18.2.3+正方形（教学设计）八年级数学下册(人教版)

.2.3正方形教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》八年级下册（以下统称“教材”）第十八章“平行四边形”18.2.3正方形.本节课主要内容涵盖正方形的性质与判定两大部分.性质方面，包括正方形的四条边相等，四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角；既是轴对称图形（有四条对称轴）又是中心对称图形.判定部分则是从平行四边形、矩形、菱形的基础上出发，通过添加特定条件来判定一个四边形是正方形，如“有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形”“有一组邻边相等的矩形是正方形”“有一个角是直角的菱形是正方形”.2.内容解析正方形是在学生学习了平行四边形、矩形和菱形的基础上展开教学的，它是特殊的平行四边形、矩形和菱形，具备它们的所有性质.正方形的性质和判定是对特殊四边形知识的高度概括和综合运用，是对四边形知识体系的完善和升华.从知识结构来看，它将之前所学的多种四边形的概念、性质和判定有机地联系起来，使学生对四边形的认识更加系统和深入.学习正方形的性质和判定，有助于学生理解特殊与一般的关系，培养学生的逻辑思维能力和推理能力，同时也为解决几何证明、计算以及实际生活中的问题提供了有力的工具.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握正方形的性质及其判定定理.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握正方形的性质及其判定定理，并会用它们进行有关的论证和计算；（2）理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．2.目标解析对于目标（1），学生能准确说出正方形的性质和判定定理的内容，能在不同的几何情境中识别正方形，并运用其性质和判定定理进行边长、角度、面积等的计算，以及完成相关的几何证明题；对于目标（2），学生能清晰地阐述正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的包含关系.三、教学问题诊断分析1.性质理解困难：学生可能难以理解正方形同时具备平行四边形、矩形和菱形的所有性质，容易混淆不同性质之间的区别和联系.教师可以通过对比表格、图形演示等方式，引导学生梳理正方形与其他特殊四边形性质的异同点，加深学生的理解.2.判定定理应用错误：在应用判定定理时，学生可能会出现条件使用不准确或不完整的情况.例如，在判定一个四边形是否为正方形时，忽略某些关键条件.教师可以通过大量的实例和练习，让学生明确每个判定定理的适用条件和使用方法，培养学生严谨的逻辑思维.3.知识综合运用能力不足：在解决综合性问题时，学生可能无法灵活运用正方形的性质和判定定理，将多个知识点结合起来.教师可以设计一些综合性的例题和练习题，引导学生分析问题，逐步提高学生的知识综合运用能力.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：应用正方形的性质和判定进行有关的论证和计算.四、教学过程设计（一）新课导入前面我们已经学习过矩形和菱形，它们都是特殊的平行四边形.思考：如果矩形的边特殊化或者菱形的角特殊化，又会产生什么图形呢？【设计意图】回顾矩形和菱形的探究过程，为后面学习正方形的性质做准备，加强新旧知识之间的联系.（二）新知探究知识点1：正方形的性质问题1：观察下图，当矩形的一组邻边变为相等，会变化成什么图形？正方形问题2：观察下图，当菱形的一个角变成直角，会变化成什么图形？正方形正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.【归纳小结】1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.3.正方形的性质：对边平行相等；对角相等；对角线相互平分【小试牛刀】1.根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(B)A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等3.正方形具有而菱形不一定具有的性质（D）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等活动：请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折.观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？对称性：轴对称图形 .对称轴：4条 知识点2：正方形的判定问题：你是如何判定矩形、菱形的？思考：怎样判定一个四边形是正方形呢？正方形判定的几个方法：猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图,在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB，∴AD=AB=BC=CD.∴四边形ABCD是正方形.猜想：对角线相等的菱形是正方形.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.∴四边形ABCD是正方形.【归纳小结】常用的正方形判定方法：【小试牛刀】在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（C）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC【设计意图】培养学生的总结归纳以及运用图表整合信息的能力，进一步认识正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系和包含关系.（三）典例精析例1.求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明：∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.思考：图中共有多少个等腰直角三角形？8个【针对练习】如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.证明：∵ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°－75°=15°.例2.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．求证：四边形EFMN是正方形．分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）=180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形.【针对练习】如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证：四边形CEDF为正方形.证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四边形ADFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四边形ADFC是正方形.例3.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠DAE＝∠BAF，AE＝AF,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=1/2AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四边形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四边形AFBE是正方形．【设计意图】通过简单证明，锻炼学生的证明能力，提高学习自信，培养应用意识；在证明练习中，提高解题能力.（四）当堂巩固1.AB＝2，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP＝____22.5____°，CP＝__2-22.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在BC的延长线上．若BE＝BD，则∠CDE＝____22.5°____，CE＝____2-1____.3.如图，在正方形ABCD中，点E为AC上一点，延长BE与CD交于点F.若∠CBF＝20°，则∠AED＝____65____°.4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是(C)A．当AB＝BC时，它是矩形B．当AC＝BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是正方形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，它是正方形5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则四边形CEDF是____正方形_____6.如图，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF.(1)求证：∠HEA＝∠CGF；(2)当AH＝DG时，求证：菱形EFGH是正方形．（1）证明：如图，连接GE.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD.∴∠AEG＝∠CGE.∵四边形EFGH是菱形，∴GF∥HE.∴∠HEG＝∠FGE.∴∠AEG－∠HEG＝∠CGE－∠FGE，即∠HEA＝∠CGF.（2）证明：∵四边形A