验与改进模型二（SI模型）区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)时刻t易感染者（susceptible，以下简称健康者）人数比例为s(t)，于是有73实验9.3

传染病模型方程两边同时除以△t得又因为即得微分方程解得称为Logistic模型，也叫阻滞增长模型74的图形：设λ=1，

i0=0.02，用MATLAB作出>>t=0:0.1:10;i=1./(1+(1/0.02-1).*exp(-t));plot(t,i)axisongridonxlabel('t')ylabel('i')↙实验9.3

传染病模型75实验9.3

传染病模型的图形：设λ=1，

i0=0.02，用MATLAB作出>>i=0:0.01:1;di=i.*(1-i);plot(i,di)axisongridonxlabel('i')ylabel('di/dt')↙76实验9.3

传染病模型由图可知，当时，曲线达到拐点，于是达到最大值这个时刻为此时病人增加得最快，即传染病的高潮期，是医疗卫生部门关注的时刻.与λ成反比，表明降低日接触率可以推迟传染病高潮的到来.77实验9.3

传染病模型模型二中时，有.仍然不符合实际情况，需要修改模型.模型三（SIS模型）病人可以治愈！传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设：设病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为

，（

~日治愈率，1/

是这种传染病的平均传染期）方程两边同时除以△t得78实验9.3

传染病模型mls/=

~

日接触率1/

~传染期

~

一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.解得79实验9.3

传染病模型可见时，有利用MATLAB可以作出和和的图形分别如下：80实验9.3

传染病模型接触数

=1~

阈值传染期内日接触率不超过日治愈率的缘故模型二(SI模型)如何看作模型三(SIS模型)的特例,

=0.

>1di/dt先增后减,说明传染速度先增后减i(t)单调下降,最终趋于0

>1,i0<1-1/

di/dt>0,说明i(t)单调增加

>1,i0>1-1/

di/dt<0,说明i(t)单调减少81实验9.3

传染病模型模型四（SIR模型）传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称为移出者（removed）.1.模型构成增加假设：时刻t移出者（removed）人数比例为r(t)，则又82则得方程两边同时都除以△t，并设t=0时，病人、健康者、移出者的比例分别是

无法求出的解析解先做数值计算,再在相平面上研究解析解性质实验9.3

传染病模型832.模型求解实验9.3

传染病模型(1)数值计算法在上述方程组中令设λ=1，μ=0.3，i0=0.02，s0=0.98，用MATLAB软件编程：①编写函数文件ill.mfunctiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];84②计算i(t)，s(t)的数值>>ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0)↙i(t)和s(t)的部分数值计算结果t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398实验9.3

传染病模型85实验9.3

传染病模型③绘制i(t)~t和s(t)~t的图形>>plot(t,x(:,1),t,x(:,2),’--’)gridon↙输出图中实线、虚线分别为i(t)~t和s(t)~t的曲线.i(t)从初值增长到最大；

t,i

0.s(t)单调减；

t,s

0.0398.96.02%的人变成了移出者.86实验9.3

传染病模型④绘制i~s曲线>>plot(x(:,2),x(:,1))gridon↙相轨线i(s)

随着t的增加，(s,i)沿轨线自右向左运动

P0点:i(0)=0.02，s(0)=0.98随着时间推延，健康者比例递减，病人比例先增后减，最后，二者之和越来越少，大部分变为移出者.87实验9.3

传染病模型(2)相轨线分析法利用相轨线讨论i(t)和s(t)的解析解的性质：消去dt相轨线相轨线i(s)的定义域实验9.3

传染病模型11siOD用MATLAB在D内做相轨线i(s)的图形，进行分析functioni=xiangguixian(s,s0,w)i0=1-s0;i=(s0+i0)-s+(1/w)*log(s/s0);编写函数文件xiangguixian.m8889取分别取s0=0.1,0.3,0.5,0.8,0.9来绘制相轨线:>>w=2;s0=0.1;s=0:0.001:0.1;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)axis([0,1,0,1])gridonholdons0=0.3;s=0:0.001:0.3;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)s0=0.5;s=0:0.001:0.5;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)实验9.3

传染病模型90实验9.3

传染病模型s0=0.8;s=0:0.001:0.8;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)s0=0.9;s=0:0.001:0.9;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)添加箭头为表示随着时间t的增加i(t)和s(t)的变化趋向s(t)单减

相轨线的方向