2024-2025学年山东省济宁市梁山县高二上册期中数学模拟检测题合集2套（含解析）

2024-2025学年山东省济宁市梁山县高二上学期期中数学模拟检测题（一）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】求出直线的斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由可得，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D.2.如图，在空间四边形中，设分别是，的中点，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果.【详解】解：由题可知，分别是，的中点，根据平面向量的平行四边形法则，可得，再由平面向量的三角形加法法则，得出：.故选：C.3.如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可.【详解】，则,则.故选：B4.已知圆的一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，圆心坐标为，则此圆的方程是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据题意，设这条直径与轴交点为，与轴交点为，圆的半径为；由中点坐标公式可得，即可求出的值，再结合两点间距离公式可求出的值，根据圆的标准方程，即可求出结果．【详解】根据题意，圆的一条直径的两个端点分别在轴和轴上，设这条直径与轴交点为，与轴交点为，圆的半径为；又由圆心坐标为，则有，解可得，又，所以，所以圆的方程为.故选：B．本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题．5.设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．6.已知曲线，则的最大值，最小值分别为（）A.＋2，－2 B.＋2，C.，－2 D.，【正确答案】C【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可．【详解】由，可知，，且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为表示半圆上的动点与点的距离，又因为，所以的最小值为，当动点与图中点重合时，取最大值，故选：C．7.在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】A【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项.【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.于是四个选项都是错的.故选：A8.已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.详解】设动点Mx,y，则，化简得，所以点的轨迹为圆，如图，过点作圆的切线，连接，则，，所以，同理，则直线的斜率范围为.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．9.已知直线l一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.与直线垂直B.的倾斜角等于C.在y轴上的截距为D.圆上存在两个点到直线的距离等于【正确答案】AD【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，利用圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系，再找到圆周上的点到直线的最近距离，即可判断D.【详解】因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率，又直线经过点，代入点斜式方程可得，，即直线的方程为.对于A，将直线化为斜截式方程可得，，斜率为，又直线的斜率，因为，所以直线与直线垂直，故A正确；对于B，由直线的斜率为，设直线的倾斜角为，，则，所以，故B不正确；对于C，令，代入直线的方程，得，即直线在轴上的截距等于，故C不正确；对于D，圆的圆心到直线的距离d=2332因此直线与圆相离，又圆上点到直线的最近距离为，因此可得圆上存在两个点到直线的距离等于，故D正确；故选：AD.10.下列命题正确的是（）A.设A，B是两个随机事件，“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件B.若，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立C.若三个事件A，B，C两两独立，则满足D.若事件A，B相互独立，，则【正确答案】BD【分析】通过运用互斥事件、独立事件以及充分条件和必要条件，即可解答.【详解】A选项：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生，互斥事件是对立事件的必要条件，但对立事件是互斥事件的充分条件，所以“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A选项错误；B选项：若事件A，B相互独立与A，B互斥同时成立，那么若事件A，B相互独立，则；若事件A，B互斥，则，两者矛盾，故B选项正确；C选项：考虑投掷两个骰子，记事件为第一个骰子的点数为奇数，事件为第二个骰子点数为奇数，事件为两个骰子的点数之和为奇数，于是有，,故C选项错误；D选项：由题意，又因为事件,相互独立，所以故D选项正确；故选：BD.11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（）A.点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆B.轨迹C上的点到直线的最小距离为C.若点在轨迹C上，则的最小值是D.圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是【正确答案】ACD【分析】利用两点距离公式计算可判定A，利用直线与圆的位置关系可判定B、C，利用两圆的位置关系可判定D.【详解】设Px,y，由，整理得，显然点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A正确；圆心到直线的距离，所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误；设，易知圆心到直线的距离，故C正确；易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意，则圆心距，解之得，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分12.体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为______.【正确答案】##【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.【详解】记“甲投中”，“乙投中”，则，所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为故0.38.13.设，向量，，，且，，则__________.【正确答案】3【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解.【详解】因为，，，且，，所以，12=y−4=1所以，，，所以.故答案为.14.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________.【正确答案】【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可．详解】由题意可知，动直线，经过定点，动直线即，经过定点，时，动直线和动直线的斜率之积为，时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点，，．设，则，，由且，可得，，，，，，故答案为.关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围.四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.若直线的方程为.（1）若直线与直线垂直，求的值；（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【正确答案】（1）1；（2），．【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得．（2）当时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．【详解】解：（1）直线与直线垂直，，解得．（2）当时，直线化：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，．直线在两轴上的截距相等，，解得：．该直线的方程为：，．本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.在平行四边形中，，,将沿折起，使得平面平面，如图．（1）求证：；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由面面垂直的性质定理确定平面，即可求证；（2）建系，求得直线的方向向量和平面的法向量，代入夹角公式即可.【小问1详解】因为平面，平面平面平面所以平面又平面所以．【小问2详解】过点在平面内作，如图．由（1）知平面平面所以．以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐坐标系．依题意，．则．设平面的法向量．则即．取得平面的一个法向量．设直线与平面所成角为，则sinθ=cos<n即直线与平面所成角的正弦值为．17.某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.（1）求的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.【正确答案】（1）（2）.【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解.【小问1详解】由题意得，解得.【小问2详解】比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，则，且彼此互斥.易得.，所以所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.18.如果，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，（1）求所在圆与所在圆的公共弦方程；（2）求与的公切线方程.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出两段弧所在的圆的方程，两个圆的方程相减即可得公共弦所在的直线的方程；（2）设出公切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】（1）所在的圆是以为圆心，半径为的圆，所以所在圆的方程为，所在的圆是以为圆心，半径为的圆，所以所在圆的方程为，两圆的方程相减可得：即；（2）因为所在的圆是以为圆心，半径为的圆，所在的圆是以为圆心，半径为的圆，所以与所在圆的的公切线平行于经过点、的直线，所以所求切线的斜率为，设公切线的方程为，则点到的距离，解得：或（舍）所以公切线的方程为.19.四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）证明见解答（2）（3）存在，【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解；（3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解.【小问1详解】如图1，取的中点，连接.因为且，又因为分别是的中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，平面，所以，因为，所以，令，又因为，，所以.如图2，以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，所以设点坐标为，则，由得，则，所以，，设平面的一个法向量为，由，令，则，所以面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，令，得，所以平面的一个法向量为，所以，故平面与平面夹角的余弦值为．【小问3详解】存在，，理由如下：设，所以设，所以，所以，因为与平面所成角的正弦值为，所以，整理得，解得或（舍），所以存在满足条件的点，，则.2024-2025学年山东省济宁市梁山县高二上学期期中数学模拟检测题（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个白球与都是红球 B.恰好有一个白球与都是红球C.至少有一个白球与都是白球 D.至少有一个白球与至少一个红球【正确答案】B【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确；对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球”，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.2.若两条平行直线与之间的距离是，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用两直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式可求出的值，即可得出的值.【详解】因为直线与平行，则，且这两条直线间的距离为，解得，故.故选：A.3.如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】分析可知，，，，，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长.【详解】由题意可知，，，，，，则，因为，所以，，因此，.故选：D.4.已知平面的一个法向量为，其中，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用空间向量求点到面的距离.【详解】由题意可得：，所以点到平面的距离为.故选：C.5.在正四棱锥中，为顶点S在底面内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，则，，,设平面PAC一个法向量为，则，令，则，可得，则，设直线BC与平面PAC的夹角为，可得直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为，所以直线BC与平面PAC的夹角的余弦值.故选：C6.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立【正确答案】B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】，故选：B判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立

7.已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】由题意可得当点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，求出点的坐标，以为直径的圆的方程，两圆相减得到直线的方程.【详解】由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，所以，，所以直线的方程为，联立，解得，以为直径，以中点为圆心的圆方程为，两圆方程相减可得直线的方程，故选：D8.在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，分析可得，求出的取值范围，即可得出的取值范围.【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，则，可得，所以，又，当为正方体某个面的中心时，取最小值；当与正方体的顶点重合时，取最大值.则，所以.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为B.直线的倾斜角为120°C.，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件D.若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为【正确答案】BCD【分析】考虑直线截距为0时可以判断A；先求出斜率，进而求出倾斜角，然后判断B；先求出直线与直线垂直的等价结论，进而判断C；设出原直线方程，再求出平移后的直线方程，进而通过两条直线重合求出答案，进而判断D.【详解】对A，若直线过原点，则方程为：，A错误；对B，直线斜率：，则倾斜角为120°，B正确；对C，直线与直线垂直，等价于或a=3，C正确；对D，若直线斜率不存，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，不与原来重合，舍去；若直线斜率存在，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，因为它回到原来的位置，所以，D正确.故选：BCD10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.已知两个向量，且，则B.已知，则在上的投影向量为C.设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D.若对空间中任意一点，有，则四点共面【正确答案】ABC【分析】根据空间向量共线的知识判断A；根据投影向量计算公式判断B；根据空间向量共面的知识判断C和D.【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，解得，所以，故A正确；对于B，因为，所以，，所以在上的投影向量为，故B正确；对于C，设是空间中的一组基底，则不共面，假设共面，则，显然无解，所以不共面，则也是空间的一组基底，故C正确；对于D，，但，则四点不共面，故D错误.故选：ABC.11.下列说法正确的是（）A.圆与圆的公共弦长为B.过点作圆的切线，则切线的方程为C.圆与圆关于直线对称D.圆心为，半径为5的圆的标准方程是【正确答案】AC【分析】求出两圆公共弦所在直线方程，再求出弦长判断A；由直线与圆相切判断B；求出两圆连心线的中垂线方程判断C；求出圆的标准方程判断D.【详解】对于A，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，即两圆相交，把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程，点到此直线距离，因此公共弦长为，A正确；对于B，直线过点，且与相切，即切线的方程可以为，B错误；对于C，圆的圆心，圆的圆心，显然这两个圆是等圆，则它们关于线段的中垂线对称，而线段的中点，直线的斜率为，于是线段的中垂线方程为，即，C正确；对于D，圆心为，半径为5的圆的标准方程是，D错误.故选：AC12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面【正确答案】BD【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．【详解】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.假如，，且与相互独立，则___________．【正确答案】【分析】根据给定条件求出，再借助全概率公式即可计算作答.【详解】因与相互独立，且，，则，所以.故14.直线经过点，且直线的一个方向向量为，若直线与轴交于点，则______.【正确答案】##【分析】利用方向向量可得斜率为，求得直线的方程代入点可得.【详解】由的一个方向向量为可得直线斜率为，所以直线的方程为，即，将代入直线方程可得，可得.故15.写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．【正确答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故或或.

16.如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为______.【正确答案】##【分析】利用空间向量的坐标运算，根据平行、垂直关系的坐标表示，和空间距离的坐标表示求解.【详解】如图，由已知，，两两互相垂直，以点A为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，可得，，，，设，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，，因为平面，所以,,又，，可得，，，，当时，取最小值，最小值为.故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.（1）试用向量表示向量；（2）若，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果；（2）把、用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果.【小问1详解】因为，所以，所以，因为点E为的中点，所以.【小问2详解】因为，，所以=18.袋中有7只大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件，分别为黑猫、白猫、红猫，某同学从中任意取一只小猫摆件，得到黑猫或白猫的概率是，得到白猫或红猫的概率是，试求：（1）某同学从中任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率各是多少？（2）某同学从中任取两只小猫摆件，得到的两只小猫颜色不相同的概率是多少？【正确答案】（1），，（2）【分析】（1）从中任取一只小猫摆件，分别记得到黑猫、白猫、红猫为事件，由已知列出的方程组即可得解；（2）求出从只小猫摆件中取出两只小猫摆件的基本事件总数，再求出两只小猫颜色相同的基本事件总数，从而利用古典概型与对立事件的概率公式即可得解.【小问1详解】从中任取一只小猫摆件，分别记得到黑猫、白猫、红猫为事件，由于为互斥事件，所以由题意得，，解得，所以任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率分别是，，.【小问2详解】由（1）知黑猫、白猫、红猫摆件的个数别为，记黑猫摆件为，白猫摆件为，红猫摆件为，则从只小猫摆件中取出两只小猫摆件的基本事件有：，，，，，共有件，其中两只摆件是黑猫的基本事件有：，共3件，两只白猫的基本事件有：，共1件，两只红猫的基本事件有：，共1件，于是两只小猫摆件同色的概率为，则两只小猫摆件颜色不相同的概率是.19.已知圆，直线（）恒过定点.（1）求定点的坐标；（2）求直线被圆截得弦长最短时的值、直线的方程以及最短弦长.【正确答案】（1）（2），，【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立即可求得直线恒过的定点；（2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值及弦长.【小问1详解】直线的方程整理得，该方程对于任意实数成立，则，解得，所以直线恒过定点.【小问2详解】因为直线恒经过圆内的定点，当直线垂直于时被截得的弦长最短.由，可知，所以当直线被圆截得的弦最短时，直线的斜率为2，于是有，解得，此时直线的方程为，即，又因为，所以最短弦长为.20.甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时甲获胜的概率；（2）求乙最终以分获胜的概率．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）对甲来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件为“第三局结束甲获胜”，由题意知，甲每局获胜的概率为，不获胜的概率为．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故.【小问2详解】由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为，平的概率为，负的概率为，设事